岩土材料弹性力学模型与计算方法(1)
岩土类材料弹塑性力学模型及本构方程
岩土类材料弹塑性力学模型及本构方程TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-岩土类材料的弹塑性力学模型及本构方程摘要：本文主要结合岩土类材料的特性，开展研究其在受力变形过程中的弹性及塑性变形的特点，描述简化的力学模型特征及对应的适用条件，同时在分析研究其弹塑性力学模型的基础上，探究了关于岩土类介质材料的各种本构模型，如M-C、D-P、Cam、D-C、L-D及节理材料模型等，分析对应使用条件，特点及公式，从而推广到不同的材料本构模型的研究，为弹塑性理论更好的延伸发展做一定的参考性。
关键词：岩土类材料，弹塑性力学模型，本构方程不同的固体材料，力学性质各不相同。
即便是同一种固体材料，在不同的物理环境和受力状态中，所测得的反映其力学性质的应力应变曲线也各不相同。
尽管材料力学性质复杂多变，但仍是有规律可循的，也就是说可将各种反映材料力学性质的应力应变曲线，进行分析归类并加以总结，从而提出相应的变形体力学模型。
第一章岩土类材料地质工程或采掘工程中的岩土、煤炭、土壤，结构工程中的混凝土、石料，以及工业陶瓷等，将这些材料统称为岩土材料。
岩土塑性力学与传统塑性力学的区别在于岩土类材料和金属材料具有不同的力学特性。
岩土类材料是颗粒组成的多相体，而金属材料是人工形成的晶体材料。
正是由于不同的材料特性决定了岩土类材料和金属材料的不同性质。
归纳起来，岩土材料有3点基本特性：1.摩擦特性。
2.多相特性。
3.双强度特性。
另外岩土还有其特殊的力学性质：1.岩土的压硬性，2.岩土材料的等压屈服特性与剪胀性，3.岩土材料的硬化与软化特性。
4.土体的塑性变形依赖于应力路径。
对于岩土类等固体材料往往在受力变形的过程中，产生的弹性及塑性变形具备相应的特点，物体本身的结构以及所加外力的荷载、环境和温度等因素作用，常使得固体物体在变形过程中具备如下的特点。
固体材料弹性变形具有以下特点：(1)弹性变形是可逆的。
弹性力学的材料本构模型与参数计算
弹性力学的材料本构模型与参数计算弹性力学是力学的一个重要分支，研究物体在外力作用下的变形和回复的规律。
材料本构模型是描述物体应力和应变之间关系的数学表达形式，参数计算则是确定材料本构模型中所需要的参数数值。
1. 弹性力学基础弹性力学研究材料在小应变条件下的力学行为，假设物体在去除外力后能完全恢复到初始状态。
基于胡克定律，弹性力学将应力与应变关系表达为：σ = Eε其中，σ为应力，E为弹性模量，ε为应变。
2. 材料本构模型材料的本构模型是将材料的应力-应变关系表示为数学公式的抽象模型。
常用的材料本构模型包括线弹性模型、非线性弹性模型和粘弹性模型。
2.1 线弹性模型线弹性模型假设应力和应变之间的关系是线性的，最常用的线弹性模型是胡克弹性模型。
胡克弹性模型的应力-应变关系为：σ = Eε2.2 非线性弹性模型非线性弹性模型考虑了材料在大应变条件下的非线性响应。
常见的非线性弹性模型包括各向同性的本构模型（如拉梅尔模型和奥格登模型）和各向异性的本构模型（如沃纳模型和哈代模型）。
2.3 粘弹性模型粘弹性模型结合了弹性性质和粘性性质，能够描述材料在长时间作用下的变形行为。
常见的粘弹性模型有弹簧-阻尼器模型、弹性-塑性-粘性模型等。
3. 参数计算确定材料本构模型所需要的参数是理解材料行为的重要步骤。
常见的参数计算方法包括实验测量和理论推导。
3.1 实验测量通过实验测量可以得到材料的应力-应变曲线，从而确定本构模型的参数。
常见的实验方法包括拉伸试验、剪切试验和压缩试验。
3.2 理论推导根据材料的微观结构和特性，可以通过理论推导得到本构模型的参数。
例如，线弹性模型的参数可以通过弹性模量E的测量计算得到。
4. 应用举例材料本构模型和参数计算在工程设计和材料研究中具有重要应用。
例如，在航空航天领域，材料本构模型和参数计算可以用于飞机结构的强度分析和损伤评估。
总结：弹性力学的材料本构模型是描述物体应力和应变之间关系的数学表达形式，常见的模型包括线弹性模型、非线性弹性模型和粘弹性模型。
岩土弹塑性力学
. 20
q 洛德参数与受力状态
m (I1 )、q (J 2 )、 (J 3 )与 1 、 2 、
关系
2
主偏应力方程， S3J2SJ30
三角恒等式模拟，si3 n4 3sin1 4si3 n0
1 2 3
2 3
q
s s s
i i i
n n n
2
3
2
3
m m m
.
21
q 岩土本构模型建立
q 岩土塑性力学与传统塑性力学不同点
Ø球应力与偏应力之间存在交叉影响；
Ø考虑等向压缩屈服
Ø屈服准则要考虑剪切屈服与体积屈服，剪切屈服中要考虑平均 应力；
v
p Kp
q Ks
p
q
Gp Gs
Kp，Ks，Gp，Gs——弹塑性体积模量，剪缩模量，压硬模量，
弹塑性剪切模量
. 16
q 岩土塑性力学与传统塑性力学不同点
q 岩土塑性力学及其本构模型发展方向 q 岩土材料的试验结果
q 岩土材料的基本力学特点
q 岩土塑性力学与传统塑性力学不同点
q 岩土本构模型的建立
. 3
q 岩土塑性力学的提出
Ø材料受力三个阶段： 弹性 → 塑性 → 破坏
弹性力学 塑性力学 破坏力学 断裂力学等
. 4
q 岩土塑性力学的提出
Ø塑性力学与弹性力学的不同点： • 存在塑性变形 • 应力应变非线性 • 加载、卸载变形规律不同 • 受应力历史与应力路径的影响
. 9
q 岩土塑性力学及其本构模型发展方向
Ø 建立和发展适应岩土材料变形机制的、系统的、严 密的广义塑性力学体系
Ø 理论、试验及工程实践相结合，通过试验确定屈服 条件及其参数，以提供客观与符合实际的力学参数
隧道力学第5讲岩体力学方法和计算
co kv ,h 0 2
(kh) (kh)
(4)
各测点的现场量测值σk为ｎ个独立观测值，σ为ｎ个观测值的总
体。由各基本因素△, Fx，Fy ……所得的基本初始应力 k, Fxk,
Fky,…为方程（2）的自变量。根据各实测点提供的ｎ组实测值，以
及由数值方法计算的“数字观测值”给出的各回归系数估计值b1， b2，…，可以算出误差估计值ek和残差平方和Ｑ：
进行离散。几何形状和材料特性方面都具有对称性 时，可利用该对称性取部分计算范围进行剖分。
第5讲 岩体力学方法—数值法
1、计算范围的确定和离散方法 （4）应注意的几个问题（remarks）
5）洞室边缘两侧的对应单元，其大小形状尽量一致。 6)洞室边缘及附近单元的布置应考虑设置锚杆的方向及
深度，以便施加锚固力。 7)洞室内单元的划分要考虑到分部开挖的分界线和部分
第5讲 岩体力学方法—数值法
1、计算范围的确定和离散方法 （1）计算范围
考虑工程的需要和有限元离散误差以及计算误差，一般 选计算范围沿洞径各方向均不小于３～４倍洞径为好。但计算 实践表明，对非圆形洞室或各向异性岩体材料中开挖的洞室， 则计算范围应适当扩大或取上限尺寸。如果只考虑自重应力场， 则可借助于无限域单元，免去计算范围选取的麻烦，但是无限 元和有限元的交接位置的确定仍要考虑上述原则，只是范围可 略小一些或取下限。
开挖区域的分界线。 8）计算范围内的单元划分还要考虑到地下水位的变化分
界面。
第5讲 岩体力学方法—数值法
2、边界条件 计算范围的外边界可采取两种方式处理；其一
为位移边界条件，即一般假定边界点位移为零（也 有假定为弹性支座或给定位移的，但地下工程分析 中很少用）。其二是假定为力边界条件，包括自由 边界(P=０)条件。还可以给定混合边界条件，即 节点的一个自由度给定位移，另一个自由度给定节 点力（二维问题）。当然无论哪种处理都有一定的 误差，且随计算范围的减小而增大，靠近边界处误 差最大，这叫做“边界效应”。在动力分析中影响 更为显著，需妥善处理。
岩土弹性力学分析报告
岩土弹性力学分析报告
本岩土弹性力学分析报告旨在对一个岩土体的力学行为进行分析，以评估其在荷载作用下的变形和稳定性能。
以下是对该岩土体进行的弹性力学分析的内容：
1. 介绍
1.1 目的
1.2 范围与方法
2. 岩土体特性描述
2.1 岩土体组成与结构
2.2 岩土体物理性质
2.3 岩土体力学性质
3. 弹性力学理论
3.1 弹性力学基本原理
3.2 应变-应力关系
3.3 弹性模量与泊松比
4. 应力分析
4.1 荷载条件与边界条件
4.2 岩土体内应力分布
4.3 最大主应力与最小主应力
5. 变形分析
5.1 应变分布
5.2 横向应变与纵向应变
5.3 压缩模量与剪切模量
6. 稳定性分析
6.1 岩土体的稳定性问题
6.2 应力变形特征
6.3 失稳机理与临界状态
7. 结论
7.1 对岩土体的弹性力学特性进行总结
7.2 对岩土体的稳定性进行评估
8. 建议与改进
8.1 基于分析结果提出的建议
8.2 对分析方法的改进意见
9. 参考文献
以上内容将涵盖对岩土体的弹性力学分析所需的主要方面，以便评估岩土体的力学性能，提供对其变形和稳定性的深入理解。
弹性力学简介及其求解方法
弹性力学简介及其求解方法2010-08-27弹性力学简介及其求解方法弹性力学又称弹性理论，是固体力学的一个分支，是研究弹性体由于外力作用或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移。
确定弹性体的各质点应力、应变和位移的目的就是确定构件设计中的强度和刚度指标，以此用来解决实际工程结构中的强度、刚度和稳定性问题。
材料力学、结构力学三门学科所研究的内容和目的相同，但是研究对象和研究方法不同。
材料力学研究对象是杆状构件，结构力学是在材料力学基础上研究由多杆构成的杆系结构的强度和刚度问题。
而对于一般弹性实体结构，如板与壳结构、挡土墙与堤坝、地基以及其他三维实体结构来说，相应的强度和刚度问题要用弹性理论的方法来解决。
在研究方法上，弹性力学和材料力学都从静力学、几何关系、物理方程三方面着手来进行分析，但不同点是材料力学常借助于直观和实验现象做一些假设。
在具体问题计算时材料力学与结构力学都利用解决单一变量的常微分方程，在数学上求解容易。
弹性力学需解决的是满足边界条件的高阶多变量偏微分方程，在数学上求解困难，一般弹性体问题很难得到解析解。
所以，与材料力学相比，弹性力学的研究对象更加广泛，研究方法更加严密，能解决更加复杂的实际问题，因此需要用较多的数学工具。
弹性力学问题可以归结为边值问题：在弹性体内必须满足基本方程，即平衡微分方程、几何方程和物理方程；在应力边界上应满足应力边界条件；在位移边界上应满足位移边界条件；在混合边界上应满足相应的应力边界和位移边界条件。
满足基本方程的解答叫做弹性力学解；既满足基本方程，又满足边界条件的解答叫做弹性力学问题的解。
在求解弹性力学问题时，通常已知的是物体的形状、尺寸、约束情况和外载荷以及材料的物理常数。
需要求解的是应力、应变和位移，它们都是物体内点的坐标的函数。
对于空间问题，一共有15个未知函数：3个位移分量、6个应变分量和6个应力分量。
可利用的独立方程也有15个，即3个平衡微分方程、6个几何方程和6个物理方程。
第1章 岩土弹塑性力学
1 平均正应力： m ( x y z ) 3
1 Kronecker 符号： ij 0
在弹性理论和经典塑性理论中:
i j i j
应力球张量只产生体应变，即受力体只发生体积变化而不发生 形状变化； 应力偏张量则产生剪变形，即只引起物体形状变化而不发生体 积大小的变化。
法则，即塑性应变增量方向沿着屈服 面的梯度或外法线方向
粘性本构关系
材料的应力或应变随时间而变化
常常和弹性或塑性性质同时发生，因此,材料的粘性本构 方程分为 粘弹性
粘塑性
粘弹塑性 在工程中，常称材料的粘性性质为流变 常称应力下变形随时间的不断变化为材料的蠕变 常称应变下应力随时坏 破坏力学
2 1 22
2 J 2 3 8
与应力偏张量有关
Lode 角及其参数：
Lode 角及其参数：
平面上应力在x、y轴上的投影为：
x OP cos 30 P P cos 30 ( 1 3 ) 1 2 2 3 3 2
1 2
( 1 3 )
斜面上的剪应力
2 2 2 v px p2 p y z N
2 主应力与应力主方向
斜面ABC为主微分面，面上只有正应力σ 投影到坐标轴上
p y m
p x l
p z n
p x xl yx m zx n p y xy l y m zy n p z xz l yz m z n
弹性
岩石力学性质 塑性 粘性
体力和面 力Fi，Ti
平衡
位移ui 相容性 （几何）
本构关系
应力ij 应变ij
弹性力学在岩石工程中的应用
-8-
西北工业大学动力与能源学院
弹性力学在岩土工程中的应用
由此可求得摩擦体的剪应力 与剪应变 及相应位移。当不考虑摩擦力时求得 的 就是 1 。
6
计算举例
下面通过一个算例，用非摩擦体的传统弹性力学，计算土体内的位移，同时再
用本文方法，即摩擦体的弹性力学计算土体内的位移，以比较两种计算方法所得结 果的差别。 模型为长 20m 、深 15m 地基，两侧水平及底部被约束的平面应变问题。单元剖 分如图6所示，模型参数为 E 9 MPa ， v 0.3 ，中间单元加均布荷载 q0 70kPa 。 当 q0 70kPa ，仅个别高斯点达到极限条件，所以可认为此时土体仍处于弹性 状态。计算得到 y 方向位移变化见表1。表中情况1为不考虑摩擦因素时的位移，情 况2～5为不同摩擦角时的位移。节点位置如图6所示。 表2为单元5，6，15，16，55，56，69四个高斯点的剪应力 xy 及折减因子 F （
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西北工业大学动力与能源学院
弹性力学在岩土工程中的应用
将把岩土材料视作线弹性材料只是一种假设， 正是这种假设掩盖了岩土材料非线性 弹性特征，而且使弹性地基的弹性变形高于实测的弹性变形，从而使其偏离实际。
图1
土的应力—应变曲线
岩土材料是双强度材料，既具有黏聚力强度，又具有摩擦强度，在岩土工程的 弹性力学计算中，必须要考虑摩擦力，而摩擦力的发挥受材料变形的约束。由试验 可知，变形愈大摩擦因数也愈大，直到达到极限摩擦因数。这就决定岩土材料的应 力—应变关系为非线性，因而其相应的岩土材料弹性力学也将是非线性弹性力学。 岩土材料属于颗粒摩擦体，存在着内摩擦力，内摩擦力对应力的影响也是很大 的，因而其力学单元与传统弹性力学单元不同，如图 2 的传统固体的力学单元， 图 3 的摩擦材料的力学单元所示，图中 为正应力， 为剪应力， s 为摩擦应力。摩 擦体的单元中存在摩擦应力 s ，在非极限状态下，仍假设摩擦应力与法向应力成正 比，即：
岩土类材料弹塑性力学模型及本构方程
岩土类材料的弹塑性力学模型及本构方程摘要：本文主要结合岩土类材料的特性，开展研究其在受力变形过程中的弹性及塑性变形的特点，描述简化的力学模型特征及对应的适用条件，同时在分析研究其弹塑性力学模型的基础上，探究了关于岩土类介质材料的各种本构模型，如M-C、D-P、Cam、D-C、L-D及节理材料模型等，分析对应使用条件，特点及公式，从而推广到不同的材料本构模型的研究，为弹塑性理论更好的延伸发展做一定的参考性。
关键词：岩土类材料，弹塑性力学模型，本构方程不同的固体材料，力学性质各不相同。
即便是同一种固体材料，在不同的物理环境和受力状态中，所测得的反映其力学性质的应力应变曲线也各不相同。
尽管材料力学性质复杂多变，但仍是有规律可循的，也就是说可将各种反映材料力学性质的应力应变曲线，进行分析归类并加以总结，从而提出相应的变形体力学模型。
第一章岩土类材料地质工程或采掘工程中的岩土、煤炭、土壤，结构工程中的混凝土、石料，以及工业陶瓷等，将这些材料统称为岩土材料。
岩土塑性力学与传统塑性力学的区别在于岩土类材料和金属材料具有不同的力学特性。
岩土类材料是颗粒组成的多相体，而金属材料是人工形成的晶体材料。
正是由于不同的材料特性决定了岩土类材料和金属材料的不同性质。
归纳起来，岩土材料有3点基本特性：1.摩擦特性。
2.多相特性。
3.双强度特性。
另外岩土还有其特殊的力学性质：1.岩土的压硬性，2.岩土材料的等压屈服特性与剪胀性，3.岩土材料的硬化与软化特性。
4.土体的塑性变形依赖于应力路径。
对于岩土类等固体材料往往在受力变形的过程中，产生的弹性及塑性变形具备相应的特点，物体本身的结构以及所加外力的荷载、环境和温度等因素作用，常使得固体物体在变形过程中具备如下的特点。
固体材料弹性变形具有以下特点：(1)弹性变形是可逆的。
物体在变形过程中，外力所做的功以能量（应变能)的形式贮存在物体内，当卸载时，弹性应变能将全部释放出来，物体的变形得以完全恢复； (2)无论材料是处于单向应力状态，还是复杂应力状态，在线弹性变形阶段，应力和应变成线性比例关系；(3)对材料加载或卸载，其应力应变曲线路径相同。
清华大学-岩土材料弹塑型
p沿坐标轴方向分量为 pi 或X、Y、Z
p pi { p1, p2 , p3} {X , Y , Z} σ n ij n j
第一区域OA段内 ：压密
应力一应变曲线向上弯 ；随着变形的增 加，产生同样大小的应变所需增加的应 力越来越大 ；
由于岩石中原有的孔隙和裂缝被逐步压 紧闭合而产生的现象 ；
对于致密的岩石这个区域就没有或很小。 在几十兆帕的围压下进行压缩试验，一 般就没有这段曲线。
第二个区域AB段 ：弹性ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
应力与应变之间接近于直线关系，它的
间没有一一对应关系，因而假设应变增量主轴 与应力主轴重合； 1950年Hill 《The Mathematical Theory of Plasticity》 唯象 转入 细观塑性理论
岩土塑性理论发展历史
1773年库仑（Coulomb）提合的土质破坏条件， 其后推广为莫尔——库仑准则 ；
1857年朗肯（Rankine）研究了半无限体的极 限平衡，提出了滑移面概念。
有关 应变软化性质
岩土的压硬性
在一定范围内，岩土抗剪强度和刚度随压应力 的增大而增大，这种特性可称为岩土的压硬性。
岩土的抗剪强度不仅由粘结力产生，而且由内 摩擦角产生。
这是因为岩土由四项材料堆积或胶结而成，属 于摩擦型材料，因而它的抗剪强度与内摩擦角 及压应力有关
而金属材料不具这种特性，抗剪强度与压应力 无关。
在变形的第I、II、III区域，随着变形增大应力 也增大，即称为稳定阶段；在变形的第IV区域， 随变形增大应力减低，即，称为非稳定阶段。
由于出现塑性变形，使卸载曲线的斜率有所降 低，这种现象称为弹塑性耦合，这种现象在非 稳定阶段更为显著。
简化理想化的曲线
弹性力学的求解方法和一般性原理
第五章弹性力学的求解方法和一般性原理一.内容介绍通过弹性力学课程学习，我们已经推导和确定了弹性力学的基本方程和常用公式。
本章的任务是对弹性力学所涉及的基本方程作一总结，并且讨论具体地求解弹性力学问题的方法。
弹性力学问题的未知量有位移、应力和应变分量，共计15个，基本方程有平衡微分方程、几何方程和本构方程，也是15个。
面对这样一个庞大的方程组，直接求解显然是困难的，必须讨论问题的求解方法。
根据这一要求，本章的主要任务有三个：一是综合弹性力学的基本方程，并按边界条件的性质将问题分类；二是根据问题性质，确定基本未知量，建立通过基本未知量描述的基本方程，得到基本解法。
弹性力学问题的基本解法主要是位移解法、应力解法和混合解法等。
应该注意的是对于应力解法，基本方程包括变形协调方程。
三是介绍涉及弹性力学求解方法的一些基本原理。
主要包括解的唯一性原理、叠加原理和圣维南原理等，这些原理将为今后的弹性力学问题解建立基础。
如果你在学习本章内容时有困难，请及时查阅和复习前三章相关内容，以保证今后课程的学习。
二. 重点1.弹性力学基本方程与边界条件分类；2.位移解法与位移表示的平衡微分方程；3. 应力解法与应力表示的变形协调方程；4. 混合解法；5. 逆解法和半逆解法；6. 解的唯一性原理、叠加原理和圣维南原理知识点弹性力学基本方程边界条件位移表示的平衡微分方程应力解法体力为常量时的变形协调方程物理量的性质逆解法和半逆解法解的迭加原理弹性力学基本求解方法位移解法位移边界条件变形协调方程混合解法应变能定理解的唯一性原理圣维南原理§5.1 弹性力学的基本方程及其边值问题学习思路:通过应力状态、应变状态和本构关系的讨论，已经建立了一系列的弹性力学基本方程和边界条件。
本节的主要任务是将基本方程和边界条件作综合总结，并且对求解方法作初步介绍。
弹性力学问题具有15个基本未知量，基本方程也是15个，因此问题求解归结为在给定的边界条件下求解偏微分方程。
岩土弹塑性力学
岩土弹塑性力学1 塑性屈服准则在组合应力状态下，材料所服从的屈服准则一般用下式表示：()0=ij f σ (1)函数f 的特定形式是与材料有关的，其含有若干个材料常数。
根据材料塑性准则是否与静水压力有关，可以将材米分为两类：与静水压力无关材料和与静水压力相关材料，这两类材料一般分别称为无摩阻材料和摩阻材料。
通常情况下金属材料属于静水压力无关材料，而土、岩石、混凝土等地质材料属于与静水压力相关材料。
与静水压力不相关的材料是由剪切力控制着它的屈服，在工程中一般采用Tresca 准则和von Mises 屈服准则，而与静水压力相关的材料一般采用最大拉应力准则、Mohr-Coulomb 准则和Drucker-Prager 准则。
下面就开始讨论这些塑性屈服准则。
1.1 Tresca 屈服准则Tresca 准则于1864年提出，该屈服准则假定，当一点的最大剪应力达到极限值则发生屈服。
以主应力表达这一准则，则在屈服时三个主应力两两之差值绝对值的一半中的最大值达到k ，这上准则的数学表达式为：k =⎪⎭⎫ ⎝⎛---13322121,21,21max σσσσσσ (2) 如果材料常数k 由单轴试验确定，则可以得下述关系20σ=k (3)其中，0σ为单轴加载屈服应力。
为了以图形表示二维空间中的屈服曲线形状，假定一双轴应力状态，其中仅1σ和2σ为非零，在1σ轴和第一区间两轴角平分线间的应力顺序为021>>σσ，所以，由式(2)可以导出k =21σ 或 01σσ= (4) 在21σσ-坐标系中绘出服从Tresca 准则的屈服轨迹（图1）。
利用主应力与应力不变量之间的关系，可将式(2)变换为02)31s i n (2),(22=-+=k J J f πθθ （ 600≤≤θ） (5) 式中，式中θ成为相似角或Lode 角。
Tresca 准则与1I 无关，暗示不依赖于静水压力。
由于Tresca 准则与1I 无关，故可将屈服面演绎成主应力空间的规则平行六面棱柱体（图2），它就是Tresca 准则屈服图形。
岩土弹塑性力学(中南大学课件)共179页文档
➢经典塑性理论对材料性质的假设
(1)静水压力只产生弹性体积变化，不产生塑性体应变；因 此，材料屈服与静水压力无关。
(2)材料属于理想塑性材料或应变硬化塑性材料(即稳定性材料)， 故不可能发生软化现象(不稳定性材料)
（3）抗拉屈服极限与抗压屈服极限相同 (4)材料具有Bauschinger效应 (5)塑性应变增量方向服从正交流动 法则，即塑性应变增量方向沿着屈服 面的梯度或外法线方向
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
第一章 岩土弹塑性力学
参考书
§1-1 概述
➢材料受力三个阶段： 弹性 → 塑性 → 破坏
弹性力学 塑性力学 破坏力学 断裂力学等
弹性阶段：内力与变形存在着完全对应的关系，外力 消除后变形就完全恢复。 应力与应变之间的关系是一 一对应的，知道了应力立即可求应变。这种应力和应 变之间能建上一一对应关系的称全量关系。
CD段:曲线下降，岩石开始解体，岩石强度从峰 值强度下降至残余强度，这种情况叫做应变软化 这是岩土类材料区别于金属材料的一个特点。在 软化阶段内，岩土材料成为不稳定材料，传统塑 性力学不适应
岩石类介质的压缩试验结果
围压对三轴应力应变曲线和岩体塑 性性质有明显影响。当围压低时． 屈服强度低，软化现象明显。随着 围压增大，岩石的峰值强度和屈服 强度都增高，塑性性质明显增加。
试验表明，在压力不太大的情况，体积应变实际上与静水压 力成线性关系；对于一般金属材料，可以认为体积变化基本上 是弹性的，除去静水压力后体积变形可以完全恢复，没有残余 的体积变形。因此，在传统塑性理论中常假定不产生塑性体积 变形．而且在塑性变形过程中，体积变形与塑性变形相比往往 是可以忽略的 。 Bridgman和其他研究人员的实验结果确认：在静水压力不大条 件下、静水压力对材料屈服极限的影响完全可以忽略。因此在 传统塑性力学中，完全不考虑体积变形对塑性变形的影响。
弹性力学的理论模型和计算方法
弹性力学的理论模型和计算方法弹性力学是研究物体在外力作用下的形变和应力分布规律的学科。
它在工程学、物理学、材料学等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍弹性力学的理论模型和计算方法，帮助读者更好地理解和应用弹性力学的知识。
1. 弹性力学的基本概念弹性力学研究物体在受力时的变形和应力，其中弹性变形指物体在外力作用下的恢复性形变，应力则是物体内部单元之间的相互作用力。
根据物体受力的不同方式，弹性力学可以分为静力学和动力学两个分支。
2. 弹性力学的理论模型在弹性力学中，最常用的理论模型是胡克定律。
胡克定律描述了物体的应力和应变之间的线性关系，即应力与应变成正比。
根据具体情况的不同，可以采用各种模型进行计算，如一维线弹性模型、平面应力和平面应变模型等。
3. 弹性力学的计算方法在实际应用中，针对不同的问题和受力情况，可以选择不同的计算方法来求解弹性力学的问题。
以下介绍几种常用的计算方法：a. 解析解法：从理论上解析得出物体的应力和应变分布规律，适用于简单几何形状和边界条件的情况。
b. 数值解法：通过建立有限元模型，利用数值方法求解弹性力学问题。
常用的数值解法有有限元法、有限差分法和边界元法等。
c. 实验方法：通过真实物体的实验测试来获取其力学性质，并反推计算应力和应变分布。
实验方法通常用于验证理论模型的正确性和精确度。
4. 弹性力学的应用领域弹性力学广泛应用于工程学和物理学等领域中。
在工程学中，弹性力学常用于结构设计和材料力学的分析，例如建筑物的承载能力计算和风力荷载分析等。
在物理学中，弹性力学被用于研究固体和流体的弹性性质，探究其力学行为和性能。
5. 弹性力学的发展趋势随着科技的不断发展和应用的深入，弹性力学的研究也在不断前进。
当前，弹性力学中的非线性、动态和复杂问题成为研究的热点。
同时，计算机技术和仿真方法的发展，为弹性力学的理论模型和计算方法提供了更多的工具和手段。
总结：弹性力学的理论模型和计算方法是研究物体在外力作用下的变形和应力分布规律的重要内容。
5_1弹塑性数值方法
(1.6)
在主应力空间米赛斯屈服面为一无限延伸的圆柱面(图 1)。
图1
主应力空间的 Mises 和 Tresca 屈服面
5
(2) 屈斯加(Tresca)屈服准则
max k
其中最大剪应力 max max 1 2 , 2 3 , 3 1 / 2 。 该准则又称最大剪应力准则， 即当最 材料开始屈 大剪应力达到极限值 k 时， 服。 在主应力空间中， 屈斯加屈服面为 一无限延伸的正六边形柱面(图 1)。
则流动矢量 a d 可写为
a d C1a1 C2a 2 C3a 3
(1.28)
22
对于不同的屈服准则，可将相应的屈服函数 F 代入 (1.26) 式，可以计算得到 C1 , C 2 , C 3 值(表 1)。
表1 计算流动矢量的有关常数
屈服准则 Tresca Mises Mohr-Coulomb Drucker-Prager
1 F m sin J 2 cos sin sin c cos 0 3
0
7
(1.9)
3 1 3J 3 J 2 其中 arcsin 3 2
3 2
。
π 平面上的摩尔－库仑屈服条件如图 3 所示。 试验表明，摩尔－库仑屈服准则较为符合岩土和混凝土材 料的屈服和破坏特征。
11
1.2 硬化法则 硬化法则规定材料进入塑性变形后的后继屈服函数(又称加 载函数或加载曲面)。一般来说加载函数可以采用以下形式
F ij , 0
(1.11)
其中 是硬化参数，它依赖于变形的历史。 对于理想弹塑性材料，因无硬化效应，显然后继屈服函数 和初始屈服函数一致，即
岩土材料弹性力学模型与计算方法(1)
图 2 传统固体的力学单元 Fig.2 Mechanical element of traditional solids
第 27 卷 第 9 期
高 红，等. 岩土材料弹性力学模型与计算方法
• 1847 •
τ－s σ
图 3 摩擦材料的力学单元 Fig.3 Mechanical element of frictional materials
3 σ x ，σ y ，σ z 均为拉应力时取 0；f 为摩擦因数，且 f = tanϕ′ ，极限状态下 f = tanϕ ，无切向位移时 f = 0 ； q1 为不考虑摩擦时的剪应力，且 | q1 | ≥ | p f | ； qs 为内摩擦产生的剪应力。 pf 前面取正号 是因为计算中以拉应力为正。 3.2 摩擦力的计算
收稿日期：2008–02–02；修回日期：2008–07–14 基金项目：国家重点基础研究发展规划(973)项目(2002CB412708)；国家杰出青年科学基金项目(50325414) 作者简介：高 红(1979–)，女，博士，2000 年毕业于重庆大学工程力学系工程力学专业，现任助理研究员，主要从事岩土力学理论与试验方面的研 究工作。E-mail：hgao@
力–应变曲线具有线性关系。这种材料具有单一强 度，即材料的黏聚力。然而岩土材料的试验应力– 应变曲线通常是非线性的，一般常以双曲线形状表 示[5]，其初始阶段是弹性段，后半段是塑性段(见 图 1)。可见岩土材料的弹性段应力–应变关系是非 线性的，而工程上为了应用方便，通常将弹性段 应力–应变关系视作线性，而构成理想弹塑性应 力–应变关系。由此可见，把岩土材料视作线弹性 材料只是一种假设，正是这种假设掩盖了岩土材料 非线性弹性特征，而且使弹性地基的弹性变形高于 实测的弹性变形，从而使其偏离实际。
岩体力学几种常见岩石哒弹性模量推导公式详解
VP 0.35 1.88
第22页，共40页。
二、岩体波速与岩体中裂隙或夹层的关系
弹性波在岩体中传播时，遇到裂隙，则视充填物而异。若裂隙中充填物为空气，则弹性波不能通 过，而是绕过裂隙断点传播。在裂隙充水的情况下，弹性波有5％可以通过，若充填物为其他液体或 固体物质，则弹性波可部分或完全通过。弹性波跨越裂隙宽度的能力与弹性波的频率和振幅有关 .
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根据实验结果整理的岩体动、弹性模量
动弹性模量比静弹性模量高百分之几甚至10倍
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动弹模
静弹模
第20页，共40页。
动弹性模量与静弹性模量的比值 一般来说，岩体越坚硬越完整，则差值越小，否则，差值就越大。 从动弹性模量的数字来看，多集中在 15 ~ 50GPa 之间。
蠕变试验机 刚性伺服试验机 气动快速加载机 霍布金逊压杆及其变形装置 轻气炮、平面波发生器
动静态区 别
惯性力可 忽略
惯性力不 可忽略
山东科技大学资源与环境工程学院
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3.2 岩体中应力波类型及传播 一、固体中应力波的种类
波—某种扰动或某种运动参数或状态参数（例如应力、变 形、震（振）动、温度、电磁场强度等）的变化在介质中 的传播。应力波就是应力在固体介质中的传播。
体积应变
Δ2——拉普拉斯算子
2
2 x2
2 y 2
2 z 2
u、v、w为x、y、z方向上的位移
第7页，共40页。
由以上方程导出纵波在各向同性岩体中的传播速度：
Vp (
横波在各向同性岩体中的传播速度：
2Gd
1
)2
Vs
( Gd
1
)2
计算岩土力学01
第1章 绪论
• 1.1 计算机产生对力学的影响
• • • • • • •
实验力学+理论力学 法则：实践——理论——实践 局限性：只能解决简单区域和简单本构问题
实验力学+理论力学 计算力学 实验力学 理论力学+计算力学 理论力学 法则：实践——理论 理论——计算 计算——实践 法则：实践 理论 计算 实践 可处理复杂形状及复杂本构问题 使得人类改造自然的能力大大增强
参考书目
• 1. 朱伯芳, 有限单元法原理与应用1998: 中国水利水电出 版社. • 2. 王勖成, 有限单元法2003: 清华大学出版社. • 3. Bathe, K.J., Finite element procedures. Vol. 2. 1996: Prentice hall Englewood Cliffs, NJ. • 4. de Souza Neto, E., et al., Computational methods for plasticity: theory and applications2008: Wiley. • 5. Kojić, M. and K.J. Bathe, Inelastic analysis of solids and structures2005: Springer Verlag. • 6. Brebbia, C. and 武际可, 工程师用的边界单元法, 1986, 科学出版社. QQ群中已共享。大家不应局限于上述书书目，可大量阅 群中已共享。大家不应局限于上述书书目， 群中已共享 读其它相关书籍。 读其它相关书籍。
目标
1. 2. 3. 4. 5. 全面掌握常见的岩土力学模型； 领悟计算力学中的数值分析方法； 掌握计算力学基本原理； 计算岩土力学 熟练运用科学编程语言； 数值分析 力学模型 编制非线性程序； 非线性弹性、材料非线性、接触问题。 6. 至少熟悉一种岩土数值计算软件。
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对摩擦体单元，摩擦材料的剪应力可表示为
q = q1 − qs = q1 + pf
(1)
式中： q 为考虑摩擦时的剪应力；p 为法向应力， 且 p = σ x + σ y + σ z ，p≤0，为压应力时取负值，当
摘要：岩土材料内摩擦性质是岩土的基本力学性质之一，无论岩土处于何种受力状态，都应考虑岩土体的内摩擦
力。然而，至今只有岩土极限分析与塑性力学中考虑岩土体的内摩擦力，而在弹性理论与能量理论等诸方面均未
体现。岩土体无论是处于塑性状态还是弹性状态，都存在着内摩擦力，为此建立岩土材料弹性力学的摩擦体力学
单元。基于土体试验提出黏聚力先发挥，摩擦力随变形逐渐发挥，并假设摩擦因数与应变成正比，由此确定摩擦
即 s = σ tanϕ′ ， tanϕ′ 为摩擦因数，但它不是常数， 随位移增大而增大，直至极限状态下 tanϕ′ = tanϕ ， 此时摩擦因数为一常数。摩擦应力的方向与剪应力 τ 方向相反，因而摩擦应力是有利的，相当于强度。 极限状态下， τ − σ tanϕ = c ，此即为库仑公式， σ tanϕ 为极限摩擦强度，c 为黏聚力。
3 σ x ，σ y ，σ z 均为拉应力时取 0；f 为摩擦因数，且 f = tanϕ′ ，极限状态下 f = tanϕ ，无切向位移时 f = 0 ； q1 为不考虑摩擦时的剪应力，且 | q1 | ≥ | p f | ； qs 为内摩擦产生的剪应力。 pf 前面取正号 是因为计算中以拉应力为正。 3.2 摩擦力的计算
中图分类号：TU 45
文献标识码：A
文章编号：1000–6915(2008)09–1845–07
ELASTIC MECHANICAL MODEL AND COMPUTATION METHOD OF GEOMATERIALS
GAO Hong1，ZHENG Yingren1，2，ZHENG Lushi2
σ
o
ε
图 1 土的应力–应变曲线 Fig.1 Stress-strain curve of soil
岩土材料是双强度材料[6]，既具有黏聚力强度， 又具有摩擦强度，弹性力学计算中必须考虑摩擦力， 而摩擦力的发挥受材料变形的约束。由试验可知， 变形愈大摩擦因数也愈大，直到达到极限摩擦因数。 这就决定岩土材料的应力–应变关系为非线性，因 而其相应的岩土材料弹性力学也将是非线性弹性力 学。
第 27 卷 第 9 期 2008 年 9 月
岩石力学与工程学报 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering
Vol.27 No.9 Sept.，2008
岩土材料弹性力学模型与计算方法
高 红 1，郑颖人 1，2，郑璐石 2
(1. 中国科学院武汉岩土力学研究所 岩土力学与工程国家重点实验室，湖北 武汉 430071；2. 后勤工程学院 军事土木工程系，重庆 400041)
收稿日期：2008–02–02；修回日期：2008–07–14 基金项目：国家重点基础研究发展规划(973)项目(2002CB412708)；国家杰出青年科学基金项目(50325414) 作者简介：高 红(1979–)，女，博士，2000 年毕业于重庆大学工程力学系工程力学专业，现任助理研究员，主要从事岩土力学理论与试验方面的研 究工作。E-mail：hgao@
岩土材料属于颗粒摩擦体，存在着内摩擦力， 因而其力学单元与传统弹性力学单元不同[7]，如 图 2，3 所示，图中σ 为正应力，τ 为剪应力，s 为 摩擦应力。摩擦体的单元中存在摩擦应力 s ，在非 极限状态下，仍假设摩擦应力与法向应力成正比，
τσBiblioteka 3 岩土材料弹性力学与弹性变形能
3.1 岩土材料弹性力学模型 通常所说的弹性力学是指线弹性力学，即材料
力的计算，最后仿效线弹性力学计算方法，但此时摩擦体的剪切模量 G 已非常数，从而形成摩擦体的非线性弹性
力学计算方法。算例表明，按该方法计算出的弹性地基上的位移和剪应力小于传统方法计算出的位移和应力值，
这比较符合实际情况，表明采用摩擦体力学单元对岩土材料是合适的。
关键词：岩土力学；岩土材料；弹性力学；模型；计算方法
(1. State Key Laboratory of Geomechanics and Geotechnical Engineering，Institute of Rock and Soil Mechanics，Chinese Academy of Sciences，Wuhan，Hubei 430071，China；2. Department of Architecture and Civil Engineering， Logistical Engineering University，Chongqing 400041，China)
Abstract：The internal friction character is one of the basic properties of geomaterial，and the internal friction exists in mechanical elements all the time. However，until now the internal friction is only considered in limit analysis and plastic mechanics，but not included in elastic mechanics and energy theory. It is considered that the internal friction exists whether in plastic state or elastic state，and the mechanical elements of friction material are constituted based on this cognition. According to the research of soil tests，it is presented that the cohesion takes effect firstly，and then the internal friction increases gradually with the increment of deformation. By assuming that the friction factor is proportional to the strain，the internal friction is computed. At last，by imitating the linear elastic mechanics，the nonlinear elastic mechanical model of friction material is established，where the shear modular G is not a constant. The new model and the traditional elastic model are used simultaneously to analyze an elastic foundation. The results indicate that the displacement and the shear stress computed by the new model are smaller than those of the traditional model，which is in agreement with the fact. So it is suitable for geomaterial to adopt the mechanical elements of friction material. Key words：rock and soil mechanics；geomaterial；elastic mechanics；model；computation method
力–应变曲线具有线性关系。这种材料具有单一强 度，即材料的黏聚力。然而岩土材料的试验应力– 应变曲线通常是非线性的，一般常以双曲线形状表 示[5]，其初始阶段是弹性段，后半段是塑性段(见 图 1)。可见岩土材料的弹性段应力–应变关系是非 线性的，而工程上为了应用方便，通常将弹性段 应力–应变关系视作线性，而构成理想弹塑性应 力–应变关系。由此可见，把岩土材料视作线弹性 材料只是一种假设，正是这种假设掩盖了岩土材料 非线性弹性特征，而且使弹性地基的弹性变形高于 实测的弹性变形，从而使其偏离实际。
• 1846 •
岩石力学与工程学报
2008 年
1引言
土力学的发展已有 200 多年的历史，岩石力学 的发展也有半个多世纪，目前岩土力学已逐渐成为 固体力学中的一个分支。然而，事物的发展总是一 分为二的，既有向前发展的一面，又有迂回滞后的 一面。岩土力学的发展也不例外，一方面不断地体 现出岩土材料的特点，发展了岩土力学；另一方面 又牢固地受到传统固体力学的制约，阻碍着岩土力 学的发展[1]。例如，一方面，在岩土极限分析、塑 性力学等方面，岩土力学研究者已经意识到必须克 服传统固体力学的制约，将传统固体力学发展改造 成具有内摩擦特征的真正的岩土力学[2]；另一方面， 众多学者在岩土弹性力学、能量理论等方面仍然受 到传统力学的严重制约，没有意识到也应同样体现 岩土材料的力学特征，从而理论上必然难以符合岩 土工程实际。本文的目的是希望通过与同行们共同 探讨，正确认识岩土材料的基本力学特征，从而自 觉地将传统固体力学发展改造成适用于岩土材料的 固体力学——摩擦体力学。
目前，对于极限状态中的岩土体，c，ϕ 值获得 充分的发挥，因而可以进行合理的力学计算。但当 岩土体处在非极限状态中时，至今尚不清楚 c，ϕ 值如何发挥作用，哪一种先发挥作用，这正是双强 度岩土材料力学计算中遇到的新问题。尽管目前还 缺乏研究，但仍可从土体剪切试验得到的抗剪强度与 水平位移关系[8]中看出。如图 4 所示[9]，碎石含量为 80%的碎石土，含水量 w = 9%，此时碎石土 c =15 kPa，ϕ =38°，可见这是一种黏聚力很低，内摩擦角 很大的土体。由图 4 可见，当水平位移很小时，抗 剪强度迅速增加，但增大幅度不大，表明黏聚力发 挥了作用。然后，随着水平位移增大，抗剪强度逐 渐增大，表明摩擦力逐渐发挥作用，直至水平位移