FIR滤波器以及窗口设计

2 n 汉明窗函数为 W (n) (0.5 0.5cos ) RN ( n) N 1
所以，h(n)=hd(n)w(n)
注意与上次课例子做比较
2、线性相位FIR带通滤波器的设计
衰减和通带平稳性。
但实际上这两点不能兼得，一般总是通过增加主瓣 宽度来换取对旁瓣的抑制。
2、几种典型的窗函数
1）矩形窗
窗函数为： W (n) 1 RN (n)
k 0
N 1
2）汉宁窗（升余弦窗）
2 n ) RN (n) 窗函数为： W (n) (0.5 0.5cos N 1
窄，但阻带最小衰减也最小，仅-21dB；布莱克
曼窗设计的阻带最小衰减最大，达-74dB，但过
渡带最宽，约为矩形窗的三倍。
3、用窗函数法设计FIR滤波器步骤
1) 根据技术要求确定待求滤波器的单位脉冲响应hd(n); 2) 根据对过渡带及阻带衰减的要求，选择窗函数的形式， 并估算窗口的长度N； 3) 计算滤波器的单位脉冲响应h(n)，h(n)=hd(n)w(n)，如
c | | 其他
N-1 其中 2
第二类线性相位（有相移）(略)
其单位抽样响应为：
1 h d (k ) [ e j ( k ) d e j ( k ) d ] 2 c sin[ (k )] sin[c (k )] (k )
偶对称的幅度函数：
N 1 H g1 ( ) h(k ) cos[( k ) ] 2 k 0
N 1
N为奇数
奇对称的幅度函数：
N 1 H g 2 ( ) h(k )sin[(k ) ] 2 k 0
N 1
N为偶数
图三：线性相位FIR滤波器幅度特性
1、h(n)偶对称，N为奇数 w=0,π ,2π 偶对称，因此 对这些频率也呈偶对称。 2、h(n)偶对称，N为偶数 w= π ,H(w)=0，不能用这种情况设计高通、带阻滤 波器。 3 、h(n)奇对称，N为奇数 w=0,π ,2π 时H(w)=0，不能用作低通、高通或带 阻，只能设计带通。 4、h(n)奇对称，N为偶数 w=0,2π 时H(w)=0，不能设计低通和带阻，可设计 高通和带通。
jn
sin[c (n a)] hd (n) (n a)
图四：理想低通滤波器的单位脉冲响应hd(n)波形
由上图可见，得到的理想单位脉冲响应hd(n)往往 都是无限长序列，而且是非因果的。但FIR的h(n)是有 限长的，问题是怎样用一个有限长的序列去近似无限
长的hd(n)。
最直接简单的办法是直接截取其一段得到可实现的 有限长因果序列。 为了构造线性相位滤波器，应使截取的一段对N/2 对称，如： h(n)= hd(n)RN(n)
缺点：1. 不易控制边缘频率； 2. 幅频性能不理想； 3. h ( n ) 较长； 改进：1. 使用其它类型的窗函数； 2. 改进设计方法。
窗口法设计FIR高通带通带阻滤波器
1、线性相位FIR高通滤波器的设计
(第一类线性相位)理想高通的频率响应为：
j e H d (e j ) 0
表4.1 四种线性相位FIR滤波器特性 第一种情况，偶对称、奇数点，四种滤波器都可设 计；
第二种情况，偶对称、偶数点，可设计低、带通滤 波器不能设计高通和带阻；
第三种情况，奇对称、奇数点，只能设计带通滤波 器，其它滤波器都不能设计； 第四种情况，奇对称、偶数点，可设计高、带通滤 波器，不能设计低通和带阻。
线性相位理想低通滤波器的频率响应： j a e ,| | c j H d (e ) 0 , c , c 相应的理想单位抽样响应为：
1 hd (n) 2
即：
c
c
e
ja
c sin[c (n a)] e d c (n a)
优点 （1）很容易获得严格的线性相位，避免被处理的信号 产生相位失真，这一特点在宽频带信号处理、阵列信号 处理、数据传输等系统中非常重要；
（2）永远稳定，如果它的有限长单位脉冲响应是非因
果的，总能够通过适当的移位得到因果的，所以不存在 是否可实现的问题；
FIR滤波器与IIR滤波器的设计方法大不相同， 对IIR数字滤波器，设计结果是系统函数H(Z)，而
课本P150 表4.2 几种窗函数的性能
解：wp=0.6π;ws=0.4π
tr_width=wp-ws=0.2π N=6.2π /tr_width=31 wc=(ws+wp)/2=0.5π;
理想高通 选择汉宁窗
sin[ (k )] sin[c (k )] h d (k ) (k )
FIR数字滤波器的设计结果是其单位脉冲响应h(k)。
§4.1 线性相位FIR数字滤波器的特性
4.1.1 线性相位特性
1、线性相位特性
相位特性是系统的一个特性，要研究系统的相 位特性可求其傅立叶变换。
例：对于一个系统要实现无失真传输则系统响应
y(t)与激励f(t)的关系如下图。
f(t)
y(t)=Af(t-t0)
去逼近 。
在这种逼近中有两种直接的方法，一是从时域入 手，这就是本节要讲的时间窗口设计法，另一种从频 域入手，即下节讲的频率采样法。
时间窗口设计法是从单位脉冲响应序列着
手，使h(n)逼近理想的单位脉冲响应序列hd(n)。
我们知道hd(n)可以从理想频响通过付氏反变换获
得。
1、FIR低通滤波器的设计
N 1 H g ( ) h(k )sin[(k ) ] 2 k 0
N 1
N 1 ( ) 2 2
综上，线性相位的条件：
即如果单位脉冲响应h(k)为实数，且具有偶对称
或奇对称性，则FIR数字滤波器具有严格的线性相
位特性。
4、线性相位FIR滤波器的幅度特性
第四章 FIR滤波器的设计方法
线性相位FIR数字滤波器的特性
窗口设计法
IIR与FIR数字滤器的比较
学习要求：掌握线性相位的条件；熟练
掌握FIR线性相位滤波器的幅频特性；会
用窗口法设计FIR滤波器。
1、FIR数字滤波器
FIR数字滤波器的差分方程描述
对应的系统函数为：
FIR数字滤波器的特点(与IIR数字滤波器比较)：
总结：
可见，四种FIR数字滤波器的相位特性只取决于
h(n)的对称性，而与h(n)的值无关，其幅度特性取
决于h(n)，所以，设计FIR数字滤波器时，在保证 h(n)对称的条件下，只要完成幅度特性的逼近即可。
§4.2 窗口设计法（时间窗口法）
FIR滤波器的一般设计过程总是先给定一理想频率
响应为
应
，然后设计一FIR滤波器用它的频率响
其中RN(n)为矩形序列，也称为窗函数。见下图。
图五：理想低通的单位脉冲响应及矩形窗
所以，实际可实现的滤波器为：
H ( Z ) h( n) z n
n 0
N 1
我们用一个有限长序列h(n)来代替hd(n)，肯定会引起 误差。对实际得到的h(n)取频率响应得其幅频图如下：
图六：实际滤波器的幅频特性曲线图 Hd(w) 1
3、FIR滤波器满足第二类线性相位的条件
条件：h(k)是实数序列且对N/2点奇对称，即 h(k)=-h(N-1-k)。 其频率 H (e j ) e 响应为： 幅度函数 相位函数
j( N 1 N 1 ) 2 2
N 1 h(k )sin[(k ) ] 2 k 0
果要求是线性相位，则hd(n) 和w(n)均对N/2点对称。
对于FIR滤波器，得h(n)就设计好了，当然要验证 指标的话，还应求出频率响应。
另一个FIR滤波器参数表
(模拟指标)
FIR DF 设计的窗函数法的特点：
优点：1. 2. 3. 4. 无稳定性问题； 容易做到线性相位； 可以设计各种特殊类型的滤波器； 方法特别简单。
2、FIR滤波器满足第一类线性相位的条件
条件：h(k)是实数序列且对N/2点偶对称，即 h(k)=h(N-1-k)。 计算其频率响应得（计算过程见板书）：
H (e ) e
j
j
N 1 N 1 2
N 1 h(k ) cos[( k ) ] 2 k 0
因为：h(k)是实函数，正弦函数也是实函数
相当于用一个截止频率在 π处的低通滤波器
（实际上是全通滤波器）减去一个截止频率在ωc 处的低通滤波器。
c

例2:根据下列技术指标，设计一个FIR数字高通滤波器： wp=0.6 π,ws=0.4 π,Ap=0.25dB,As=40dB。选择一个合适 的窗函数，确定单位冲激响应。（ex4_hp.m） 窗函数 矩形 汉宁 汉明 布莱克曼 主瓣宽度 4π/N 8π/N 8π/N 12π/N 过渡带宽 1.8π/N 6.2π/N 6.6π/N 11π/N 阻带最小衰减 -21 -44 -53 -74
3）哈明窗（改进的升余弦窗）
2 n ) RN ( n) 窗函数为： W (n) (0.54 0.46 cos N 1
它是对汉宁窗 的改进，在主瓣宽 度（对应第一零点 的宽度）相同的情 况下，旁瓣进一步 减小，可使99.96% 的能量集中在主瓣 内。
4）布莱克曼窗
窗函数为：W (n) (0.42 0.5cos 2 n
j 2
其中
( x / 2) I 0 ( x) 1 [ ] j! j 1
四种窗函数的比较
四种窗函数的时域波形如图4.6，幅度谱如图4.7，用四 种窗函数所设计的滤波器的频响特性如图4.8。
从(a)→(d)，旁瓣的衰减逐步增加，主瓣相应加宽。
（N=51， =0.8π ）
图4.8可见，用矩形窗设计的滤波器过渡带最
4 n 0.08cos ) RN (n) N 1 N 1
增加一个二 次谐波余弦分量， 可进一步降低旁 瓣，但主瓣宽度
进一步增加，增
加N可减少过渡 带。
5）凯塞窗
以上四种窗函数，都是以增加主瓣宽度为代价来 降低旁瓣。凯塞窗则可自由选择主瓣宽度和旁瓣衰减,
如图。
窗函数为：
W ( n) I0[ 1 ( 2n 1) 2 ] N 1 I0[ ]
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如何减少吉布斯效应？
加大N，只能使过渡带变窄；
要减少带内波动以及加大阻带衰减，就需要选
择合适的窗函数。
为了改善滤波器的特性，必须改变窗函数的形
状，窗函数要满足以下两点要求：
① 窗谱主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带； ② 相对于主瓣幅度，旁瓣要尽可能小，使能量尽量集 中在主瓣中，这样就可以减小肩峰和余振，以提高阻带
| H ( j ) |
| | c
( )
A
c
c
c
c
图一：幅频特性
图二：相位特性
线性相位：指 ( )是w的线性函数，
即群时延是一个常数。
d ( ) t0 d
线性相 位类别：
（常数）
第一类线性相位： 第二类线性相位：
( )
() 0
-wc
wc
w
图七：理想的幅频特性曲线
从实际滤波器的幅频图和理想的滤波器幅频曲线比
较，可见加窗对理想频响的影响： 1、在w=wc附近形成过渡带，其宽度取决于窗函数 的主瓣宽度。 2、通带内增加了波动，阻带内产生了余震并减少
了阻带的衰减。这是由窗函数旁瓣的作用引起的。
这种误差表现在频域上，称为吉布斯效应。
H (e j ) H g ()e
幅度函数
N 1
j
N 1 2
N 1 H g ( ) h(k ) cos[( k ) ] 2 k 0
相位函数
N 1 ( ) 2
N-1 即 2
所以，只要h(k)是实序列，且h(k)为N/2点偶对
称，则该滤波器就一定具有第一类线性相位。
求其傅立叶变换得：Y ( j) AF ( j)e jt0 而：
H ( j ) Y ( j ) Ae jt0 H ( )e j ( ) F ( j )
A 系统的幅频特性为： | H ( j ) | 0
| | c | | c
相频特性： () t0