(高职精品)差错控制编码
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（3）混合纠错检错（HEC） 检错重发＋前向纠错
发
纠检错码 应答信号
收
8.1.3 差错控制方式
（4）反馈校验
优点：不要纠错、检错的编解码器，设备简单 缺点： 需要双向信道 实时性差 传输效率低
8.1.4 差错控制编码原理
1．差错控制编码的基本原理
差错控制的核心是差错控制编码，不同的编码方法，有 不同的检错或纠错能力。 差错控制编码一般是在用户信息序列后插入一定数量的 新码元，这些新插入的码元称为监督码元。它们不受用户的 控制，最终也不送给接收用户，只是系统在传输过程中为了 减少传输差错而采用的一种处理过程。 如果信道的传输速率一定，加入差错控制编码，就降低 了用户输入的信息速率，新加入的码元越多，冗余度越大， 检错纠错越强，但效率越低。由此可见，通过差错控制编码 提高传输的可靠性是以牺牲传输效率为代价换取的。
表8-3 水平奇偶校验码
信息码元 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 监督码元 1 0 1 0 1
11101 11001 10000 01010…
例如：
码字11010 码字11010和10100
码重=3
码距=3
10100⊕11010=01110 两个码字的模二相加得到的新码字的码重就是这 两个码字之间的汉明距离。 码字集合 000 011 101 110 汉明距离dmin=2
8.1.4 差错控制编码原理
3．汉明距离与检错和纠错能力的关系
把3位码元构成的8个码组用一个三维立方体来表示。图 中立方体的各顶点分别为8个码组，每个码组的3位码元的值 就是此立方体各顶点的坐标。由图中可以看出，码距对应于 各顶点之间沿立方体各边行走的几何距离（最少边数）。
信息 编码方法 A 1位编码方法 2位编码方法 3位编码方法 0 00 000 B 1 11 111 无检、纠错能力 检错1位，不能纠错 检错2位，纠错1位 检、纠错能力
8.1.4 差错控制编码原理
1．差错控制编码的基本原理 编码效率
k nr R n n
其中，k为信息码元的数目 n为编码后码组的总数目（n=k+r，r为监督 码元的数目）。 R越大，编码效率越高，它是衡量编码性能的一个 重要参数。
（2）如果分别在“0”和“1”后面附加一个“0”和“1”， 变为“00”和“11”，还是传送A和B两个信息，即 “00”表示A，“11”表示B。
（3）若在信息码之后附加两位监督码，即用“000”表 示A，“111”表示B。
举例2
如用1位二进制编码来代表两个消息A ，B 0 A 1 B
传输产生错码，不能检错和纠错
8.3 线性分组码和汉明码
8.3.1 线性分组码
线性码：监督码元与信息码元之间的关系可以 用线性方程表示 分组码：监督码元仅与本组中的信息码元有关
（1）线性分组码的基本概念
线性分组码：将信息序列分为每k位一组的信息序列段， 每个信息序列段按照一定的规律添加r个监督码元，构 成总码长为（n＝k+r）的分组码，记为（n，k）。
如用2位二进制编码代表两个消息A，B 00 A 11 B
发生一位错误，许用码字将变成禁用码字，接收端 就能知道出错，但是不能纠错。
如用3位二进制编码代表两个消息A，B 000 A 111 B
检二个错误，纠正一个错误。
8.1.4 差错控制编码原理
1．差错控制编码的基本原理
表8-1 差错控制编码原理举例
第 8章
差错控制编码
8.1 差错控制的基本概念及原理
8.2 简单的差错控制编码
8.3 线性分组码和汉明码 8.4 循环码
8.1 差错控制的基本概念 差错控制是对传输差错采取的技术措施，目的是 提高传输的可靠性。
8.1.1 差错控制的基本思想
差错控制的基本思想是通过对信息序列作某种 变换，使原来彼此独立的、没有相关性的信息码 元序列，经过某种变换后，产生某种规律性（相 关性），从而在接收端有可能根据这种规律性来 检查，进而纠正传输序列中的差错。 差错控制的核心是抗干扰编码，即差错控制 编码，简称纠错编码，也叫信道编码。
（2）线性分组码的监督矩阵H和生成矩阵G 例：（7，4）线性分组码
C [c6c5c4c3c2c1c0 ]
信息码元 监督码元
c2 c6 c5 c4 c1 c6 c5 c3 c c c c 6 4 3 0
表8-5 （7，4）线性分组码的编码表 信息位 c6 c5 c4 c3 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 监督位 c2 c1 c 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 信息位 c6 c 5 c4 c3 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 监督位 c2 c1 c0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0
信息码元 1011000 1001101 0010011 0110110 1001100 监督码元 1 0 1 1 0 0 0
监督码元 1 0 1 0 1 1
信息码元 1011000 1101001 0110011 0110110 1001100 1011000
监督码元 1 0 1 0 1 1
（1）这种码比水平奇偶校验码有更强的检错能力。它能发 现某行或某列上奇数个错误和长度不大于方阵中行数（或 列数）的突发错误。 （2）这种码还有可能检测出一部分偶数个错误。当然，若 偶数个错误恰好分布在矩阵的4个顶点上时，这样的偶数 个错误是检测不出来的。 （3）这种码还可以纠正一些错误，例如，某行某列均不满 足监督关系而判定该行该列交叉位置的码元有错，从而纠 正这一位上的错误。
晴
云
00
01
0
1
阴
雨
10
11
1
0
练习
信息码元
1 0
1
0
1
0
1 1
1
监督码元 1 0 0
0
1
0
0
10110010 1 0 1 0 0 0 1 0 有错 1 0 1 0 0 1 1 0 不能确定
在偶校验时，有
an1 an2 a1 a0 0
在奇校验时，有
an1 an2 a1 a0 1
8.2 简单的差错控制编码 1．奇偶校验码
奇偶校验码分为奇校验码和偶校验码，其编码规则是先 将所要传输的数据码元（信息码）分组，在分组信息码元 后面附加1位监督位，使得该码组中信息码和监督码合在一 起“1”的个数为偶数（偶监督）或奇数（奇监督）。
表8-2 奇偶校验码 消息 信息位 监督位 消息 信息位 监督位
进一步，写成矩阵形式为
1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 c 6 c 5 c 4 0 0 c 3 c 2 0 c1 c 0
（2）线性分组码的监督矩阵和生成矩阵 若令
1 1 1 0 1 0 0 H 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 C c6 c5 c4 c3 c2 c1c0 0 000
则有
HC T 0 T 或CH T 0
（2）线性分组码的监督矩阵和生成矩阵
表8-4 二维奇偶校验码
信息码元 1 1 1 0 1 监督码元 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 监督 码元 1 0 1 0 1 1
8.1.2 差错类型
① 随机差错，又称独立差错，是指错码的出现 是随机的，且错码之间是统计独立的。 ② 突发差错，是指成串集中出现的错码，即在 一些短促的时间区内会出现大量错码，而在 这些短促的时间区间之间又存在较长的无错 码区间。
8.1.3 差错控制方式
（1）检错重发（ARQ） （2）前向纠错（FEC） （3）混合纠错检错（HEC） （4）反馈校验
3、汉明码距与纠检错能力的关系
纠错码的纠检错能力完全取决于许用码字之间的 距离，最小码距越大，纠检错能力就越强。 (1)检测错误时，如果要检测e个错误，则 d0 ≥ e+1； (2)纠正错误时，如果要纠正t个错误，则 d0 ≥ 2t+1； (3)纠t个错误，同时检e个错误时(e>t)，则d0≥ t+e+1。
8.1.4 差错控制编码原理
2．码重和码距的概念
（1）码重 在信道编码中，定义码组中非零码元的数目为码组的重 量，简称码重。
（2）码距与汉明距离 把两个码组中对应码位上具有不同二进制码元的个数定 义为两码组的距离，简称码距。 而在一种编码中，任意两个许用码组间的距离的最小值， 称为这一编来自百度文库的汉明（Hamming）距离，用dmin来表示。
奇偶校验码只能发现单个或奇数个错误，而不能检 测出偶数个错误，奇偶校验码的最小码距为2，所以 没有纠错能力。
2．水平奇偶校验码 它的构成思路是：将信息码序列按行排成方阵， 每行后面加一个奇或偶校验码，即每行为一个奇偶 校验码组，但发送时按方阵中列的顺序进行传输 ， 到了接收端仍将码元排成与发送端一样的方阵形式， 然后按行进行奇偶校验。由于这种差错控制编码是 按行进行奇偶校验，因此称为水平奇偶校验码。
水平奇偶校验码可以发现某一行上奇数个错误， 以及所有长度不大于方阵中行数的突发错误，但仍没 有纠错能力。
3．二维奇偶校验码 二维奇偶校验码是将水平奇偶校验码改进而得， 又称为水平垂直奇偶校验码。它的编码方法是在水 平校验基础上对方阵中每一列再进行奇偶校验，发 送时按行或列的顺序传输。到了接收端重新将码元 排成发送时方阵形式，然后每行、每列都进行奇偶 校验。
8.1.3 差错控制方式
（1）检错重发（ARQ）
发
检错码
应答信号
收
优点：检错码构造简单，插入的监督码位不多， 设备不太复杂 缺点：实时性差 必须有反向信道
8.1.3 差错控制方式
（2）前向纠错（FEC）
发
纠错码
收
优点：不需反馈信道 实时性好 缺点：要求附加的监督码较多，传输效率低 设备复杂
8.1.3 差错控制方式
A
e
B d0
A
t
1
t
B
A
t
1
e
B
d0 (b)
d0 (c)
(a)
8.1.5 差错控制编码的分类
（1）按码组的功能分，有检错码和纠错码两类。 （2）按码组中监督码元与信息码元之间的关系分，有线性 码和非线性码两类。 （3）按照信息码元与监督码元的约束关系，又可分为分组 码和卷积码两类。 （4）按照信息码元在编码前后是否保持原来的形式不变， 可划分为系统码和非系统码。 （5）按纠正差错的类型可分为纠正随机错误的码和纠正突 发错误的码。 （6）按照每个码元取值来分，可分为二进制码与多进制码。
0 1 1 0 0 1 1 1
0 1 1 0 0 0
1 1 1 0 1 1 1 1
1 0 0 1 1 1
（2）线性分组码的监督矩阵和生成矩阵
监督方程组可以改写为
c6 c5 c4 c2 0 c6 c5 c3 c1 0 c c c c 0 4 3 0 6
8.1.4 差错控制编码原理
1．差错控制编码的基本原理
举例1
通知： “明天14：00～16：00开会”
通知后变成：“明天10：00～16：00开会” “明天下午14：00～16：00开会”
“明天下午14：00～16：00两个小时开会”
8.1.4 差错控制编码原理
1．差错控制编码的基本原理 （1）如果要传送A和B两个信息，可以用1位二进制编 码表示，例如用“0”码表示信息A，用“1”码表示信 息 B。
监督矩阵H可以分成两部分
H
k 1 1 1 0 r 1 1 0 1 1 0 1 1
1 0 0 0 1 0 0 0 1
P I
r
练习
某系统（8，4）码，其4位校验位vi，i＝0，1，2， 3与4位信息位ui，i＝0，1，2，3的关系是
发
纠检错码 应答信号
收
8.1.3 差错控制方式
（4）反馈校验
优点：不要纠错、检错的编解码器，设备简单 缺点： 需要双向信道 实时性差 传输效率低
8.1.4 差错控制编码原理
1．差错控制编码的基本原理
差错控制的核心是差错控制编码，不同的编码方法，有 不同的检错或纠错能力。 差错控制编码一般是在用户信息序列后插入一定数量的 新码元，这些新插入的码元称为监督码元。它们不受用户的 控制，最终也不送给接收用户，只是系统在传输过程中为了 减少传输差错而采用的一种处理过程。 如果信道的传输速率一定，加入差错控制编码，就降低 了用户输入的信息速率，新加入的码元越多，冗余度越大， 检错纠错越强，但效率越低。由此可见，通过差错控制编码 提高传输的可靠性是以牺牲传输效率为代价换取的。
表8-3 水平奇偶校验码
信息码元 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 监督码元 1 0 1 0 1
11101 11001 10000 01010…
例如：
码字11010 码字11010和10100
码重=3
码距=3
10100⊕11010=01110 两个码字的模二相加得到的新码字的码重就是这 两个码字之间的汉明距离。 码字集合 000 011 101 110 汉明距离dmin=2
8.1.4 差错控制编码原理
3．汉明距离与检错和纠错能力的关系
把3位码元构成的8个码组用一个三维立方体来表示。图 中立方体的各顶点分别为8个码组，每个码组的3位码元的值 就是此立方体各顶点的坐标。由图中可以看出，码距对应于 各顶点之间沿立方体各边行走的几何距离（最少边数）。
信息 编码方法 A 1位编码方法 2位编码方法 3位编码方法 0 00 000 B 1 11 111 无检、纠错能力 检错1位，不能纠错 检错2位，纠错1位 检、纠错能力
8.1.4 差错控制编码原理
1．差错控制编码的基本原理 编码效率
k nr R n n
其中，k为信息码元的数目 n为编码后码组的总数目（n=k+r，r为监督 码元的数目）。 R越大，编码效率越高，它是衡量编码性能的一个 重要参数。
（2）如果分别在“0”和“1”后面附加一个“0”和“1”， 变为“00”和“11”，还是传送A和B两个信息，即 “00”表示A，“11”表示B。
（3）若在信息码之后附加两位监督码，即用“000”表 示A，“111”表示B。
举例2
如用1位二进制编码来代表两个消息A ，B 0 A 1 B
传输产生错码，不能检错和纠错
8.3 线性分组码和汉明码
8.3.1 线性分组码
线性码：监督码元与信息码元之间的关系可以 用线性方程表示 分组码：监督码元仅与本组中的信息码元有关
（1）线性分组码的基本概念
线性分组码：将信息序列分为每k位一组的信息序列段， 每个信息序列段按照一定的规律添加r个监督码元，构 成总码长为（n＝k+r）的分组码，记为（n，k）。
如用2位二进制编码代表两个消息A，B 00 A 11 B
发生一位错误，许用码字将变成禁用码字，接收端 就能知道出错，但是不能纠错。
如用3位二进制编码代表两个消息A，B 000 A 111 B
检二个错误，纠正一个错误。
8.1.4 差错控制编码原理
1．差错控制编码的基本原理
表8-1 差错控制编码原理举例
第 8章
差错控制编码
8.1 差错控制的基本概念及原理
8.2 简单的差错控制编码
8.3 线性分组码和汉明码 8.4 循环码
8.1 差错控制的基本概念 差错控制是对传输差错采取的技术措施，目的是 提高传输的可靠性。
8.1.1 差错控制的基本思想
差错控制的基本思想是通过对信息序列作某种 变换，使原来彼此独立的、没有相关性的信息码 元序列，经过某种变换后，产生某种规律性（相 关性），从而在接收端有可能根据这种规律性来 检查，进而纠正传输序列中的差错。 差错控制的核心是抗干扰编码，即差错控制 编码，简称纠错编码，也叫信道编码。
（2）线性分组码的监督矩阵H和生成矩阵G 例：（7，4）线性分组码
C [c6c5c4c3c2c1c0 ]
信息码元 监督码元
c2 c6 c5 c4 c1 c6 c5 c3 c c c c 6 4 3 0
表8-5 （7，4）线性分组码的编码表 信息位 c6 c5 c4 c3 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 监督位 c2 c1 c 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 信息位 c6 c 5 c4 c3 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 监督位 c2 c1 c0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0
信息码元 1011000 1001101 0010011 0110110 1001100 监督码元 1 0 1 1 0 0 0
监督码元 1 0 1 0 1 1
信息码元 1011000 1101001 0110011 0110110 1001100 1011000
监督码元 1 0 1 0 1 1
（1）这种码比水平奇偶校验码有更强的检错能力。它能发 现某行或某列上奇数个错误和长度不大于方阵中行数（或 列数）的突发错误。 （2）这种码还有可能检测出一部分偶数个错误。当然，若 偶数个错误恰好分布在矩阵的4个顶点上时，这样的偶数 个错误是检测不出来的。 （3）这种码还可以纠正一些错误，例如，某行某列均不满 足监督关系而判定该行该列交叉位置的码元有错，从而纠 正这一位上的错误。
晴
云
00
01
0
1
阴
雨
10
11
1
0
练习
信息码元
1 0
1
0
1
0
1 1
1
监督码元 1 0 0
0
1
0
0
10110010 1 0 1 0 0 0 1 0 有错 1 0 1 0 0 1 1 0 不能确定
在偶校验时，有
an1 an2 a1 a0 0
在奇校验时，有
an1 an2 a1 a0 1
8.2 简单的差错控制编码 1．奇偶校验码
奇偶校验码分为奇校验码和偶校验码，其编码规则是先 将所要传输的数据码元（信息码）分组，在分组信息码元 后面附加1位监督位，使得该码组中信息码和监督码合在一 起“1”的个数为偶数（偶监督）或奇数（奇监督）。
表8-2 奇偶校验码 消息 信息位 监督位 消息 信息位 监督位
进一步，写成矩阵形式为
1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 c 6 c 5 c 4 0 0 c 3 c 2 0 c1 c 0
（2）线性分组码的监督矩阵和生成矩阵 若令
1 1 1 0 1 0 0 H 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 C c6 c5 c4 c3 c2 c1c0 0 000
则有
HC T 0 T 或CH T 0
（2）线性分组码的监督矩阵和生成矩阵
表8-4 二维奇偶校验码
信息码元 1 1 1 0 1 监督码元 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 监督 码元 1 0 1 0 1 1
8.1.2 差错类型
① 随机差错，又称独立差错，是指错码的出现 是随机的，且错码之间是统计独立的。 ② 突发差错，是指成串集中出现的错码，即在 一些短促的时间区内会出现大量错码，而在 这些短促的时间区间之间又存在较长的无错 码区间。
8.1.3 差错控制方式
（1）检错重发（ARQ） （2）前向纠错（FEC） （3）混合纠错检错（HEC） （4）反馈校验
3、汉明码距与纠检错能力的关系
纠错码的纠检错能力完全取决于许用码字之间的 距离，最小码距越大，纠检错能力就越强。 (1)检测错误时，如果要检测e个错误，则 d0 ≥ e+1； (2)纠正错误时，如果要纠正t个错误，则 d0 ≥ 2t+1； (3)纠t个错误，同时检e个错误时(e>t)，则d0≥ t+e+1。
8.1.4 差错控制编码原理
2．码重和码距的概念
（1）码重 在信道编码中，定义码组中非零码元的数目为码组的重 量，简称码重。
（2）码距与汉明距离 把两个码组中对应码位上具有不同二进制码元的个数定 义为两码组的距离，简称码距。 而在一种编码中，任意两个许用码组间的距离的最小值， 称为这一编来自百度文库的汉明（Hamming）距离，用dmin来表示。
奇偶校验码只能发现单个或奇数个错误，而不能检 测出偶数个错误，奇偶校验码的最小码距为2，所以 没有纠错能力。
2．水平奇偶校验码 它的构成思路是：将信息码序列按行排成方阵， 每行后面加一个奇或偶校验码，即每行为一个奇偶 校验码组，但发送时按方阵中列的顺序进行传输 ， 到了接收端仍将码元排成与发送端一样的方阵形式， 然后按行进行奇偶校验。由于这种差错控制编码是 按行进行奇偶校验，因此称为水平奇偶校验码。
水平奇偶校验码可以发现某一行上奇数个错误， 以及所有长度不大于方阵中行数的突发错误，但仍没 有纠错能力。
3．二维奇偶校验码 二维奇偶校验码是将水平奇偶校验码改进而得， 又称为水平垂直奇偶校验码。它的编码方法是在水 平校验基础上对方阵中每一列再进行奇偶校验，发 送时按行或列的顺序传输。到了接收端重新将码元 排成发送时方阵形式，然后每行、每列都进行奇偶 校验。
8.1.3 差错控制方式
（1）检错重发（ARQ）
发
检错码
应答信号
收
优点：检错码构造简单，插入的监督码位不多， 设备不太复杂 缺点：实时性差 必须有反向信道
8.1.3 差错控制方式
（2）前向纠错（FEC）
发
纠错码
收
优点：不需反馈信道 实时性好 缺点：要求附加的监督码较多，传输效率低 设备复杂
8.1.3 差错控制方式
A
e
B d0
A
t
1
t
B
A
t
1
e
B
d0 (b)
d0 (c)
(a)
8.1.5 差错控制编码的分类
（1）按码组的功能分，有检错码和纠错码两类。 （2）按码组中监督码元与信息码元之间的关系分，有线性 码和非线性码两类。 （3）按照信息码元与监督码元的约束关系，又可分为分组 码和卷积码两类。 （4）按照信息码元在编码前后是否保持原来的形式不变， 可划分为系统码和非系统码。 （5）按纠正差错的类型可分为纠正随机错误的码和纠正突 发错误的码。 （6）按照每个码元取值来分，可分为二进制码与多进制码。
0 1 1 0 0 1 1 1
0 1 1 0 0 0
1 1 1 0 1 1 1 1
1 0 0 1 1 1
（2）线性分组码的监督矩阵和生成矩阵
监督方程组可以改写为
c6 c5 c4 c2 0 c6 c5 c3 c1 0 c c c c 0 4 3 0 6
8.1.4 差错控制编码原理
1．差错控制编码的基本原理
举例1
通知： “明天14：00～16：00开会”
通知后变成：“明天10：00～16：00开会” “明天下午14：00～16：00开会”
“明天下午14：00～16：00两个小时开会”
8.1.4 差错控制编码原理
1．差错控制编码的基本原理 （1）如果要传送A和B两个信息，可以用1位二进制编 码表示，例如用“0”码表示信息A，用“1”码表示信 息 B。
监督矩阵H可以分成两部分
H
k 1 1 1 0 r 1 1 0 1 1 0 1 1
1 0 0 0 1 0 0 0 1
P I
r
练习
某系统（8，4）码，其4位校验位vi，i＝0，1，2， 3与4位信息位ui，i＝0，1，2，3的关系是