2013年高考理科数学江苏卷word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(江苏卷)

数学Ⅰ试题

参考公式：

样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差2

2

11()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑.棱锥的体积公式：13

V Sh =，

其中S 是锥体的底面积，h 为高．棱柱的体积公式：V ＝Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 为高．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．． 1．(2013江苏，1)函数π3sin 24y x ⎛

⎫

=+

⎪⎝

⎭

的最小正周期为__________． 答案：π

解析：函数π3sin 24y x ⎛⎫=+

⎪⎝

⎭的最小正周期2ππ2

T ==. 2．(2013江苏，2)设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为__________．

答案：5

解析：|z |＝|(2－i)2|＝|4－4i ＋i 2|＝|3－4i|

5=＝5.

3．(2013江苏，3)双曲线

22

=1169x y -的两条渐近线的方程为__________． 答案：3

4

y x =±

解析：由题意可知所求双曲线的渐近线方程为3

4

y x =±.

4．(2013江苏，4)集合{－1,0,1}共有__________个子集．

答案：8

解析：由于集合{－1,0,1}有3个元素，故其子集个数为23＝8.

5．(2013江苏，5)下图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是__________．

答案：3

解析：第一次循环后：a ←8，n ←2； 第二次循环后：a ←26，n ←3； 由于26＞20，跳出循环， 输出n ＝3.

6．(2013江苏，6)

答案：2

解析：由题中数据可得=90x 甲，=90x 乙. 于是2

s 甲＝

15[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4，2

s 乙＝15

[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2，

由2

2>s s 乙甲，可知乙运动员成绩稳定．故应填2.

7．(2013江苏，7)现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到

奇数的概率为__________．

答案：

2063

解析：由题意知m 的可能取值为1,2,3，…，7；n 的可能取值为1,2,3，…，9.由于是任取m ，n ：若m ＝1时，n 可取1,2,3，…，9，共9种情况；同理m 取2,3，…，7时，n 也各有9种情况，故m ，n 的取值情况共有7×9＝63种．若m ，n 都取奇数，则m 的取值为1,3,5,7，n 的取值为1,3,5,7,9，因此满足条件的情形有4×5＝20种．故所求概率为

2063

. 8．(2013江苏，8)如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F －ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝__________.

答案：1∶24

解析：由题意可知点F 到面ABC 的距离与点A 1到面ABC 的距离之比为1∶2，S △ADE ∶S △ABC ＝1∶4.

因此V 1∶V 2＝1

32AED

ABC

AF S AF S ∆∆⋅⋅＝1∶24.

9．(2013江苏，9)抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界)．若点P (x ，y )是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是__________．

答案：12,2

⎡⎤-⎢⎥⎣

⎦

解析：由题意可知抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线方程为y ＝2x －1.该切线与两坐标轴围成的区域如图中阴影部分所示：

当直线x ＋2y ＝0平移到过点A 1,02⎛⎫

⎪⎝⎭

时，x ＋2y 取得最大值12.

当直线x ＋2y ＝0平移到过点B (0，－1)时，x ＋2y 取得最小值－2. 因此所求的x ＋2y 的取值范围为12,2

⎡⎤-⎢⎥⎣

⎦

.

10．(2013江苏，10)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，1=

2AD AB ，2

=3

BE BC .若12DE AB AC λλ=+

(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为__________．

答案：12

解析：由题意作图如图．

∵在△ABC 中，1223DE DB BE AB BC =+=+ 12()23

AB AC AB =+-

121263AB AC AB AC λλ=-+=+ ，∴λ1＝16-，λ2＝2

3

.

故λ1＋λ2＝1

2

.

11．(2013江苏，11)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )＞x 的解集用区间表示为__________．

答案：(－5,0)∪(5，＋∞)

解析：∵函数f (x )为奇函数，且x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝224,0,0,0,4,0,x x x x x x x ⎧->⎪

=⎨⎪--<⎩

∴原不等式等价于

2

0,4,x x x x >⎧⎨->⎩或20,

4,x x x x <⎧⎨-->⎩

由此可解得x ＞5或－5＜x ＜0. 故应填(－5,0)∪(5，＋∞)．

12．(2013江苏，12)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为22

22=1x y a b

+(a ＞0，b ＞0)，右焦点为

F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B .设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2.

若21d =，则

椭圆C 的离心率为__________．

答案：

3

解析：设椭圆C 的半焦距为c ，由题意可设直线BF 的方程为

=1x y

c b

+，即bx ＋cy －bc ＝0.

于是可知1bc

d a ==，22222a a c b d c c c c -=

-==.

∵21d =

，∴2b c a

=

，即2

ab =. ∴a 2(a 2－c 2)＝6c 4.∴6e 4＋e 2－1＝0.∴e 2＝1

3

.