圆锥曲线中求三角形面积的几种方法
收藏：圆锥曲线综合五个类型
（一）求圆锥曲线方程求圆锥曲线方程分为五个类型，求解策略一般有以下几种： ①几何分析+方程思想； ②设而不求+韦达定理 ③定义+数形结合； ④参数法+方程思想 类型1——待定系数法待定系数法本质就是通过对几何特征进行分析，利用图形，结合圆锥曲线的定义与几何性质，分析图中已知量与未知量之间的关系，列出含有待定系数的方程，解出待定的系数即可。
例1.2014年全国Ⅱ卷（理科20）设 F 1 、 F 2 分别是椭圆 C :x 2a 2+y 2b 2=1 a >b >0 的左、右焦点，M 是 C 上一点且 MF 2 与 x 轴垂直，直线 MF 1 与 C 的另一个交点为 N ．Ⅰ 若直线 MN 的斜率为 34，求 C 的离心率；Ⅱ 若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且 ∣MN ∣=5∣F 1N ∣，求 a ，b ．【解法分析】第Ⅱ小题利用试题提供的几何位置关系和数量关系，结合椭圆的几何性质和方程思想，通过待定系数法进行求解。
着重考查椭圆的几何性质，将几何特征转化为坐标表示，突显数形结合的思想。
.21∴.2102-32.,4321∴4322222211的离心率为解得，联立整理得：且由题知，C e e e c b a c a b F F MF ==++==•=72,7.72,7.,,1:4:)23-(,:.23-,,.4,.42222211111122====+===+=+====•=b a b a c b a ace NF MF c e a NF ec a MF c c N M m MF m N F ab MF 所以，联立解得，且由焦半径公式可得两点横坐标分别为可得由两直角三角形相似，由题可知设，即知，由三角形中位线知识可类型2——相关点法求轨迹方程动点P(x ，y)依赖与另一个动点Q(x 0，y 0)变化而变化，并且动点Q(x 0，y 0)又在另一个已知曲线上，则可先用x ，y 表示x 0，y 0，再将x 0，y 0代入已知曲线，可得到所求动点的轨迹方程。
圆锥曲线中焦三角面积公式的应用
圆锥曲线中焦三角面积公式的应用在圆锥曲线中的椭圆和双曲线里，以曲线上的一点及两个焦点作为顶点的三角形我们称之为焦三角。
焦三角的面积只与b 和曲线上的这点与两个焦点的视角有关。
假设这个视角为θ，F 1、F 2分别是曲线的两个焦点，在椭圆中焦三角的面积S=b 2tan 2θ,在双曲线里焦三角的面积S=b 2cot 2θ。
下面我们给出证明：若P 是椭圆22221x y a b +=（a>b>0）上一点，F 1、F 2是两个焦点，设|PF 1|=r 1,|PF 2|=r 2,三角形PF 1F 2的面积为S ，则S=121sin 2r r θ……（1） 在三角形PF 1F 2中，由余弦定理（2c ）2=222121212122cos ()2cos r r r r r r r r θθ+-=+-, (2)又r 1+r 2=2a ,……(3)代入（2）得：4c 2=4a 2-θcos 221r r ∴r 1r 2=θcos 22b 代入（1）中可得S=b 2tan2θ，同理可得双曲线中焦三角的面积S= b 2cot 2θ。
在解决圆锥曲线问题中，适当使用焦三角面积公式使解题变得很简便，运算量少且准确，下面举例予以说明。
例1（2004年高考福州）已知P 是椭圆2214x y +=的一点，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，且∠F 1PF 2=600，则△PF 1F 2的面积是___________。
由椭圆的焦三角面积公式，这里θ=600，2θ=300得△PF 1F 2的面积是3。
例2.双曲线221916x y -=的两个焦点分别是F 1、F 2，点P 在双曲线上，且直线PF 1、PF 2倾斜角之差为3π，则△PF 1F 2的面积为（ ）A. C. 32 D. 42 解：由三角形外角性质可得∠F 1PF 2=3π，即θ=3π，再由双曲线的焦三角面积公式，S=b 2cot2θ=16cot 6π,故选A 。
例3.在椭圆2214520x y +=上求一点P ，使它与两焦点F 1、F 2的连线互相垂直。
圆锥曲线解题十招全归纳
《圆锥曲线解题十招全归纳》招式一：弦的垂直平分线问题 (2)招式二：动弦过定点的问题 (4)招式四：共线向量问题 (6)招式五：面积问题 (13)招式六：弦或弦长为定值、最值问题 (16)招式七：直线问题 (20)招式八：轨迹问题 (24)招式九：对称问题 (30)招式十、存在性问题 (33)招式一：弦的垂直平分线问题例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。
解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。
设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。
由2(1)y k x y x=+⎧⎨=⎩消y 整理，得2222(21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得2242(21)4410k k k ∆=--=-+> 即2104k <<② 由韦达定理，得：212221,k x x k -+=-121x x =。
则线段AB 的中点为22211(,)22k k k--。
线段的垂直平分线方程为：221112()22k y x k k k --=--令y=0,得021122x k =-，则211(,0)22E k -ABE ∆为正三角形，∴211(,0)22E k -到直线AB 的距离d 。
AB =21k =+2d k=21k +=k =053x =。
【涉及到弦的垂直平分线问题】这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程，往往是利用点差或者韦达定理．．．．．．．．产生弦AB 的中点坐标M ，结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L 的方程，然后解决相关问题，比如：求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围，求L 过某定点等等。
有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题，比如：弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形（即D 在AB 的垂直平分线上）、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等。
有关圆锥曲线的焦点三角形面积公式的证明及其应用
圆锥曲线的焦点三角形面积问题比较常见，这类题目常以选择题、填空题、解答题的形式出现.圆锥曲线主要包括抛物线、椭圆、双曲线，每一种曲线的焦点三角形面积公式也有所不同，其适用情形和应用方法均不相同.在本文中,笔者对圆锥曲线的焦点三角形面积公式及其应用技巧进行了归纳总结，希望对读者有所帮助.1.椭圆的焦点三角形面积公式：S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2若椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1（a >b >0），∠F 1PF 2=θ，则三角形ΔF 1PF 2的面积为：S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2.对该公式进行证明的过程如下：如图1，由椭圆的定义知||F 1F 2=2c ，||PF 1+||PF 2=2a ，图1可得||PF 12+2||PF 1||PF 2+||PF 22=4a 2，①由余弦定理可得||PF 12+||PF 22-2||PF 1||PF 2cos θ=4c 2，②①-②可得：2||PF 1||PF 2(1+cos θ)=4b 2，所以||PF 1||PF 2=2b 21+cos θ，则S ΔPF 1F2=12|PF 1||PF 2|sin θ=12×2b 21+cos θsin θ，=b 22sin θ2cos 2θ22cos 2θ2=b 2tan θ2.若已知椭圆的标准方程、短轴长、两焦点弦的夹角，则可运用椭圆的焦点三角形面积公式S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2来求椭圆的焦点三角形面积.例1.（2021年数学高考全国甲卷理科）已知F 1，F 2是椭圆C ：x 216+y 24=1的两个焦点，P ，Q 为椭圆C 上关于坐标原点对称的两点，且||PQ =||F 1F 2，则四边形PF 1QF 2的面积为________．解析：若采用常规方法解答本题，需根据椭圆的对称性、定义以及矩形的性质来建立关于||PF 1、||PF 2的方程，通过解方程求得四边形PF 1QF 2的面积.而仔细分析题意可发现四边形PF 1QF 2是一个矩形，且该矩形由两个焦点三角形构成，可利用椭圆的焦点三角形面积公式求解.解：S 四边形PF 1QF 2=2S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2=2×4×tan π2=8.利用椭圆的焦点三角形面积公式，能有效地简化解题的过程，有助于我们快速求得问题的答案.例2.已知F 1，F 2是椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的两个焦点，P 为曲线C 上一点，O 为平面直角坐标系的原点.若PF 1⊥PF 2，且ΔF 1PF 2的面积等于16，求b的值.解：由PF 1⊥PF 2可得∠F 1PF 2=π2，因为ΔF 1PF 2的面积等于16，所以S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2=b 2tan π2=16，解得b =4.有关圆锥曲线的焦点三角形面积公式的思路探寻48的面积，2.则ΔF 1PF 如|||PF 1-|得：|||PF 2cos θ即|由②所以则S Δ夹角、例3.双曲线C 是().A.72且)设双曲F 1，F 2，离△PF 1F 2=1.本题.运用该=p 22sin θ，且与抛S ΔAOB =图3下转76页）思路探寻49考点剖析abroad.解析：本句用了“S+Vt+动名词”结构，能用于此结构的及物动词或词组有mind ，enjoy ，finish ，advise ，consider ，practice ，admit ，imagine ，permit ，insist on ，get down to ，look forward to ，put off ，give up 等。
圆锥曲线解题技巧和方法综合方法
圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型:(1) 中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法(点差法)：设曲线上两 点为(X i ，yJ ， (x 2 ,y 2)，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系 及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论)，消去四个参 数。
2 2X 7 如：(1) r T =1(ab 0)与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为a b M(x o ,y o )，则有畤 2k = O 。
a b 2 2 (2) 笃-% fa 0,b 0)与直线I 相交于A 、B ，设弦AB 中点为 a b(3) y 2=2px (p>o )与直线I 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x °,y o ),则有 2y o k=2p,即 y o k=p.2典型例题 给定双曲线X 2 -亍=1。
过A (2，1)的直线与双曲线交于 两点P i 及P 2，求线段P i P 2的中点P 的轨迹方程。
(2) 焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ,与两个焦点F i 、F 2构成的三角形问题，常用 正、余弦定理搭桥。
2 2典型例题 设P(x,y)为椭圆 J 七二1上任一点，F i (-c ,o)， F 2(c,o )a b 为焦点，• PF/?二〉，PF 2F 1 二。
sin (口 + P )(1) 求证离心率e 二sina + sin P M(x o ,y o)则有 直 Yoa 2b 2(2)求IPF J PF2|3的最值。
(3)直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。
典型例题抛物线方程2=p(x 1)(p 0)，直线y = t与轴的交点在抛物线准线的右边。
(1)求证：直线与抛物线总有两个不同交点(2)设直线与抛物线的交点为A、B，且0A丄OB，求p关于t的函数f(t)的表达式。
选择合适的方法,求圆锥曲线中三角形的面积
备考指南圆锥曲线中的三角形面积问题具有较强的综合性.解答此类问题，需要灵活运用圆锥曲线的定义、方程、几何性质、三角形的面积公式、弦长公式等.求解圆锥曲线中三角形面积问题主要有三种方法：公式法、割补法、利用正余弦定理等.下面，结合例题来探讨一下这三种方法.一、公式法三角形的面积公式主要有两种：（1）S =12×底×高；（2）S =12ab sin C .对于简单的圆锥曲线中三角形的面积问题，可采用公式法求解，先求出三角形底边所在直线的方程，然后运用弦长公式求得三角形底边的长，用点到直线的距离公式求得三角形顶点到底边的距离，即可得到高线的长度，最后运用三角形的面积公式S =12×底×高求解.例1.过P (0,2)的直线l 与椭圆x 22+y 2=1相交于A ,B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为23，求直线l 的方程.解：设直线l 的方程为y =kx +2.由ìíîïïy =kx +2，x 22+y 2=1，得(1+2k 2)x 2+8A (x y 1)，B (x2,y 2)，则|AB |=1+k 2|x 1-x2|=，又因为d，所以S △12|AB |⋅d=23，解得k =或k =，所以直线l 的方程为y =x +2或y =+2.将AB 视为三角形的底边、O 视为三角形的顶点，然后运用弦长公式和点到直线的距离公式分别求得△AOB 的底边边长和高，就能运用公式法求得问题的答案.二、割补法割补法常常用于求解一些不规则图形的面积问题.有些圆锥曲线中的三角形面积不易求得，此时可以采用分割法，将三角形分割为几个便于计算面积的三角形、梯形、矩形、平行四边形，再将几个图形的面积相加减，即可求得三角形的面积.例2.已知过抛物线y 2=4x 焦点M 的直线L 与抛物线交于A ,B 两点，|AM |=3，O 为坐标原点，求△AOB的面积.解：由题意知点F (1,0)，抛物线的准线方程为x =-1.设A (x A ,y A )，B (x B ,y B )，而|AF |=3，则x A +1=3，解得x A =2，将其代入抛物线方程可得y A =22，所以L AB :y =22(x -1)，可得ìíîy =22(x -1)，y 2=4x ，消去y 得2x 2-5x +2=0，得B (12,-2)，所以S △AOB =S △AOM △BOM =12⋅|OM |⋅|y A |+12⋅|OM |⋅|y B |=12⋅|OM |⋅|y A +y B |=.在求三角形底边的边长时，除了要用到了弦长公式，还需运用韦达定理.三、利用正余弦定理运用正余弦定理能够快速建立三角形的三边、三角之间的关系.在求解圆锥曲线中的三角形面积问题时，可运用正余弦定理求得三角形某个角的正弦值以及两边的长，这样就可利用三角形的面积公式S =12ab sin C ，求得三角形的面积.例3.已知F 1,F 2是椭圆x 2100+y 264=1的两个焦点，P 是椭圆上的一点，若∠F 1PF 2=π3，求△F 1PF 2的面积.解：设|PF 1|=m ,|PF 2|=n ，由椭圆的定义可知m +n =20，在△F 1PF 2中，由余弦定理得m 2+n 2-2mn cos π3=|F 1F 2|=144，即(m +n )2-3mn =144，又m +n =2a =20，所以mn =2563，S △F 1PF 2=12|PF 1|⋅|PF 2|⋅sin ∠F 1PF 2=12mn ⋅sin π3.求解焦点三角形的面积问题，可结合圆锥曲线的定义以及正余弦定理建立三角形的边与角的关系式，再用公式S =12ab sin C 求得面积.采用这种设而不求的方法解题，往往能极大地减少计算量.相比较而言，公式法应用的范围较广一些，另外两种方法均有一定的局限性.同学们在解题时要根据题目的特点选用合适的方法求解，这样就能尽可能地简化运算，减少计算量，提升解题的效率.（作者单位：安徽省阜阳市临泉第二中学）刘喜兰51。
圆锥曲线中的三角形问题(含解析)
专题12 圆锥曲线中的三角形问题一、题型选讲题型一 、由面积求参数或点坐标等问题例1、（2020·浙江学军中学高三3月月考）抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，直线l 过点F 且与抛物线交于点M ，N （点N 在轴上方），点E 为轴上F 右侧的一点，若||||3||NF EF MF ==，MNE S =△则p =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．9例2、（2020·浙江高三）如图，过椭圆22221x y C a b+=：的左、右焦点F 1，F 2分别作斜率为C 上半部分于A ，B 两点，记△AOF 1，△BOF 2的面积分别为S 1，S 2，若S 1：S 2＝7：5，则椭圆C 离心率为_____．例3、【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求12AF F △的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为S 1，S 2，若213S S =，求点M 的坐标．题型二、与面积有关的最值问题例4、（2020·浙江温州中学高三3月月考）过点()2,1P 斜率为正的直线交椭圆221245x y +=于A ，B 两点.C ，D 是椭圆上相异的两点，满足CP ，DP 分别平分ACB ∠，ADB ∠.则PCD ∆外接圆半径的最小值为（ ）A ．5B ．5C ．2413D ．1913例5、【2020年新高考全国△卷】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12， （1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.例6、【2019年高考全国△卷理数】已知点A (−2，0)，B (2，0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.例7、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）已知1F ，2F 是椭圆2222:1x y C a b+=的左右焦点，且椭圆C，直线:l y kx m =+与椭圆交于A ，B 两点，当直线l 过1F 时2F AB 周长为8. （△）求椭圆C 的标准方程；（△）若0OA OB ⋅=，是否存在定圆222x y r +=，使得动直线l 与之相切，若存在写出圆的方程，并求出OAB 的面积的取值范围；若不存在，请说明理由.例8、（2020届浙江省十校联盟高三下学期开学）如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点B 在准线l 上的投影为E ，若C 是抛物线上一点，且AC EF ⊥.（1）证明：直线BE 经过AC 的中点M ；（2）求ABC ∆面积的最小值及此时直线AC 的方程.二、达标训练1、（2020届浙江省杭州市高三3月模拟）设12,F F 是椭圆222:1(02)4x y C m m+=<<的两个焦点，00(,)P x y是C 上一点，且满足12PF F ∆则0||x 的取值范围是____.2、【2018年高考全国I 理数】已知双曲线22:13x C y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN △为直角三角形，则||MN = A ．32B ．3C ．D ．43、（2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知抛物线E ：24y x =和直线l ：40x y -+=，P 是直线上l 一点，过点P 做抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，C 是抛物线上异于A ，B 的任一点，抛物线在C 处的切线与PA ，PB 分别交于M ，N ，则PMN ∆外接圆面积的最小值为______.4、（2020届浙江省嘉兴市5月模拟）设点(,)P s t 为抛物线2:2(0)C y px p =>上的动点，F 是抛物线的焦点，当1s =时，54PF =．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点P 作圆M ：22(2)1x y -+=的切线1l ，2l ，分别交抛物线C 于点,A B ．当1t >时，求PAB △面积的最小值．5、（2020届浙江省绍兴市4月模拟）如图，已知点(0,0)O ，(2,0)E ，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F为线段OE 中点.（1）求抛物线C 的方程；（2）过点E 的直线交抛物线C 于, A B 两点，4AB AM =，过点A 作抛物线C 的切线l ，N 为切线l 上的点，且MN y ⊥轴，求ABN 面积的最小值.6、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）如图，已知抛物线214y x =的焦点为F .()1若点P为抛物线上异于原点的任一点，过点P作抛物线的切线交y轴于点Q，证明：2∠=∠.PFy PQF ()2A，B是抛物线上两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点()D(AB不与x轴平行)，且0,4+=.过y轴上一点E作直线//6AF BFm x轴，且m被以AD为直径的圆截得的弦长为定值，求ABE△面积的最大值.一、题型选讲题型一、由面积求参数或点坐标等问题例1、（2020·浙江学军中学高三3月月考）抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，直线l 过点F 且与抛物线交于点M ，N （点N 在轴上方），点E 为轴上F 右侧的一点，若||||3||NF EF MF ==，MNE S =△则p =（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．9【答案】C 【解析】设准线与x 轴的交点为T ，直线l 与准线交于R ，||||3||3NF EF MF a ===，则||||3NF EF a ==，||MF a =，过M ，N 分别作准线的垂线，垂足分别为,P Q ，如图，由抛物线定义知，||MP a =，||3NQ a =，因为MP ∥NQ ，所以||||||||PM RM QN RN =， 即||3||4a RM a RM a=+，解得||2RM a =，同理||||||||FT RF QN RN =，即||336FT aa a=，解得 3||2FT a =，又||FT p =，所以32a p =，23a p =，过M 作NQ 的垂线，垂足为G ，则||MG ===，所以1||||2MNES EF MG =⋅=△ 132a ⨯⨯=2a =，故332p a ==. 故选：C.例2、（2020·浙江高三）如图，过椭圆22221x y C a b+=：的左、右焦点F 1，F 2分别作斜率为C 上半部分于A ，B 两点，记△AOF 1，△BOF 2的面积分别为S 1，S 2，若S 1：S 2＝7：5，则椭圆C 离心率为_____．【答案】12【解析】作点B 关于原点的对称点B 1，可得S 21'BOF B OF S =，则有11275A B y S S y ==，所以175A B y y =-． 将直线AB 1方程4x c =-，代入椭圆方程后，222241x y c x y a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 整理可得：（b 2+8a 2）y 2﹣b 2cy +8b 4＝0，由韦达定理解得12228A B cy y b a+=+，142288A B b y y b a -=+， 三式联立，可解得离心率12c e a ==． 故答案为：12． 例3、【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求12AF F △的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为S 1，S 2，若213S S =，求点M 的坐标．【解析】（1）椭圆22:143x y E +=的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ， 则2224,3,1a b c ===.所以12AF F △的周长为226a c +=.（2）椭圆E 的右准线为4x =. 设(,0),(4,)P x Q y ，则(,0),(4,)OP x QP x y ==--， 2(4)(2)44,OP QP x x x ⋅=-=--≥-在2x =时取等号.所以OP QP ⋅的最小值为4-.（3）因为椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为12,F F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥，则123(1,0),(1,0),(1,)2F F A -.所以直线:3430.AB x y -+=设(,)M x y ，因为213S S =，所以点M 到直线AB 距离等于点O 到直线AB 距离的3倍. 由此得|343||30403|355x y -+⨯-⨯+=⨯，则34120x y -+=或3460x y --=.由2234120,143x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得2724320x x ++=，此方程无解；由223460,143x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩得271240x x --=，所以2x =或27x =-.代入直线:3460l x y --=，对应分别得0y =或127y =-. 因此点M 的坐标为(2,0)或212(,)77--.题型二、与面积有关的最值问题例4、（2020·浙江温州中学高三3月月考）过点()2,1P 斜率为正的直线交椭圆221245x y +=于A ，B 两点.C ，D 是椭圆上相异的两点，满足CP ，DP 分别平分ACB ∠，ADB ∠.则PCD ∆外接圆半径的最小值为（ ） A．5B．5C ．2413D ．1913【答案】D 【解析】如图，先固定直线AB ，设()BM f M AM =，则()()()f C f D f P ==，其中()BPf P AP=为定值， 故点P ，C ，D 在一个阿波罗尼斯圆上，且PCD 外接圆就是这个阿波罗尼斯圆，设其半径为r ，阿波罗尼斯圆会把点A ，B 其一包含进去，这取决于BP 与AP 谁更大，不妨先考虑BP AP >的阿波罗尼斯圆的情况，BA 的延长线与圆交于点Q ，PQ 即为该圆的直径，如图：接下来寻求半径的表达式， 由()2,2AP BP r BP BQ r AP AQ AP AP AQ BP ⋅+==+=+，解得111r AP BP=-， 同理，当BP AP <时有，111r BP AP=-， 综上，111r AP BP=-； 当直线AB无斜率时，与椭圆交点纵坐标为1,1AP BP ==，则1912r =； 当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为()12y k x -=-，即21y kx k =-+， 与椭圆方程联立可得()()()22224548129610k x k k x k k ++-+--=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则由根与系数的关系有，()()12221224821245961245k k x x k k k x x k ⎧-+=⎪+⎪⎨--⎪=⎪+⎩，211112r AP BP x ∴=-=-，注意到12x -与22x -异号，故1119r ===，设125t k =+，则11121226131919192419r ==≤⋅=，，当15169t =，即1695t =，此时125k =，故1913r ≥，又19191213>，综上外接圆半径的最小值为1913. 故选：D ．例5、【2020年新高考全国△卷】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12， （1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值. 【解析】(1)由题意可知直线AM 的方程为：13(2)2y x -=-，即24-=-x y . 当y =0时，解得4x =-，所以a =4，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点M (2，3)，可得249116b +=， 解得b 2=12.所以C 的方程：2211612x y +=.(2)设与直线AM 平行的直线方程为：2x y m -=，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值.联立直线方程2x y m -=与椭圆方程2211612x y +=，可得：()2232448m y y ++=，化简可得：2216123480y my m ++-=，所以()221444163480m m ∆=-⨯-=，即m 2=64，解得m =±8， 与AM 距离比较远的直线方程：28x y -=， 直线AM 方程为：24-=-x y ，点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：d ==，由两点之间距离公式可得||AM ==.所以△AMN的面积的最大值：1182⨯=. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．例6、【2019年高考全国△卷理数】已知点A (−2，0)，B (2，0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.【答案】（1）见解析；（2）（i ）见解析；（ii ）169. 【解析】（1）由题设得1222y y x x ⋅=-+-，化简得221(||2)42x y x +=≠，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）（i ）设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为(0)y kx k =>．由22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得x =．记u =，则(,),(,),(,0)P u uk Q u uk E u --．于是直线QG 的斜率为2k ，方程为()2ky x u =-． 由22(),2142k y x u x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得 22222(2)280k x uk x k u +-+-=．①设(,)G G G x y ，则u -和G x 是方程①的解，故22(32)2G u k x k +=+，由此得322G uky k=+． 从而直线PG 的斜率为322212(32)2uk uk k u k kuk -+=-+-+．所以PQ PG ⊥，即PQG △是直角三角形．（ii ）由（i）得||2PQ =||PG =△PQG 的面积222218()18(1)||12(12)(2)12()k k k k S PQ PG k k k k++===++++‖． 设t =k +1k ，则由k >0得t ≥2，当且仅当k =1时取等号．因为2812t S t =+在[2，+∞）单调递减，所以当t =2，即k =1时，S 取得最大值，最大值为169． 因此，△PQG 面积的最大值为169．例7、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）已知1F ，2F 是椭圆2222:1x y C a b+=的左右焦点，且椭圆C，直线:l y kx m =+与椭圆交于A ，B 两点，当直线l 过1F 时2F AB 周长为8. （△）求椭圆C 的标准方程；（△）若0OA OB ⋅=，是否存在定圆222x y r +=，使得动直线l 与之相切，若存在写出圆的方程，并求出OAB 的面积的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（△）223144x y +=；（△）221x y +=，⎡⎢⎣⎦.【解析】（△）由题意可得，22||48F A F B AB a ++==， 故2a =，又有3c e a ==，∴c = 椭圆的标准方程为223144x y +=；（△）法1：设||OA m =，||OB n =，∵0OA OB ⋅=，∴OA OB ⊥， 设点(cos ,sin )A m m θθ，点(sin ,cos )B n n θθ-，22222222cos 3sin 144cos 3sin 144m m n n θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相加得22131144m n +=+， 2222m n m n +=⋅，222AB OA OB =⋅，∴1r =，442222222111||1111n n AB m n n n n n -+=+===++---，24,43n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴AB ⎡∈⎢⎣⎦，OABS ⎡∈⎢⎣⎦△． 法2：()2222234136340x y k x kmx m y kx m⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩， ()()22222236434131248160k m m k m k ∆=--+=-++>，1212OA OB x x y y ⋅=+()()2212121k x x km x x m =++++222444013m k k--==+， ∴221m k =+，∴1r ===，122||13AB xk=-==+当0k=时，||2AB=，当0k≠时，||AB=≤213k=时取到等号，此时243m=符合>0∆∴1,3OABS⎡∈⎢⎣⎦△．例8、（2020届浙江省十校联盟高三下学期开学）如图，已知抛物线24y x=的焦点为F，准线为l，过点F 的直线交抛物线于A，B两点，点B在准线l上的投影为E，若C是抛物线上一点，且AC EF⊥.（1）证明：直线BE经过AC的中点M；（2）求ABC∆面积的最小值及此时直线AC的方程.【答案】（1）详见解析；（2）面积最小值为16，此时直线方程为30x y±-=.【解析】（1）由题意得抛物线24y x=的焦点()1,0F，准线方程为1x=-，设()2,2B t t，直线AB：1x my=+，则()1,2E t-，联立1x my=+和24y x=，可得244y my=+，显然40A By y+=，可得212,At t⎛⎫-⎪⎝⎭，因为EFk t=-，AB EF⊥，所以1AC k t=， 故直线AC ：2211y x t t t ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 由224120y xx ty t ⎧=⎪⎨---=⎪⎩， 得224480y ty t---=. ∴4A C y y t +=，248A C y y t =--， 所以AC 的中点M 的纵坐标2M y t =，即M B y y =， 所以直线BE 经过AC 的中点M .（2）所以A C y A C =-== 设点B 到直线AC 的距离为d ，则2212t d ++==.所以1162ABCS AC d ∆=⋅=≥=，当且仅当41t =，即1t =±，1t =时，直线AD 的方程为：30x y --=，1t =-时，直线AD 的方程为：30x y +-=.另解：2221112222ABC A C S BM y y t t t ∆=⋅-=++-3222122t t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.二、达标训练1、（2020届浙江省杭州市高三3月模拟）设12,F F 是椭圆222:1(02)4x y C m m+=<<的两个焦点，00(,)P x y是C 上一点，且满足12PF F ∆则0||x 的取值范围是____. 【答案】[]0,1【解析】依题意，122F F =，所以120122PF F S y ∆=⨯=0y =，而2200214x y m +=，所以2200224124144y x m m m ⎛⎫=-=- ⎪-⎝⎭.由于02m <<，204m <<，根据二次函数的性质可知：()(]22424240,4m m m -=--+∈，所以241234m m -≤--，所以22412414x m m =-≤-，解得[]00,1x ∈.故答案为：[]0,12、【2018年高考全国I 理数】已知双曲线22:13x C y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN △为直角三角形，则||MN = A ．32B ．3C ．D ．4【答案】B【解析】由题可知双曲线C 的渐近线的斜率为，且右焦点为(2,0)F ，从而可得30FON ∠=︒，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒，可以得出直线MN 的方程为2)y x =-，分别与两条渐近线3y x =和3y x =-联立，求得M，3(,22N -，所以||3MN ==，故选B ． 3、（2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知抛物线E ：24y x =和直线l ：40x y -+=，P 是直线上l 一点，过点P 做抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，C 是抛物线上异于A ，B 的任一点，抛物线在C 处的切线与PA ，PB 分别交于M ，N ，则PMN ∆外接圆面积的最小值为______. 【答案】258π【解析】设三个切点分别为222(,),(,),(,)444a b c A a B b C c ，若在点A 处的切线斜率存在，设方程为2()4a y a k x -=-与24y x =联立，得，222440,164(4)0ky y a k a k a k a --+=∆=--+=， 即222440,a k ak k a-+=∴=， 所以切线PA 方程为2202a x ay -+= ①若在点A 的切线斜率不存在，则(0,0)A ， 切线方程为0x =满足①方程，同理切线,PB MN 的方程分别为2202b x by -+=，2202c x cy -+=，联立,PA PB 方程，22202202a x ay b x by ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得42ab x a b y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即,42ab a b P +⎛⎫ ⎪⎝⎭同理,,,4242ac a c bc b c M N ++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(),42a c b c b PM --⎛⎫= ⎪⎝⎭， ()(),,,4242b c a c a c b a b a PN MN ----⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设PMN ∆外接圆半径为R ，|||||||||PM b c PN a c MN a b =-=-=-，11||||sin ||||22PMN S PM PN MPN PM PN ∆=∠=21||||()2||||PM PN PM PN ===||||||1||||||1622a b b c a c MN PM PN R---==，||||||4PM PN MN R S ⋅⋅==08c =≥时取等号，点P在直线40,4,8422ab a b ab x y a b +-+=∴+=∴+=+，8R =∴≥8==4≥=， 当且仅当1,6,0a b c =-==或6,1,0a b c ==-=时等号成立， 此时PMN ∆外接圆面积最小为258π. 故答案为:258π.4、（2020届浙江省嘉兴市5月模拟）设点(,)P s t 为抛物线2:2(0)C y px p =>上的动点，F 是抛物线的焦点，当1s =时，54PF =．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点P 作圆M ：22(2)1x y -+=的切线1l ，2l ，分别交抛物线C 于点,A B ．当1t >时，求PAB △面积的最小值．【答案】（1）2y x =（2）最小值 【解析】（1）当1s =时，5||24p PF s =+=， 所以12p =，故所求抛物线方程为2y x =. （2）点(),P s t 为抛物线2y x =上的动点，则2s t =，设过点2(,)P t t 的切线为2()x m y t t =-+， 21=， 得22222(1)2(2)(2)10(*)t m t t m t -+-+--=， 12,m m 是方程（*）式的两个根， 所以21222(2)1t t m m t -+=-，2123m m t =-， 设()()221122,,,A y y B y y ，因直线2:()l x m y t t =-+，与抛物线2:C y x =交于点A ，则212()x m y t t y x⎧=-+⎨=⎩得22110y m y m t t -+-=， 所以211ty m t t =-，即11y m t =-，同理22y m t =-，设直线()1212:AB x y y y y y =+-，则12||||AB y y =-，d =，又12122221t y y m m t t -+=+-=-， 2121223()()1t y y m t m t t -=--=-， 所以212121211|||||()|22PAB S AB d y y t t y y y y ==--++22222311t t t t t --=-⨯+--=令210u t=->，4(PAB S u u =++当且仅当2u =，即t =时，PAB S 取得最小值5、（2020届浙江省绍兴市4月模拟）如图，已知点(0,0)O ，(2,0)E ，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F为线段OE 中点.（1）求抛物线C 的方程；（2）过点E 的直线交抛物线C 于, A B 两点，4AB AM =，过点A 作抛物线C 的切线l ，N 为切线l 上的点，且MN y ⊥轴，求ABN 面积的最小值.【答案】（1）24y x =；（2）【解析】（1）由已知得焦点F 的坐标为(1, 0)， 2p ∴=，∴抛物线C 的方程为：24y x =；（2）设直线AB 的方程为：2x my =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，联立方程224x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得：2480y my --=， 216320m ∴∆=+>，124y y m +=，128y y =-，设直线l 方程为：()11y y k x x -=-，联立方程()1124y y k x x y x ⎧-=-⎨=⎩，消去x 得：2114440y y y x k k-+-=， 由相切得：112164440k k y x ⎛⎫∆=--= ⎪⎝⎭，112110y x k k ∴-+=， 又2114y x =，21121104y y k k ∴-+=， 21102y k ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，12k y ∴=， ∴直线l 的方程为：11220x y y x -+=，由4AB AM →→=，得12034x x x +=，12034y y y +=， 将12034y y y +=代入直线l 方程，解得221121888N yy y y x +-==， 所以01212ABN N S x x y y =-⨯-△212112138248x x yy y +-=-⨯-2212121632y y y y ++=⨯-31232y y -=311832y y +=，又118y y +≥ 所以42ABN S △，当且仅当1y =±时，取到等号，所以ABN面积的最小值为6、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）如图，已知抛物线214y x =的焦点为F .()1若点P 为抛物线上异于原点的任一点，过点P 作抛物线的切线交y 轴于点Q ，证明：2PFy PQF ∠=∠. ()2A ，B 是抛物线上两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点()0,4D (AB 不与x 轴平行)，且6AF BF +=.过y 轴上一点E 作直线//m x 轴，且m 被以AD 为直径的圆截得的弦长为定值，求ABE △面积的最大值.【答案】()1证明见解析； ()2 【解析】()1由抛物线的方程可得()0,1F ，准线方程：1y =-，设200,4x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由抛物线的方程可得2x y '=，所以在P 处的切线的斜率为：02x k =， 所以在P 处的切线方程为：()200042x x y x x -=-， 令0x =，可得204x y =-， 即2040,Q x ⎛-⎫ ⎪⎝⎭， 所以2014x FQ =+，而P 到准线的距离2014x d =+，由抛物线的性质可得PF d = 所以PF FQ =，PQF QPF ∠=∠，可证得：2PFy PQF ∠=∠.()2设直线AB 的方程为：y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，直线与抛物线联立24y kx mx y =+⎧⎨=⎩，整理可得：2440x kx m --=，216160k m ∆=+>，即20k m +>，124x x k +=，124x x m =-，()21212242y y k x x m k m +=++=+，所以AB 的中点坐标为：()22,2k k m +，所以线段AB 的中垂线方程为：()212(2)y k m x k k -+=--，由题意中垂线过()0,4D ，所以2224k m ++=，即222k m +=，① 由抛物线的性质可得：1226AF BF y y +=++=，所以24226k m ++=，即222k m +=，②设()0,E b ，()222114AD x y =+-，AD 的中点的纵坐标为142y +，所以以AD 为直径的圆与直线m 的相交弦长的平方为：2214442y AD b ⎡⎤+⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()()222112114444444y y x b b y ⎡⎤-+=+--++⎢⎥⎢⎥⎣⎦()221111444434y b b y by b y b b ⎡⎤-+-+=-+-⎣⎦⎡⎤⎣⎦，要使以AD 为直径的圆截得的弦长为定值则可得3b =，时相交弦长的平方为定值12，即()0,3E所以E 到直线AB的距离为：d = 而弦长AB ==，所以1232EAB S AB d =⋅==-将①代入可得2322212ABE S k k =-+=+=设()6424472f k k k k =-+++为偶函数，0k >>的情况即可，()()()()5342222416142126722167f k k k k k k k k k k ++=---=-+=--' 令()0f k '=，6k =当06k <<，()0f k '>，()f k 单调递增；当k 6<<()0f k '<，()f k 单调递减，所以(k ∈且0k ≠上，66f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为最大值9，所以ABE S的最大值为：212+=。
高中数学之圆锥曲线之焦点三角形面积知识点
高中数学之圆锥曲线之焦点三角形面积知识点
什么是焦点三角形？
定义：
椭圆（双曲线）上任意一点与两个焦点所组成的三角形叫做焦点三角形，它是由焦距和焦半径构成的特别的三角形。
其中焦点三角形的面积也是一个非常重要的几何量。
怎么求焦点三角形的面积呢？先看一道例题
公式推导：
同样的方法可以也可以证明得到双曲线的焦点三角形面积公式。
公式如下：
接下来在给出关于焦点三角形顶角的一个结论：
这个结论可以借助焦点三角形面积公式的推导过程来继续说明：
实战演练：。
高中数学圆锥曲线系统讲解第18讲《三角形面积公式的坐标形式》练习及答案
第18讲 三角形面积公式的坐标形式知识与方法公式1：设点()11,A x y ，()22,B x y ，O 为原点，则122112OABS x y x y =−. 公式2：设点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ， 则()()()()2131312112ABCSx x y y x x y y =−−−−−. 典型例题【例题】在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,1A ，()1,3B −，则OAB 的面积为______.【解析】解法1：如图，易求得OA OA 的方程为2 0x y −=，所以点B 到直线OA 的距离d ==，从而1722OABS==解法2：()17231122OABS =⨯−−⨯=. 【答案】72变式1 在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,1A ，()1,3B −，()1,1C −，则ABC 的面积为______.【解析】解法1：直线AC 的斜率()11221k −−==−，所以直线AC 的方程为()122y x −=−，即230x y −−=，从而点B 到直线AC 的距离d =，又AC ==，所以11422ABCSAC d =⋅==.解法2：如图，将A 、B 、C 三点同时向左移1个单位，向上移1个单位，则C 移到原点，A 、B 分别移到()1,2A '，()2,4B '−， 所以()1142242ABCOA B SS''==⨯−−⨯=. 【答案】4 【反思】当三角形的三个顶点都不在原点时，可以通过平移转化为有一个顶点在原点的情形来计算面积.变式2 在平面直角坐标系xOy 中，已知A 、B 为抛物线2:2C y x =上的两点，若OA OB ⊥，则OAB 的面积最小值为______.【解析】解法1：如图，显然直线AB 不与y 轴垂直，故可设其方程为()0x my t t =+≠)，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22x my ty x=+⎧⎨=⎩消去x 整理得：2220y my t −−=，判别式()242m t ∆=+， 由韦达定理，122y y t =−，所以222121222y y x x t =⋅=，因为OA OB ⊥，所以121221OA OB y y k k x x t⋅=⋅=−=−，从而2t =，满足0∆>，故直线AB 过定点()2,0D ，所以1211124222OABSOD y y OD =⋅−=⋅=⨯=， 当且仅当0m =时取等号，所以OAB 的面积的最小值为4.解法2：设直线OA 的方程为()0y kx k =≠，则直线OB 的方程为1y x k=−，联立22y kx y x=⎧⎨=⎩解得：00x y =⎧⎨=⎩或222x k y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以222,A k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将k 换成1k −即得()22,2B k k −，所以()2212222222242OABSk k k k k k k k =⋅−−⋅=+=+≥=， 当且仅当22k k=，即1k =±时取等号，故OAB 的面积的最小值为4. 解法3：设()211A y，()222B y ，则由题意，1222121221y y y y ⋅==−，所以122y y =−，212y y =−，从而()2212211212111112242OABSy y y y y y y y ⎫=−=−=+=+≥=⎪⎪⎭ 当且仅当112y y =，即1y =时取等号，故OAB 的面积的最小值为4. 【答案】4强化训练1.(★★)在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,0A ，()2,2B ，()1,3C −，则ABC 的面积为______.【解析】如图，()()()()172130112022ABCS=⨯−⨯−−−−⨯−=.【答案】722.（★★★）设直线:22l y x =−与抛物线2:4C y x =相交于A 、B 两点，若点()0,1D ，则DAB 的面积为______.【解析】解法1：如图，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立2224y x y x=−⎧⎨=⎩消去y 整理得：2310x x −+=，不难发现直线l 过抛物线C 的焦点F ，所以1225AB x x =++=， 而点D 到直线l 的距离d ==11522DABSAB d =⋅=⨯=. 解法2：如图，由题意，可设()11,22A x x −，()22,22B x x −， 联立2224y x y x=−⎧⎨=⎩消去y 整理得：2310x x −+=判别式()234115∆=−−⨯⨯=， 所以()()()()12211213302210221222DABSx x x x x x =−−−−−−−=−==.3.（★★★★）在平面直角坐标系xOy 中，已知A 、B 为抛物线2:4C y x =上的两点，若直线OA 、OB 的斜率之积等于2−，则OAB 的面积最小值为______.【解析】解法1：如图，显然直线AB 不与y 轴垂直，故可设其方程为()0x my t t =+≠，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立24x my t y x=+⎧⎨=⎩消去x 整理得：2440y my t −−=，判别式()216m t ∆=+，由韦达定理，124y y m +=，124y y t =−，所以222121244y y x x t =⋅=，故直线OA 、OB 的斜率之积为12124y y x x t⋅=−，由题意，42t−=−，故2t =，满足0>，从而直线AB 过定点()2,0D ，故1211122212OABSOD y y OD =⋅−=⋅⋅=⨯= 当且仅当0m =时取等号，所以OAB的面积的最小值为解法2：设直线OA 的方程为()0y kx k =≠，则直线OB 的方程为2y x k=−，联立24y kx y x=⎧⎨=⎩解得：00x y =⎧⎨=⎩或244x k y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以244,A k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将k 换成2k −即得()2,2B k k −，所以()22144442222OABSk k k k k k k k =⋅−−⋅=+=+≥=， 当且仅当42k k=，即k =OAB的面积的最小值为 解法3：设()211,2A y y ，()222,2B y y ，则由题意，122112122242y y y y y y ⋅==−，所以122y y =−，212y y =−，从而 ()22122112121111122222222OABSy y y y y y y y y y y y ⎛⎫=⋅−⋅=−=+=+≥⨯= ⎪ ⎪⎝⎭当且仅当112y y =，即1y =时取等号，故OAB的面积的最小值为【答案】。
【市级公开课】《圆锥曲线中的三角形面积问题》教学设计
人教A版高中数学高三一轮复习立足基础，提升时效——圆锥曲线中的三角形面积问题授课学生：高三1班(高三文科班)一、教学内容分析近几年来直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解答题压轴题的位置，且选择、填空也有涉及，有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及线段中点、弦长、定值、面积等。
分析这类问题，往往利用数形结合、函数与方程、化归与转化等思想和“设而不求”的方法及韦达定理等。
本讲主要是调动学生学习的主动性，注意交代知识的来龙去脉，教给学生解决问题的思路，帮助考生培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，培养良好的个性品质，以及勇于探索、敢于创新的精神，进一步提高学生“应用数学”的水平．二、预测高考会出现1道关于直线与圆锥曲线的位置关系的综合题。
三、教学目标1.会选择合理的方法求圆锥曲线中三角形面积。
2.能利用函数与方程、数形结合、转化与化归等思想解决圆锥曲线中的三角形面积问题。
四、教学重难点1.教学重点：掌握圆锥曲线中三角形面积的计算方法。
2.教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力。
五、教学策略选择自主学习、小组讨论法、师生互动教学流程教师活动学生活动设计意图环节一：环节二：一．解法回顾前几节课我们复习了直线与圆锥曲线的位置关系，以及直线与圆锥曲线相交的弦长问题。
这节课我们一起来探究圆锥曲线中的三角形面积问题（板书课题）。
下面请一位同学来谈谈他平时是怎样解答<<解析几何>>这类问题的。
师：教师针对学生的回答给予评价。
师：对于<<解析几何>>这类问题的解答，归纳起来，有以下几个步骤：1.分析几何对象的几何特征。
理解题意，并画出图像。
2.进行代数化。
包括几何元素的代数化、位置关系代数化、问题目标代数化。
3.进行代数运算。
包括联立方程组、消参、运用函数性质等。
4.得出几何结论。
师:接下来我们一起将此步骤实施到具体的题目中。
圆锥曲线内接三角形的面积公式及其应用
46中学数学研究2021年第1期(上)圆锥曲线内接三角形的面积公式及其应用广西防城港市东兴市东兴中学(538100)吴中伟摘要求三角形面积的方法有很多，但对于无法确定形状的三角形，其面积没有统一的求法•经过推导，发现在参数方程条件下圆锥曲线(圆，椭圆，双曲线与抛物线)的内接三角形的面积都有统一的表达式,并且这些表达式结构非常相似.关键词圆锥曲线；内接三角形;面积表达式求三角形面积的方法有很多，但对于无法确定形状的三角形，其面积没有统一的求法•笔者发现在参数方程条件下圆锥曲线(圆，椭圆，双曲线与抛物线)的内接三角形的面积都有统一的表达式，并且这些表达式结构非常相似.引理在4ABC中，已知一B—(x i,y i),一1—(血,y2),则4ABC的面积S a abc—2|x i y2—血y i|.(x a cos a(a为y—b sin a参数)的三点，它们对应的参数分别为a i,a2,a3,则S a abc——|sin(a2— a i)+sin(a i—a3)+sin(a3— a2)|.证明易知A(a cos a i,b sin a i),B(a cos a2,b sin a2), C(a cos a3,b sin a3),贝V a B—(a(cos a2—cos a i),b(sin a2—sin a i)),一1—(a(cos a3— cos a i),b(sin a3—sin a i)),由引理得，S a abc=2ab(cos a2— cos a i)(sin a3—sin a i)—ab(cos a3— cos a i)(sin a2—sin a i)ab=—cos a2sin a3— cos a2sin a i— cos a i sin a3+cos a i sin a i—(cos a3sin a2— cos a3sin a i S a abc-fx—a sec a，厶定理3已知A,B,C是双曲线|(a为参y—b tan a数)的三点，它们对应的参数分别为a i,a2,a3,则sin(a2—a i)+sin(a i—a3)+sin(a3—a2)cos a i cos a2cos a3x b tan a 同理可证,焦点在y轴的双曲线=(a为参y—a sec a数)的内接三角形的面积表达式与焦点在x轴的双曲线的完全一样.接下来推导在参数方程条件下，抛物线的内接三角形的面积的统一表达式.x—2p t2定理4已知A,B,C是抛物线｛(t为参y=2pt数p>0)上的三点，它们对应的参数分别为t i,t2,t3,则S a abc—2p2|(t i—t2)血—t3)(t3—t i)|.特别的，若点C 为坐标原点，则S a abc—2p2|(t i—t2)t i t21证明易知A(2pt f,2pt i),B(2pt2,2pt2),C(2pt|,2pt3),则S a abc=2a B—a1=2p2|(t2—ti)(t3—t1)—(t3一ti)(t2一t1)=2p2(t i一 t2)(t2一t3)(t3一t i).显然，若C为原点，则S a abc—2p2|(t i— t2)t i t2〔.同理可证,其他情形的抛物线的内接三角形的面积表达式与定理4相同.基于以上的结论,本文从—cos a i sin+cos a i sin a i)豊|sin(a2-a i)+sin(a i— a3)+sin(a3-a2)同理可证,焦点在y轴的椭圆的内接三角形的面积表达式与焦点在x轴的椭圆的完全一样.利用类似的方法也易证得以下定理.亠.—x—a+r cos a「厶“定理2对于圆(a为参数)，A,B,Cy—b+r sin a是其三点，对应的参数分别为a i,a2,a3,则S a abc r2—|sin(a2— a i)+sin(a i— a3)+sin(a3— a2)|.实例的角度，阐述这些公式在解决圆锥曲线的内接三角形面积问题的作用.例1已知椭圆C1:x+务=1(a>b>0)的左、右焦点为F i、F2,|F i F2—l/l,若圆Q方程(x—/l)l+(y—1尸=1,且圆心Q满足|QF i+|QF2=2a.(I)求椭圆C i的方程；(II)过点P(0,1)的直线l i:y—kx+1交椭圆C1于A、B两点，过P与l i垂直的直线h交圆Q于C、D两点, M为线段CD中点，若4MAB的面积为第1,求k的值.5解(I)略；(II)由(I)可知椭圆的参数方程为2021年第1期(上)中学数学研究47x—2cos ay=sin a(a为参数),与y—kx+1联立得V2sin a—2k cos a+1t i+t2—号,t i t2———.因为点M对应的参数为t—1,所以由定理3,得①S a ABM=8|(t i—t2)(t2—1)(1—t i)|代入sin2a+cos2a—1,整理得(2+4k2)cos2a+4k cos a—1=0.设A(2cos a.sin a i),B(2cos a2,sin a2)贝J-2k cos a i十cos a2=1+2k2联立①1①2得,■,■/2 sin a1十sin a2=1+2k2由①2①3得,|sin(a i-a2)|=|sin a2—sin a i|cos a i—cos a2—1 cos a i cos a2=2+4k2..1-4k2 sin a i sin a2=2+4k2V1+4k21+2k2，_2k/1+4k2=1+2k2，/2•/1+4k21+2k2因为Q(血,1)对应的参数为4,所以由定理1得①2①3S a qab=血 |sin(a i-a2)+sin(a2-寸)+sin(寸-a i)| =/2Lin(a i—a2)+(sin a2—sin a i)(cos a i—cos a2)=8J(t i+t2)2—4t i t2|—t i t2—1+t i+t2=\/(m2+4)(2m-3)2°令f(x)—(m2+4)(2m—3)2,贝」f z(m)—2(2m-3)(4m2-3m+8),33所以f z(m)—0的解为m=2,m e(—x>,2)时,f z(x)<0,322f(x)单调递减;m e$,+x>)时,f z(x)>0,f(x)单调递增;又因为m22,所以f(m)——f⑵—8,故三角形ABM面积的最小值为2/2.x2例3已知点F i是双曲线C:忑-y2—1的左焦点,点M为其右顶点，过点F i的斜率为1的直线交双曲线的左支于A,B两点，求AABM的面积.解由已知可知点F i(-/5,0),M(2,0),直线I ab:x—fx2sec a(a为参数),y—tan a得2sec a—tan a—a/5,即sin a—a/5cos a—2依题意得，sin(a i—a2)与cos a i—cos a2异号，所以①1S a qab—|sin a2-sin a i2W1+4k21+2k2因为M在线代入sin2a+cos2a—1,整理得6cos2a+cos a+3=0.段CD中点，所以MQ丄l2,又因为l i丄l2,所以MQ//l i,所以S a mab—S a qab,从而覚十誓—半，解得k—±/2.此时I2:y—士冷2x+1,圆心Q到^2的距离h=±畔x/2-1+1/<-,成立.例2在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C:x2—设A(2sec a i,tan a i),B(2sec a2,tan02),贝」2/5一"3cos a i+cos a2联立①1①2得,sin a i+sin a2cos a i cos a212①24y,点P是C的准线I上的动点且其横坐标m22,过点P 作C的两条切线，切点分别为A,B.若点M的坐标为(4,4),求三角形ABM面积的最小值.{x—4t(t为参y=4t2数)，准线l:y——1,y z—1x.设A(4t i,4t f),B(4t2,4t2),点P(m,—1),则切线PA的方程为：y+1=2t i(x-m),把点A(4t i,4t f)代入上式，得4t f+1=2t i(4t i-m),即4t i-2mt i-1=0.同理可得,4t2-2mt2-1=0,故t i,t2是方程4t2-2mt-1—0的两个解.由根与系数关系得,23，2血I••=3,|s i n a2—sin a i1sin a i sin a2—------6①3^10因为由已知得M对应的参数为0,且sin(a i-a2)与由①①得，|sin(a i-a2)|sin a2—sin a i同号，所以由定理2,|sin(a i—a2)+sin a2+sin(—a i) S a abm—1----------------------------------------------|cos a i cos a22/2/10-丁；丁-竿(2+/5)2参考文献[1]吴中伟•一个三角形面积公式在解析几何中的应用[J].中学数学研究(华南师范大学版),2020(3):40-42.。
圆锥曲线中求三角形面积取值范围问题
圆锥曲线中求三角形面积取值范围问题1、已知为坐标原点，定点，点分别在,轴上运动且.动点满足.设点的轨迹为曲线.直线交曲线于另外一点.（1）求曲线的方程, (2)求面积的最大值．解：的轨迹方程即为曲线整理可得：，相关点法求解析式、、设点C y x y x AB y n x m y n y x m x y n x PB y m x AP y x P n B m A 19256496425648)(3858)(5353),(),,(),(),0()0,()1(2222=+=+∴=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-∴--=-=∴ )37116195.72418024169211619(1161911801161991180259190225910081368164812259)259(814722)1(25981,2597208172)259(19254)1(2)(4214),,(),,()2(222222222222222222221221222221212211”成立时“即当且仅当，式可得：带入联立的面积方程为：设直线设点=±=+=+=≤=⨯≥++++++⨯=++++⨯=++⨯⨯=+⨯+⨯+⨯⨯=++⨯⨯+⨯=+-=⋅+-=+∴=-++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=-=+⨯⨯=∆∴+=k k k k k k k k k k k k k k k k k k S k y y k k y y ky y k y x ky x y y y y S OPQ ky x PM y x Q y x P求面积最值问题，需要先把面积表示出来，之后就可以看出如何计算更加简洁。
此题列出式子后可以看出直线反设O )0,4(M B A ,x y 8=AB P →→=PB AP 53PC PM C Q C OPQ ∆会更加简单，另外计算时数字比较大，但是找出公因数再计算就会非常简单，切忌硬来。
2、在平直角坐标系中，已知椭圆的离心率,且椭圆过点（1）求椭圆的方程；（2）直线的斜率为，直线与椭圆交于两点，求面积的最大值。
圆锥曲线中的三角形面积
圆锥曲线中的三⾓形⾯积圆锥曲线同步拔⾼，难度4颗星！知识剖析焦点三⾓形⾯积椭圆x2a2+y2b2=1的焦点三⾓形△PF1F2⾯积S=b2tan∠P2，双曲线x2a2−y2b2=1的焦点三⾓形△PF1F2⾯积S=b2tan∠P2(其中点P在椭圆或双曲线上).直线与圆锥曲线中的三⾓形⾯积(以下以椭圆为例)通法：底×⾼÷2S△=12×底×⾼，适合⼀切题型，属于通法，但计算量会⼤些，如图，S△PAB=12⋅AB⋅PC(其中底为弦长AB，⾼为点P到直线AB的距离)两边之积×夹⾓正弦值÷2S△=12ab sin C，适合边⾓已知的题型割补法适合三⾓形某⼀顶点在坐标轴上的题型情况1 同边如图，点P在x轴上，直线AB交x轴于点C，当A,B是在x轴异侧时，S_{ΔPAB}=S_{ΔPAC}+S_{ΔPBC}=\dfrac{1}{2}\cdot PC\cdot|y_A |+\dfrac{1}{2}\cdot PC\cdot|y_B |=\dfrac{1}{2}\cdot PC\cdot |y_A-y_B |当A,B是在x轴同侧时，S_{ΔPAB}=S_{ΔPAC}-S_{ΔPBC}=\dfrac{1}{2}\cdot PC\cdot |y_A |-\dfrac{1}{2}\cdot PC \cdot |y_B |=\dfrac{1}{2}\cdot PC \cdot |y_A-y_B | {\color{Red}{PS }}不管A,B在x轴同侧还是异侧，公式S_{ΔPAB}=\dfrac{1}{2}\cdot PC \cdot |y_A-y_B |依然成⽴.若点在y轴类似可得S_{ΔPAB}=\dfrac{1}{2}\cdot PC \cdot |x_A-x_B |.情况2 利⽤倾斜⾓如图，点P在x轴上，直线AB的倾斜⾓为\theta，当A,B是在x轴异侧时，.S_{ΔPAB}=S_{ΔPAC}+S_{ΔPBC}=\dfrac{1}{2}\cdot PC\cdot AC\cdot sin(π-θ)+\dfrac{1}{2}\cdot PC\cdot BC\cdot sinθ=\dfrac{1}{2}\cdot PC\cdot AB\cdot sinθ当A,B是在x轴同侧时，.S_{ΔPAB}=S_{ΔPAC}-S_{ΔPBC}=\dfrac{1}{2}\cdot PC\cdot AC\cdot sinθ-\dfrac{1}{2}\cdot PC\cdot BC\cdot sinθ=\dfrac{1}{2}\cdot PC\cdot AB\cdot sinθ{\color{Red}{PS }}不管A,B是在x轴同侧还是异侧，公式S_{ΔPAB}=\dfrac{1}{2}\cdot PC\cdot AB\cdot sinθ依然成⽴.(点在轴类似)经典例题焦点三⾓形⾯积【典题1】设双曲线C : x ^ { 2 } - \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt 0 , b \gt 0 )的左、右焦点分别为F _ { 1 } , F _ { 2 }，P是C上⼀点，且F_1 P⊥F_2 P，若△PF_1 F_2的⾯积为4，则离⼼率e=\underline{\quad \quad } .【解析】{\color{Red}{⽅法⼀ }}由题意可知a=1，设|PF_2 |=m ,|PF_1 |=n，可得|m－n|=2∵△PF_1 F_2的⾯积为4∴\dfrac{1}{2} mn=4⇒mn=8{\color{Red}{(遇到焦点三⾓形△PF_1F_2，想到定义和解三⾓形的内容)}}∵F_1 P⊥F_2 P∴m^2+n^2=4c^2∴(m-n)^2+2mn=4c^2⇒4c^2=4+16=20⇒c=\sqrt 5∴e = \dfrac { c } { a } = \sqrt { 5 }.{\color{Red}{⽅法⼆ }}由双曲线焦点三⾓形⾯积公式S = \dfrac { b ^ { 2 } } { \tan \dfrac {\angle P } { 2 } }，{\color{Red}{(椭圆焦点三⾓形⾯积公式S= b ^ { 2 } \tan \dfrac { \angle P } { 2 } ) }}由题意可知\dfrac{b^2}{tan45°}=4，∴b=2⼜∵a=1，∴c=\sqrt5，∴e = \dfrac { c } { a } = \sqrt { 5 }.两边之积×夹⾓正弦值÷2【典题2】已知直线l与双曲线E : \dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt 0 , b \gt 0 )的两条渐近线分别交于A(x_1 ,y_1 )、B(x_2 ,y_2)两点，且x_1 x_2>0，若\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} =-4，且△AOB的⾯积为2\sqrt3，则E的离⼼率为\underline{\quad \quad }.【解析】∵\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} =-4，S _ { \triangle A O B } = 2 \sqrt { 3 }，∴\begin{cases} { Q A \cdot O B \cdot \cos \angle A O B = - 4 } \\ { \dfrac { 1 } { 2 } O A \cdot O B \cdot \sin\angle A O B = 2 \sqrt { 3 } }\end{cases}，∴tan∠AOB=-\sqrt3,∴∠AOB=120°，故∠AOx=60°, ⼜直线OA⽅程为y=\dfrac{b}{a} x,∴ \dfrac { b } { a } = \tan 60 ^ { \circ } = \sqrt { 3 }，即b=\sqrt 3 a，∴e = \dfrac { c } { a } = 2.【点拨】本题对“\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} =-4”的处理是⽤数量积的定义得到OA⋅OB⋅cos∠AOB=-4，⽽△AOB的⾯积⽤到S_{△AOB}=\dfrac{1}{2}⋅OA⋅OB⋅sin∠AOB⽐较合理.通法与割补法【典题3】已知双曲线\dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt 0 , b \gt 0 )的离⼼率为2，焦点到渐近线的距离等于\sqrt3，过右焦点F_2的直线l交双曲线于A、B两点，F_1为左焦点．(1) 求双曲线的⽅程；(2) 若△F_1 AB的⾯积等于6\sqrt2，求直线l的⽅程．【解析】(1)过程略，x ^ { 2 } - \dfrac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1.(2) {\color{Red}{ ⽅法⼀}}设A(x_1 ,y_1 ),B(x_2 ,y_2 )，当直线l的斜率不存在，则直线l的⽅程x=2，此时易得S_{△F_1 AB}=12≠6\sqrt2，故可设直线l的⽅程为y=k(x-2)，由\begin{cases} { y = k ( x - 2 ) } \\ { x ^ { 2 } - \dfrac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1 } \end{cases}，得(k^2-3) x^2-4k^2 x+4k^2+3=0，∵有两个交点，∴k≠±\sqrt3，且x _ { 1 } + x _ { 2 } = \dfrac { 4 k ^ { 2 } } { k ^ { 2 } - 3 },x _ { 1 } x _ { 2 } = \dfrac { 4 x ^ { 2 } + 3 } { k ^ { 2 } - 3 }，| A B | = \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } \cdot \sqrt { ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 x _ { 1 } x _ { 2 } }= \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } \cdot \dfrac { 6 \sqrt { k ^ { 2 } + 1 } } { k ^ { 2 } - 3 }= \dfrac { 6 ( k ^ { 2 } + 1 ) } { k ^ { 2 } - 3 },∵F_1 (-2 ,0)到直线l的距离d = \dfrac { 4 | k | } { \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } }，∴△F_1 AB的⾯积S = \dfrac { 1 } { 2 } \cdot d \cdot | A B | = \dfrac { 1 } { 2 } \cdot \dfrac { 4|k| } { \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } } \cdot \dfrac { 6 ( k ^ { 2 } + 1 ) } { k ^ { 2 } - 3 }12 | k | \cdot \dfrac { \sqrt { k ^ { 2 } + 1 } } { k ^ { 2 } - 3 } = 6 \sqrt { 2 }，{\color{Red}{(利⽤三⾓形⾯积公式S_Δ=\dfrac { 1 } { 2 } ×底×⾼) }}∴k^4+8k^2-9=0，解得k=±1，∴所以直线l的⽅程为y=±(x-2)．{\color{Red}{⽅法⼆ }}设A(x_1 ,y_1 ),B(x_2 ,y_2 )，同⽅法⼀可得k≠±\sqrt3，且x _ { 1 } + x _ { 2 } = \dfrac { 4 k ^ { 2 } } { k ^ { 2 } - 3 }，∴|y_1－y_2 |=|k(x_1－x_2 )|= | k | \cdot \dfrac { \sqrt { ( 4 k ^ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 ( k ^ { 2 } - 3 ) ( 4 k ^ { 2 } + 3 ) } } { | k ^ { 2 } - 3 | } = \dfrac { 6 | k | \sqrt{ | k ^ { 2 } + 1 } } { | k ^ { 2 } - 3 | }，∴△F_1 AB的⾯积S= \dfrac { 1 } { 2 } | F _ { 1 } F _ { 2 } | | y _ { 1 } - y _ { 2 } |12 \cdot \dfrac { | k | \cdot | \sqrt { k ^ { 2 } + 1 } } { | k ^ { 2 } - 3 | } = 6 \sqrt { 2 }，{\color{Red}{(由于点F_1在x轴，利⽤S= \dfrac { 1 } { 2 } | F _ { 1 } F _ { 2 } | | y _ { 1 } - y _ { 2 } |) }}化简得k^4+8k^2－9=0，解之得k^2=1，∴k=±1，得直线l的⽅程为y=±(x-2)【点拨】①注意分类讨论直线l的斜率是否存在；②因为直线过双曲线内的点，故不要看判别式Δ是否⼤于0，但要注意k^2－3≠0⇒k≠±\sqrt3；③第⼆问⽅法⼀是利⽤三⾓形⾯积公式S_Δ=\dfrac { 1 } { 2 } ×底×⾼，得S=\dfrac { 1 } { 2 } \cdot |AB|\cdot d，其中以弦长AB为底，点F_1到直线AB的距离为⾼；⽅法⼆利⽤分拆三⾓形的⽅法得S= \dfrac { 1 } { 2 } | F _ { 1 } F _ { 2 } | | y _ { 1 } - y _ { 2 } |，此时要理解“不管AB是在x轴同侧还是异侧，公式依然成⽴”.【典题4】过抛物线C：y^2=2px(p>0)的焦点F且倾斜⾓为\dfrac{π}{3}的直线交抛物线于A、B两点，交其准线于点C，且|AF|=|FC| ,|BC|=2．(1)求抛物线C的⽅程；(2)直线l交抛物线C于D、E两点，且这两点位于x轴两侧，与x轴交于点M, 若\overrightarrow{OD} \cdot \overrightarrow{OE}=4，求S_{△DFO}+S_{△DOE}的最⼩值．【解析】(1)过点A作抛物线准线的垂线，垂⾜为A_1，过点B作准线的垂线，垂⾜为B_1，设准线与x轴交于点G，如图所⽰，∵∠AFx=∠CBB_1=\dfrac{π}{3} ,BC=2，∴BB_1=1，∴BF=1，⼜点F为AC的中点，∴AF=CF=BC+BF=3，∴|GF|=\dfrac { 1 } { 2 } |AA_1 |=\dfrac { 1 } { 2 } |AF|=\dfrac { 3 } { 2 } ，∴p=\dfrac { 3 } { 2 }，所以抛物线C的⽅程为y^2=3x．{\color{Red}{(注意抛物线定义和平⼏知识的运⽤) }}(2)设D(x_1 ,y_1),E(x_2 ,y_2), 设y_1>0 ,y_2<0，l_{DE}：x=my+t，{\color{Red}{ (这样设⽅程计算简便些)}}联⽴得⽅程组\begin{cases} { x = m y + t } \\ { y ^ { 2 } = 3 x } \end{cases}，得y^2-3my-3t=0，\begin{cases} { y _ { 1 } + y _ { 2 } = 3 m } \\ { y _ { 1 } y _ { 2 } = - 3 t } \end{cases}，∴\overrightarrow{OD} \cdot \overrightarrow{OE}=x_1 x_2+y_1 y_2=\dfrac{y_1^2⋅y_2^2}{9}+y_1 y_2=4，{\color{Red}{ (曲线代换：利⽤抛物线⽅程消“x_1 x_2”)}}∴y_1 y_2=3(舍去)或y_1 y_2=－12，∴－3t=－12，∴t=4，即M(4 ,0)，S _ {\triangle D F O } + S _ { \triangle D O E } = \dfrac { 1 } { 2 } | O F | \cdot y _ { 1 } + \dfrac { 1 } { 2 } | O M | \cdot ( y _ { 1 } - y _ { 2 } )= \dfrac { 3 } { 8 } y _ { 1 } + 2 ( y _ { 1 } - y _ { 2 } ) = \dfrac { 19 } { 8 } y _ { 1 } + ( -2 y _ { 2 } )\ge 2 \sqrt { \dfrac { 19 } { 8 } \times 2 | y _ { 1 } y _ { 2 } | } = 2 \sqrt { \dfrac { 19 } { 4 } \times 12 } = 2 \sqrt { 57 }，(当且仅当\dfrac{19}{8} y_1=-2y_2，即y _ { 1 } = \dfrac { 8 \sqrt { 57 } } { 19 } , y _ { 2 } = - \dfrac { \sqrt { 57 } } { 2 }时，取到等号)所以S _ {\triangle D F O } + S _ { \triangle D O E }的最⼩值为2 \sqrt { 57 }．【点拨】在抛物线上设直线⽅程为l_{DE}：x=my+t较为常见，同时也配合上三⾓形⾯积S _ {\triangle D F O } + S _ { \triangle D O E } = \dfrac { 1 } { 2 } | O F | \cdot y _ { 1 } + \dfrac { 1 } { 2 } | O M | \cdot ( y _ { 1 } - y _ { 2 } ).【典题5】已知A、B是椭圆C: \dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt b \gt 0 )的左，右顶点，B(2 ,0)，过椭圆C的右焦点F的直线交椭圆于点M ,N，交直线x=4于点P，且直线PA、PF、PB的斜率成等差数列，R和Q是椭圆上的两动点，R和Q的横坐标之和为2，RQ的中垂线交x轴于T点(1)求椭圆C的⽅程；(2)求△MNT的⾯积的最⼤值.【解析】(1)由题意知a=2，A(-2 ,0)，设P(4 ,y_0 ) ,F(c ,0)，k _ { P A } = \dfrac { y _ { 0 } } { 6 } , k _ { P B } = \dfrac { y _ { 0 } } { 2 } , k _ { P F } = \dfrac { y _ { 0 } } { 4 - C },依题意可知\dfrac { 2 y _ { 0 } } { 4 - c } = \dfrac { y _ { 0 } } { 6 } + \dfrac { y _ { 0 } } { 2 }，解得c=1,∴b^2=a^2-c^2=3，∴椭圆C的⽅程\dfrac { x ^ { 2 } } { 4 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1.(2)设R(x_1 ,y_1 ),Q(x_2 ,y_2)，∵R和Q的横坐标之和为2,∴x_1+x_2=2，∵R、Q均在椭圆上，\dfrac { x _1^ { 2 } } { 4 } + \dfrac { y _ { 1 } ^ { 2 } } { 3 } = 1①\dfrac { x _2^ { 2 } } { 4 } + \dfrac { y _ { 2 } ^ { 2 } } { 3 } = 1②{\color{Red}{(点差法) }}① - ②得\dfrac { y _ { 1 } - y _ { 2 } } { x _ { 1 } - x _ { 2 } } = - \dfrac { 3 } { 2 ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) }，设T(t ,0)，由中垂线性质得TR=TQ，即\sqrt { ( t - x _ { 1 } ) ^ { 2 } + y _ { 1 } ^ { 2 } } = \sqrt { ( t - x _ { 2 } ) ^ { 2 } + y _ { 2 } ^ { 2 } }，化简得2 t = 2 + \dfrac { y _ { 1 } ^ { 2 } - y _ { 2 } ^ { 2 } } { x _ { 1 } - x _ { 2 } }= 2 + ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) \dfrac { y _ { 1 } - y _ { 2 } } { x _ { 1 } - x _ { 2 } } = 2 - \dfrac { 3 } { 2 } = \dfrac { 1 } { 2 }，∴ t = \dfrac { 1 } { 4 }，即T(\dfrac { 1 } { 4 },0).设M(x_3 ,y_3 ),N(x_4 ,y_4)，直线MN:x=my+1与椭圆联⽴可得(3m^2+4) y^2+6my-9=0，y _ { 3 } + y _ { 4 } = \dfrac { 6 m } { 3 m ^ { 2 } + 4 } , y _ { 3 } y _ { 4 } = - \dfrac { 9 } { 3 m ^ { 2 } + 4 }，{\color{Red}{(因为直线MN过椭圆内⼀点F，故m可取全体实数R，不需要考虑判别式Δ>0) }}| y _ { 3 } - y _ { 4 } | ^ { 2 } = ( y _ { 3 } + y _ { 4 } ) ^ { 2 } - 4 y _ { 3 } y _ { 4 }= \dfrac { 36 m ^ { 2 } } { ( 3 m ^ { 2 } + 4 ) ^ { 2 } } + \dfrac { 36 } { 3 m ^ { 2 } + 4 } = 144 \dfrac { m ^ { 2 } + 1 } { ( 3 m ^ { 2 } + 4 ) ^ { 2 } }，令n=m^2+1≥1，{\color{Red}{(使⽤换元法降次，化难为简，函数思想注意⾃变量的取值范围) }}则| y _ { 3 } - y _ { 4 } | ^ { 2 } = 144 \cdot \dfrac { n } { ( 3 n + 1 ) ^ { 2 } } = 144 \cdot \dfrac { 1 } { 9 n + \dfrac { 1 } { n } + 6 }∵ y = 9 n + \dfrac { 1 } { n }在[1 ,+∞)是递增的，∴y_{min}=10，{\color{Red}{(由对勾函数图像易得，由于n∈[1 ,+∞)不能⽤基本不等式) }}| y _ { 3 } - y _ { 4 } | ^2_ { m a x } = 144 \cdot \dfrac { 1 } { 10 + 6 } = 9，即|y_3-y_4 |_{max}=3，故S _ { m a x } = \dfrac { 1 } { 2 } \cdot F T ^ { \prime } \cdot | y _ { 3 } - y _ { 4 }|_{m a x} = \dfrac { 1 } { 2 } \times \dfrac { 3 } { 4 } \times 3 = \dfrac { 9 } { 8 }.【点拨】① “R和Q的横坐标之和为2”这条件可想到“中点弦问题”的点差法，避免设直线RQ⽅程导致计算量增⼤；②本题最重要的想法是求△MNT的⾯积，⽤到了公式S=\dfrac{1}{2} \cdot FT \cdot|y_3-y_4 |，同时设直线⽅程为MN:x=my+1，联⽴⽅程时消x得到y的⼀元⼆次⽅程较易得到|y_3-y_4 |的表达式，⼤⼤减少了计算量，也避免直线斜率是否存在的分类讨论；④求函数形如y = \dfrac { a _ { 1 } x ^ { 2 } + b _ { 1 } x + c _ { 1 } } { a _ { 2 } x ^ { 2 } + b _ { 2 } x + c _ { 2 } }最值问题，其中涉及对勾函数或基本不等式、换元法等内容，同时要注意⾃变量的取值范围，这是常考的题型.巩固练习1(★★)设F_1 ,F_2是椭圆\dfrac { x ^ { 2 } } { 9 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 6 } = 1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF_1 |：|PF_2 |=2：1，则△F_1 PF_2的⾯积等于\underline{\quad \quad }.2(★★)过双曲线\dfrac { x ^ { 2 } } { 3 } - y ^ { 2 } = 1的右焦点F，作倾斜⾓为60°的直线l, 交双曲线的渐近线于点A、B，O为坐标原点，则△OAB的⾯积为\underline{\quad \quad }.3(★★)抛物线C：y^2=8x的焦点为F，N为准线上⼀点，M为y轴上⼀点，且\overrightarrow{NM} \cdot \overrightarrow{NF}=0，若线段MF的中点E在抛物线C上，则△MNF的⾯积为\underline{\quad \quad }.4(★★)已知双曲线C: \dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt 0 , b \gt 0 )的离⼼率为\sqrt5，虚轴长为4．(1)求双曲线的标准⽅程；(2)过点(0 ,1)，倾斜⾓为45°的直线l与双曲线C相交于A、B两点，O为坐标原点，求ΔOAB的⾯积．5(★★)椭圆C: \dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } +\dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt 0 , b \gt 0 )过点A ( 1 , \dfrac { 3 } { 2 } )，离⼼率为\dfrac {1 } { 2 }，左、右焦点分别为F_1,F_2，过F_1的直线交椭圆于C ,D两点．(1)求椭圆C的⽅程；(2)当△F_2 CD的⾯积为\dfrac { 12 \sqrt { 2 } } { 7 }时，求直线的⽅程．6(★★★)如图，设椭圆的中⼼为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F_1 ,F_2，线段OF_1 ,OF_2的中点分别为B_1,B_2，且△AB_1 B_2是⾯积为4的直⾓三⾓形．(1)求该椭圆的离⼼率和标准⽅程；(2)过B_1作直线交椭圆于P ,Q两点，使PB_2⊥QB_2，求△PB_2 Q的⾯积．7(★★★)已知椭圆C: \dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } +\dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt 0 , b \gt 0 )的离⼼率为\dfrac { \sqrt { 3 } } { 2 }，F是椭圆的焦点，点A(0 ,－2)，直线AF的斜率为\dfrac { 2 \sqrt { 3 } } { 3 }，O为坐标原点．(1)求椭圆C的⽅程；(2)设过点A的直线与C相交于P、Q两点，当△OPQ的⾯积最⼤时，求l的⽅程．8(★★★★)已知双曲线C的⼀个焦点为(-\sqrt5 ,0)，且过点Q(2\sqrt5 ,2)．如图，F_1，F_2为双曲线的左、右焦点，动点P(x_0 ,y_0)(y_0≥1)在C的右⽀上，且∠F_1 PF_2的平分线与x轴、y轴分别交于点M(m ,0)(-\sqrt5<m<\sqrt5)、N，设过点F_1,N的直线l与C交于D ,E两点．(1) 求C的标准⽅程；(2) 求△F_2 DE的⾯积最⼤值．答案2 \sqrt {3 }\dfrac { 3 \sqrt { 3 } } { 2 }6 \sqrt { 2 }x ^ { 2 } - \dfrac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1 \quad ( 2 ) \dfrac { 4 } { 3 }( 1 ) \dfrac { x ^ { 2 } } { 4 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1( 2 ) x - y + 1 = 0 或 x + y + 1 = 0( 1 ) e = \dfrac { 2 } { 5 } , \dfrac { x ^ { 2 } } { 20 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1\quad ( 2 ) \dfrac { 16 } { 9 } \sqrt { 10 }(1)\dfrac { x ^ { 2 } } { 4 } + y ^ { 2 } = 1\quad ( 2 )y = \pm \dfrac { \sqrt { 7 } } { 2 } x - 2Processing math: 5%( 1 ) \dfrac { x ^ { 2 } } { 4 } - y ^ { 2 } = 1 \quad ( 2 ) 4 \sqrt { 30 }。
解圆锥曲线问题常用方法(二)
解圆锥曲线问题常用方法（二）【学习要点】解圆锥曲线问题常用以下方法：4、数形结合法解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数式子利用其结构特征，想象为某些图形的几何意义而构图，用图形的性质来说明代数性质。
如“2x+y ”，令2x+y=b ，则b 表示斜率为-2的直线在y 轴上的截距；如“x 2+y 2”,令d y x =+22，则d 表示点P（x ，y ）到原点的距离；又如“23+-x y ”，令23+-x y =k ，则k 表示点P （x 、y ）与点A （-2，3）这两点连线的斜率…… 5、参数法（1）点参数利用点在某曲线上设点（常设“主动点”），以此点为参数，依次求出其他相关量，再列式求解。
如x 轴上一动点P ，常设P （t ，0）；直线x-2y+1=0上一动点P 。
除设P （x 1,y 1）外，也可直接设P （2y,-1,y 1） （2）斜率为参数当直线过某一定点P(x 0,y 0)时，常设此直线为y-y 0=k(x-x 0)，即以k 为参数，再按命题要求依次列式求解等。
（3）角参数当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题。
6、代入法这里所讲的“代入法”，主要是指条件的不同顺序的代入方法，如对于命题：“已知条件P 1,P 2求（或求证）目标Q ”，方法1是将条件P 1代入条件P 2，方法2可将条件P 2代入条件P 1，方法3可将目标Q 以待定的形式进行假设，代入P 1,P 2,这就是待定法。
不同的代入方法常会影响解题的难易程度，因此要学会分析，选择简易的代入法。
【典型例题】例1：已知P(a,b)是直线x+2y-1=0上任一点，求S=136422+-++b a b a 的最小值。
分析：由此根式结构联想到距离公式， 解：S=22)3()2(-++b a 设Q(-2,3), 则S=|PQ|,它的最小值即Q 到此直线的距离 ∴S min5535|1322|=-⨯+- 点评：此题也可用代入消元的方法转化为二次函数的最小值问题（注：可令根式内为t 消元后，它是一个一元二次函数）例2：已知点P(x,y)是圆x 2+y 2-6x-4y+12=0上一动点，求xy的最值。
解圆锥曲线问题常用的八种方法及七种常规题型
解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型总论：常用的八种方法1、定义法2、韦达定理法3、设而不求点差法4、弦长公式法5、数形结合法6、参数法〔点参数、K 参数、角参数〕7、代入法8、充分利用曲线系方程法七种常规题型〔1〕中点弦问题 〔2〕焦点三角形问题〔3〕直线与圆锥曲线位置关系问题 〔4〕圆锥曲线的有关最值〔围〕问题 〔5〕求曲线的方程问题1．曲线的形状--------这类问题一般可用待定系数法解决。
2．曲线的形状未知-----求轨迹方程〔6〕存在两点关于直线对称问题 〔7〕两线段垂直问题常用的八种方法1、定义法〔1〕椭圆有两种定义。
第一定义中，r 1+r 2=2a 。
第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。
〔2〕双曲线有两种定义。
第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离〞互相转化。
〔3〕抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要无视判别式的作用。
3、设而不求法解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法〞。
设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法〞，即设弦的两个端点A(*1,y 1),B(*2,y 2),弦AB 中点为M(*0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求〞法，具体有：〔1〕)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(*0,y 0)，则有02020=+k by a x 。
圆锥曲线中三角形面积的最值求法探析
置关 系 ， 有较 大 的计 算 量 ， 须 具 备 足 够 的数 学 素 养 和
计 算 功底 才 能解答 完 整． 变 式练 习 已知 Ｆ 、 Ｆ ２ 分别 是 椭 圆 ｃ： ＋ 一１
合思 想 、 化 归与转 化 思想 ， 符 合考 试 大纲 中 “ 对数 学能
力 的 考 查 要 以数 学 基 础 知 识 、 数 学 思 想 和 方 法 为 基 础” 的要 求 ． 下 面 以椭 圆 为 载 体 例 析 圆 锥 曲线 中三 角 形 面积 的最 值求 法 ， 帮 助 同学们 归纳 总结 ．
（ １
） ［
一
］ 一
３ （ 忌 ＋１ ） （ ９ ｋ ＋ １ ） （ ３ ｋ２ ＋１ ） ０ ‘
当ｋ ： ／ ： ｏ时 ， 式① 等 价于 ３ ＋
则式 ① ≤３ ＋
，
②
过定点 Ｄ（ １ ２ ／ ５ ， ０ ） ， 从而选择 ｓ △ 仙 一÷ ｆ Ｄ Ｃ ｆ ｆ ｙ 一
ｆ 一 √ ２ 时， 等式成立 ， 故（ Ｓ △ Ｐ Ｆ Ｆ ２ ） 一√ ２ ． 此时 ， 椭ｚ ＋ 代 入椭 圆方 程 ， 整理 得
（ ３ ｋ 十 １ ） ｚ ＋６ ｋ ｍ ｘ＋ ３ ｍ 一３ —０ ．
由根 与 系数 的关 系得
１ ） 、
ｚ
） ． 联立 方程
消去 ｚ得
当 时 若 不 登 高 望 ， 谁 知 东 流 海 样 深
吖Ｉ ． ． 数 ２ ３
一
（ ３ ） 当 ｎ － － ２ 时 ， Ｓ △ Ｐ Ｆ Ｆ 。 一 １ ｌ Ｆ Ｆ １ ． 譬 ６ 一 譬 ｃ ｂ ，
走 ｚ 由 已 知
一 ， 得 ｍ 一导 ＋ １ ） ．
所 以 Ｓ Ａ Ｐ Ｆ １ Ｆ ２ ≤ 譬 × 一 ｎ ｚ 一 ， 当 且 仅 当 ６ 一
专题12 焦点三角形的面积公式(解析版)
A． 48 5
B． 36 5
C．16
D． 48 或 16 5
【答案】D
【详解】依题意， a 5,b 4, c 3 ，不妨设 F1 3, 0, F 3, 0 ，
对于直角三角形 MF1F2 ，
若 F1MF2
π 2
，
PF1 PF2 2a 10
由
PF1
2
PF2
2
4c
2
36
，整理得
PF1
PF2
7 7 3
3
2
33
【反思】焦点三角形问题，常规方法往往涉及到圆锥曲线的定义，利用定义，余弦定理求解，特别提醒，
在圆锥曲线中，定义是解题的重要工具.另外作为二级结论，SPF1F2
b2 tan
要特别注意记忆
F1PF2 表
2
示的是哪个角.另外利用结论 SPF1F2
b2 求解焦点三角形面积适用选择填空题，解答题需先证后用.
即为 PF1 2 PF2 2 PF1 PF2 4c2
联立可得 PF1 PF2 4c2 4a2 4b2
F1F2P 的面积为
3,
可得 1 2
PF1
PF2
sin 60 1 4b 2 2
3 2
3b2
3
解得
b
1,
a
1 2
，所以双曲线的实轴的长
2a
1.
故选：A
7．（2022
秋·湖南怀化·高二校考阶段练习）椭圆 x2 100
直线 AF 的斜率为（ ）
A．
1 3
B． 2 3
C．
1 2
D． 2 2
【答案】A
【详解】设双曲线右焦点为 F2 ，连接 AF2 , BF2 ，由图形的对称性知 AFBF2 为矩形，则有 | AF | AF2 2a ，
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圆锥曲线中求三角形面积的几种方法
（宜昌市田家炳高级中学 胡爱斌）
圆锥曲线中求三角形面积的问题很常见。
此类题若方法选取不当将直接影响解题的速度与准确率，如下看求三角形面积的几种有效方法。
1、 正弦定理和余弦定理相结合求面积
例1：双曲线19
162
2=-y x 上有点P ，F 1、F 2是双曲线的焦点，且∠F 1PF 2=3
π，求△F 1PF 2的面积
解析：设1PF =m, 2PF =n ，由双曲线的定义可知
82==-a n m ，642
=-n m
即m 2+n 2-2mn=64 (1)
在△F 1PF 2中，21F F =10，由余弦定理得m 2+n 2-2mncos
3
π
=100 (2) (2)-(1)，整理得mn=36
∴2
1
PF
F S ∆=
21mn ·sin 3
π
=93 例2：已知F 1、F 2是椭圆
164
1002
2=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上一点，若∠F 1PF 2=
3
π
，求△F 1PF 2的面积 解析：设1PF =m ，2PF =n ，由椭圆的定义可知m+n=20，在△F 1PF 2中，由余弦定理得
m 2+n 2-2mncos
3
π
=21F F 2=144 即()mn n m 32
-+=144
又m+n=20，∴mn=
3
256
21PF F S ∆=
2
1
1PF ·2PF ·sin ∠F 1PF 2 =
21mn ·sin 3π=21⨯3256
⨯23 =
3
3
64 点评：求解焦点三角形的面积若是结合圆锥曲线的定义，用余弦定理得出三角形边与角的关系式，再用正弦定理算面积，设而不求，往往能事半功倍，极大地减少计算量。
当∠F 1PF 2=
2
π
时用上述解法亦可，不过用圆锥曲线定义与勾股定理，再算两直角边积的一半更简便。
如下例：
例3：已知F 1和F 2为双曲线
14
22
=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2=
2
π
，求△F 1PF 2的面积 解析：2
21)(PF PF - =4a 2=16(双曲线
第一定义)，而由勾股定理得
20)2(22
2
21==+c PF PF ，
P F 1·P F 2
=
21[2212221)(PF PF PF PF --+] =2
1
⨯（20-16）=2 ∴21PF F S ∆=21⨯P F 1·P F 2=2
1⨯2=1
2、 用分割法求面积
例4：一三角形以抛物线y 2=4x 的焦点
弦为一边，另一个顶点在原点，若焦点弦所 在直线的斜率为1，求此三角形的面积。
解析：将△AOB 分成两个小三角形求解。
依题意，焦点弦
所在直线方程为
y=x-1。
设A 、B 两点的坐标分别为
（x 1,y 1）(x 2,y 2)
⎩⎨⎧=-=x
y x y 41
2
，消x 得y 2-4y-4=0
AOB S ∆=AOF S ∆+BOF S ∆
=
21
OF ·21y y - =21
⨯1⨯212214)(y y y y -+
=2
1
⨯)4(416-⨯-=22 点评：此类题将一个三角形分割成两个
小三角形求解简便易行（小三角形一边的长易求，对应边上的高与三角形顶点纵（横）坐标有着密切的联系）。
例5：已知曲线C ：x 2-y 2=1及直线l ：y=
2
x
-1，若l 与C 交于A 、B 两点，
O 是坐标原点，求△AOB 的面积。
解析：设A 、
B 两点的坐标分
别为（x 1,y 1）(x 2,y 2)
由⎪⎩⎪⎨⎧-==-121
22x
y y x 消y 得3x 2+4x-8=0 AOB S ∆=AOM S ∆+BOM S ∆
=
21
OM 21x x - =2
1⨯1⨯212
214)(x x x x -+ =
21
⨯1⨯384)34(2-⨯--=73
2
点评：此题还可找出直线和x 轴交点N ，由AOB S ∆=AON S ∆-BON S ∆=
2
1
ON 21y y -求解，不过最好数形结合，否则写成
AOB S ∆=
2
1
OM 21y y -就会出错。
3、 直接用三角形面积公式
用此方法解上述例5。
解析：先用弦长公式求AB ，再用点到直线的距离公式求边所对应的高，最后用面积公式求解即可。
具体解答如下：
⎪⎩
⎪
⎨
⎧-==-12122x y y x 消y 得3x 2+4x-8=0 AB =2121x x k -+
=2
)
2
1(1+212214)(x x x x -+
=
)38(4)34(252-⨯--⨯=353
2 设点O 到直线x-2y-2=0的距离为d 则d =
2
)
2(12-+-=
5
2
AOB S ∆=
21⨯3532
⨯5
2 =
73
2
点评：用此法比用分割法求三角形的面积计算量虽大些，但在解形如例5这样的圆锥曲线是双曲线的题时无需考虑直线与双曲线交于同一支还是不同的两支，也无需作图，思路简洁清晰，不易出错。
（发表于三峡科技杂志2007年2-3月合刊）。