映射的概念axcdcxcxzcz

(2)如图给出奇函数 y＝f(x)的局部图象，则 f(－2) 的值是________．
复合函数求定义域的几种题型：
题型(一):已知f ( x)的定义域, 求f [ g ( x)]的定义域
例1.若f ( x)的定义域是[0,2], 求f (2x 1)的定义域
解: 由题意知:
0 2x 1 2
1 3 x 2 2
故 : f ( 2 x 1)的定义域是 {x
1 3 x } 2 2
则
1 f 的值为 f2
( 27 B．－ 16 D．18
)
15 A. 16 8 C. 9
1 1 解析：f(2)＝4， ＝ ， f2 4 故
1 1 1 15 2 f ＝f4＝1－4 ＝ . 16 f2
－7，x∈－∞，－2， 7．作出 y＝2x－3，x∈－2，5， 7，x∈5，＋∞
的图象，并求 y 的值域．
－7，x∈－∞，－2]， 解：y＝2x－3，x∈－2，5]， 7，x∈5，＋∞. 值域为 y∈[－7,7]． 图象如下图．
|x|－x 8．已知函数 f(x)＝1＋ (－2<x≤2)． 2 (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域．
x－x 解：(1)当 0≤x≤2 时，f(x)＝1＋ 2 ＝1； 当－2<x<0 时， －x－x f(x)＝1＋ 2 ＝1－x，
1， ∴f(x)＝ 1－x，
0≤x≤2， －2<x<0.
(2)函数f(x)的图象如图所示．
(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．
1－x2，x≤1， 2． (2012· 温州模拟)设函数 f(x)＝ 2 x ＋x－2，x＞1，
练习: 若f ( x)的定义域是0,2, 求f ( x )的定义域
2
1.已知函数f ( x)的定义域是[2, 2]，求y f
x 的定义域
题型(二):已知f g x 的定义域, 求f ( x)的定义域
例2 :已知f 2x 1的定义域(1,5], 求f ( x)的定义域
例2. f ( x ) ax 2 (3a 1) x a 2 在[1, )上是增函数， 求a的取值范围.
1 例3.设函数f ( x ) ，求其单调区间. x2
2x 例4.设函数f ( x ) , 求f ( x )的单调区间 x 1
1 , x 0, 2 x 1 例5.设函数f ( x ) 0, x 0, 求f ( x )的单调区间. 1 x , x 0, x
答案： D
[精析考题] [例1]
－x，x≤0， (2011· 浙江高考)设函数f(x)＝ 2 x ，x＞0.
若f(a)＝4，则实数a＝ A．－4或－2 C．－2或4 B．－4或2
(
)
D．－2或2
[自主解答] 当a＞0时，有a2＝4，∴a＝2；
当a≤0时，有－a＝4，∴a＝－4，因此a＝－ 4或a＝2.
答案： A
Hale Waihona Puke Baidu
1，x>0， 【例 2】►(2012· 福建)设 f(x)＝0，x＝0， －1，x<0，
1，x为有理数， g(x)＝ 0，x为无理数，
则 f(g(π))的值为
( A．1
)． B．0 D．π
C．－1
[审题视点] 先求g(π)，再求f(g(π))．
解析 根据题设条件， ∵ π 是无理数，
3 2x，0≤x≤1 答案：f(x)＝ 3－3x，1≤x≤2 2
例4
1 已知 f(x)＝ － 1
x≥0 ，求不等式 x<0
x＋2<0 或 x－x－2≤5
x＋(x＋2)f(x＋2)≤5 的解集．
解
x＋2≥0 由题意知： x＋x＋2≤5
，
3 解之得－2≤x≤ 或 x<－2. 2
2
3．(1)设函数 f(x)＝(1－2a)x＋b 是 R 上的增函数， 则有( ) 1 1 A． a ＜ B． a ＞ 2 2 1 1 C．a＜－ D．a＞－ 2 2 (2)设函数 f(x)是 R 上的减函数， 若 f(m－1)＞f(2m－ 1)，则实数 m 的取值范围是 ________． 2 (3)将本例改为函数 f(x)＝－x ＋2(a－1)x＋2 的单调 增区间是 (－∞，3]，则实数 a 的值是________．
0< x <2 0<3x<2 ⇔ 1 x< 2 0<x<2 0<x<2 3 ⇔ x<1 2
8分
，10 分
1 ∴0<x< .12 分 2
◎已知 f(x)是定义在[－1,1]上的增函数， 且 f(x－2)＜f(1－x)，求 x 的取值范围．
【正解】 由题意可知 － 1≤x－ 2≤1 ，解得 1≤x≤2，① － 1≤1－ x≤1 又 f(x)在 [－ 1,1]上是增函数，且 f(x－ 2)＜ f(1 － x )， 3 ∴x－2＜ 1－x，即 x＜ ，② 2 由①、②可知，所求自变量 x 的取值范围为
解析： (1)∵ f(1)＝3，即 1＋ m＝3， ∴ m＝2. 2 (2)由 (1)知， f(x)＝ x＋ ，其定义域是{x|x≠0}，关于 x 原点对称， 2 2 又 f(－ x)＝－x＋ ＝－x＋ ＝－f(x)，所以此函数 x －x 是奇函数.
2．(1)如图给出了偶函数 y＝f(x)的局部 图象，则 f(1)________f(3)．(填“>”或 “<”)
解析： (1)由 f(x)＝ (1－2a)x＋b 是 R 上的增函数， 1 得 1－2a＞ 0，即 a＜ . 2 (2)由题意得 m－1＜2m－ 1 ∴ m＞0. 2 (3)f(x )＝－x ＋2(a－ 1)x＋2 2 2 ＝－[x－ (a－1)] ＋ (a－ 1) ＋2. ∴ f(x)的单调增区间是 (－∞， a－1]． 又∵f(x)的单调增区间是 (－∞，3] ∴a－1＝ 3，∴a＝4.
[答案] B
3．(2012· 衢州模拟)图中的图象所表示的函数的解析式
f(x)＝____________.
解析：由图象知每段为线段． 3 3 设f(x)＝ax＋b，把(0,0)，(1， 2 )和(1， 2 )，(2,0)分别代入求解 3 a＝ ， 2 b＝0， 3 a＝－ ， 2 b＝3.
∵ y＝ f(x)， x∈ (－1,1)是奇函数， ∴ f(－ x)＝－f(x)， ∴ f(1－x)＋ f(1－ 3x)<0 可化为 f(1－x)< － f(1－3x) 即 f(1－ x)<f(3x－ 1).4 分
又∵ y＝ f(x)在 (－1,1)上是减函数， － 1<1－ x<1 ∴ f(1－x)<f(3x－1)⇔－1<1－3x<1 1－ x>3x－ 1
1 例4. f ( x ) x 的图象如下， x (1)证明(1, )为f ( x )的增区间； 1 (2)求f ( x )在[ , 2]上的最值. 3
a (3)研究y x (a 0)的图象和性质. x
例1.设f ( x ) x 2 2 x 3( x [2， 2])，求其单调区间
例4. f ( x )是偶函数,当x 0时, f ( x ) （1）求f (-1)的值； （2）当x 0时 , 求f ( x )的解析式.
x 1,
例5. f ( x )是R上的奇函数,当x 0时, f ( x ) 求f ( x )的解析式.
x 1,
复合函数的定义:
如果 y 是 u 的函数，记为 y=f(u),u 又是x的函数，记为u=g(x),且g(x) 的值域与 f(u) 的定义域的交集不 空，则确定了一个y关于x的函 y=f[g(x)], 这时 y 叫 x 的复合函数， 其中u 叫中间变量，y=f(u) 叫外层 函数，u=g(x)叫内层函数. 即：x → u → y
∴g(π)＝0，∴f(g(π))＝f(0)＝0.
答案 B
3．设函数
f(x)＝
x，x≥0， －x，x＜0，
若 f(a)＋ ( )
f(－1)＝2，则 a＝ A．－3 C．－1 B．± 3 D．± 1
解析：若a≥0，则 a ＋1＝2，得a＝1；若a<0，则 －a ＋1＝2， 得a＝－1.
1．下列函数为奇函数的是( ) A．y＝－|x| B．y＝2－x 1 2 C．y＝ 3 D．y＝－x ＋8 x
解析： A、D两项，函数均为偶函数，B项中函 数为非奇非偶，而C项中函数为奇函数． 答案： C
2．已知函数f(x)＝x4，则其图象( ) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线y＝x 对称 解析： f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x) ∴f(x)是偶函数，其图象关于y轴对 称． 答案： B
2 3．已知函数f(x)＝ax ＋2x是奇函数，
则实数a＝________.
解析： 由奇函数定义有f(－x)＋f(x)＝ 0，得a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝ 0，故a＝0. 答案： 0
m 4．已知函数 f(x)＝x＋ ，且 f(1)＝3. x (1)求 m； (2)判断函数 f(x)的奇偶性．
[例 3]
x2， －1≤x≤1， (12 分)已知 f(x)＝ 1， x＞1或x＜－1.
(1)画出 f(x)的图象； (2)求 f(x)的定义域和值域．
[思路点拨]
画出图象，直接从图象上观察得出定义域和值域．
[精解详析]
(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．
(6分)
(2)由条件知，函数f(x)的定义域为R. 由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]， 当x>1或x<－1时，f(x)＝1， 所以f(x)的值域为[0,1]．
答案： (1)A (2)(0，＋∞) (3)4
函数奇偶性与单调性的综合应用
已知奇函数 y＝f(x)，x∈(－1,1)． 在(－1,1)上是减函数，解不等式 f(1－x)＋f(1－3x)<0.
[思路点拨] f－x＋f1－3x<0 ―→ 由fx是奇函数f1－x<f3x－1 ―→ 列出关于x的不等式 ―→ 结果
3 所以原不等式的解集为－∞，2.
函数单调性的简单应用
已知函数f(x)＝－x2＋2(a－1)x＋2在 区间(－∞，3]上是增函数，求实数a 的取值范围．
f(x)＝－ x ＋2(a－1)x＋2 2 2 ＝－[x－ (a－1)] ＋ (a－ 1) ＋2.2 分 ∴此二次函数的对称轴为 x＝a－1. ∴ f(x)的单调增区间为 (－∞， a－1]6 分 ∵ f(x)在 (－∞， 3]上是增函数， ∴对称轴 x＝a－ 1 必须在直线 x＝3 的右侧或重 合 .10 分 ∴a－1≥3， 解得 a≥4.12 分
解： 由题意知:
1 x 5
3 2 x 1 9
3, 9 f ( x)的定义域为
练习
1,3, 求f ( x)的定义域 1. 已知f (3x 1)的定义域
2.已知 函数 f 2x 1的定义域是[0,2], 求f (1 3x)的定义域
1, 5, 求f (2 5x)的定义域 3. 已知f (2x 1)的定义域
3 x1≤ x＜ . 2
利用函数奇偶性求解析式
若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时， f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式．
解析： 当 x<0 时，－x>0， 2 2 f(－ x)＝ (－ x) －2(－ x)＋3＝ x ＋2x＋ 3， 由于 f(x)是奇函数，故 f(x)＝－ f(－ x)， 2 所以 f(x)＝－x －2x－3. 2 即当 x<0 时， f(x)＝－x －2x－3. x2－ 2x＋3 x>0 故 f(x)＝0 x＝ 0 . 2 －x －2x－3 x<0