数学模型 第五版
数学模型(第五版)
2018年高等教育出版社出版的图书
01 成书过程
03 教材特色 05 作者简介
目录
02 内容简介 04 教学资源
《数学模型(第五版)》是由姜启源、谢金星、叶俊编写,高等教育出版社出版的 “十二五”普通高等教育 本科国家级规划教材,适合作为高等学校各专业学生学习数学建模课程的教材和参加数学建模竞赛的辅导材第五版)习题参考解答》是为配合《数学模型(第五版)》而编写的学习指导书,书号为9787-04--4,2018年5月23日由高等教育出版社出版,170千字、128页。
《数学模型(第五版)》开通有数字课程、MOOC课程的资源。
作者简介
《数学模型(第五版)》是由姜启源、谢金星、叶俊编写。 姜启源:同济大学应用数学系教授。 谢金星:清华大学数学科学系教授。 叶俊:清华大学数学科学系教授。
内容简介
《数学模型(第五版)》共11章,包括建立数学模型、初等模型、简单的优化模型、微分方程模型、微分方 程模型、差分方程与代数方程模型、离散模型、概率模型、统计模型、博弈模型。
教材特色
教材参考中国国内外数学建模教材和教学单元,第五版在保持前四版基本结构和风格的基础上,进行补充与 修订:增加了一些实用性较强、生活气息浓烈、数学推导简化的案例,改写、合并、调整了若干案例和章节,删 除了个别案例,并对习题作了相应的修订。
全书共11章,包括建立数学模型、初等模型、简单的优化模型、微分方程模型、微分方程模型、差分方程与 代数方程模型、离散模型、概率模型、统计模型、博弈模型。
成书过程
第五版在保持前四版基本结构和风格的基础上,进行增删与修订,新增和改编的案例接近案例总数的一半, 新版本于2018年5月由高等教育出版社出版(《即数学模型(第五版)》)。
感谢观看
数学模型第五版
数学建模的能力
想象力
洞察力
判断力
比较广博的数学知识
深入实际调查研究的决心和能力
创新意识
• 如何学习数学建模
学别人的模型学习 分析、改进、推广
做自己的模型实际题目;参加竞赛
学别人的模型
对于案例——椅子能在不平的地面上放稳吗; 在学懂的基础上可以作哪些研究
1 模型假设中哪些条件是本质的, 哪些是非本质的 地面高度连续 是 椅子至少三只脚着地 是
用 x 表示船速;y 表示水速,列出方程:
(x y)30750
x=20
(x y)50750 求解 y =5
答:船速为20km/h
航行问题建立数学模型的基本步骤
• 作出简化假设船速 水速为常数 • 用符号表示有关量x, y分别表示船速和水速 • 用物理定律匀速运动的距离等于速度乘以
时间列出数学式子(二元一次方程) • 求解得到数学解答x=20, y=5
章 13 建模示例之一 包饺子中的数学
14 建模示例之二 路障间距的设计
建
立 数 学
模
15 建模示例之三 椅子能在不平的 地面上放稳吗
16 数学建模的基本方法和步骤 17 数学模型的特点和分类
型 18 怎样学习数学建模——学习课程
和参加竞赛
1 1 从现实对象到数学模型
我们常见的模型
玩具 照片、飞机、火箭模型… ~ 实物模型
结论:在模型假设条件下;将椅子绕中心旋转, 一定能找到四只脚着地的稳定点
1 6 数学建模的基本方法和步骤
数学建模的基本方法
对客观事物特性的认识
机理分析
内部机理的数量规律
白箱
测试分析
对量测数据的统计分析 与数据拟合最好的模型
数学模型第五版课程设计
数学模型第五版课程设计一、前言数学模型课程是数学学科体系中的一门应用性课程,主要涉及数学知识在现实生活中的应用,帮助学生了解数学如何应用于实际问题中,提高学生的数学建模能力。
本次课程设计旨在通过实例,详细介绍数学模型的建立过程,并帮助学生熟悉数学模型的应用。
二、课程内容1. 前期准备在开始课程设计前,需要学生具备大学线性代数和微积分等基础数学知识,并具有一定的编程能力。
2. 数学模型的定义和建立过程2.1 数学模型的定义数学模型是指利用数学方法对实际问题进行抽象化和形式化处理,以得到问题的数学表示式和解法的方法。
2.2 数学模型的建立过程•确定问题:首先要确定需要解决的实际问题。
•收集数据:通过实验或调查等方式收集与问题相关的数据。
•建立方程或模型:根据数据和问题的特征,建立数学模型或方程。
•解决问题:利用已经建立的数学模型或方程,解决实际问题。
3. 数学模型在实际问题中的应用3.1 核电站事故模拟分析假设某核电站有2个反应堆,采用钴60俘获模型,模拟事故情况下反应堆的输出功率,进而分析事故对反应堆的影响。
假设第一个反应堆关闭,第二个反应堆失去控制,建立以下方程:$$\\frac{dP}{dt}=k_1(P_0-P)-k_2(cN_2-P)$$其中,P表示反应堆的输出功率,P0表示反应堆的初始功率,c表示钴60的俘获截面积,k1和k2代表两个反应的系数,N2代表第二个反应堆的中子数。
通过求解上述方程,可以得到反应堆的输出功率随时间变化的情况。
3.2 股票价格预测根据股票的历史价格数据,建立股票价格变化的数学模型,预测未来的股票价格走势。
假设已知若干个时刻的股票价格,建立以下方程:$$y_t = \\beta_0+\\beta_1x_1+\\beta_2x_2+…+\\beta_nx_n+e_t$$其中,y t表示第t个时刻的股票价格,x1、x2、…x n为若干个自变量(如前几个时刻的股票价格),$\\beta_i$为关于自变量的系数,e t为误差项。
数学模型第五版教学大纲
数学模型第五版教学大纲
一、课程简介
本课程是数学专业和相关专业的必修课程之一,旨在帮助学生掌握数学模型的基本概念、建模过程和解题方法,培养学生的创新思维和实际问题解决能力。
二、教学目标
1.理解数学模型的基本概念和建模的思路;
2.掌握常用的数学模型和求解方法;
3.能够独立分析和解决实际问题;
4.培养学生的科学思维、创新精神和团队合作精神。
三、教学内容
第一章数学模型的概念和基本要素
1.数学模型的概念和基本要素;
2.数学模型的分类和应用;
3.数学建模的基本流程和方法。
第二章常用数学模型
1.线性规划模型;
2.非线性规划模型;
3.最优化模型;
4.动态规划模型;。
数学模型-第03章(第五版)ppt课件
问题分析与思考
• 周期短,产量小 • 周期长,产量大
贮存费少,准备费多 准备费少,贮存费多
存在最佳的周期和产量,使总费用 (二者之和) 最小.
• 是一个优化问题,关键在建立目标函数.
显然不能用一个周期的总费用作为目标函数.
目标函数——每天总费用的平均值.
模型假设
c3B
一周期总费用
Cc1c2Q 21T c3r(T 2T1)2
允许缺货的存贮模型
一周期总费用 Cc1cQ T 1cr(TT)2
2 2 1
21
3
1
每天总费用 平均值
C(T,Q) C c1c2Q2c3(rTQ)2 T T 2rT 2rT
(目标函数)
求 T ,Q C(T,Q)min
C 0, C 0 为与不允许缺货的存贮模型
已知某产品日需求量100件,生产准备费5000元,贮存费 每日每件1元. 试安排该产品的生产计划,即多少天生产 一次(生产周期),每次产量多少,使总费用最小.
要 不只是回答问题,而且要建立生产周期、产量与 求 需求量、准备费、贮存费之间的关系.
问题分析与思考
日需求100件,准备费5000元,贮存费每日每件1元. • 每天生产一次, 每次100件,无贮存费,准备费5000元.
1. 产品每天的需求量为常数 r; 2. 每次生产准备费为 c1, 每天每件产品贮存费为 c2; 3. T天(一周期)生产一次, 每次生产Q件,当贮存量降
为零时,Q件产品立即生产出来 (生产时间不计); 4. 为方便起见,时间和产量都作为连续量处理.
建模目的
r, c1, c2 已知,求T, Q 使每天总费用的平均值最小.
出现缺货,造成损失. 原模型假设:贮存量降到零时
姜启源 数学模型第五版-第1章
1.3
问题
建模示例之一 包饺子中的数学
通常,1kg馅, 1kg面, 包100个饺子. 今天,馅比 1kg多, 1kg面不变, 要把馅包完.
应多包几个(每个小些), 还是少包几个(每个大些)?
分析
直观认识——“大饺子包的馅多”! 但是:“用的面皮也多”!
需要比较:饺子从小变大时馅和面增加的数量关系.
C
C´ B´ B A´
O
A
x
D´
D
A,C 两脚与地面距离之和 ~ f() B,D 两脚与地面距离之和 ~ g()
正方形ABCD 绕O点旋转
模型建立
地面为连续曲面 椅子在任意位置 至少三只脚着地 椅子旋转900, 对 角线AC和BD互换 f() , g()是连续函数 对任意, f(), g() 至少一个为0 g(0)=0,f(0) > 0, f(/2)=0, g(/2)>0.
不平的地面上的椅子, 通常三只脚着地—— 放不稳! 挪动几下,使四只脚着地——椅子放稳!
讨论椅子能放稳的条件.
椅子能在不平的地面上放稳吗
模型假设
四腿一样长,椅脚与地面点接触,四脚连线呈正方形. 地面高度连续变化,可视为数学上的连续曲面. 地面相对平坦,椅子在任意位置至少三只脚着地.
模型建立
椅子位置 利用正方形(椅脚连线)的对称性. 用表示椅子位置. 四只脚着地 椅脚与地面距离为零 距离是的函数. 四个距离 (四只脚) 对称性 两个距离
模 型 构 成
尽量采用简单的数学工具
数学建模的一般步骤 模型 求解 模型 分析 模型 检验 各种数学方法、软件和计算机技术. 如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析. 与实际现象、数据比较, 检验模型的合理性、适用性.
数学模型-第05章(第五版)
(百万) (方法一) (方法二) 数模型 (方法一) (方法二)
308.7
515.0
356.0
314.0
296.8
297.0
2010年
66.8%
15.3%
1.7%
-3.9%
-3.8%
误差
327.8
326.8
2020年
?
1870
1880
1890
1900
1910
1920
1930
1940
38.6
50.2
62.9
76.0
92.0
105.7 122.8 131.7
0.2435 0.2420 0.2051 0.1914 0.1614 0.1457 0.1059 0.1059
1950
1960
1970
1980
1990
2000
2010
13.40
• 20世纪的一段时间内人口增长速度过快.
• 年净增人口由最多的2000多万降到2011年的600多万
• .老龄化提速, 性别比失调等凸显,开始调整人口政策.
• 建立数学模型描述人口发展规律,是制定
积极、稳妥人口政策的前提.
1. 两个基本的人口模型
年
人口(百万)
增长率/10年
年
人口(百万)
(百万)
3.9
5.3
7.2
…
226.5
248.7
281.4
logistic模型
(方法一)
3.9
5.1
6.8
…
245.8
265.4
数学模型-第03章(第五版)
存在恰当的x,使f1(x), f2(x)之和最小.
分析
• 关键是对B(t)作出合理的简化假设.
失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 画出时刻t森林烧毁面积B(t)的大致图形.
B
分析B(t)比较困难, 转而讨论单位时间 烧毁面积 dB/dt (森林烧毁的速度).
第三章
材料强度最大
简单优化模型
利润最高 风险最小
优化——工程技术、经济管理、科学研究中的常见问题. 运输费用最低
用数学建模方法解决优化问题的过程 优化目标与决策 模型假设与建立 数学求解与分析
简单优化模型归结为函数极值问题,用微分法求解. 属于数学规划的优化模型在第四章讨论.
第 三 章 简 单 优 化 模 型
3.2 森林救火
问题
森林失火后,要确定派出消防队员的数量. 队员多,森林损失小,救援费用大; 队员少,森林损失大,救援费用小. 综合考虑损失费和救援费,确定队员数量.
分析
记队员人数x, 失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 时刻t森林烧毁面积B(t).
• 损失费f1(x)是x的减函数, 由烧毁面积B(t2)决定.
啤酒杯重心s(x)只与质量比a有关 对于每个a, s(x) 有一最小点. a=0.3, x=0.35左右 s最小, 即重心最低.
0.5
s
0.45 a=1 0.4 a=0.5 0.35 a=0.3 0.3
0.25 a=0.1 0.2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
建立啤酒杯重心模型一
啤酒杯重心模型一
x
s=s(x) ~ 液面高度x的啤酒杯重心
数学模型-第06章(第五版)市公开课一等奖省赛课获奖PPT课件
勤俭节约、科学理财
第5页
单利和复利 按单利计算业务——零存整取
a~每个月存入金额, r ~月利率, n ~ 存期 (x月k ~)存入k个月后本息 x1=a+ar x2= x1+a+a2r
xk= xk-1+a+akr, k=2,3,…, n k=n递推至k=1 xn= na+ar(1+2+…+n) a =3000, r =0.035/12, n =125 (月) xn= 196,012.50
a=7485.2(元), A1=1796447.27(元) 与房贷计算器给出相同
第10页
等额本息贷款和等额本金贷款
例2 “房贷计算器”选择等额本金还款, 输入: 商业 贷款总额100万元, 期限20年, 年利率6.55%. 点击“开 始计算”得到: 还款总额1657729.17元, 每个月还款金 额由第1月9625元逐月递减, 最终1月为4189.41元. 建立等额本金还款方式数学模型, 并作数值计算.
比两阶段计划时间长,吸 收热量突减对身体不利.
75kg
c =1时
c =14000时
w(40)=75kg w(72)=75kg
第27页
7. 到达目标体重所需时间与每七天吸收热量关系
k=1递推至k=n
w(n 1) (1 )n w(1) c[1 (1 ) (1 )n1] (1 )n[w(1) c / ] c /
1)r, n
k 1,2,n
第12页Βιβλιοθήκη 额本金还款模型x0 ~贷款总额 r ~月利率 n ~贷款期限(月)
xk ~第k月还款金额
数学模型第五版姜启源课件
数学模型第五版姜启源课件1. 引言数学模型是一种以数学方法描述、分析和解决实际问题的工具。
它是现代科学、工程和社会学科中不可或缺的一部分。
姜启源的《数学模型》是国内外广泛采用的教材之一,这份课件是对第五版《数学模型》的经典章节进行概要的总结和讲解。
2. 背景与目的数学模型的研究对象可以是自然界的现象、社会经济问题或工程技术等。
通过建立数学模型,我们可以更好地理解问题的本质,并探索解决问题的方法。
数学模型的建立需要一定的理论基础和技巧,本课件旨在帮助读者快速掌握数学模型的基本概念和建模方法。
3. 数学模型的基本概念数学模型是对实际问题进行抽象和描述的数学形式。
它由问题的假设、变量、关系和约束等要素组成。
本部分介绍了数学模型的基本概念,包括:3.1 假设与逼近数学模型的建立需要对实际问题进行适当的假设和逼近。
假设是对问题中不确定因素的简化和规定,而逼近是对问题中不精确因素的近似和描述。
3.2 变量与参数变量是数学模型中描述问题状态的符号,它可以是数值、向量、矩阵等。
参数是数学模型中的固定值,它们可以是已知的或未知的。
3.3 关系与方程关系是数学模型中描述变量之间相互关系的数学表达式。
方程是关系中等号左右两边相等的表达式。
3.4 约束条件与目标函数约束条件是数学模型中描述问题限制条件的不等式或等式。
目标函数是数学模型中描述问题目标的数学表达式。
4. 常见的数学模型本部分介绍了一些常见的数学模型及其应用场景,包括:4.1 线性模型线性模型是最简单的数学模型之一,它的关系和约束条件可以表示为线性方程或线性不等式。
线性模型广泛应用于经济学、管理学、物理学、工程学等领域。
4.2 非线性模型非线性模型是一类不满足线性关系的数学模型。
它的关系和约束条件可以表示为非线性方程或非线性不等式。
非线性模型常用于生物学、化学、地球物理学等领域的研究。
4.3 动态模型动态模型是描述系统随时间变化的数学模型。
它可以采用微分方程、差分方程或积分方程等形式进行建模。
《数学模型》(第五版)-姜启源 第9章
早产率
H0: q0=q1, H1: q0≠q1
检验结果(α=0.05)
拒绝H0, 接受H1 拒绝H0, 接受H1(t=4.0304) 拒绝H0, 接受H1 接受H0, 拒绝H1(t=0.5663)
• 吸烟孕妇的新生儿体重比不吸烟孕妇的低、且 新生儿体重低的比例高,在统计学上有显著意义.
• 吸烟与不吸烟孕妇孕期和早产率的差别难以肯定 是显著的(若α将接受怀孕期均值相等的假设)
x1
1.0000 0.0809 -0.0534 0.0705 0.0237 -0.0603
x2
1.0000 -0.3510 0.0435 -0.0964 -0.0096
x3
1.0000 -0.0065 0.1473 -0.0678
x4
1.0000 0.4353 0.0175
x5
1.0000 -0.0603
X2
-3.28762 -3.0933 0.0020
X3
-0.00895031 -0.1043 0.9170
X4
1.15497 5.6415 0.0000
X5
0.0498335 1.9910 0.0467
X6
-10 -8 -6 -4 -2
0
2
-8.3939 -8.8248 0.0000
RMSE
16.5
X5
X6
-10 -8
-6
-4
-2
0
2
Coeff. t-stat 0.451168 15.2000 -3.26733 -3.0320 0.104543 1.2775
1.31198 7.1138 0.118183 5.2127
-8.3744 -8.6027
数学模型姜启源第五版答案4
数学模型姜启源第五版答案4.1复习题1、x3??(m为正整数)可写成( ) [单选题] *A. x3+x?B. x3-x?C. x3·x?(正确答案)D. x3?2、13.设x∈R,则“x3(x的立方)>8”是“|x|>2”的( ) [单选题] * A.充分而不必要条件(正确答案)B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3、14.不等式|3-x|<2 的解集为()[单选题] *A. x>5或x<1B.1<x<5(正确答案)C. -5<x<-1D.x>14、30.圆的方程+=4,则圆心到直线x-y-4=0的距离是()[单选题] *A.√2(正确答案)B.√2/2C.2√2D.25、21.如图,AB=CD,那么AC与BD的大小关系是()[单选题] * A.AC=BD(正确答案)B.AC<BDC.AC>BDD.不能确定6、5.已知集合A={x|x=3k+1,k∈Z},则下列表示不正确的是( ) [单选题] * A.-2∈AB.2 022?AC.3k2+1?A(正确答案)D.-35∈A7、49.若(x+2)(x﹣3)=7,(x+2)2+(x﹣3)2的值为()[单选题] * A.11B.15C.39(正确答案)D.538、f(x)=-2x+5在x=1处的函数值为()[单选题] *A、-3B、-4C、5D、3(正确答案)9、若2? =3,2?=4,则23??2?等于( ) [单选题] *A. 7B. 12C. 432(正确答案)D. 10810、下列计算正确的是()[单选题] *A. a2+a2=2a?B. 4x﹣9x+6x=1C. (﹣2x2y)3=﹣8x?y3(正确答案)D. a6÷a3=a211、9、横坐标为3的点一定在()[单选题] *A.与x轴平行,且与x轴的距离为3的直线上B.与y轴平行,且与y轴的距离为3的直线上C.与x轴正半轴相交,与y轴平行,且与y轴的距离为3的直线上(正确答案)D.与y轴正半轴相交,与x轴平行,且与x轴的距离为3的直线上12、12.如图,将一块三角形纸片剪去一部分后,发现剩余阴影部分的纸片周长要比原三角形纸片的周长大,能正确解释这一现象的数学知识是()[单选题] *A.直线没有端点,向两端无限延伸B.两点之间,线段最短(正确答案)C.经过一点有无数条直线D.两点确定一条直线13、9. 如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的边长为2,点A坐标为(-2,1),沿某一方向平移后点A1的坐标为(4,2),则点C1的坐标为()[单选题]*A、(2,3)B、(2,4)(正确答案)C、(3,4)D、(3,3)14、8. 下列事件中,不可能发生的事件是(? ? ).[单选题] *A.明天气温为30℃B.学校新调进一位女教师C.大伟身长丈八(正确答案)D.打开电视机,就看到广告15、25.{菱形}∩{矩形}应()[单选题] *A.{正方形}(正确答案)B.{矩形}C.{平行四边形}D.{菱形}16、49、如图,在△ABC中,∠A=30°,∠ABC=50°,若△EDC≌△ABC,且A,C,D在同一条直线上,则∠BCE=()[单选题] *A.20°(正确答案)B.30°C.40°D.50°17、计算(2x-1)(5x+2)的结果是() [单选题] *A. 10x2-2B. 10x2-5x-2C. 10x2+4x-2D. 10x2-x-2(正确答案)18、2005°角是()[单选题] *A、第二象限角B、第二象限角(正确答案)C、第二或第三象限角D、第二或第四象限角19、下列各角中,与300°终边相同的角是()[单选题] *A、420°B、421°C、-650°D、-60°(正确答案)20、1.在0,,3,2π,﹣23%,2021这六个数中,非正数有()个.[单选题] * A.2(正确答案)B.3C.4D.021、已知a+b=3,则代数式(a+b)(a-b)+6b的值是(? ????) [单选题] *A. -3B. 3C. -9D. 9(正确答案)22、若(x+m)(x2-3x+n)展开式中不含x2和x项,则m,n的值分别为( ) [单选题] *A. m=3,n=1B. m=3,n=-9C. m=3,n=9(正确答案)D. m=-3,n=923、已知sina<0且cota>0,则是()[单选题] *、第一象限角B、第一象限角C、第三象限角(正确答案)D、第四象限角24、4.一个数是25,另一个数比25的相反数大- 7,则这两个数的和为[单选题] *A.7B. - 7(正确答案)C.57D. - 5725、16、在中,则( ). [单选题] *A. AB<2AC (正确答案)B. AB=2ACC. AB>2ACD. AB与2AC关系不确定26、下列各式与x3? ?2相等的是( ) [单选题] *A. (x3) ? ?2B. (x ? ?2)3C. x2·(x3) ?(正确答案)D. x3·x ?+x227、f(x)=-2x+5在x=1处的函数值为()[单选题] *A、-3B、-4C、5D、3(正确答案)28、17.如图,若OC是∠AOB内部的一条射线,则下列式子中,不能表示“OC是∠AOB 的角平分线”的是()[单选题] *A.∠AOC=∠BOCB.∠AOB=2∠BOCC.D.∠AOC+∠BOC=∠AOB(正确答案)29、8.修建高速公路时,经常把弯曲的公路改成直道,从而缩短路程,其道理用数学知识解释正确的是()[单选题] *A.线段可以比较大小B.线段有两个端点C.两点之间,线段最短(正确答案)D.过两点有且只有一条直线30、4.(2020·天津,1,5分)设全集U={-3,-2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,0,1,2},B={-3,0,2,3},则A∩(?UB)=( ) [单选题] *A.{-3,3}B.{0,2}C.{-1,1}(正确答案)D.{-3,-2,-1,1,3}。
《数学模型》(第五版)-姜启源-第2章
初等模型
• 研究对象的机理比较简单
• 用静态、线性、确定性模型即可达到建模目的
可以利用初等数学方法来构造和求解模型
如果用初等和高等的方法建立的模型,其应用效果
差不多,那么初等模型更高明,也更受欢迎.
尽量采用简单的数学工具来建模
第
二
章
初
等
模
型
双层玻璃窗的功效
划艇比赛的成绩
实物交换
汽车刹车距离与道路通行能力
外
T2
墙
T1 Ta
Ta Tb k Tb T2
Q1 k1
k2
1
d
d
l
T1 T2
k1
l
Q1 k1
, sh , h
d ( s 2)
k2
d
建模 记单层玻璃窗传导的热量Q2
T1 T2
T1 T2
Q1 k1
Q2 k1
d ( s 2)
2d
室
内
T1
2d
Q2
Q1
1
l
, h
Q2 8h 1
d
取 h=l/d=4, 则 Q1/Q2
即双层玻璃窗与同样多材
料的单层玻璃窗相比,可
减少97%的热量损失.
结果分析
Q1/Q2
0.06
0.03
0.02
O
2
4
Q1/Q2所以如此小,是由于层间空气的热传导系
数k2极低, 而这要求空气非常干燥、不流通.
房间通过天花板、墙壁、…损失的热量更多.
vm
vm=vf/2 ~最大流量时的速度
0
km
kj
密度k
0
数学模型(第五版)-姜启源 (9)
问题背景及分析
美国公共卫生总署的警告容易受到人们的质疑: 按照是否吸烟划分人群所做的研究,只能依赖于 观测数据,而无法做人为的实验,很难确定新生 儿体重的差别是因为吸烟,还是其它因素(如怀孕 期长短、吸烟孕妇多是体重较轻的年青人等).
“孕妇吸烟可能导致胎儿受损、早产及新生儿低体 重”的警告不如“吸烟导致肺癌”来得强,是由于 对孕妇吸烟与胎儿健康间的生理学关系研究得不够.
怀孕期x, 新生儿体重y
Residual Case Order Plot
~误差ε的估计值(均值为0的正态分布) 若数据残差的置信区间不含 零点,称为异常点(偏离整体 数据的变化趋势),应剔除。
一元线性回归模型 y=b0+b1x+ε 模 型 解 释 模 型 预 测
怀孕期x, 新生儿体重y
• 吸烟孕妇怀孕期增加一天, 新生儿体重平均增加约0.6 oz. • 不是x=0时y的估计, 只能在数 据范围内(x=220~340天) 估计.
• 模型精度不高导致预测区间如此之大!
一元线性回归模型 y=b0+b1x+ε
模型 求解
480 位 吸 烟孕妇数 据 x,y
prog0901b.m
系数 系数估计值 系数置信区间 b0 -51.2983 [-77.5110 -25.0856] b1 0.5949 [0.5008 0.6891] R2=0.2438, F=154 , p<0.0001, s2 =249
• b1置信区间不含零点, F=154 >>F(1,n-2)= 3.8610 模 (=0.05),应拒绝H0: b1=0的假设,模型有效。 型 检 • b1置信区间较长,决定系数R2较小(y的24.38% 验 由x决定),剩余方差s2较大,模型的精度不高.
解析数学模型(第五版)
解析数学模型(第五版)摘要就记录了少部分题解,主要是太懒了(下次补坑可能就到明年建模了吧哈哈)⽂章中⼀律以 BD 代替 Brief Description(题⽬简述),SAT 代替 Solve and Thinking(解法和思路)初等模型⼀、双层玻璃窗的功效在这⾥插⼊图⽚描述BD:单层玻璃窗和双层玻璃窗的热量传导进⾏对⽐,双层玻璃窗能减少多少热量损失?SAT:简单的,不考虑热对流和热辐射,在室内外温度恒定的假设下,⽤傅⾥叶热传导定律Q=k ΔTd,玻璃和空⽓厚度的⽐例h=ld,再对两者进⾏对⽐Q1Q2,最后列⼀张⽐例图在这⾥插⼊图⽚描述⼆、划艇⽐赛的成绩在这⾥插⼊图⽚描述BD:探究划艇⽐赛成绩和桨⼿数量的关系SAT:(物理⽼师见了要吐⾎的假设和模型),⾸先有两个假设:lb和w0n设为常数,因为它们的变化不⼤。
那么lb不变可以得出艇的形状是⼀样的,推出s∝A 23【艇浸没⾯积s和艇排⽔体积A成正⽐;w0n不变得出w0∝n【艇重w0和桨⼿数n成正⽐】,⼜由于w′=w0+nw【总质量等于艇重加桨⼿数的总质量】,推出w′∝n【艇重w0和桨⼿数量n成正⽐】SAT2:众所周知,空⽓阻⼒的公式F=12CρSV2【C为空⽓阻⼒系数,即常数;ρ是空⽓密度,⼀般情况也取常数;S为物体迎风⾯积;V为物体与空⽓的相对运动速度】,那么根据空⽓阻⼒的公式,可以类似的推导出艇的阻⼒公式f∝sv2【f是艇与⽔的摩擦阻⼒;s是艇浸没⾯积;v2是划艇速度的平⽅】SAT3:假设所有桨⼿的体重相同,划艇的速度是匀速的,那么根据功率公式P=FV,推导出np∝fv【np是所有桨⼿的总功率;f是艇与⽔的摩擦阻⼒;v是划艇速度】,⽽p∝w可以解释为:桨⼿的功率p与肌⾁体积、肺的提及成正⽐,对于⾝材均匀的运动员,肌⾁、肺的体积与体重w成正⽐STA4:⽐赛时间t与速度v成反⽐,把上述所有公式进⾏整合可得到t∝n−19,即划艇⽐赛成绩和桨⼿数量的关系模型三、实物交换BD:甲只有⼀定量的物品 X,⼄只有⼀定量的物品 Y,所以他们之间想进⾏交换,⽤作图的⽅法对双⽅交换实物建⽴⼀个模型STA:⽆差别曲线⽤于描述甲或⼄对物品X和Y的偏爱程度(但下图为甲的),甲有⽆数条⽆差别曲线(⼄也⼀样),越靠近右上⾓,代表甲的满意程度越⾼。
数学模型第五版姜启源
数学模型第五版姜启源简介数学模型是一门研究数学与实际问题应用的学科。
姜启源教授的《数学模型》系列教材是广大数学爱好者和学习者的宝贵资料。
本文将介绍数学模型第五版姜启源的内容和特点。
内容概述数学模型第五版姜启源这本书主要涵盖了以下方面的内容:1.数学模型的基本概念:介绍数学模型的定义、分类以及数学模型构建的基本步骤。
2.线性规划:介绍线性规划的基本概念、线性规划模型的建立和求解方法,以及线性规划在实际问题中的应用。
3.整数规划:介绍整数规划的基本概念、整数规划模型的建立和求解方法,以及整数规划在实际问题中的应用。
4.图论与网络优化:介绍图论的基本概念、常见图论模型的建立和求解方法,以及图论在实际问题中的应用。
5.随机模型:介绍随机模型的基本概念、常见随机模型的建立和求解方法,以及随机模型在实际问题中的应用。
6.动态规划:介绍动态规划的基本概念、动态规划模型的建立和求解方法,以及动态规划在实际问题中的应用。
特点分析数学模型第五版姜启源具有以下几个特点:综合性本书对数学模型的研究内容进行了系统的整理和,包括线性规划、整数规划、图论与网络优化、随机模型以及动态规划等多个方面。
这使得读者能够从不同角度了解数学模型的应用领域和解决方法。
理论与实践结合本书不仅介绍了数学模型的理论基础,还结合实际问题进行案例分析和求解过程。
通过实际案例的引入,读者能够更好地理解数学模型和解决实际问题的方法。
解题思路明确本书对每一类数学模型都给出了清晰的解题思路和求解方法,从数学模型的建立到求解过程,都有详细的讲解和示例演示。
这有助于读者掌握解题的方法和技巧,提高数学建模能力。
应用广泛性数学模型是一门跨学科的学科,本书所涉及的数学模型方法和应用领域非常广泛,适用于工科、理科以及经济管理等多个领域。
,无论是学生还是研究者,都能从本书中获得实用的知识。
数学模型第五版姜启源是一本内容丰富、方法全面的数学模型教材。
它系统地介绍了数学模型的基本概念、建立方法和求解技巧,以及在实际问题中的应用。
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n1=100, n2=50
n1v1=1(kg), n2v2=?
n2v2= n1 / n2 2 1.4 50个饺子能包1.4kg馅.
讨论
若100个饺子包1kg馅, 50个饺子能包1.4kg馅.
饺子数量减少一倍,真的就能多包40%的馅吗 ?
饺子越大,面皮
“皮的厚度一样”的
应该越厚.
假设值得探讨!
可以对“皮的厚度随着半径变大而增加”的数量 关系作出合理、简化的假设,重新建模.
• 数学建模竞赛为提高用建模方法分析、解决 实际问题的能力,搭建了广阔的平台.
全国大学生数学建模竞赛
• 1992年由中国工业与应用数学学会 (CSIAM) 组织举办首次竞赛. • 1994年起教育部高教司和CSIAM共同举办(每年9月 ). • 2017年全国1400多所院校、36000多队参赛.
发挥想像力
使用类比法
成
尽量采用简单的数学工具
模型 求解
数学建模的一般步骤 各种数学方法、软件和计算机技术.
模型 分析
如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析.
模型 检验
与实际现象、数据比较, 检验模型的合理性、适用性.
模型应用
数学建模的全过程
现 实 世 界
现实对象的信息 表述
验证
现实对象的解答 解释
2 a1 a2
最小二乘法 c1=0.4536,c2=-0.6084,s=65.5556 (m)
路障间距建模过程的基本、关键步骤 • 作出简化、合理的假设(等加速和等减速行驶). • 利用问题蕴含的内在规律(时间、距离、速度、
加速度之间的物理关系). • 根据测试数据估计模型的参数(加速度和减速度).
包饺子建模过程的基本、关键步骤 • 用数学语言(体积和表面积)表示现实对象(馅和皮). • 作出简化、合理的假设(厚度一样,形状一样). • 利用问题蕴含的内在规律(体积和表面积与半径间
的几何关系). 日常生活中有哪些可用这个模型解释的现象?
1.4 建模示例之二 路障间距的设计
背景 校园、居民小区道路需要限制车速——设置路障 问题 限制车速≤40km/h, 相距多远设置一个路障?
水箱中的舰艇、风洞中的飞机… ~ 物理模型
地图、电路图、分子结构图…
~ 符号模型
模型是为了一定目的,对客观事物的一部分 进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物.
模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征.
你碰到过的数学模型——“航行问题”
甲乙两地相距750km,船从甲到乙顺水航行需30h, 从乙到甲逆水航行需50h,问船的速度是多少?
时间(s)
0
10 20 30 40 1.6 3.0 4.2 5.0
减速行驶的测试数据
速度(km/h) 40
30
20 10
0
时间(s)
0
2.2 4.0 5.5 6.8
路障间距的设计
建模 加速行驶:距离s1,时间t1, 加速度a1
减速行驶:距离s2,时间t2, 减速度a2
限速 vmax
s1
1 2
a1t12 ,
模型建立
椅子位置 利用正方形(椅脚连线)的对称性.
用表示椅子位置.
B´ B A´
四只脚着地 椅脚与地面距离为零
距离是的函数.
C
四个距离
两个距离
(四只脚) 对称性
C´
A
O
x
D´
D
A,C 两脚与地面距离之和 ~ f() B,D 两脚与地面距离之和 ~ g()
正方形ABCD 绕O点旋转
模型建立
地面为连续曲面
7 6
减速行驶 1m/s=
5
4
3.6km/h
37
2
d1 , d2 ≈ 0
1
40
v
0
0
10
20
30
40
估算
c1
5 3.6 40
0.45 (s2/m)
c2
7
3.6 40
0.63 (s2/m)
a1=1/c1,a2=-1/c2
s
v2 max
(
1
1 )≈ 66.5
设计路障间距67m
vmax=11.1(m/s)
数学模型
数
学
求解 世
界
数学模型的解答
将实际问题“翻译”成数学问题. 两次“翻译”
将数学解答“翻译”回实际对象.
实践 理论 实践
1.7 数学模型的特点和分类
数学模型的特点
模型的逼真性和可行性 模型的非预制性
模型的渐进性
模型的条理性
模型的强健性
模型的技艺性
模型的可转移性
模型的局限性
数学模型的分类
应用领域 人口、交通、经济、生态、…
数学建模的一般步骤
模型准备
模型假设
模型检验
模型分析
模型构成 模型求解
模型应用
模 了解实际背景 明确建模目的 形成一个
型
比较清晰
准 搜集有关信息 掌握对象特征 的问题 备
数学建模的一般步骤
模
针对问题特点和建模目的
型
假
作出合理的、简化的假设
设 在合理与简化之间作出折中
模
用数学的语言、符号描述问题
型 构
• 分析与设计
• 预报与决策
• 控制与优化
• 规划与管理
如虎添翼
数学建模
计算机技术
知识经济
为教育改革注入强大活力
• 数学教育本质上是一种素质教育. • 数学教育应培养两种能力:算数学(计算、推导、
证明…)和用数学(分析、解决实际问题). 传统的数学教学体系和内容偏重前者,忽略后者. • 让学生参加将数学应用于实际的尝试, 参与发现 和创造的过程.
路障设计中还有可用数学建模研究的问题吗?
1.5 建模示例之三 椅子能在不平的地面上放稳吗
问题
不平的地面上的椅子, 通常三只脚着地—— 放不稳 ! 挪动几下,使四只脚着地——椅子放稳!
讨论椅子能放稳的条件.
椅子能在不平的地面上放稳吗
模型假设
四腿一样长,椅脚与地面点接触,四脚连线呈正方形. 地面高度连续变化,可视为数学上的连续曲面. 地面相对平坦,椅子在任意位置至少三只脚着地.
2. 建模的关键是什么? 变量表示椅子的位置. 函数 f(), g() 表示椅脚与地面的距离.
3. 建模过程中有无不严谨之处? 椅子的旋转轴在哪里,它在旋转过程中怎样变化?
做自己的模型
• 亲自动手,踏踏实实地做几个实际题目——
不妨从包饺子这样的简单问题开始.
• 提倡在实际生活中发现、提出问题,建立模型 .
f() , g()是连续函数
椅子在任意位置 至少三只脚着地
对任意, f(), g()
至少一个为0
椅子旋转900, 对 角线AC和BD互换
g(0)=0,f(0) > 0, f(/2)=0, g(/2)>0.
已知:f() , g()连续, 对任意, f() • g()=0 ,
且 g(0)= f(/2)= 0, f(0) > 0 , g(/2)>0.
结论:在模型假设条件下,将椅子绕中心旋转 ,一定能找到四只脚着地的稳定点.
1.6 数学建模的基本方法和步骤数学建模的基本方法源自对客观事物特性的认识机理分析
内部机理的数量规律
白箱
测试分析
对量测数据的统计分析 与数据拟合最好的模型
黑箱
二者结合 机理分析建立模型结构, 测试分析确定模型参数.
灰箱
机理分析主要通过案例研究学习.建模主要指机理分析.
• 计算机技术的出现和迅速发展,为数学建模的应用 提供了强有力的工具.
• 高新技术中数学建模与科学计算是必不可少的手段 ——数学科学是关键的、普遍的、可应用的技术.
• 数学迅速进入一些诸如经济、生态、人口、地质等 领域,为数学建模开拓了许多新的处女地. 数学建模引入教学顺应时代发展的潮流
数学建模的具体应用
第一章 建立数学模型
• 数学——各门科学的基础;社会进步的工具. • 用数学方法解决任何一个实际问题,都必须在 实际与数学之间架设一座桥梁. • 解决过程——实际问题转化为数学问题;数学 问题的求解;数学解答回归实际问题. • 这个全过程称为数学建模——为实际问题建立 数学模型.
第 1.1 从现实对象到数学模型 一 1.2 数学建模的重要意义
用 x 表示船速,y 表示水速,列出方程:
( x y) 30 750
x=20
( x y) 50 750 求解 y =5
答:船速为20km/h.
航行问题建立数学模型的基本步骤
• 作出简化假设(船速、水速为常数) • 用符号表示有关量(x, y分别表示船速和水速) • 用物理定律(匀速运动的距离等于速度乘以
时间)列出数学式子(二元一次方程) • 求解得到数学解答(x=20, y=5)
• 回答原问题(船速为20km/h)
数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模(Mathematical Modeling)
数学模型
对于一个现实对象,为了一个特定目的, 根据其内在规律,作出必要的简化假设, 运用适当的数学工具,得到的一个数学表述.
章 1.3 建模示例之一 包饺子中的数学
1.4 建模示例之二 路障间距的设计
建
立 数 学
模
1.5 建模示例之三 椅子能在不平的 地面上放稳吗
1.6 数学建模的基本方法和步骤 1.7 数学模型的特点和分类
型 1.8 怎样学习数学建模——学习课程
和参加竞赛
1.1 从现实对象到数学模型
我们常见的模型
玩具、照片、飞机、火箭模型… ~ 实物模型