与球有关的切接问题全解

角度四：四（三）棱锥的外接球
例 4．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4， 底面边长为 2，则该球的表面积为 81π A. 4 C．9π B．16π 27π D. 4 ( )
解析：如图所示，设球半径为 R，底面中心为 O′且球心为 O， ∵正四棱锥 PABCD 中 AB＝2，∴AO′＝ 2. ∵PO′＝4，∴在 Rt△AOO′ 中，AO2＝AO′2＋OO′2，∴ 9 R ＝( 2) ＋(4－R) ，解得 R＝ ，∴该球的表面积为 4πR2＝ 4
(2)直三棱柱的外接球；
(3)正(长)方体的外接球；
(4)四（三）棱锥的外接球.
角度一：正四面体的内切球
例 1．若一个正四面体的表面积为 S1，其内切球的表面积为 S2， 6 3 S1 π 则 ＝________. S2 解析：设正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S1＝
3 2 1 2 4·4 · a ＝ 3 a ，其内切球半径为正四面体高的 4 ，即r＝ 1 6 6 πa2 S1 2 4 ·3 a＝ 12 a，因此内切球表面积为S2＝4πr ＝ 6 ，则 S2 3a2 6 3 ＝π ＝ π . 2 a 6
2 2 2
92 81π 4π×4 ＝ ，故选 4
A.
答案：A
变式训练:
1.已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球面 上，且 AB=6，BC=2 3 ，则棱锥 O-ABCD 的体积为 8 3
方法归纳
“切”“接”问题处理的注意事项 (1)“切”的处理
解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解
总结：直三棱柱外接球球心在上下三角形外心连线的中点
变式训练:
1．正三棱柱 ABCA1B1C1 的六个顶点都在球面上，且底面边长 28 和高为 2，则球的表面积为 3
5
解析
角度三：正方体(长方体)的外接球
思考：可以还原到什么几何体中考虑？
解析
解析：如图所示，BE 过球心 O， ∴DE＝ 42－32－ 32＝2， 1 ∴ VE ABCD＝ ×3× 3×2＝2 3. 3 答案：2 3
第二节
空间几何体的表面积与体积
与球有关的切、接问题
(常考常新型考点——多角探明)
[必备知识]
1．球的表面积公式：S＝4πR2； 4 3 球的体积公式 V＝ πR 3
(1)正四面体与球：如图，设正四面体的棱长 为 a，内切球的半径为 r，外接球的半径为 R，取 AB 的中点为 D，连接 CD，SE 为正四面体的高， 在截面三角形 SDC 内作一个与边 SD 和 DC 相切， 圆心在高 SE 上的圆．因为正四面体本身的对称性，内切球和外接 球的球心同为 O.此时，CO＝OS＝R，OE＝r，SE＝ 3 a，则有 R＋r＝ 3 2 a 2 2 2 a，R －r ＝|CE| ＝ ，解得 3 3
答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面 体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作． (2)“接”的处理 把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问 题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体 的顶点的距离等于球的半径． （3）还原处理 如果直接考虑不出来不妨考虑能否把几何体还原到 特殊的几何体中，比如正方体、长方体等等
2 a 2
a 2
(r 为内切球
③正方体的外接球：截面图为正方形 ACC1A1 的外接圆，则 |A1O|＝R′＝
3 a 2
注意：球心均在正方体的中心位置
(3)三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球： ① 如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相
等，则可以补形为一个正方体，正方体 的外接球的球心就是三棱锥的外接球的 球心．即三棱锥 A1AB1D1 的外接球的球心和正方体 ABCDA1B1C1D1 的外接球的球心重合．如图，设 AA1 3a ＝a，则 R 2 ②如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，则可以补形
练习 1.在正三棱锥 SABC 中，M 是 SC 的中点，且 AM ⊥SB，底面边长 AB＝2 2，则正三棱锥 SABC 的外接球 的表面积为 A．6π C．32π ( ) B．12π D．36π
解析
解析：如图，由正三棱锥的性质易知 SB⊥AC，结合 AM⊥SB 知 SB⊥平 面 SAC，所以 SB⊥SA，SB⊥SC.又 正三棱锥的三个侧面是全等的三角 形，所以 SA ⊥ SC ，所以正三棱锥 SABC 为正方体的一个角，所以正三棱锥 SABC 的外接 球即为正方体的外接球．由 AB＝2 2，得 SA＝SB＝SC ＝2，所以正方体的体对角线为 2 3，所以所求外接球的 半径 R＝ 3，所求表面积为 4πR2＝12π. 答案：B
练习2.四面体ABCD的四个顶点都在球O的球面上,AB⊥平面
BCD,△BCD是边长为3的等边三角形.若AB=2,则球O的表面积为( A.8π B.12π C.16π D.32π )
为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的
2 2 2 2 a ＋ b ＋ c l 球心．R2＝ ＝ (l 为长方体的体对角线长)． 即R 4 4
l百度文库 2
[多角探明]
与球相关的切、 接问题是高考命题的热点， 也是考生的难点、 易失分点．命题角度多变．归纳起来常见的命题角度有：
(1)正四面体的内切球；
【变式训练】已知正三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为 上,且PA,PB,PC两两互相垂直,则球心到平面ABC的距离为
3 的球面
3 3
.
思考：可以将该几何体还原到什么几何体中考虑？
P
E
A B
O
C
F
角度二：直三棱柱的外接球
解析
思考1：可不可以将该直三棱柱还原到特殊的几何体中？
思考2：球心在哪里？
2
2 a，CE＝ 3
R
6 6 a, r a 4 12
如果还原到正方体中去考虑呢？
C D
B
A
(2)正方体与球：
① 正方体的内切球：截面图为正方形 EFHG 的内切圆，如图所示．设正方体 的棱长为 a，则|OJ|＝r＝ 半径)．
②与正方体各棱相切的球：截面图为正方形 EFHG 的外接 圆，则|GO|＝R＝