圆锥曲线中求三角形面积的几种方法

圆锥曲线中求三角形面积的几种方法

（宜昌市田家炳高级中学 胡爱斌）

圆锥曲线中求三角形面积的问题很常见。此类题若方法选取不当将直接影响解题的速度与准确率，如下看求三角形面积的几种有效方法。

1、 正弦定理和余弦定理相结合求面积

例1：双曲线19

162

2=-y x 上有点P ，F 1、F 2是双曲线的焦点，且∠F 1PF 2=3

π，求△F 1PF 2的面积

解析：设1PF =m, 2PF =n ，由双曲线的定义可知

82==-a n m ，642

=-n m

即m 2+n 2-2mn=64 (1)

在△F 1PF 2中，21F F =10，由余弦定理得m 2+n 2-2mncos

3

π

=100 (2) (2)-(1)，整理得mn=36

∴2

1

PF

F S ∆=

21mn ·sin 3

π

=93 例2：已知F 1、F 2是椭圆

164

1002

2=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上一点，若∠F 1PF 2=

3

π

，求△F 1PF 2的面积 解析：设1PF =m ，2PF =n ，由椭圆的定义可知m+n=20，在△F 1PF 2中，由余弦定理得

m 2+n 2-2mncos

3

π

=21F F 2=144 即()mn n m 32

-+=144

又m+n=20，∴mn=

3

256

21PF F S ∆=

2

1

1PF ·2PF ·sin ∠F 1PF 2 =

21mn ·sin 3π=21⨯3256

⨯23 =

3

3

64 点评：求解焦点三角形的面积若是结合圆锥曲线的定义，用余弦定理得出三角形边与角的关系式，再用正弦定理算面积，设而不求，往往能事半功倍，极大地减少计算量。

当∠F 1PF 2=

2

π

时用上述解法亦可，不过用圆锥曲线定义与勾股定理，再算两直角边积的一半更简便。如下例：

例3：已知F 1和F 2为双曲线

14

22

=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2=

2

π

，求△F 1PF 2的面积 解析：2

21)(PF PF - =4a 2=16(双曲线

第一定义)，而由勾股定理得

20)2(22

2

21==+c PF PF ，

P F 1·P F 2

=

21[2212221)(PF PF PF PF --+] =2

1

⨯（20-16）=2 ∴21PF F S ∆=21⨯P F 1·P F 2=2

1⨯2=1

2、 用分割法求面积

例4：一三角形以抛物线y 2=4x 的焦点

弦为一边，另一个顶点在原点，若焦点弦所 在直线的斜率为1，求此三角形的面积。

解析：将△AOB 分成两个小三角形求解。 依题意，焦点弦

所在直线方程为

y=x-1。设A 、B 两点的坐标分别为

（x 1,y 1）(x 2,y 2)

⎩⎨⎧=-=x

y x y 41

2

，消x 得y 2-4y-4=0

AOB S ∆=AOF S ∆+BOF S ∆

=

21

OF ·21y y - =21

⨯1⨯212214)(y y y y -+

=2

1

⨯)4(416-⨯-=22 点评：此类题将一个三角形分割成两个

小三角形求解简便易行（小三角形一边的长易求，对应边上的高与三角形顶点纵（横）坐标有着密切的联系）。

例5：已知曲线C ：x 2-y 2=1及直线l ：y=

2

x

-1，若l 与C 交于A 、B 两点，

O 是坐标原点，求△AOB 的面积。 解析：设A 、

B 两点的坐标分

别为（x 1,y 1）(x 2,y 2)

由⎪⎩⎪⎨⎧-==-121

22x

y y x 消y 得3x 2+4x-8=0 AOB S ∆=AOM S ∆+BOM S ∆

=

21

OM 21x x - =2

1⨯1⨯212

214)(x x x x -+ =

21

⨯1⨯384)34(2-⨯--=73

2

点评：此题还可找出直线和x 轴交点N ，由AOB S ∆=AON S ∆-BON S ∆=

2

1

ON 21y y -求解，不过最好数形结合，否则写成

AOB S ∆=

2

1

OM 21y y -就会出错。 3、 直接用三角形面积公式

用此方法解上述例5。

解析：先用弦长公式求AB ，再用点到直线的距离公式求边所对应的高，最后用面积公式求解即可。具体解答如下：

⎪⎩

⎪

⎨

⎧-==-12122x y y x 消y 得3x 2+4x-8=0 AB =2121x x k -+

=2

)

2

1(1+212214)(x x x x -+

=

)38(4)34(252-⨯--⨯=353

2 设点O 到直线x-2y-2=0的距离为d 则d =

2

)

2(12-+-=

5

2

AOB S ∆=

21⨯3532

⨯5

2 =

73

2

点评：用此法比用分割法求三角形的面积计算量虽大些，但在解形如例5这样的圆锥曲线是双曲线的题时无需考虑直线与双曲线交于同一支还是不同的两支，也无需作图，思路简洁清晰，不易出错。

（发表于三峡科技杂志2007年2-3月合刊）