元胞自动机ppt课件

•J. Conway和 “生命游戏”
(4)一个元胞的生死由其在该时刻本身的生死 状态和周围八个邻居的状态 (确切讲是状态 的和)决定: ➢在当前时刻，如果一个元胞状态为 “生”，且八个相邻元胞中有两个或三 个的状态为“生”，则在下一时刻该元 胞继续保持为“生”，否则“死”去； ➢·在当前时刻。如果一个元胞状态为"死"。 且八个相邻元胞中正好有三个为"生"。则 该元胞在下一时刻 "复活"。否则保持为" 死“.
元胞自动机的构成
元胞自动机最基本的组成元胞、元胞空间、 邻居及规则四部分
1.元胞
元胞又可称为单元,或基元，是元胞自动机的 最基本的组成部分。
元胞分布在离散的一维、二维或多维欧几里 德空间的晶格点上。
2.状态
状态可以是{0,1}的二进制形式，或是 {s0,s1,… …si……sk} 整数形式的离散集，严格 意义上，元胞自动机的元胞只能有一个状态 变量。但在实际应用中，往往将其进行了扩 展。例如每个元胞可以拥有多个状态变量,李 才伟(1997)在其博士论文工作中，就设计实 现了这样一种称之为“多元随机元胞自动机” 模型,并且定义了元胞空间的邻居(Neighbor) 关系。由于邻居关系，每个元胞有有限个元 胞作为它的邻居。
2元胞自动机在材料科学中多面性
➢ 通过确定二维或三维空间格栅所对应的态变量， 元胞自 动机模拟可以应用于对微结构的非均匀性质的研究，包 括诸如第二相、微带、剪切带、过渡带、异相界面、晶 界和孪晶等. 这些局域性缺陷结构， 可以借助其态变量 的相应值或梯度值进行表述，用高位错密度和大的局域 晶格曲率表征剪切带的特性。对于一个给定杂质含量的 晶界迁略率m， 可以采用相邻晶粒之间的取向偏差Δg和 晶界法线的空间取向n来表征。
▪ 由于元胞自动机的应用并不局限于微观体系， 所 以它为在微结构模拟中实现不同空间及时间尺度的 方法之间的跨越，提供了一个非常方便的数值工具。
▪ 元胞自动机(Cellular Automata)，简称CA，也有 人译为细胞自动机、点格自动机、分子自动机或 单元自动机。
▪ 元胞自动机是一时间和空间都离散的动力系统。 散布在规则格网 (Lattice Grid)中的每一元胞(Cell) 取有限的离散状态，遵循同样的作用规则，依据 确定的局部规则作同步更新。大量元胞通过简单 的相互作用而构成动态系统的演化。
1 概述
▪ 元胞自动机通常被认为是离散计算方法的普遍化推 广，具有更加广泛的适用性和多功能的特点。
➢ 元胞自动机并不简单地等同于普通模拟方法，例如各种 有限差分法、有限元法、伊辛( Ising) 法、波茨( Potts) 方法等。
➢ 这种灵活适用性是基于这样个事实：除了采用简明的数 学表达式作为变量和变换规则之外，自动机还能够实际 地包括任何元素或规则。
Converting a CAR to a binary string
➢ Remember: 208 = 128 + 64 + 16
CAR 30(00011110) ten time-steps
•J. Conway和 “生命游戏”
生命游戏的构成及规则:
(1)元胞分布在规则划分的网格上； (2)元胞具有0，1两种状态，0代表“死”， l代表“生”； (3)元胞以相邻的8个元胞为邻居，即 Moore邻居形式；
1 概述
▪ 同时，从物理角度看，分子动力学表示的是真正的 微观模型，而在使用元胞自动机方法时，并不局限 任何特定体系，可适用于任何系统。
▪ 与蒙特卡罗方法相比，由元胞自动机方法得到的平 衡系综的热力学量， 在物理上更缺少依据和基础。 由于这个原因，在进行元胞自动机计算机实验之前， 一个重要工作就是，检验基本模拟单元是否切实体 现了"基础物理实体"的特性。
➢ 例如，对再结晶和晶位生长，元胞自动机以离散化方式 同时描述局域结晶结构及其形成过程。为了实现对这些 特性的描述，一般是将局域晶体取向g、储存的弹性能 （即某种近似可测量，诸如位错密度p或局域泰勒因子M) 以及温度T作为态变量，这些变量都是因变量，也就是 它们依赖于自变量，如空间坐标(x1，x2，x3)和时间t等， 就所研究的特定现象来说，上述确定的状态变量应包含 在所使用的各种局域结构演化定律中。这一思想表明， 根据局域的信息、数据且变换规律，可以对诸如复原、 成核及其生长等现象的机理给出相应合理的唯象解释。
▪ 应当说，格子气自动机是一种特殊的元胞自动机 模型，或者说是一个扩展的元胞自动机模型 (Extended Cellular Automata)。
▪ 早期格子气模型的特征如下:
(1)由于流体粒子不会轻易从模型空间中消失，这个 特征需要格子气自动机是一个可逆元胞自动机模型。
(2)格子气自动机的邻居模型通常采用Margulos类 型，即它的规则是基于一个2X2的网格空间的。
➢ 晶格一般是规则晶格， 其维数、大小可以是任意的。 它表述了系统由基础实体(elementary entities)形成的 构象，这些"基础实体"被认为与所用模型密切相关，它 们可以是任意大小的连续体型体积单元、原子颗粒、晶 格缺陷或生物界中的动物等等。
1 概述
➢ 构成系统的基本实体，可以由广义态变量(诸如无量纲数、 粒子密度、晶格缺陷密度、粒子速度、颜色、血压或动 物种类等)进行量化表述。在每个独立的格座，这些态变 量的实际取值都是确定的。并且认为，每一个结点代表 有限个可能的离散状态中的一个态。
格子气自动机
▪ 格子气自动机 (Lattice一Gas Automata,LGA又称 格气机)，是元胞自动机在流体力学与统计物理中 的具体化，也是元胞自动机在科学研究领域成功 应用的范例 (李才伟，1997)。相对于“生命游戏” 来说，格子气自动机是个更注重于模型的实用性。 它利用元胞自动机的动态特征，来模拟流体粒子 的运动。
3 常用元胞自动机
▪ S. Wolfram和初等元胞自动机
初等元胞自动机是状态集S只有两个元素{s1，s2}，即状态个 数k=2，邻居半径r=l的一维元胞自动机，邻居集N的个数 2r=2，局部映射f:S3→S可记为:
其中变量有三个，每个变量取两个状态值，那么就有 2×2×2=8种组合，只要给出在这八个自变量组合上的值， f就完全确定了。
▪ 将某些变换规则应用于每个结点状态，就会发生自 动机的演化。
➢ 这些规则决定着晶格格座的状态；对于局域规则，格座 状态是其前一状态及近邻格点（座）状态的函数，而在 整体变换规则下，则为所有格座状态的函数。传统元胞 自动机大多采用局域变换规则。
➢ 这种方法对于在规则晶格结构方面的应用是比较容易接 受的。特别对于非均匀介质，在讨论的晶格区域采用较 小的晶格间距比较妥当； 而且，还必须考虑对变换速率 进行合理修正和重正化。
1 概述
➢ 应该强调指出，这些元胞自动机方法对"基础实体"类型 和选用的变换规则没有任何限制。它们可以对不同的处 理状况进行描述，诸如：简单有限差分模拟中态变量值 的分布，混合算法的色问题，“教室里的儿童健康情况" 在任何变换条件下的模糊集合元素， 以及元胞的初级生 长与衰减过程等。
➢ 在计算材料学领域， 元胞自动机的变换规则般存在于有 限差分、有限元，以及关于时间和2个或3个空间坐标的 偏微分藕合方程组的蒙特卡罗近似之中。同时，局域变 换描述近邻格座之间的短程相互作用，而整体变换规则 能够处理长程相互作用。通常，根据各个态变量的取值 可以给出相应格座的状态。
▪ 构成: 元胞自动机最基本的组成:元胞、元胞空间、 邻居及规则四部分。简单讲，元胞自动机可以视 为由一个元胞空间和定义于该空间的变换函数所 组成。
2元胞自动机在材料科学中多面性
▪ 在对由再结晶、晶粒生长且相变现象等形成的微结 构进行模拟时， 元胞自动机方法表现出特有的多
面性。这种多面性归因于其在考虑大量可能的空间 在变量且变换规则时所展现的广泛适用性和灵活性。
3.元胞空间(Lattice) 元胞所分布在的空间网点集合就是这里的元胞空间。
(l)元胞空间的几何划分 理论上，它可以是任意维数的欧几里德空间规
则划分。目前研究多集中在一维和二维元胞自动机 上,对于一维元胞自动机,元胞空间的划分只有一种。 而高维的元胞自动机,元胞空间的划分则可能有多种 形式,对于最为常见的二维元胞自动机,二维元胞空 间通常可按三角、四方或六边形三种网格排列 。
1 概述
▪ 在材料科学中，有时对常规有限差分计算方法补充 一些“如果.. . 就..”规则是很有意义的。
➢ 在塑性学、断裂力学或晶体生长等领域遇到的情况。上 述附加规则的方法为处理“ 数学上的奇点(即非光滑函数 表述中的临界或自发效应)问题提供了一种简单有效的选 择。这些规则经常出现在微结构模拟中：
▪ 格子气自动机
(3)依照规则和邻居模型在计算完一次后，需 要将这个2X2的模板沿对角方向滑动，再计 算一次。那么，一个流体粒子的运动需要两 步t～t+l～t+2才能完成。
4元胞自动机的定义
元胞自动机是定义在一个由具有离散、有限 状态的元胞组成的元胞空间上，并按照一定 局部规则，在离散的时间维上演化的动力学 系统。
➢缺点: 不能较好地模拟各向同性的现象， 例如后面提到的格子气模型中的HPP模型。
二维网格划分
这三种规则的元胞空间划分在构模时各有优缺点:
▪ 三角网格: ➢优点: 拥有相对较少的邻居数目，这在某 些时候很有用; ➢缺点: 计算机表达与显示不方便，需转换 为四方网格。
这三种规则的元胞空间划分在构模时各有优缺点:
▪ 四方网格: ➢优点: 直观而简单，而且特别适合于在现 有计算机环境下进行表达显示;
1 概述
▪ 如果对主微分方程补充上述所说的“如果…就”的 变换规则，就可以对复杂系统的动力学行为特性进 行模拟。通常而言，所考查粒子之间的局域相互作 用是这一问题的根本基础。