【精选】浙江专版高考数学二轮专题复习知能专练十三空间几何体的三视图表面积及体积

知能专练（十三） 空间几何体的三视图、表面积及体积

一、选择题

1．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )

解析：选C 注意到在三视图中，俯视图的宽度应与侧视图的宽度相等，而在选项C 中，其宽

度为

3

2

，与题中所给的侧视图的宽度1不相等，因此选C.

2．一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的

最大球的半径为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解析：选B 该几何体为直三棱柱，底面是边长分别为6,8,10的直角三角形，侧棱长为12，故能得到的最大球的半径等于底面直角三角形内切圆的半径，其半径为r ＝2S

a ＋

b ＋

c ＝

2×1

2×6×86＋8＋10

＝2，故选B.

3．将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为

( )

A ．4π

B ．3π

C ．2π

D ．π

解析：选C 由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱，底面半径为1，高为1，其侧面积S

＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.

4．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体

积分别是( )

A ．45，8

B ．45，

8

3

C ．4(5＋1)，

8

3

D ．8,8

解析：选B 由题意可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为2，高为

2，侧面上的斜高为 22＋12＝5，所以S 侧＝4×⎝ ⎛⎭

⎪⎫12×2×5＝45，

V ＝1

3

×22×2＝83

.5.(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其

中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为

2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为

( )A ．10

B ．12

5.(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯

形，这些梯形的面积之和为( )

A ．10

B ．12

C ．14

D ．16

解析：选B 由三视图可知该多面体是一个组合体，如图所示，其下面是一个底面为等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一个底面为等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为2，直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，易知该多面体有2个面是梯形，这些梯形的面积之和为

＋

2×2＝

12，故选B.

6．如图，三棱锥V ­ABC 的底面为正三角形，侧面VAC 与底面垂直且VA ＝VC ，已知其正视图的

面积为2

3

，则其侧视图的面积为( )

A.

3

2

B.

33 C.34

D.

36

解析：选B 由题意知，该三棱锥的正视图为△VAC ，作VO ⊥AC 于O ，连接OB (图略)，设底面边长为2a ，高VO ＝h ，则△VAC 的面积为12×2a ×h ＝ah ＝2

3.又三棱锥的侧视图为Rt △VOB ，在正三

角形ABC 中，高OB ＝3a ，所以侧视图的面积为12OB ·VO ＝12×3a ×h ＝32ah ＝32×23＝3

3

.

7．《九章算术》的商功章中有一道题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺31

3寸，容纳米2 000斛(1

丈＝10尺，1尺＝10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3)，则圆柱底圆周长约为( )

A ．1丈3尺

B ．5丈4尺

C ．9丈2尺

D ．48丈6尺

解析：选B 设圆柱底面圆的半径为r ，若以尺为单位，则2 000×1.62＝

3r 2⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋3＋13，解得r ＝9(尺)，∴底面圆周长约为2×3×9＝54(尺)，换算单位后为5丈4尺，

故选B.

8．(2017·丽水模拟)已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是正三角形，则该几何体

的体积为( )

A.3

B ．23

C ．33

D ．43

解析：选 B 分析题意可知，该几何体是由如图所示的三棱柱

ABC ­A 1B 1C 1截去四棱锥A ­BEDC 得到的，故其体积V ＝

34×22

×3－13×1＋22

×2×3＝23，故选B.

9．(2017·贵阳质检)三棱锥P ­ABC 的四个顶点都在体积为500π

3

的球

的表面上，底面ABC 所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为( )

A ．4

B ．6

C ．8

D ．10 解析：选C 依题意，设题中球的球心为O ，半径为R ，△ABC 的外接圆半径为r ，则4πR3

3＝

500π3

，解得R ＝5，由πr 2

＝16π，解得r ＝4，又球心O 到平面ABC 的距离为R2－r2＝3，因此三棱锥P ­ABC 的高的最大值为5＋3＝8，故选C.

10．(2017·洛阳模拟)已知三棱锥P ­ABC 的四个顶点均在某球面上，PC 为该球的直径，△ABC 是边长为4的等边三角形，三棱锥P ­ABC 的体积为16

3

，则此三棱锥的外接球的表面积为( )

A.16π

3

B.40π3

C.

64π3

D.80π3

解析：选D 依题意，记三棱锥P ­ABC 的外接球的球心为O ，半径为R ，点P 到平面ABC 的距离为h ，则由V P ­ABC ＝13S △ABC h ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫

34×42×h ＝163得h ＝433.又PC 为球O 的直径，因此球心O 到

平面ABC 的距离等于12h ＝233.又正△ABC 的外接圆半径为r ＝AB 2sin 60°＝433

，因此R 2＝r 2

＋

⎝ ⎛⎭

⎪⎫2332＝203，所以三棱锥P ­ABC 的外接球的表面积为4πR 2＝80π3，故选D.

二、填空题

11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________，体积为________．

解析：由三视图得该几何体为如图所示的三棱锥，其中底面ABC 为直

角三角形，∠B ＝90°，AB ＝1，BC ＝2，PA ⊥底面ABC ，PA ＝2，所以AC ＝

PB ＝5，PC ＝3，PC 2＝PB 2＋BC 2，∴∠PBC ＝90°，则该三棱锥的表面积为

12×1×2＋12×1×2＋12×2×5＋12×2×5＝2＋25，体积为13×12

×1×2×2＝2

3

.

答案：2＋25

23

12．(2017·诸暨质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长的一条棱的长度为