复数的概念及运算 知识点+例题 全面分类

[例2] 设复数z 满足)1)(23(i i iz -+=-，则.______=z i 51+

[巩固1] 复数

i i a 212+-是纯虚数，则实数a 的值为________.4

[巩固2] 如果

)(112R m mi i ∈+=-，那么._____=m 1

[例3] 已知i z 34+-=，则._______2=-z i 36+

[巩固1] 已知复数i z 211+=，i z 322-=，则21z z +的共轭复数是___________.i +3

[巩固2] 已知i 是虚数单位，R n m ∈，，且ni i m -=+22，则

ni m ni m -+的共轭复数为_________.i

[例4] 计算：（1）3)2)(1(i

i i ++-（2）22)1(1)1(1i i i i -+++-

[巩固] 计算：

（1）)1()2()23(i i i +---++；（2）)2)(1(2013i i i -+⋅；（3）i

i 4321-+

1．复平面：我们把建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.

2．复数的模：22b a bi a z +=+=

3．bi a z +=1，di c z +=2，则2221)()(d b c a z z -+-=

- 两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.

[例1] 已知复数i i z -+=

12，则._____=z 210

[巩固1] 复数)0(21<+=

a i

ai z ，其中i 为虚数单位， 5=z ，则a 的值为__________.-5

[巩固2] 若2=z ，求i z 43-+取最大值时的.

______=z i 5

856-

[例2] 复数)(23)1(2R a i a a i z ∈++--=

（1）若z z =，求z ；

（2）若在复平面内复数z 对应的点在第一象限，求a 的范围. 知识模块3复数的模

精典例题透析

[巩固] 已知z为复数，i

z2

+为实数，且z

i)

2

1(-为纯虚数，其中i为虚数单位.

（1）求复数z；

（2）若复数z满足1

=

-z

w，求w的最小值.

题型一：复数的概念

[例]（1）已知a∈R，复数z1＝2＋a i，z2＝1－2i，若

z1

z2为纯虚数，则复数

z1

z2的虚部为_______.

（2）若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的_________条件.（填充分不必要，必要不充分，充要或既不充分也不必要）

答案(1) 1(2) 充分不必要条件

解析(1)由

z1

z2＝

2＋a i

1－2i

＝

(2＋a i)(1＋2i)

5＝

2－2a

5＋

4＋a

5i是纯虚数，得a＝1，此时

z1

z2＝i，其虚部为1.

(2)由

⎩⎪

⎨

⎪⎧m2＋m＋1＝3，

m2＋m－4＝－2，

解得m＝－2或m＝1，

所以“m＝1”是“z1＝z2”的充分不必要条件．

[巩固]（1）设i是虚数单位．若复数a－

10

3－i

(a∈R)是纯虚数，则a的值为__________.

（2）已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋b i)2＝2i”的____________条件.（填充分不必要，知识模块4经典题型

必要不充分，充要或既不充分也不必要）

答案 (1) 3 (2) 既不充分也不必要条件

解析 (1)a －103－i

＝a －(3＋i)＝(a －3)－i ，由a ∈R ， 且a －103－i

为纯虚数知a ＝3. (2)当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ；

当(a ＋b i)2＝2i 时，得⎩⎪⎨⎪⎧

a 2－

b 2＝0，ab ＝1， 解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，

所以“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的充分不必要条件．

题型二：复数的运算

[例] 计算：（1）3(1＋i )2i －1＝________； （2）(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i

＝________. 答案 (1)3－3i (2)－1＋i

解析 (1)3(1＋i )2i －1＝3×2i i －1＝6i i －1

＝－6i (i ＋1)2＝－3i(i ＋1)＝3－3i. (2)原式＝[(1＋i )2

2]6＋(2＋3i )(3＋2i )(3)2＋(2)2

＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i. [巩固]（1）已知复数z 满足(3＋4i)z ＝25，则z 等于_________.

（2）复数⎝ ⎛⎭

⎪⎫1＋i 1－i 2＝________. 答案 (1) 3－4i (2)－1

解析 (1)方法一 由(3＋4i)z ＝25，

得z ＝253＋4i ＝25(3－4i )(3＋4i )(3－4i )

＝3－4i. 方法二 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(3＋4i)(a ＋b i)＝25，即3a －4b ＋(4a ＋3b )i ＝25，所以⎩

⎪⎨⎪⎧ 3a －4b ＝25，4a ＋3b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝3，

b ＝－4，故z ＝3－4i. (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2＝1＋i 2＋2i 1＋i 2－2i ＝i －i

＝－1.

题型三：复数的几何意义

[例] 如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：

（1）AO →、BC →所表示的复数；

（2）对角线CA →所表示的复数；

（3）B 点对应的复数．