概率论与数理统计在日常生活中的应用

概 率 论 与 数 理 统 计

在 日 常 经 济 生 活 中 的 应 用

内容摘要：数学作为一门工具性学科在我们的日常生活以及科学研究中扮演着极其重要的角色。概率论与数理统计作为数学的一个重要组成部分，在生活中的应用也越来越广泛，近些年来，概率论与数理统计知识也越来越多的渗透到经济学，心理学，遗传学等学科中，另外在我们的日常生活之中，赌博，彩票，天气，体育赛事等都跟概率学有着十分密切的关系。本文着眼于概率论与数理统计在我们生活中的应用，通过前半部分对概率论与数理统计的一些基本知识的介绍，包括概率的基本性质，随机变量的数字特征及其分布，贝叶斯公式，中心极限定理等，结合后半部分的事例分析讨论了概率论与数理统计在我们生活中的指导作用，可以说，概率论与数理统计是如今数学中最活跃，应用最广泛的学科之一。

关键词：概率论 数理统计 经济生活 随机变量 贝叶斯公式

第一章 基本知识

§1.1 概率的重要性质

1.1.1定义

设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率。 概率)(A P 满足下列条件：

（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P

（3）可列可加性：设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，有∑===n

k k n

k k A P A P 1

1

)()( （n 可以

取∞）

1.1.2 概率的一些重要性质 （i ） 0)(=φP

（ii ）若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，则有∑===n

k k n

k k A P A P 1

1

)()( （n 可以取∞）

（iii ）设A ，B 是两个事件若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥

（iv）对于任意事件A，1

)

(≤

A

P

（v）)

(

1

)

(A

P

A

P-

=（逆事件的概率）

（vi）对于任意事件A，B有)

(

)

(

)

(

)

(AB

P

B

P

A

P

B

A

P-

+

=

⋃

第二章在日常生活中的应用

中国的经济在近些年发展极为迅速，但市场难料，盲目投资也是不理性的。概率论是根据大量随机现象的统计规律，对随机现象出现某一结果的可能性的科学判断，对这种现象出现的可能性大小做出数量上的描述。而经济市场是一个极大的随机系统，其中许多问题都是一种随机现象，因此，完全可以用概率论的思想来对一些经济问题进行指导。

§2.1 在中奖问题中的应用

集市上有一个人在设摊“摸彩”，只见他手拿一个黑色的袋子，内装大小.形状.质量完全相同的白球20只，且每一个球上都写有号码（1-20号）和1只红球，规定：每次只摸一只球。摸前交1元钱且在1--20内写一个号码，摸到红球奖5元，摸到号码数与你写的号码相同奖10元。

（1）你认为该游戏对“摸彩”者有利吗？说明你的理由。

（2）若一个“摸彩”者多次摸奖后，他平均每次将获利或损失多少元？

分析：（1）分别求出“摸彩”者获奖5元和获奖10元的概率，即可说明；

20

（5+10）-1=-0.25＜0，故每次平均损失0.25元．

§2.2 在经济管理决策中的应用

某人有一笔资金,可投入三个项目:房产x、地产y和商业z,其收益和市场状态有关,

若把未来市场划分为好、中、差三个等级,其发生的概率分别为

10.2

p=,

20.7

p=,

30.1

p= ,根据市场调研的情况可知不同等级状态下各种投资的年收益(万元) ,见下表:

请问:该投资者如何投资好?

解 我们先考察数学期望,可知

()()110.230.730.1 4.0E x =⨯+⨯+-⨯=； ()()60.240.710.1 3.9E y =⨯+⨯+-⨯=； ()()100.220.720.1 3.2E z =⨯+⨯+-⨯=；

根据数学期望可知,投资房产的平均收益最大,可能选择房产,但投资也要考虑风 险,我们再来考虑它们的方差:

()()()()222

1140.2340.7340.115.4D x =-⨯+-⨯+--⨯=;

()()()()2

2

2

6 3.90.24 3.90.71 3.90.1 3.29D y =-⨯+-⨯+--⨯=; ()()()()2

2

2

10 3.20.22 3.20.72 3.20.112.96D z =-⨯+-⨯+--⨯=

因为方差愈大,则收益的波动大,从而风险也大,所以从方差看,投资房产的风险比投资地产的风险大得多,若收益与风险综合权衡,该投资者还是应该选择投资地产为好,虽然平均收益少0.1万元,但风险要小一半以上。

§2.3 在经济损失估计中的应用

随着经济建设的高速发展火灾、车祸等各种意外事故所造成的经济损失成明显上升的趋势,从而买保险成为各单位及个人分担经济损失的一种有效方法。利用统计知识可以估计各种意外事故发生的可能性以及发生后导致的经济损失大小。下面以参数估计为例来说明它在这一方面的应用。

已知某仓库货物在储藏过程中,仓库货物因火灾而损失的金额服从正态分布

()2,N μσ ,今随机抽取8 次货损资料,得到如下仓库货物损失金额表。

解 利用矩估计法或最大似然估计法可知: μ, 2σ的矩估计量分别为:

11n i i X X n μ===∑—，2

21

1()n i i X X n σ==-∑

从而根据表2 中的数据可计算出:

()1

1000220001300045000126258

μ=

⨯+⨯+⨯+⨯=()()()()2222

2110002625220002625300026254500026258σ⎡⎤=-⨯+-+-⨯+-⎣

⎦

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