利用直角三角形画圆的算法

利用直角三角形画圆的算法
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期:
另外一种画圆的算法：
算法的数学原理:
我们知道圆的内接三角形中,如果有一条边是直径,那么该边所对应的角度是直角。

而在解析几何中,对任意两条斜率存在的直线，如果它们相互垂直,那么它们的斜率相乘为-1，
而倘若是在园外（稍微在圆外一点)，则夹角变小，斜率相乘小于－1（待会儿给出证明)，倘若在园内一点，则夹角变大,斜率相乘大于-1,如图：
证明:
(由于只需要画出1/8圆即能画出整个圆，因此以下以第二个八分圆证明）
对于B 点
设cos ,sin x r y r θθ==(r 为圆的半径） 则sin sin ,cos cos BC BA r r k k r r r r
θθθθ==+-,
2222sin *
1(cos 1)
BC BA r k k r θθ==--。

对于B ’点
设cos ,sin x r dx y r θθ=+=
其中(0,cos )dx r r θ∈-
则''sin sin ,cos cos B C B A r r k k r dx r r dx r
θθθθ==+++- 22''22''sin *(cos )0*1
B C B A B C B A r k k r dx r dx k k θθ=+->∴<-
同理可得，对于B ”点
""*1B C B A k k >-
以上是对该数学方法的证明
下面我们讨论一下具体的描点,如图:
设我们已经画出了Ｐ点(P 在第二个八分圆的圆弧上），则我们设P （ｘ,ｙ），则下一个应该描的点应该是P １或P2，我们取P １和P ２的中点Pmid,我们只需要判断出Ｐmi ｄ与圆的关系即可判断应取P1还是P2了，如图:
按照前面的论证方法,我们分别算出了
121PmidA y k x r -
=+-,121PmidC y k x r -=++ 2
221()2*(1)PmidA PmidC
y k k x r -=+- 因为是否在圆上是以斜率相乘是否为-1为分界线的,所以我们令*1PmidA PmidC k k +,则 222221()(1)2*1(1)PmidA PmidC y x r k k x r
-++-+=+- 只需判断出*1PmidA PmidC k k +是否大于0即可
我们观察到，对于第二个八分圆,分母22(1)0x r +-<恒成立,则我们只需要判断分子是否大于0即可，当分子2221()(1)02y x r -++->时,则Pmid 在圆外，取P2 当分子222
1()(1)02y x r -++-<时，则P ｍid 在圆内，取P １
如果相等,则我们约定取P2
这样就可以画出圆来了,但是效率太低了,我们可以稍加改进，将其改变成增量的形式
因为我们已经取了Ｐ点,则我们可以分情况讨论在P 点之前一次的取点情况,共有两种情况，一是P ’点,二是P ”点，则对应这两种情况:
如果是P ’点，则计算的是P ’mid 点的斜率相乘的结果
如果是P ”点,则计算的是Ｐ”m ｉd 点的斜率相乘的结果
我们设a 为每一次的斜率相乘加1后的分子的值,则对应于Ｐ’m ｉd
222'1()2
P mid a y x r =++- 而对应于Ｐ”mid
222"1()2
P mid a y x r =-+- 而我们所需要求的Pm ｉd 点的
222222'11()(1)()(221)(221)22
Pmid P mid a y x r y x r x y a x y =-++-=++-+-+=+-+ 222222"11()(1)()(21)(21)22
Pmid P mid a y x r y x r x a x =-++-=-+-++=++ 由此，我们便将a 的值表示成了增量的形式，通过判断a 的正负来判断该点是在圆内还是圆外,具体的c 代码算法部分如下所示：
f ｌo ａt a,ｘ，y,r,esp ｉn ｏn ＝0.０0００1;
ﻩint t ａg; ﻩﻩ ﻩ/／tag 是用来判别前一个点是Ｐ’还是P ”的
ﻩx ＝0;ﻩﻩﻩﻩ /／tag==１,表示取的是P ’,tag==0，表示取得是P ”
ｒ=１00;
y=r ；
ﻩpDC->SetP ｉxel(0,y,R ＧB(x,y,((x+y)/2）));
ａ＝（y-0.5)*(y-０．5)+(ｘ+1)*（x+１)－r*r;
if(a>e ｓpinon ）
ﻩ{
pD Ｃ－>Se ｔPixel(ｘ+1,ｙ-１,R ＧＢ（ｘ,y ，(（ｘ＋y)/2)）)；
ﻩx ＋+,ｙ-－;
ﻩﻩta ｇ＝1;
ﻩ｝
ﻩels ｅ
ﻩ{
ﻩ pD Ｃ->S ｅtPixel(x+１,y,ＲGB(x ，y,((x+y)/2)))；
ﻩﻩx ＋+;
ﻩﻩt ａg=0;
}
ﻩwh ｉｌe （ｘ<=y)
｛
ﻩ sw ｉｔｃh(ｔa ｇ)
ﻩ {
ﻩﻩｃase 0:
ﻩﻩ a+＝2*x+1;
ﻩbreak;
ﻩ cas ｅ 1：
ﻩﻩ ａ+=2*x －２＊y+1；
ﻩ }
ﻩ if （a>esp ｉｎｏｎ)
ﻩ ｛
ﻩ pD Ｃ->ＳetPi ｘｅl （x+１,ｙ－1,RG Ｂ(x,y,(（ｘ＋ｙ)/2)));
x++,ｙ－-;
ﻩtａg=1;
ﻩﻩ｝
ﻩelse
ﻩﻩ｛
ﻩﻩpDC->SetPixel(ｘ+1,y,ＲGB(x,y,（(x+y)／2)));
ﻩx++;
ﻩﻩｔaｇ=0;
ﻩ}
｝
ﻩ下图为用该算法画出的圆（圆心坐标是(１0０，,１00）,半径是1０0）:
算法的分析到此为止。