概率论与数理统计练习题(附答案)
概率论与数理统计练习题(附答案)
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练习题1、设随机变量)6.0,10(b ~X ,则22[()][(X)]D XE = ; 2、若随机变量X 的分布未知,但2,EX DX μσ==,则X 落在区间(2,2)μσμσ-+内的概率必不小于_________3、设ˆˆ(,......)12X X X n θθ=是未知参数θ的一个估计量,满足条件_________ 则称ˆθθ是的无偏估计。
4. 设X,Y 为随机变量,且D (X +Y )=7, D(X)=4, D(Y)=1,则相关系数XY ρ= 5. 设随机变量12,,,n X X X 相互独立,且(1,2,,)=i X i n 都服从区间[0,1]上的均匀分布,则当n 充分大时,∑==ni i nn X Y 11近似服从(写出具体分布与参数)6.设(,)X Y 服从区域222:G x y R +≤上的均匀分布,其概率密度为:222(,)0Cx y R f x y ⎧+≤=⎨⎩其它,则C=( );(A) 2R π ; (B)21R π; (C) R π2; (D) R π21。
7.设,......12X X X n 为相互独立的随机变量,且2(,())E X D X i iμσ==(1,2......i n =),11nX X i i n ∑==,则DX =( ) (A)2nσ(B)2n σ (C)nσ(D)22n σ8.设一次试验中事件A 不发生的概率为p,独立重复n 次试验,A 发生了X 次则正确的是:( )(A) ()()21p p X E -= ; (B)()E X np = ;(C)(1)DX np p =- ; (D) 2DX p p =-。
9.设随机变量X 和Y 不相关,则下列结论中正确的是( )A . X 与Y 独立; B. ()D X Y DX DY -=+; C .()D X Y DX DY -=-; D. ()D XY DXDY =. 10. 任何一个连续型随机变量的概率密度)(x ϕ一定满足( )。
概率论与数理统计练习题集及答案
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概率论与数理统计练习题集及答案一、选择题:1.某人射击三次,以i A 表示事件“第i 次击中目标”,则事件“三次中至多击中目标一次”的正确表示为 A 321A A A ++ B 323121A A A A A A ++ C 321321321A A A A A A A A A ++ D 321A A A2.掷两颗均匀的骰子,它们出现的点数之和等于8的概率为 A365 B 364 C 363 D 362 3.设随机事件A 与B 互不相容,且0)(,0)(>>B P A P ,则A )(1)(B P A P -= B )()()(B P A P AB P =C 1)(=+B A PD 1)(=AB P4.随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<≥=-000)(2x x ce x f x ,则=EXA 21B1 C2 D 415.下列各函数中可以作为某随机变量的分布函数的是A +∞<<∞-+=x x x F ,11)(21 B ⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=001)(2x x x x x FC +∞<<∞-=-x e x F x ,)(3D +∞<<∞-+=x x x F ,arctan 2143)(4π6.已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ,令X Y 2-=,则Y 的概率密度)(y f Y 为A )2(2y f X -B )2(y f X -C )2(21y f X -- D )2(21y f X -7.已知二维随机向量),(Y X 的分布及边缘分布如表hg p fe d x c b a x p y y y X Y Y j Xi 61818121321,且X 与Y 相互独立,则=h A 81 B 83 C 41 D 318.设随机变量]5,1[~U X ,随机变量)4,2(~N Y ,且X 与Y 相互独立,则=-)2(Y XY EA3 B6 C10 D129.设X 与Y 为任意二个随机变量,方差均存在且为正,若EY EX EXY ⋅=,则下列结论不正确的是A X 与Y 相互独立B X 与Y 不相关C 0),cov(=Y XD DY DX Y X D +=+)(答案:1. B2. A 6. D 7. D 8. C 9. A1.某人射击三次,以i A 表示事件“第i 次击中目标”,则事件“三次中恰好击中目标一次”的正确表示为 C A 321A A A ++ B 323121A A A A A A ++C 321321321A A A A A A A A A ++D 321A A A2.将两封信随机地投入4个邮筒中,则未向前两个邮筒中投信的概率为 AA 2242B 2412C C C 24!2AD !4!23.设随机事件A 与B 互不相容,且0)(,0)(>>B P A P ,则 D A )()|(A P B A P = B )()()(B P A P AB P = C )()()|(B P A P B A P = D 0)|(=B A P4.随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧∈=其他),0(2)(a x x x f ,则=EX AA 32B1 C 38 D316 5.随机变量X 的分布函数⎩⎨⎧≤>+-=-0)1()(x x e x A x F x,则=A B A0 B1 C2 D36.已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ,令X Y 3-=,则Y 的概率密度)(y f Y 为 DA )3(3y f X -B )3(y f X -C )3(31y f X --D )3(31y f X -7.已知二维随机向量),(Y X 的分布及边缘分布如表hg p fe d x c b a x p y y y X Y Y j Xi 61818121321,且X 与Y 相互独立,则=e B A 81 B 41 C 83 D 318.设随机变量Y X ,相互独立,且)5.0,16(~b X ,Y 服从参数为9的泊松分布,则=+-)12(Y X D CA-14 B13 C40 D419.设),(Y X 为二维随机向量,则X 与Y 不相关的充分必要条件是 D A X 与Y 相互独立 B EY EX Y X E +=+)( C DY DX DXY ⋅= D EY EX EXY ⋅= 一、填空题1.设A ,B 是两个随机事件,5.0)(=A P ,8.0)(=+B A P ,)1(若A 与B 互不相容,则)(B P = ;)2(若A 与B 相互独立,则)(B P = .2.一袋中装有10个球,其中4个黑球,6个白球,先后两次从袋中各取一球不放回.已知第一次取出的是黑球,则第二次取出的仍是黑球的概率为 .3.设离散型随机变量X 的概率分布为}{k a k X P 3==, ,2,1=k ,则常数=a .4.设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=2,120,0,0)(2x x ax x x F则常数=a ,}31{<<X P = . 5.设随机变量X 的概率分布为则)33(2+X E = .6.如果随机变量X 服从],[b a 上的均匀分布,且3)(=X E ,34)(=X D ,则a = ,b = .7.设随机变量X ,Y 相互独立,且都服从参数为6.0的10-分布,则}{Y X P == .8.设X ,Y 是两个随机变量,2)(=X E ,20)(2=X E ,3)(=Y E ,34)(2=Y E ,5.0=XY ρ,则)(Y X D - = .答案:1. 3.0,6.02. 313. 414.41,435.5.46. 1,57. 0.52 8. 211.设A ,B 是两个随机事件,3.0)(=A P ,)()(B A P AB P =,则)(B P = .2.甲、乙、丙三人在同一时间分别破译某一个密码,破译成功的概率依次为,,,则密码能译出的概率为 .3.设随机变量X 的概率分布为,5,4,3,2,1,15}{===k kk X P 则}31123{<<X P = . 4.设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤<=2,120,sin 0,0)(ππx x x x x F ,则=<}6{πX P .5.设随机变量X 服从]3,1[上的均匀分布,则X1的数学期望为 .6.设随机变量21,X X 相互独立,其概率分布分别为则}{21X X P == .7.设X ,Y 是两个随机变量,)3,0(~2N X ,)4,1(~2N Y ,X 与Y 相互独立,则~Y X + .8.设随机变量21,X X 相互独立,且都服从0,1上的均匀分布,则=-)3(21X X D .9.设随机变量X 和Y 的相关系数为5.0,=)(X E 0)(=Y E ,=)(2X E 2)(2=Y E ,则2)(Y X E + = . 答案:1. 0.72.3.314. 0.55. 3ln 216. 957. )5,1(2N8. 659. 6二、有三个箱子,第一个箱子中有3个黑球1个白球,第二个箱子中有3个黑球3个白球,第三个箱子中有3个黑球5个白球. 现随机地选取一个箱子,再从这个箱子中任取1个球.1求取到的是白球的概率;2若已知取出的球是白球,求它属于第二个箱子的概率.解:设事件i A 表示该球取自第i 个箱子)3,2,1(=i ,事件B 表示取到白球.2411853163314131)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P114)()|()()()()|(241163312222=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P三、某厂现有三部机器在独立地工作,假设每部机器在一天内发生故障的概率都是2.0. 在一天中,若三部机器均无故障,则该厂可获取利润2万元;若只有一部机器发生故障,则该厂仍可获取利润1万元;若有两部或三部机器发生故障,则该厂就要亏损5.0万元. 求该厂一天可获取的平均利润.设随机变量X 表示该厂一天所获的利润万元,则X 可能取5.0,1,2-,且512.08.0}2{3===X P ,384.08.02.0}1{213=⨯⨯==C X P ,104.0384.0512.01}5.0{=--=-=X P .所以356.1104.0)5.0(384.01512.02)(=⨯-+⨯+⨯=X E 万元四、设随机向量),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它,010,10,4),(y x xy y x f .)1(求}{Y X P <;)2(求Y X ,的边缘密度,并判断X 与Y 的独立性.解: 1 5.0)1(24),(}{102110=-===<⎰⎰⎰⎰⎰<dx x x xydy dx dxdy y x f Y X P x yx ;2,,010,24),()(,,010,24),()(1010⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-其它其它y y xydx dx y x f y f x x xydy dy y x f x f Y X由),()()(y x f y f x f Y X =知随机变量Y X ,相互独立.五、设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤=其它,010,3)(2x x x f X ,求随机变量12+=X Y 的密度函数.解法一:Y 的分布函数为)21(}21{}12{}{)(-=-≤=≤+=≤=y F y X P y X P y Y P y F X Y , 两边对y 求导,得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≤-=-=-=其它即,0311210,)1(83)21(23)21(21)(22y y y y y f y f X Y解法二:因为12+=x y 是10≤≤x 上单调连续函数,所以⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-=≤-=⨯-==其它即,031121)(0,)21(2321)21(3|)(|))(()(22y y y h y y dy y dh y h f y f X Y注:21)(-==y y h x 为12+=x y 的反函数;二、设甲、乙、丙三人生产同种型号的零件,他们生产的零件数之比为5:3:2. 已知甲、乙、丙三人生产的零件的次品率分别为%2%,4%,3. 现从三人生产的零件中任取一个. )1(求该零件是次品的概率;)2(若已知该零件为次品,求它是由甲生产的概率.解:设事件321,,A A A 分别表示取到的零件由甲、乙、丙生产,事件B 表示取到的零件是次品.1 028.0%2105%4103%3102)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P ;2 143028.0%32.0)()|()()()()|(1111=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P .三、设一袋中有6个球,分别编号1,2,3,4,5,6. 现从中任取2个球,用X 表示取到的两个球的最大编号. )1(求随机变量X 的概率分布;)2(求EX .解:X 可能取6,5,4,3,2,且6,5,4,3,2,1511}{26=-=-==k k C k k X P所以X 的概率分布表为3/115/45/115/215/165432P X且31415162=-⨯=∑=k k k EX .四、设随机向量),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它,020,10,),(y x x y x f .)1(求}1{≤+Y X P ;)2(求Y X ,的边缘密度,并判断X 与Y 的独立性.解:1 31),(}1{1020101====≤+⎰⎰⎰⎰⎰≤+dx x xdy dx dxdy y x f Y X P x y x ; 2,,020,21),()(,,010,2),()(1020⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-其它其它y xdx dx y x f y f x x xdy dy y x f x f Y X由),()()(y x f y f x f Y X =知随机变量Y X ,相互独立.五、设随机变量X 服从区间]3,0[上的均匀分布,求随机变量13-=X Y 的密度函数.解法一:由题意知⎩⎨⎧≤≤=其它,030,3/1)(x x f X . Y 的分布函数为)31(}31{}13{}{)(+=+≤=≤-=≤=y F y X P y X P y Y P y F X Y , 两边对y 求导,得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤+≤=+=其它即,0813310,91)31(31)(y y y f y f X Y 解法二:因为13-=x y 是30≤≤x 上单调连续函数,所以⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤+=≤=⨯==其它即,081,331)(0,913131|)(|))(()(y y y h dy y dh y h f y f X Y 注:31)(+==y y h x 为13-=x y 的反函数; 三、已知一批产品中有90%是合格品,检查产品质量时,一个合格品被误判为次品的概率为,一个次品被误判为合格品的概率是.求:1任意抽查一个产品,它被判为合格品的概率; 2一个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率. 解:设=1A “确实为合格品”,=2A “确实为次品”, =B “判为合格品”1)|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P += 859.004.01.095.09.0=⨯+⨯=29953.0)()|()()|(111==B P A B P A P B A P四、设二维连续型随机向量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=-其他0),(yx e y x f y,求:1边缘密度函数)(x f X 和)(y f Y ;2判断X 与Y 是否相互独立,并说明理由; 3}1{<+Y X P . 解:1⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞-∞+∞-⎰⎰000000),()(x x ex x dy e dy y x f x f x x y X⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==--∞+∞-⎰⎰00000),()(0y y yey y dx e dx y x f y f y y y Y 2)()(),(y f x f y x f Y X ≠ ∴ X 与Y 不独立 315.0210121}1{----+-==<+⎰⎰e e dxdy e Y X P xxy四、设二维连续型随机向量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<>=-其他10,02),(y x ye y x f x,求:1边缘密度函数)(x f X 和)(y f Y ;2判断X 与Y 是否相互独立,并说明理由; 3}{Y X P <. 解:1⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==--∞+∞-⎰⎰0000002),()(10x x ex x dy ye dy y x f x f x x X⎩⎨⎧<<=⎪⎩⎪⎨⎧<<==⎰⎰+∞-∞+∞-其他其他01020102),()(0y y y dx ye dx y x f y f x Y2)()(),(y f x f y x f Y X = ∴ X 与Y 独立 3142}{1101-==<--⎰⎰e dxdy ye Y X P x x一、单项选择题1. 对任何二事件A 和B,有=-)(B A P C .A. )()(B P A P -B. )()()(AB P B P A P +-C. )()(AB P A P -D. )()()(AB P B P A P -+ 2. 设A 、B 是两个随机事件,若当B 发生时A 必发生,则一定有 B . A. )()(A P AB P = B. )()(A P B A P =⋃ C. 1)/(=A B P D. )()/(A P B A P = 3. 甲、乙两人向同一目标独立地各射击一次,命中率分别为0.5,0.8,则目标被击中的概率为 C 甲乙至少有一个击中A. 0.7B. 0.8C. 0.9D.0.854. 设随机变量X 的概率分布为则a,b 可以是 D 归一性. A. 4161==,b a B. 125121==,b a C. 152121==,b a D.3141==,b a 5. 设函数0.5,()0,a x bf x ≤≤⎧=⎨⎩其它 是某连续型随机变量X 的概率密度,则区间],[b a 可以是 B 归一性.A. ]1,0[B. ]2,0[C. ]2,0[D. ]2,1[6. 设二维随机变量),(Y X 的分布律为则==}0{XY P D .A. 0.1B. 0.3C.D.7. 设随机变量X 服从二项分布),(p n B ,则有 D 期望和方差的性质.A. 12(-X E np 2)=B. 14)12(-=-np X EC. 1)1(4)12(--=-p np X DD. )1(4)12(p np X D -=- 8.已知随机变量(,)X B n p ,且 4.8, 1.92EX DX ==,则,n p 的值为 AA.8,0.6n p == B.6,0.8n p == C.16,0.3n p ==D.12,0.4n p == 9.设随机变量(1,4)XN ,则下式中不成立的是 BA. 1EX =B. 2DX =C. {1}0P X ==D.{1}0.5P X ≤=10. 设X 为随机变量,1,2=-=DX EX ,则)(2X E 的值为 A 方差的计算公式.A .5 B. 1- C. 1 D. 311. 设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤+=其它,010,)(x b ax x f ,且EX=0,则A 归一性和数学期望的定义.A. 6,4a b =-=B. 1,1a b =-=C. 6,1a b ==D.1,5a b ==12. 设随机变量X 服从参数为的指数分布,则下列各项中正确的是 A A. ()0.2,()0.04E X D X == B. ()5,()25E X D X == C. ()0.2,()4E X D X == D. ()2,()0.25E X D X == 13. 设(,)X Y 为二维连续型随机变量,则X 与Y 不相关的充分必要条件是 D .A. X 与Y 相互独立B.()()()E X Y E X E Y +=+C. ()()()E XY E X E Y =D. 221212(,)(,,,0)X Y N μμσσ 二、填空题1. 已知PA=,PA-B=,且A 与B 独立,则PB= .2. 设B A ,是两个事件,8.0)(,5.0)(=⋃=B A P A P ,当A, B 互不相容时,PB=;当A, B 相互独立时,PB=53 .3. 设在试验中事件A 发生的概率为p,现进行n 次重复独立试验,那么事件A 至少发生一次的概率为1(1)n p --.4. 一批产品共有8个正品和2个次品,不放回地抽取2次,则第2次才抽得次品的概率P =845. 5. 随机变量X 的分布函数Fx 是事件 PX )x ≤ 的概率.6. 若随机变量X ~ )0)(,(2>σσμN ,则X 的密度函数为 .7.设随机变量X 服从参数2=θ的指数分布,则X 的密度函数()f x = ; 分布函数Fx= .8. 已知随机变量X 只能取-1,0,1,三个值,其相应的概率依次为125236,,c c c,则c = 2 归一性 . 9. 设随机变量X 的概率密度函数为2,01()0,x x f x λ⎧<<=⎨⎩其它,则λ= 3归一性 .10. 设随机变量X ~2(2,)N σ,且{23}0.3P X <<=,则{1}P X <=.22232{23}{}11()(0)0.3,(0)0.5()=0.821211{1}{}=()=1()=0.2X P X P X P X P σσσσσσσσσ---<<=<<=Φ-Φ=Φ=∴Φ--<=<Φ--Φ又,,11. 设随机变量X ~N1,4,φ=,φ=,则P{|X |﹥2}= .{||>2}1{||2}1{22}2112111{}1{1.50.5}22221((0.5)( 1.5)0.9332),( 1.5)0.06680.69150.06680.31(1.5)=1-{||>2}=1((0.5)( 1.5))=751)3(P X P X P X X X P P P X ==-≤=--≤≤-----=-≤≤=--≤≤=-Φ-Φ-Φ-=-Φ∴-Φ-Φ--=-又 12. 设随机变量X ~ ),(211σμN ,Y ~ ),(222σμN ,且X 与Y 相互独立,则X+Y ~221212(,)N μμσσ++ 分布.13. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差0DX >都存在,令DXEX X Y -=,则____0__=EY ;___1___=DY .14. 若X 服从区间0,2上的均匀分布,则2()E X =4/3 . 15. 若X ~(4,0.5)B ,则(23)D X -= 9 . 17. 设随机变量X 的概率密度23,01()0,x x f x ⎧<<=⎨⎩其它,()_____E X =,()_____D X =.18. 设随机变量X 与Y 相互独立,1,3DX DY ==,则(321)D X Y -+=(3)(2)9()4()D X D Y D X D Y +=+=21 .三、计算题1. 设随机变量X 与Y 独立,X ~(1,1)N ,Y ~)2,2(2N ,且0.2XY ρ=,求随机变量函数23Z X Y =-的数学期望与方差. 四、证明题1. 设随机变量X 服从标准正态分布,即X ~)1,0(N ,2X Y =,证明:Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,21)(2y y e yy f y Y π .五、综合题1.设二维随机变量X,Y 的联合密度为⎩⎨⎧<<<<=其它,010,10,6),(2y x xy y x f ,求:1关于X,Y 的边缘密度函数;2判断X,Y 是否独立;3求{}P X Y >.。
概率论与数理统计(练习参考答案)

一、填空题 (每小题2分,共10分)1、一射手对同一个目标独立地进行4次射击,若至少命中一次的概率为8180,则该射手的命中率为 .2、 设随机变量X 在区间[2,5]上服从均匀分布,则=)(2X E ____13_____ .3、 设X 服从参数为10=θ的指数分布,Y )2,3(~2N ,且X 与Y 相互独立,Y X Z 23-=,则=)(Z D ___916_____.4、已知5.0,9)(,4)(===XY Y D X D ρ,则=+)(Y X D 19_ .5、设总体),(~2σμN X ,n X X X ,,,21Λ为来自X 的简单随机样本,则~11∑==ni iX n X ),(2n N σμ. 二、单项选择题 (每小题2分,共10分)(1)对于任意两事件A 和B ,=-)(B A P C .(A ))()(B P A P - (B ))()()(AB P B P A P +- (C ) )()(AB P A P - (D ))()()(B A P A P A P -+ 2、.对于任意两个随机变量,若)()()(Y E X E XY E =则____B _____.(A))()()(Y D X D XY D = (B))()()(Y D X D Y X D +=+ (C) X 与Y 相互独立 (D)X 与Y 相互不独立 3、设Y X ,相互独立,X 和Y 的分布律分别为,则必有 D .(A )Y X = (B ){}0==Y X P(C ){}1==Y X P (D ){}58.0==Y X P4、 在假设检验中,原假设0H ,备择假设1H ,则称_____D _____ 为犯第二类错误 (A)10H H 为真,接受 (B) 00H H 不真,拒绝 (C) 10H H 为真,拒绝 (D) 00H H 不真,接受5、 已知341.1)15(90.0-=t 。
设随机变量X 服从自由度为15的t 分布,若90.0)(=<a X P ,则=a _____B _____.(A) -1.341 (B) 1.341 (C) 15 (D) -15三、计算题 (共52分)1、 有四位同学报考硕士研究生,他们被录取的概率分别为0.2、0.3、0.45、0.6,试求至少有一位同学被录取的概率. (5分) 解: 设}{个同学被录取第i A i =),4,3,2,1(=i ;}{至少有一位同学被录取=B则有 4321A A A A B +++= ;∑=-=-=41)(1)(1)(i iA PB P B P8768.04.055.07.08.01=⨯⨯⨯-=2、 某年级有甲,乙,丙三个班级,其中各班的人数分别占年级总人数的1/ 4, 1/3, 5/12,已知甲,乙,丙三个班级中是独生子女的人数分别占各班人数的1/ 2, 1/ 4, 1/5, 求:: (1) 从该年级中随机的选一人,该人是独生子女的概率为多少?(2) 从该年级中随机的选一人,发现其为独生子女,则此人是甲班的概率为多少? (8分) 解: 设}{为独生子女从该年级中随机选一人=B }{1选到的是甲班的人=A}{2选到的是乙班的人=A ;}{3选到的是丙班的人=A ;则321,,A A A 为一个分割,41)(1=A P ,1)(2=A P ,125)(3=A P ;21)(1=A B P ,41)(2=A B P ,51)(3=A B P . (1) ∑==31)()()(i i i A P A B P B P =32=⨯+⨯+⨯511254*********7; (2) )(1B A P =)()()(11B P A P A B P =73.3、设有5件产品,其中有两件次品,今从中连取二次,每次任取一件不放回,以X 表示所取得的次品数,试求: : (1)X 的分布律和分布函数)(x F ; (2)122+=X Y 的分布律. (9分) 解: (1)(2)4、 某商品的日销量X (公斤)~)300,10000(2N , 求:日销量在9700到10300公斤之间的概率. (8413.0)1(=Φ 97725.0)2(=Φ备用) (8分)解: 300,10000==σμ)9700()10300(}103009700{F F X P -=≤≤=)3001000010300(-Φ-)300100009700(-Φ=)1()1(--ΦΦ=1)1(2-Φ=6826.018413.02=-⨯5、设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≥=-其它0)(2x Ce x f x,求: (1) 常数C ; (2) 概率}2/11{<<-X P ; (3) )(X E ;(4)设X Y 2=,则Y 的密度函数)(y f Y 。
概率论与数理统计习题(含解答,答案)
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概率论与数理统计习题(含解答,答案)概率论与数理统计复习题(1)⼀.填空.1.3.0)(,4.0)(==B P A P 。
若A 与B 独⽴,则=-)(B A P ;若已知B A ,中⾄少有⼀个事件发⽣的概率为6.0,则=-)(B A P 。
2.)()(B A p AB p =且2.0)(=A P ,则=)(B P 。
3.设),(~2σµN X ,且3.0}42{ },2{}2{=<<≥==>}0{X P 。
4.1)()(==X D X E 。
若X 服从泊松分布,则=≠}0{X P ;若X 服从均匀分布,则=≠}0{X P 。
5.设44.1)(,4.2)(),,(~==X D X E p n b X ,则==}{n X P6.,1)(,2)()(,0)()(=====XY E Y D X D Y E X E 则=+-)12(Y X D 。
7.)16,1(~),9,0(~N Y N X ,且X 与Y 独⽴,则=-<-<-}12{Y X P (⽤Φ表⽰),=XY ρ。
8.已知X 的期望为5,⽽均⽅差为2,估计≥<<}82{X P 。
9.设1?θ和2?θ均是未知参数θ的⽆偏估计量,且)?()?(2221θθE E >,则其中的统计量更有效。
10.在实际问题中求某参数的置信区间时,总是希望置信⽔平愈愈好,⽽置信区间的长度愈愈好。
但当增⼤置信⽔平时,则相应的置信区间长度总是。
⼆.假设某地区位于甲、⼄两河流的汇合处,当任⼀河流泛滥时,该地区即遭受⽔灾。
设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1;⼄河流泛滥的概率为0.2;当甲河流泛滥时,⼄河流泛滥的概率为0.3,试求:(1)该时期内这个地区遭受⽔灾的概率;(2)当⼄河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。
三.⾼射炮向敌机发射三发炮弹(每弹击中与否相互独⽴),每发炮弹击中敌机的概率均为0.3,⼜知若敌机中⼀弹,其坠毁的概率是0.2,若敌机中两弹,其坠毁的概率是0.6,若敌机中三弹则必坠毁。
《概率论与数理统计》习题及答案

概率论与数理统计 第一部份 习题第一章 概率论基本概念一、填空题1、设A ,B ,C 为3事件,则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 。
2、设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ,且A 与B 互不相容,则=)(B P 。
3、口袋中有4只白球,2只红球,从中随机抽取3只,则取得2只白球,1只红球的概率为 。
4、某人射击的命中率为0.7,现独立地重复射击5次,则恰有2次命中的概率为 。
5、某市有50%的住户订晚报,有60%的住户订日报,有80%的住户订这两种报纸中的一种,则同时订这两种报纸的百分比为 。
6、设A ,B 为两事件,3.0)(,7.0)(==B A P A P ,则=)(B A P 。
7、同时抛掷3枚均匀硬币,恰有1个正面的概率为 。
8、设A ,B 为两事件,2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ,则=)(AB P 。
9、10个球中只有1个为红球,不放回地取球,每次1个,则第5次才取得红球的概率为 。
10、将一骰子独立地抛掷2次,以X 和Y 分别表示先后掷出的点数,{}10=+=Y X A{}Y X B >=,则=)|(A B P 。
11、设B A ,是两事件,则B A ,的差事件为 。
12、设C B A ,,构成一完备事件组,且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ,=)(AB P 。
13、设A 与B 为互不相容的两事件,,0)(>B P 则=)|(B A P 。
14、设A 与B 为相互独立的两事件,且4.0)(,7.0)(==B P A P ,则=)(AB P 。
15、设B A ,是两事件,,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。
16、设B A ,是两个相互独立的事件,,4.0)(,2.0)(==B P A P 则=)(B A P 。
17、设B A ,是两事件,如果B A ⊃,且2.0)(,7.0)(==B P A P ,则=)|(B A P 。
《概率论与数理统计》练习题(含答案)
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《概率论与数理统计》练习题(含答案)一、单项选择题1.设,,A B C 为三个事件,且,A B 相互独立,则以下结论中不正确的是( ) (A )若()1P C =,则AC 与BC 也独立. (B )若()1P C =,则A C 与B 也独立. (C )若()0P C =,则A C 与B 也独立. (D )若C B ⊂,则A 与C 也独立.答案:(D ).解答:因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立,所以(A ),(B ),(C )都是正确的,只能选(D ).事实上由图 可见A 与C 不独立.2.设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ,则(||2)P X >的值为( ) (A )2[1(2)]-Φ. (B )2(2)1Φ-. (C )2(2)-Φ. (D )12(2)-Φ.答案:(A )解答: ~(0,1)X N 所以(||2)1(||2)1(22)P X P X P X >=-≤=--<≤ 1(2)(2)1[2(2)1]2[1(2)]=-Φ+Φ-=-Φ-=-Φ 应选(A ).3.设随机变量X 和Y 不相关,则下列结论中正确的是( ) (A )X 与Y 独立. (B )()D X Y DX DY -=+. (C )()D X Y DX DY -=-. (D )()D XY DXDY =.SABC答案:(B )解答:由不相关的等价条件知,0y x cov 0xy =⇒=),(ρ ()+2cov x y D X Y DX DY -=+(,) 应选(B ).4.设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)111169183X Y P αβ若,X Y 独立,则,αβ的值为( )(A )21,99αβ==. (A )12,99αβ==.(C ) 11,66αβ== (D )51,1818αβ==.答案:(A )解答: 若,X Y 独立则有(2,2)(2)(2)P X Y P X P Y α======1121()()()3939αβαα=+++=+∴29α=, 19β=故应选(A ).5.设总体X 的数学期望为12,,,,n X X X μ为来自X 的样本,则下列结论中正确的是( )(A )1X 是μ的无偏估计量. (B )1X 是μ的极大似然估计量. (C )1X 是μ的相合(一致)估计量. (D )1X 不是μ的估计量. 答案:(A ) 解答:1EX μ=,所以1X 是μ的无偏估计,应选(A ).6. 设A 、B 、C 为三个事件,()0P AB >且(|)1P C AB =,则有( )Y X(A )()()() 1.P C P A P B ≤+- (B )()().P C P A B ≤ (C )()()() 1.P C P A P B ≥+- (D )()().P C P A B ≥答案:C 解答:由(|)1P C AB =知()()P ABC P AB =,故()()P C P AB ≥ ()()()()()()()1P C P AB P A P B P A B P A P B ≥=+-≥+- 应选C.7. 设随机变量X 的概率密度为2(2)4(),x f x x +-=-∞<<∞, 且~(0,1)Y aX b N =+,则在下列各组数中应取( ) (A )1/2, 1.a b == (B)2,a b ==(C )1/2,1a b ==-. (D)2,a b == 答案:B 解答:22(2)4()x f x +-==即~(2,)X N - 故当a b ===时 ~(0,1)Y aX b N =+ 应选B.8. 设随机变量X 与Y 相互独立,其概率分布分别为010.40.6X P010.40.6Y P则有( )(A )()0.P X Y == (B )()0.5.P X Y ==(C )()0.52.P X Y == (D )() 1.P X Y == 答案:C解答:()(0,0)(1,1)P X Y P X Y P X Y ====+== 0.40.40.60.60.52=⨯+⨯= 应选C.9. 对任意随机变量X ,若EX 存在,则[()]E E EX 等于( )(A )0. (B ).X (C ).EX (D )3().EX 答案:C 解答:[()]E E EX EX = 应选C.10. 设12,,,n x x x 为正态总体(,4)N μ的一个样本,x 表示样本均值,则μ的置信度为1α-的置信区间为( ) (A )/2/2(x u x u αα-+ (B )1/2/2(x u x u αα--+ (C )(x u x uαα-+ (D )/2/2(x u x u αα-+ 答案:D 解答:因为方差已知,所以μ的置信区间为/2/2(X u X u αα-+应选D. 11、设为总体的一个样本,为样本均值,则下),,,(21n X X X )2,1(2N X列结论中正确的是( D )。
概率论与数理统计考试试卷(附答案)
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概率论与数理统计考试试卷(附答案)一、选择题(共6小题,每小题5分,满分30分) 1. 事件表达式B A -的意思是 ( ) (A) 事件A 与事件B 同时发生 (B) 事件A 发生但事件B 不发生 (C) 事件B 发生但事件A 不发生(D) 事件A 与事件B 至少有一件发生2. 假设事件A 与事件B 互为对立,则事件A B ( ) (A) 是不可能事件 (B) 是可能事件 (C) 发生的概率为1(D) 是必然事件3. 已知随机变量X ,Y 相互独立,且都服从标准正态分布,则X 2+Y 2服从 ( ) (A) 自由度为1的χ2分布 (B) 自由度为2的χ2分布 (C) 自由度为1的F 分布(D) 自由度为2的F 分布4. 已知随机变量X ,Y 相互独立,X ~N (2,4),Y ~N (-2,1), 则( )(A) X +Y ~P (4) (B) X +Y ~U (2,4) (C) X +Y ~N (0,5) (D) X +Y ~N (0,3)5. 样本(X 1,X 2,X 3)取自总体X ,E (X )=μ, D (X )=σ2, 则有( ) (A) X 1+X 2+X 3是μ的无偏估计(B)1233X X X ++是μ的无偏估计(C) 22X 是σ2的无偏估计(D) 21233X X X ++⎛⎫ ⎪⎝⎭是σ2的无偏估计6. 随机变量X 服从在区间(2,5)上的均匀分布,则X 的方差D (X )的值为( ) (A) 0.25(B) 3.5(C) 0.75(D) 0.5二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分。
把答案填在题中横线上) 1. 已知P (A )=0.6, P (B |A )=0.3, 则P (AB )= __________2. 三个人独立地向一架飞机射击,每个人击中飞机的概率都是0.4,则飞机被击中的概率为__________3. 一个袋内有5个红球,3个白球,2个黑球,任取3个球恰为一红、一白、一黑的概率为_____4. 已知连续型随机变量,01,~()2,12,0,.x x X f x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其它 则P {X ≤1.5}=_______.5. 假设X ~B (5, 0.5)(二项分布), Y ~N (2, 36), 则E (2X +Y )=__________6. 一种动物的体重X 是一随机变量,设E (X )=33, D (X )=4,10个这种动物的平均体重记作Y ,则D (Y )=_____________________ _______三、有两个口袋,甲袋中盛有两个白球,一个黑球,乙袋中盛有一个白球,两个黑球。
概率论与数理统计练习题(附答案)

练习题1、设随机变量)6.0,10(b ~X ,则22[()][(X)]D X E = ; 2、若随机变量X 的分布未知,但2,EX DX μσ==,则X 落在区间(2,2)μσμσ-+内的概率必不小于_________3、设ˆˆ(,......)12X X X n θθ=是未知参数θ的一个估计量,满足条件_________ 则称ˆθθ是的无偏估计。
4. 设X,Y 为随机变量,且D (X +Y )=7, D(X)=4, D(Y)=1,则相关系数XY ρ= 5. 设随机变量12,,,n X X X 相互独立,且(1,2,,)=i X i n 都服从区间[0,1]上的均匀分布,则当n 充分大时,∑==ni i nn X Y 11近似服从(写出具体分布与参数)6.设(,)X Y 服从区域222:G x y R +≤上的均匀分布,其概率密度为:222(,)0Cx y R f x y ⎧+≤=⎨⎩其它,则C=( );(A) 2R π ; (B)21R π; (C) Rπ2; (D) R π21 。
7.设,......12X X X n 为相互独立的随机变量,且2(,())E X D X i iμσ==(1,2......i n =),11nX X i i n ∑==,则DX =( ) (A)2nσ(B)2n σ (C)nσ(D)22n σ8.设一次试验中事件A 不发生的概率为p,独立重复n 次试验,A 发生了X 次则正确的是:( )(A) ()()21p p X E -= ; (B)()E X np = ;(C)(1)DX np p =- ; (D) 2DX p p =-。
9.设随机变量X 和Y 不相关,则下列结论中正确的是( ) A . X 与Y 独立; B. ()D X Y DX DY -=+; C .()D X Y DX DY -=-; D. ()D XY DXDY =. 10. 任何一个连续型随机变量的概率密度)(x ϕ一定满足( )。
概率论与数理统计习题参考答案
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概率论与数理统计参考答案(附习题)第一章 随机事件及其概率1. 写出下列随机试验的样本空间:(1)同时掷两颗骰子,记录两颗骰子的点数之和; (2)在单位圆内任意一点,记录它的坐标;(3)10件产品中有三件是次品,每次从其中取一件,取后不放回,直到三件次品都取出为止,记录抽取的次数; (4)测量一汽车通过给定点的速度.解: 所求的样本空间如下(1)S= {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} (2)S= {(x, y)| x 2+y 2<1}(3)S= {3,4,5,6,7,8,9,10} (4)S= {v |v>0}2. 设A 、B 、C 为三个事件,用A 、B 、C 的运算关系表示下列事件: (1)A 发生,B 和C 不发生;(2)A 与B 都发生,而C 不发生; (3)A 、B 、C 都发生; (4)A 、B 、C 都不发生; (5)A 、B 、C 不都发生;(6)A 、B 、C 至少有一个发生; (7)A 、B 、C 不多于一个发生; (8)A 、B 、C 至少有两个发生. 解: 所求的事件表示如下(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)A B CA B C A B C A B CA B C AB CA B B C A CA BB CC A3.在某小学的学生中任选一名,若事件A 表示被选学生是男生,事件B 表示该生是三年级学生,事件C 表示该学生是运动员,则 (1)事件AB 表示什么?(2)在什么条件下ABC =C 成立? (3)在什么条件下关系式C B ⊂是正确的? (4)在什么条件下A B =成立?解: 所求的事件表示如下(1)事件AB 表示该生是三年级男生,但不是运动员. (2)当全校运动员都是三年级男生时,ABC =C 成立.(3)当全校运动员都是三年级学生时,关系式C B ⊂是正确的. (4)当全校女生都在三年级,并且三年级学生都是女生时,A B =成立. 4.设P (A )=0.7,P (A -B )=0.3,试求()P AB解 由于 A -B = A – AB , P (A )=0.7 所以P (A -B ) = P (A -AB ) = P (A ) -P (AB ) = 0.3, 所以 P (AB )=0.4, 故 ()P AB = 1-0.4 = 0.6.5. 对事件A 、B 和C ,已知P(A) = P(B)=P(C)=14,P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)=18求A 、B 、C 中至少有一个发生的概率. 解 由于,()0,⊂=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC) 1111500044488=++---+=6. 设盒中有α只红球和b 只白球,现从中随机地取出两只球,试求下列事件的概率:A ={两球颜色相同},B ={两球颜色不同}.解 由题意,基本事件总数为2a b A +,有利于A 的事件数为22a b A A +,有利于B的事件数为1111112ab b a a b A A A A A A +=, 则 2211222()()a b a ba b a bA A A A P A PB A A +++==7. 若10件产品中有件正品,3件次品,(1)不放回地每次从中任取一件,共取三次,求取到三件次品的概率; (2)每次从中任取一件,有放回地取三次,求取到三次次品的概率. 解 (1)设A={取得三件次品} 则333333101016()()120720或者====C A P A P A C A . (2)设B={取到三个次品}, 则33327()101000==P A .8. 某旅行社100名导游中有43人会讲英语,35人会讲日语,32人会讲日语和英语,9人会讲法语、英语和日语,且每人至少会讲英、日、法三种语言中的一种,求:(1)此人会讲英语和日语,但不会讲法语的概率; (2)此人只会讲法语的概率.解 设 A={此人会讲英语}, B={此人会讲日语}, C={此人会讲法语}根据题意, 可得(1) 32923()()()100100100=-=-=P ABC P AB P ABC(2) ()()()P ABC P AB P ABC =-()01()P A B P A B =+-=-+ 1()()()P A P B P AB =--+433532541100100100100=--+=9. 罐中有12颗围棋子,其中8颗白子4颗黑子,若从中任取3颗,求: (1) 取到的都是白子的概率;(2) 取到两颗白子,一颗黑子的概率;(3) 取到三颗棋子中至少有一颗黑子的概率; (4) 取到三颗棋子颜色相同的概率. 解(1) 设A={取到的都是白子} 则3831214()0.25555===C P A C .(2) 设B={取到两颗白子, 一颗黑子}2184312()0.509==C C P B C . (3) 设C={取三颗子中至少的一颗黑子} ()1()0.74=-=P C P A . (4) 设D={取到三颗子颜色相同}3384312()0.273+==C C P D C .10. (1)500人中,至少有一个的生日是7月1日的概率是多少(1年按365日计算)?(2)6个人中,恰好有个人的生日在同一个月的概率是多少? 解(1) 设A = {至少有一个人生日在7月1日}, 则500500364()1()10.746365=-=-=P A P A (2)设所求的概率为P(B)412612611()0.007312⨯⨯==C C P B11. 将C ,C ,E ,E ,I ,N ,S 7个字母随意排成一行,试求恰好排成SCIENCE的概率p.解 由于两个C ,两个E 共有2222A A 种排法,而基本事件总数为77A ,因此有2222770.000794A A p A ==12. 从5副不同的手套中任取款4只,求这4只都不配对的概率.解 要4只都不配对,我们先取出4双,再从每一双中任取一只,共有⋅4452C 中取法. 设A={4只手套都不配对},则有⋅==445410280()210C P A C13. 一实习生用一台机器接连独立地制造三只同种零件,第i 只零件是不合格的概率为=+11i p i,i=1,2,3,若以x 表示零件中合格品的个数,则P(x =2)为多少?解 设A i = {第i 个零件不合格},i=1,2,3, 则1()1i i P A p i==+ 所以 ()11i i i P A p i=-=+ 123123123(2)()()()P x P A A A P A A A P A A A ==++由于零件制造相互独立,有:123123()()()()P A A A P A P A P A =,123123()()()()P A A A P A P A P A = 123123()()()()P A A A P A P A P A =11112111311,(2)23423423424P x ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=所以14. 假设目标出现在射程之内的概率为0.7,这时射击命中目标的概率为0.6,试求两次独立射击至少有一次命中目标的概率p.解 设A={目标出现在射程内},B={射击击中目标},B i ={第i 次击中目标}, i=1,2.则 P(A)=0.7, P(B i|A)=0.6 另外 B=B 1+B 2,由全概率公式12()()()()()(|)()(()|)P B P AB P AB P AB P A P B A P A P B B A =+===+ 另外, 由于两次射击是独立的, 故P(B 1B 2|A)= P(B 1|A) P(B 2|A) = 0.36 由加法公式P((B 1+B 2)|A)= P(B 1|A)+ P(B 2|A)-P(B 1B 2|A)=0.6+0.6-0.36=0.84因此P(B)= P(A)P((B 1+B 2)|A)=0.7×0.84 = 0.58815. 设某种产品50件为一批,如果每批产品中没有次品的概率为0.35,有1,2,3,4件次品的概率分别为0.25, 0.2, 0.18, 0.02,今从某批产品中抽取10件,检查出一件次品,求该批产品中次品不超过两件的概率.解 设A i ={一批产品中有i 件次品},i=0, 1, 2, 3, 4, B={任取10件检查出一件次品},C={产品中次品不超两件}, 由题意01914911050192482105019347310501944611050(|)01(|)516(|)4939(|)98988(|)2303=========P B A C C P B A C C C P B A CC C P B A C C C P B A C由于 A 0, A 1, A 2, A 3, A 4构成了一个完备的事件组, 由全概率公式 40()()(|)0.196===∑i i i P B P A P B A 由Bayes 公式000111222()(|)(|)0()()(|)(|)0.255()()(|)(|)0.333()======P A P B A P A B P B P A P B A P A B P B P A P B A P A B P B 故20()(|)0.588===∑i i P C P A B16. 由以往记录的数据分析,某船只运输某种物品损坏2%,10%和90%的概率分别为0.8,0.15,0.05,现在从中随机地取三件,发现三件全是好的,试分析这批物品的损坏率是多少(这里设物品件数很多,取出一件后不影响下一件的概率).解 设B={三件都是好的},A 1={损坏2%}, A 2={损坏10%}, A 1={损坏90%},则A 1, A 2, A 3是两两互斥, 且A 1+ A 2 +A 3=Ω, P(A 1)=0.8, P(A 2)=0.15, P(A 2)=0.05.因此有 P(B| A 1) = 0.983, P(B| A 2) = 0.903, P(B| A 3) = 0.13, 由全概率公式31333()()(|)0.80.980.150.900.050.100.8624===⨯+⨯+⨯=∑i i i P B P A P B A由Bayes 公式, 这批货物的损坏率为2%, 10%, 90%的概率分别为313233()(|)0.80.98(|)0.8731()0.8624()(|)0.150.90(|)0.1268()0.8624()(|)0.050.10(|)0.0001()0.8624⨯===⨯===⨯===i i i i i i P A P B A P A B P B P A P B A P A B P B P A P B A P A B P B 由于P( A 1|B) 远大于P( A 3|B), P( A 2|B), 因此可以认为这批货物的损坏率为0.2.17. 验收成箱包装的玻璃器皿,每箱24只装,统计资料表明,每箱最多有两只残次品,且含0,1和2件残次品的箱各占80%,15%和5%,现在随意抽取一箱,随意检查其中4只;若未发现残次品,则通过验收,否则要逐一检验并更换残次品,试求: (1)一次通过验收的概率α;(2)通过验收的箱中确定无残次品的概率β. 解 设H i ={箱中实际有的次品数}, 0,1,2=i , A={通过验收}则 P(H 0)=0.8, P(H 1)=0.15, P(H 2)=0.05, 那么有:042314244222424(|)1,5(|),695(|)138P A H C P A H C C P A H C =====(1)由全概率公式20()()(|)0.96α====∑i i i P A P H P A H(2)由Bayes 公式 得00()(|)0.81(|)0.83()0.96β⨯====i P H P A H P H A P A18. 一建筑物内装有5台同类型的空调设备,调查表明,在任一时刻,每台设备被 使用的概率为0.1,问在同一时刻 (1)恰有两台设备被使用的概率是多少? (2)至少有三台设备被使用的概率是多少?解 设5台设备在同一时刻是否工作是相互独立的, 因此本题可以看作是5重伯努利试验. 由题意,有p=0.1, q=1-p=0.9, 故(1) 223155(2)(0.1)(0.9)0.0729===P P C (2) 2555(3)(4)(5)P P P P =++332441550555(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)0.00856C C C =++=19. 甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛,如果每一局甲胜的概率为0.6,乙胜的概率为0.4,比赛时可以采用三局二胜制或五局三胜制,问在哪一种比赛制度下甲获胜的可能性较大? 解 在三局两胜时, 甲队获胜的概率为332213333(2)(3)(0.6)(0.4)(0.6)(0.4)0.648=+=+=A P P P C C在五局三胜的情况下, 甲队获胜的概率为55533244155555(3)(4)(5)(0.6)(0.4)(0.6)(0.4)(0.6)(0.4)0.682=++=++=B P P P P C C C因此,采用五局三胜制的情况下,甲获胜的可能性较大.20. 4次重复独立试验中事件A 至少出现一次的概率为6581,求在一次试验中A出现的概率.解 设在一次独立试验中A 出现一次的概率为p, 则由题意00444465(0)(1)181==-=-P C p q p 解得p=1/3.21.(87,2分)三个箱子,第一个箱子中有4只黑球1只白球,第二个箱子中有3只黑球3只白球,第三个箱子有3只黑球5只白球. 现随机地取一个箱子,再从这个箱子中取出一个球,这个球为白球的概率等于 . 已知取出的球是白球,此球属于第二个箱子的概率为解 设=B “取出白球”,=i A “球取自第i 个箱子”,.3,2,1=i 321,,A A A 是一个完全事件组,.3,2,1,3/1)(==i A P i 5/1)|(1=A B P ,2/1)|(2=A B P ,8/5)|(3=A B P ,应用全概率公式与贝叶斯公式,12053)852151(31)|()()(31=++==∑=i i i A B P A P B P.5320)()|()()|(222==B P A B P A P B A P22.(89,2分)已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ,随机事件B 的概率6.0)(=B P 及条件概率8.0)|(=A B P ,则和事件B A ⋃的概率=⋃)(B A P 解 7.0)|()()()()()()()(=-+=-+=⋃A B P A P B P A P AB P B P A P B A P .23.(90,2分)设随机事件A ,B 及其和事件B A ⋃的概率分别是4.0,3.0和6.0. 若B 表示B 的对立事件,那么积事件B A 的概率=)(B A P解 B A 与B 互不相容,且.B B A B A ⋃=⋃ 于是.3.0)()()(=-⋃=B P B A P B A P24.(92,3分)已知41)()()(===C P B P A P ,0)(=AB P ,161)()(==BC P AC P ,则事件A ,B ,C 全不发生的概率为 解 从0)(=AB P 可知,0)(=ABC P .)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +--++=⋃⋃.8501611*********=+---++=25.(93,3分)一批产品共有10件正品和两件次品,任意抽取两次,每次抽一件,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为解 设事件=i B “第i 次抽出次品”,.2,1=i 则,12/2)(1=B P 12/10)(1=B P ,.11/2)|(,11/1)|(1212==B B P B B P 应用全概率公式)|()()|()()(1211212B B P B P B B P B P B P +=.611121210111122=⨯+⨯=26.(94,3分)已知A ,B 两个事件满足条件)()(B A P AB P =,且p A P =)(,则=)(B P解 ).()()(1)()(AB P B P A P B A P B A P +--=⋃=因)()(B A P AB P =,故有.1)(1)(,1)()(p A P B P B P A P -=-==+27.(06,4分)设A ,B 为随机事件,且0)(>B P ,1)|(=B A P ,则必有( ) A .)()(A P B A P >⋃ B .)()(B P B A P >⋃ C .)()(A P B A P =⋃ D .)()(B P B A P =⋃解 选(C )28.(05,4分)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X ,再从1,2,…,X 中任取一个数,记为Y ,则==)2(Y P 解 填.481329.(96,3分)设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为%1和%2,现从由A 和B 的产品分别占%60和%40的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该产品属A 生产的概率是解 设事件=C “抽取的产品是次品”,事件=D “抽取的产品是A 生产的”,则D 表示“抽取的产品是工厂B 生产的”. 依题意有.02.0)|(,01.0)|(,40.0)(,60.0)(====D C P D C P D P D P应用贝叶斯可以求得条件概率.7302.04.001.06.001.06.0)|()()|()()|()()|(=⨯+⨯⨯=+=D C P D P D C P D P D C P D P C D P30.(97,3分)袋中有50只乒乓球,其中20只是黄球,30只是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是 解 设事件=i A “第i 个人取得黄球”,2,1=i . 根据题设条件可知.4920)|(,4919)|(,5030)(,5020)(121211====A A P A A P A P A P 应用全概率公式.524920503049195020)|()()|()()(1211212=⋅+⋅=+=A A P A P A A P A P A P31.(87,2分)设在一次试验中,事件A 发生的概率为p 。
概率论与数理统计练习题(含答案)
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数理统计练习题一、填空题1、设A 、B 为随机事件,且P (A )=0.5,P (B )=0.6,P (B |A )=0.8,则P (A +B )=__ 0.7 __。
2、某射手对目标独立射击四次,至少命中一次的概率为8180,则此射手的命中率32。
3、设随机变量X 服从[0,2]上均匀分布,则=2)]([)(X E X D 1/3 。
4、设随机变量X 服从参数为λ的泊松(Poisson )分布,且已知)]2)(1[(−−X X E =1,则=λ___1____。
5、一次试验的成功率为p ,进行100次独立重复试验,当=p 1/2_____时 ,成功次数的方差的值最大,最大值为 25 。
6、(X ,Y )服从二维正态分布),,,,(222121ρσσμμN ,则X 的边缘分布为 ),(211σμN 。
7、已知随机向量(X ,Y )的联合密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他,010,20,23),(2y x xy y x f ,则E (X )=34。
8、随机变量X 的数学期望μ=EX ,方差2σ=DX ,k 、b 为常数,则有)(b kX E += ,k b μ+;)(b kX D +=22k σ。
9、若随机变量X ~N (-2,4),Y ~N (3,9),且X 与Y 相互独立。
设Z =2X -Y +5,则Z ~ N(-2, 25) 。
10、θθθ是常数21ˆ ,ˆ的两个 无偏 估计量,若)ˆ()ˆ(21θθD D <,则称1ˆθ比2ˆθ有效。
1、设A 、B 为随机事件,且P (A )=0.4, P (B )=0.3, P (A ∪B )=0.6,则P (B A )=_0.3__。
2、设X ∼B (2,p ),Y ∼B (3,p ),且P {X ≥ 1}=95,则P {Y ≥ 1}=2719。
3、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布,且Y =3X -2, 则E (Y )=4 。
4、设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布,Y =2X +1,则D (Y )= 4/3 。
概率论与数理统计练习题与答案
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概率论与数理统计练习题与答案第一章随机事件及其概率(一)一.选择题1.对掷一粒骰子的试验,在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ](A)不可能事件(B)必然事件(C)随机事件(D)样本事件2.下面各组事件中,互为对立事件的有 [ B ] (A){抽到的三个产品全是合格品}{抽到的三个产品全是废品}(B){抽到的三个产品全是合格品}{抽到的三个产品中至少有一个废品}(C){抽到的三个产品中合格品不少于2个}{抽到的三个产品中废品不多于2个}(D){抽到的三个产品中有2个合格品}{抽到的三个产品中有2个废品}3.下列事件与事件不等价的是 [C ](A)(B)(C)(D)4.甲、乙两人进行射击,A、B分别表示甲、乙射中目标,则表示 [ C](A)二人都没射中(B)二人都射中(C)二人没有都射着(D)至少一个射中5.以表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对应事件为. [ D](A)“甲种产品滞销,乙种产品畅销”;(B)“甲、乙两种产品均畅销”;(C)“甲种产品滞销”;(D)“甲种产品滞销或乙种产品畅销6.设,则表示 [ A](A)(B)(C)(D)7.在事件,,中,和至少有一个发生而不发生的事件可表示为 [ A](A);(B);(C);(D).8、设随机事件满足,则 [ D ] (A)互为对立事件 (B)互不相容(C)一定为不可能事件 (D)不一定为不可能事件二、填空题1.若事件A,B满足,则称A与B 互不相容或互斥。
2.“A,B,C三个事件中至少发生二个”此事件可以表示为。
三、简答题:1.一盒内放有四个球,它们分别标上1,2,3,4号,试根据下列3种不同的随机实验,写出对应的样本空间:(1)从盒中任取一球后,不放回盒中,再从盒中任取一球,记录取球的结果;(2)从盒中任取一球后放回,再从盒中任取一球,记录两次取球的结果;(3)一次从盒中任取2个球,记录取球的结果。
答:(1){(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3 )}(2){(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3 ,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}(3){(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}2.设A、B、C为三个事件,用A、B、C的运算关系表示下列事件。
《概率论与数理统计》考试练习题及参考答案
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《概率论与数理统计》考试练习题及参考答案一、单选题1. 设X~N(2,9),Y~N(2,1),E(XY)=6,则D(X-Y)之值为A 、14B 、6C 、12D 、4答案:B2. 设X,Y的方差存在,且不等于0,则D(X+Y)=DX+DY是X,YA 、不相关的充分条件,但不是必要条件B 、独立的必要条件,但不是充分条件C 、不相关的必要条件,但不是充分条件D 、独立的充分必要条件答案:B3. 已知P(A)=0.3 ,P(B)=0.5 ,P(A∪B)=0.6,则P(AB)=A 、0.2B 、0.1C 、0.3D 、0.4答案:A4. 已知随机变量X服从二项分布,且EX=2.4,DX=1.44,则二项分布中的参数n,p的值分别为A 、n=4 ,p=0.6B 、n=6 ,p=0.4C 、n=8 ,p=0.3D 、n=24 ,p=0.1答案:B5. 若随机变量X与Y的方差D(X), D(Y)都大于零,且E(XY)=E(X)E(Y),则有A 、X与Y一定相互独立B 、X与Y一定不相关C 、D(XY)=D(X)D(Y)D 、D(X-Y)=D(X)-D(Y)答案:B6. 同时抛掷3枚硬币,则至多有1枚硬币正面向上的概率是A 、1/8B 、1/6C 、1/4D 、1/2答案:D7. 将长度为1的木棒随机地截成两段,则两段长度的相关系数为A 、1B 、1/2C 、2D 、-1答案:D8. 假设一批产品中一、二、三等品各占60% 、30% 、10%,今从中随机取一件产品,结果不是三等品,则它是二等品的概率为A 、1/3B 、1/2C 、2/3D 、1/4答案:A9. 袋中有50个乒乓球,其中20个黄球,30个白球,甲、乙两人依次各取一球,取后不放回,甲先取,则乙取得黄球的概率为A 、2/5B 、3/5C 、1/5D 、4/5答案:A10. 设随机变量X服从正态分布N(1 ,4) ,Y服从[0 ,4]上的均匀分布,则E(2X+Y )=A 、1B 、2C 、3D 、4答案:D11. 某电路由元件A 、B 、C串联而成,三个元件相互独立,已知各元件不正常的概率分别为:P(A)=0.1 ,P(B)=0.2 ,P(C)=0.3,求电路不正常的概率A 、0.496B 、0.7C 、0.25D 、0.8答案:A12. 一套五卷选集随机地放到书架上,则从左到右或从右到左卷号恰为1 ,2 ,3 ,4 ,5顺序的概率为A 、1/120B 、1/60C 、1/5D 、1/2答案:B13. 设随机变量X与Y独立同分布,记随机变量U=X+Y ,V=X-Y,且协方差Cov(U.V)存在,则U和V必然A 、不相关B 、相互独立C 、不独立D 、无法判断答案:A14. 设P(A)>0,P(B)>0,则下列各式中正确的是A 、P(A-B)=P(A)-P(B)B 、P(AB)=P(A)P(B)C 、P(A+B)=P(A)+P(B)D 、P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)答案:D15. 随机变量X的所有可能取值为0和x ,且P{X=0}=0.3,E(X)=1,则x=A 、10/7B 、4/5C 、1D 、0答案:A16. 已知人的血型为O 、A 、B 、AB的概率分别是0.4;0.3;0.2;0.1。
概率论与数理统计试题及答案
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概率论与数理统计一、单选题1.随机地掷一骰子两次,则两次出现的点数之和等于8的概率为()。
(4分)A :3/36B :4/36C :5/36D :2/362.A,B为任意两事件,若A,B之积为不可能事件,则称()。
(4分)A :A与B相互独立B :A与B互不相容C :A与B互为对立事件D :A与B为样本空间Ω的一个划分3.设A,B,C是三个事件,在下列各式中,不成立的是( ) .(4分)A :(A-B)UB=AUBB :(AUB)-B=AC :(AUB)-AB= UBD :(AUB)-C=(A-C)U(B-C)4.以A表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件A为().(4分)A :“甲种产品滞销,乙种产品畅销”;B :“甲,乙两种产品均畅销”;C :“甲种产品滞销”;D :“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。
5..掷二枚骰子,事件A为出现的点数之和等于3的概率为()。
(4分)A :11B :44,214C :44,202D :都不对6.设A,B为两个事件,且B A,则下列各式中正确的是( ).(4分)A :P(AUB)= P(A)B :P(AB)=P(A)C :P(BIA)= P(B)D :P(B-A)=P(B)- P(A)7.某小组共9人,分得一张观看亚运会的入场券,组长将一张写有“得票”字样和8张写有“不得票”字样的纸签混合后让大家依次各抽一张,以决定谁得入场券,则()。
(4分)A :A.第1个抽签者得“得票”的概率最大B :第5个抽签者“得票”的概率最大C :每个抽签者得“得票”的概率相等D :最后抽签者得“得票”的概率最小8.设A,B是两个事件,且P(A)≤P(AIB)则有( ).(4分)A :P(A)= P(AIB)B :P(B)>0C :P(A)≥P(AIB)D :前三者都不一定成立9.设有10个零件,其中2个是次品,现随机抽取2个,恰有一个是正品的概率为().(4分)A :8/45B :16/45C :8/15D :8/3010.设盒中有10个木质球,6个玻璃球,玻璃球有两个为红色,4个为蓝色;木质球有3个为红色,7个为蓝色,现从盒中任取一球,用A表示“取到蓝色球”;B表示“取到玻璃球”。
《概率论与数理统计》练习题及答案

《概率论与数理统计》练习题一、单项选择题1. A 、B 为两事件,则B A ⋃=( )A .B A ⋃ B .A ∪BC .A BD .A ∩B 2.对任意的事件A 、B ,有( )A .0)(=AB P ,则AB 不可能事件 B .1)(=⋃B A P ,则B A ⋃为必然事件C .)()()(B P A P B A P -=-D .)()()(AB P A P B A P -=⋂ 3.事件A 、B 互不相容,则( )A .1)(=⋃B A P B .1)(=⋂B A PC .)()()(B P A P AB P =D .)(1)(AB P A P -= 4.设A 为随机事件,则下列命题中错误..的是( ) A .A 与A 互为对立事件 B .A 与A 互不相容 C .Ω=⋃A AD .A A =5.任意抛一个均匀的骰子两次,则这两次出现的点数之和为8的概率为( ) A .363 B .364 C .365 D .3626.已知A 、B 、C 两两独立,21)()()(===C P B P A P ,51)(=ABC P ,则)(C AB P 等于( )A .401 B .201 C .101 D .417.事件A 、B 互为对立事件等价于( )(1)A 、B 互不相容 (2)A 、B 相互独立(3)Ω=⋃B A (4)A 、B 构成对样本空间的一个剖分 8.A 、B 为两个事件,则)(B A P -=( )A .)()(B P A P - B .)()(AB P A P -C .)()(B P A P -D .)(A B P - 9.1A 、2A 、3A 为三个事件,则( )A .若321,,A A A 相互独立,则321,,A A A 两两独立;B .若321,,A A A 两两独立,则321,,A A A 相互独立;C .若)()()()(321321A P A P A P A A A P =,则321,,A A A 相互独立;D .若1A 与2A 独立,2A 与3A 独立,则1A 与3A 独立10.设A 与B 相互独立,2.0)(=A P ,4.0)(=B P ,则=)(B A P ( ) A .0.2B .0.4C .0.6D .0.811.同时抛掷3枚均匀的硬币,则恰好三枚均为正面朝上的概率为( ) A.0.125 B.0.25 C.0.375 D.0.5 12.设A 、B 为任意两个事件,则有( )A.(A ∪B )-B=AB.(A-B)∪B=AC.(A ∪B)-B ⊂AD.(A-B)∪B ⊂A 13.设A ,B 为两个互不相容事件,则下列各式错误..的是( ) A .P (AB )=0B .P (A ∪B )=P (A )+P (B )C .P (AB )=P (A )P (B )D .P (B-A )=P (B )14.设事件A ,B 相互独立,且P (A )=31,P (B )>0,则P (A|B )=( )A .151B .51C .154D .3115.设事件A 与B 互不相容,且P (A )>0,P (B ) >0,则有( ) A .P (AB )=lB .P (A )=1-P (B )C .P (AB )=P (A )P (B )D .P (A ∪B )=116.设A 、B 相互独立,且P (A )>0,P (B )>0,则下列等式成立的是( ) A .P (AB )=0 B .P (A -B )=P (A )P (B ) C .P (A )+P (B )=1D .P (A |B )=017.同时抛掷3枚均匀的硬币,则恰好有两枚正面朝上的概率为( ) A .0.125 B .0.25C .0.375D .0.5018.某射手向一目标射击两次,A i 表示事件“第i 次射击命中目标”,i =1,2,B 表示事件“仅第一次射击命中目标”,则B =( )A .A 1A 2B .21A AC .21A AD .21A A19.某人每次射击命中目标的概率为p (0<p <1),他向目标连续射击,则第一次未中第二次命中的概率为( )A .p 2B .(1-p )2C .1-2pD .p (1-p )20.已知P (A )=0.4,P (B )=0.5,且A ⊂B ,则P (A |B )=( )A .0B .0.4C .0.8D .121.一批产品中有5%不合格品,而合格品中一等品占60%,从这批产品中任取一件,则该件产品是一等品的概率为( )A .0.20B .0.30C .0.38D .0.5722.X 的密度为⎩⎨⎧∈=其它,0],0[,2)(A x x x f ,则A=( )A .41 B .21 C .1 D .223.离散型随机变量X 的分布列为其分布函数为)(x F ,则=)3(F ( ) A . 0 B .3.0 C .8.0 D .1 24.随机变量X 的密度函数⎩⎨⎧∈=其它]1,0[)(4x cx x f 则常数c =( )A .51 B .41 C .4 D .525.离散型随机变量X 的分布列为其分布函数为)(x F ,则=)1(F ( ) A .4.0 B .2.0 C .6.0 D .126.设随机变量X 服从参数为3的指数分布,其分布函数记为)(x F ,则=)31(F ( )A .e31 B .3eC .11--eD .1311--e27.设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=,,0,10,)(3其他x ax x f 则常数=a ( )A .41 B .31C .3D .428.设随机变量X 与Y 独立同分布,它们取-1,1两个值的概率分别为41,43,则{}=-=1XY P ( )C .41 D .8329.设三维随机变量),(Y X 的分布函数为),(y x F ,则=∞+),(x F ( ) A .0 B .)(x F X C .)(y F YD .130.设随机变量X 和Y 相互独立,且)4,3(~N X ,)9,2(~N Y ,则~3Y X Z -=( ) A .)21,7(N B .)27,7(N C .)45,7(ND .)45,11(N31.设随机变量X 的概率密度为f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<.,0;2x 1,x 2;1x 0,x 其它 则P{0.2<X<1.2}的值是( )A .5.0B .6.0C .66.0D .7.032.某人射击三次,其命中率为0.7,则三次中至多击中一次的概率为( ) A.027.0 B.081.0 C.0.189 D.0.21633.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y). 其联合概率分布为( )则F (0,1)=( )A.2.0B.6.0C.7.0D.0.834.设二维随机变量(X ,Y )的联合概率密度为f(x,y)=⎩⎨⎧≤≤≤≤+.,0;1y 0,2x 0),y x (k 其它则k=( )A.41 B.31C.21 D.3235.设随机变量X 在[-1,2]上服从均匀分布,则随机变量X 的概率密度f (x )为( )A .⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=.,0;21,31)(其他x x fB .⎩⎨⎧≤≤-=.,0;21,3)(其他x x fC .⎩⎨⎧≤≤-=.,0;21,1)(其他x x fD . ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=.,0;21,31)(其他x x f36.设随机变量X ~ B ⎪⎭⎫ ⎝⎛31,3,则P{X ≥1}=( )C .2719D .272637.设二维随机变量(X ,Y )的分布律为Y X1231 2101 103102 101102 101则P{XY=2}=( ) A .51 B .103 C .21D .5338.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为 ⎩⎨⎧≤≤≤≤=,,0;10,10,4),(其他y x xy y x f则当0≤y ≤1时,(X ,Y )关于Y 的边缘概率密度为f Y ( y )= ( ) A .x 21 B .2x C .y21D .2y39.设函数f (x )在[a ,b ]上等于sin x ,在此区间外等于零,若f (x )可以作为某连续型随机变量的概率密度,则区间[a ,b ]应为( )A .[0,2π-] B .[2π,0] C .]π,0[D .[23π,0]40.设随机变量X 的概率密度为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<其它21210x xx x ,则P (0.2<X<1.2)=( ) A .0.5 B .0.6 C .0.66 D .0.741.设在三次独立重复试验中,事件A 出现的概率都相等,若已知A 至少出现一次的概率为19/27,则事件A 在一次试验中出现的概率为( )A .61 B .41 C .31D .2142.设随机变量X ,Y 相互独立,其联合分布为则有( ) A .92,91==βα B .91,92==βα C .32,31==βαD .31,32==βα43.设随机变量X 的分布律为X 0 1 2 P0.3 0.2 0.5则P {X <1}=( )A .0B .0.2C .0.3D .0.544.下列函数中可作为某随机变量的概率密度的是( )A .⎪⎩⎪⎨⎧≤>100,0,100,1002x x x B .⎪⎩⎪⎨⎧≤>0,0,0,10x x xC .⎩⎨⎧≤≤-其他,0,20,1xD .⎪⎩⎪⎨⎧≤≤其他,0,232121x ,45.随机变量X 服从二项分布)2.0,10(B ,则( ) A .==DX EX 2 B .==DX EX 6.1C .=EX 2,=DX 6.1D .=EX 6.1,=DX 246.X 可取无穷多个值 ,2,1,0,其概率分布为普阿松分布)3(P ,则( ) A .DX EX ==3 B .DX EX ==31 C .EX =3,DX =31 D .EX =31,DX =9147.随机向量),(Y X 有25,36==DY DX ,协方差12=XYσ,则)()(=-Y X DA .1B .37C .61D .8548.设X~B(10, 31), 则=)X (E )X (D ( )A.31 B.32 C.1D.31049.已知随机变量X 的分布函数为F(x)=⎩⎨⎧>--.;0x e 1x2其它则X 的均值和方差分别为( )A.E(X)=2, D(X)=4B.E(X)=4, D(x)=2C.E(X)=41,D(X)=21D.E(X)=21, D(X)=4150.设随机变量X 的E (X )=μ,D(X)=2σ,用切比雪夫不等式估计≥σ≤-)3|)X (E X (|P ( ) A.91 B.31C.98D.151.设二维随机变量(X ,Y )的分布律为Y X 010 131 3131则E (XY )=( ) A .91- B .0 C .91D .3152.已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布,则随机变量X 的方差为( ) A .-2 B .0 C .21 D .253.设n μ是n 次独立重复试验中事件A 出现的次数,P 是事件A 在每次试验中发生的概率,则对于任意的0>ε,均有}|{|lim εμ>-∞→p nP n n ( )A .=0B .=1C .> 0D .不存在54.设随机变量X 与Y 相互独立,X 服从参数为2的指数分布,Y ~B (6,21),则E(X-Y)=( )A .25- B .21C .2D .555.设二维随机变量(X ,Y )的协方差Cov(X ,Y )=61,且D (X )=4,D (Y )=9,则X 与Y 的相关系数XY ρ为( )A .2161B .361C .61 D .156.设总体X 服从),(2σμN ,n X X X ,,21为其样本,则SX n Y )(μ-=服从( ))(.)1(.)1,0(.)1(.2n t D n t C N B n x A --57.设总体X 服从),(2σμN ,,,21X X …n X ,为其样本,则∑=-=n i iXY 122)(1μσ服从( ))(.)1(.)(.)1(.22n t D n t C n x B n x A --58.设总体X 的分布律为{}p X P ==1,{}p X P -==10,其中10<<p .设n X X X ,,,21 为来自总体的样本,则样本均值X 的标准差为 ( )A .np p )1(- B .np p )1(-C .)1(p np -D .)1(p np -59.设随机变量)1,0(~,)1,0(~N Y N X ,且X 与Y 相互独立,则~22YX +( )A .)2,0(NB .)2(2χC .)2(tD .)1,1(F60.记F 1-α(m,n)为自由度m 与n 的F 分布的1-α分位数,则有( ) A.)n ,m (F 1)m ,n (F 1α-α=B.)n ,m (F 1)m ,n (F 11α-α-=C.)n ,m (F 1)m ,n (F αα=D.)m ,n (F 1)m ,n (F 1α-α=61.设x 1, x 2, …, x 100为来自总体X ~ N (0,42)的一个样本,以x 表示样本均值,则x ~( ) A .N (0,16) B .N (0,0.16) C .N (0,0.04)D .N (0,1.6)62.设总体X ~N (2,σμ),X 1,X 2,…,X 10为来自总体X 的样本,X 为样本均值,则X ~( )A .)10(2σμ,N B .)(2σμ,NC .)10(2σμ,N D .)10(2σμ,N63.设X 1,X 2,…,X n 为来自总体X 的样本,X 为样本均值,则样本方差S 2=( ) A .∑=-ni iX X n12)(1B .∑=--ni iX X n 12)(11C .∑=-ni iX X n12)(1D .∑=--ni iX X n 12)(1164.设总体n X X X N X ,,,),,(~212 σμ为来自总体X 的样本,2,σμ均未知,则2σ的无偏估计是( )A .∑=--ni iX X n 12)(11B .∑=--ni iX n 12)(11μC .∑=-ni iX X n12)(1D .∑=-+ni iX n 12)(11μ65.设总体X ~ N (2,σμ),其中μ未知,x 1,x 2,x 3,x 4为来自总体X 的一个样本,则以下关于μ的四个估计:)(41ˆ43211x x x x +++=μ,3212515151ˆx x x ++=μ,2136261ˆx x +=μ,1471ˆx =μ中,哪一个是无偏估计?( )A .1ˆμB .2ˆμC .3ˆμD .4ˆμ 66.总体X 服从)(λP ,其中0>λ为未知参数,n X X X ,,21为样本,则下面说法错误的是( ) A .X 是E X 的无偏估计量 B .X 是DX 的无偏估计量 C .X 是EX 的矩估计量 D .X 是2λ的无偏估计量 67.矩估计必然是( )(1)无偏估计 (2)总体矩的函数 (3)样本矩的函数 (4)极大似然估计 68.设θˆ是未知参数θ的一个估计量,若θθ=)ˆ(E ,则θˆ是θ的( ) A .极大似然估计 B .矩估计 C .无偏估计 D .有偏估计二、填空题1. A 、B 为两事件,8.0)(=⋃B A P ,2.0)(=A P ,4.0)(=B P ,则=-)(A B P 。
《概率论与数理统计》练习题试卷及答案解析
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《概率论与数理统计》练习题试卷及答案解析一.单项选择题(每小题2 分,共 20 分)1.某射手向一目标射击两次,A i 表示事件“第i 次射击命中目标”,i =1,2,B 表示事件“仅第一次射击命中目标”,则B =( )B A .A 1A 2 B .21A A C .21A A D .21A A 2.则( )DA .121=a B .61=a C .121=a D .41=a 3.设事件A 与B 相互独立,则有( )CA .0)(=AB P B .)()()(B P A P B A P +=C .)()()(B P A P AB P =D .)()(A P A B P =4.设随机变量X 服从正态分布),(2σμN ,则其概率密度函数的最大值为( )D A .0 B .1 C .π21 D .212)2(-πσ5. 设随机变量X 与Y 互相独立, 且X ~),,(211σa N Y ~),,(222σa N 则Y X Z +=仍服从正态分布,且( ) DA . Z ~),(22211σσ+a N B . Z ~),(2121σσa a N +C . Z ~),(222121σσa a N + D . Z ~),(222121σσ++a a N6.设随机变量X 服从[-1,2]上的均匀分布,则X 的概率密度)(x f 为( )AA .⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=.,0;21,31)(其他x x f B .⎩⎨⎧≤≤-=.,0;21,3)(其他x x fC .⎩⎨⎧≤≤-=.,0;21,1)(其他x x fD . ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=.,0;21,31)(其他x x f7.设,21X X ,3X 是总体~X ()2,σμN 的样本,则μ的无偏估计量是( )AA .3212110351X X X ++ B .321316131X X X ++ C .3211274131X X X ++ D .3211513151X X X ++8.某店有7台电视机,其中2台为次品,今从中随机地抽取3台,设X 为其中次品数,则数学期望EX =( )D A .73 B .74 C .75 D .76 9.设总体X ~N (2,σμ),X 1,X 2,…,X 10为来自总体X 的样本,X 为样本均值,则X ~( )CA .)10(2σμ,N B .)(2σμ,N C .)10(2σμ,N D .)10(2σμ,N 10.在假设检验中,H 0为原假设,H 1为备择假设,则第一类错误是( )BA. H 1成立,拒绝H 0B. H 0成立,拒绝H 0C. H 1成立,拒绝H 1D. H 0成立,拒绝H 1 二.填空题(每空 2 分,共 20 分)1.连续抛一枚均匀硬币4次,则正面至少出现一次的概率为___________.1615 2.设A ,B 为互不相容的两个随机事件,P (A )=0.3,P (B )=0.4,则)(B A P ⋃)=________.0.73.设随机变量X 的概率密度⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=,,0;10,A )(2其他x x x f 则常数A=_________.34.设随机变量X 是服从区间(μ,2)上的均匀分布,且1=EX ,则μ= . 1 5.设X 为连续随机变量,c 为一个常数,则P {X =c }=____________.06.设随机变量X 服从二项分布),(p n B ,且,44.1,4.2==DX EX 则二项分布的参数p = . 0.47.10X =E ,4=DX ,若{}04.010≤≥-c X P ,则常数c = . 108.已知E (X )=1,E (Y )=2,E (XY )=3,则X ,Y 的协方差Cov (X ,Y )=_____________.2 9.设二维随机变量(X,Y)的分布律为则P{XY=0}=___________。
概率论与数理统计练习题附答案详解
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第一章《蘆机事件及概率》练习題一、肌项选择题(B) P(AIB) = P(A),<c)P(AIB) = 1:<o)P(AIB) = 1设事件A 与s 满足p(A)>0・ P(8)>0・下而条件( )成立时•爭件A 与B一定独立设事件人和fi 有关系Bu4・则下列等式中正确的是()<o)P(B-A) = P{B)-P(A)设A 与fi 是两个概率不为0的互不相容的事件,则下列结论中肯定正确的是()(C)PG4B) = P(A)P(B):(0) P{A-B) = P(A)。
设A 、s 为两个对立爭件,且PS)Ho, p(e)兴0.(A) PG4UB) = P(A) + P(B):则下面关系成立的是()(B) P(AUB)工P(A) + P(B):(C) P(4B) = P(A)P(B):(D) P(AB) = P(A)P(B)<B)P(A)-P(B) + P(AB)t <o)P(A)^P(B)~P(AB).一、填空题1、若 A z>B . AnC. p(A)=・ P(BUC) = 0・8・则 P(A-BC) =2、设 P(A)=. P(fi)=. P(A\B)=.则 P{BIA}=3、已知 P(A) = 0・7・ P(A-B) = 0・3・则 P(AB) =设爭件A 与fi 互不相容,且P(A)>0・ p(e)>o,则一定有(2、设爭件A 与fi 相互独立,且P(A)>0・ p(e)>o,则 < > —定成立(A) P(AIB} = 1 -PG4):(B) P(AIB) = O :(A)A 与B 互不相容: (B)4与B 相容^7、对于任总两个爭件A 与8. P{A- B)等于( 3. (A> P (AB) = P(A}P(B).(B) P(A[JB) = P(A)P(B),4.(A) P(AB) = P(A):(B)PG4UB) = P(A):5、6x4、已知事件A、B 满足P{AB) = P(Ar>B}.且P (A) = p•则P(B) =5.一批产品,«中10件正骷• 2件次骷.任危抽取2次,每次抽1件,抽出后不再放回・则第2次抽出的是次品的槪率为6、设在4次独立的试验中.事件人每次出现的概率相等.若已知事件A至少出现1次的槪率是65/81.则A在1次试验中出现的概率为7、设爭件A. S的概率分别为P(A) = l/3,P(J?) = l/6, ①若A与e相互独立,则P(A[)B) = :②若A与e互不相容.则P(AB) =8.有W个球.其中有3个红球和7个绿球•随机地分给10个小朋友.每人1个.则炭后3个分到球的小朋友中恰有1个得到红球的概率为9、两射于•彼此独立地向同一目标射击,设甲击中的概率为•乙击中的概率为・则目标被击巾的概率为三、il•算题K某工厂生产的一批产品共100个,其中有5个次品:从这批产品中任取一半來检求取到的次品不多于1个的概率。
概率论与数理统计试题及答案
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概率论与数理统计试题及答案一、选择题(每题2分,共10分)1. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布,那么P(X=2)等于:A. λ^2B. e^(-λ)λ^2C. λ^2/2D. e^(-λ)λ^2/2答案:D2. 某工厂生产的零件长度服从正态分布N(50, 25),那么长度在45到55之间的零件所占的百分比是:A. 68.27%B. 95.45%C. 99.74%D. 50%答案:B3. 一袋中有10个红球和5个蓝球,随机抽取3个球,那么抽到至少2个红球的概率是:A. 0.4375B. 0.5625C. 0.8125D. 0.9375答案:C4. 设随机变量Y服从二项分布B(n, p),那么E(Y)等于:A. npB. n/2C. p/nD. n^2p答案:A5. 以下哪个事件是不可能事件:A. 抛硬币正面朝上B. 抛骰子得到1点C. 一天有25小时D. 随机变量X取负无穷答案:C二、填空题(每题3分,共15分)6. 设随机变量X服从均匀分布U(0, 4),那么P(X>2)等于______。
答案:1/27. 随机变量Z服从标准正态分布,那么P(Z ≤ -1.5)等于______(结果保留两位小数)。
答案:0.06688. 设随机变量W服从指数分布Exp(μ),那么W的期望E(W)等于______。
答案:1/μ9. 从一副不含大小王的扑克牌中随机抽取一张,抽到黑桃A的概率是______。
答案:1/5210. 设随机变量V服从二项分布B(15, 0.4),那么P(V=5)等于______(结果保留三位小数)。
答案:0.120三、解答题(共75分)11. (15分)设随机变量ξ服从二项分布B(n, p),已知P(ξ=1) = 0.4,P(ξ=2) = 0.3,求n和p的值。
答案:根据二项分布的性质,我们有:P(ξ=1) = C(n, 1)p^1(1-p)^(n-1) = 0.4P(ξ=2) = C(n, 2)p^2(1-p)^(n-2) = 0.3通过解这两个方程,我们可以得到n=5,p=0.4。
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练习题1、设随机变量)6.0,10(b ~X ,则22[()][(X)]D XE = ; 2、若随机变量X 的分布未知,但2,EX DX μσ==,则X 落在区间(2,2)μσμσ-+内的概率必不小于_________3、设ˆˆ(,......)12X X X n θθ=是未知参数θ的一个估计量,满足条件_________ 则称ˆθθ是的无偏估计。
4. 设X,Y 为随机变量,且D (X +Y )=7, D(X)=4, D(Y)=1,则相关系数XY ρ= 5. 设随机变量12,,,n X X X 相互独立,且(1,2,,)=i X i n 都服从区间[0,1]上的均匀分布,则当n 充分大时,∑==ni i nn X Y 11近似服从(写出具体分布与参数)6.设(,)X Y 服从区域222:G x y R +≤上的均匀分布,其概率密度为:222(,)0Cx y R f x y ⎧+≤=⎨⎩其它,则C=( );(A) 2R π ; (B)21R π; (C) R π2; (D) R π21。
7.设,......12X X X n 为相互独立的随机变量,且2(,())E X D X i iμσ==(1,2......i n =),11nX X i i n ∑==,则DX =( ) (A)2nσ(B)2n σ (C)nσ(D)22n σ8.设一次试验中事件A 不发生的概率为p,独立重复n 次试验,A 发生了X 次则正确的是:( )(A) ()()21p p X E -= ; (B)()E X np = ;(C)(1)DX np p =- ; (D) 2DX p p =-。
9.设随机变量X 和Y 不相关,则下列结论中正确的是( )A . X 与Y 独立; B. ()D X Y DX DY -=+; C .()D X Y DX DY -=-; D. ()D XY DXDY =. 10. 任何一个连续型随机变量的概率密度)(x ϕ一定满足( )。
A 、1)(0≤≤x ϕB 、在定义域内单调不减C 、1)(=⎰+∞∞-dx x ϕ D 、1)(>x ϕ11 袋中有m 个红球,n 个白球,任取2球,求(1)取得两个同色球的概率;(2)至少取得一个白色球的概率12 已知(,)X Y 的联合分布率为:求:(1) 关于X 的边缘分布律;(2)2Z X Y =的分布律及分布函数()Z F z13 有朋自远方来,他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4。
若他乘火车、轮船、汽车来的话,迟到的概率分别为111,,4312,而乘飞机来不迟到,试求:(1)这位朋友迟到的概率;(2)如果他迟到了,求他乘火车的概率。
14 设A , B 为随机事件,且21)(,31)(,41)(===B A P A B P A P ,令 ;,,0,1不发生发生A A X ⎩⎨⎧= .,,0,1不发生发生B B Y ⎩⎨⎧=求:(1) 二维离散型随机变量(X , Y )的概率分布表;(2) X 和Y 是否相互独立15 设随机变量X 的概率密度为0(,)0Ax Bx f x y π+<<=⎧⎨⎩其它且23EX π=求(1)A,B 的值;(2)3()44P X ππ≤≤;(3)sin Z X =的密度 16 设总体2~(,)X N μσ(2σ未知)有假设检验::0010H H μμμμ=↔<及样本, (12X)X X n (1)请指出所用统计量及其分布;(2)指出并推导拒绝域(显著水平为α)17 某包装机包装物品重量服从正态分布)4,(2μN 。
现在随机抽取16个包装袋,算得平均包装袋重为900=x ,样本均方差为22=S ,试检查今天包装机所包物品重量的方差是否有变化?(05.0=α)(488.2715262.6)15(2025.02975.0==)(,χχ) 18 已知(X ,Y )的联合概率密度为:34120,0(,)0其它x y e x y f x y --⎧>>=⎨⎩,试求:(1)X ,Y 的边缘密度函数 (2)X,Y 是否相互独立(3){}2Y 0,1X 0≤<≤<P19 设,......12X X X n 为来自于总体X 的一个样本,X 服从指数分布,概率密度为,x 0f (x,)0,x e λλλ-⎧>=⎨⎩其他, 求参数λ的矩法估计与最大似然估计。
20设随机变量X,Y 相互独立,且都服从正态分布2(,)N μσ,若,312Z X Y Z X Y =+=-;求X 和Y 的函数12,Z Z 的相关系数12z z ρ。
21从某种电子元件中随机抽取30只,测得平均寿命(单位h )2500X h =,样本标准差S =700h ,设该种电子元件的使用寿命服从正态分布2(,)N μσ求2σ的置信度为95%的置信区间(上侧分位数(29)45.7,(29)16.00.0250.975χχ==)22证明 设连续型随机变量X 的概率密度函数)(x f 是偶函数,其分布函数为)(x F 。
证明对任意实数x ,有1)()(=-+x F x F 。
练习题1、设随机变量)6.0,10(b ~X ,则22[()][(X)]D XE = 0.16 ; 2、若随机变量X 的分布未知,但2,EXDX μσ==,则X 落在区间(2,2)μσμσ-+内的概率必不小于___3/4______(切比雪夫不等式) 3、设ˆˆ(,......)12X X X n θθ=是未知参数θ的一个估计量,满足条件____ˆ()E θθ=_____,则称ˆθθ是的无偏估计。
4. 设X,Y 为随机变量,且D (X +Y )=7, D(X)=4, D(Y)=1,则相关系数XY ρ= 0.5 5. 设随机变量12,,,n X X X 相互独立,且(1,2,,)=i X i n 都服从区间[0,1]上的均匀分布,则当n 充分大时,∑==ni i nn X Y 11近似服从11(,)212N n(写出具体分布与参数)(中心极限定理)6.设(,)X Y 服从区域222:G x y R +≤上的均匀分布,其概率密度为:222(,)0Cx y R f x y ⎧+≤=⎨⎩其它,则C=( B );(A) 2R π ; (B)21R π; (C) R π2; (D) R π21。
7.设,......12X X X n 为相互独立的随机变量,且2(,())E X D X i iμσ==(1,2......i n =),11nX X i i n ∑==,则DX =( A ) (A)2nσ(B)2n σ (C)nσ(D)22n σ8.设一次试验中事件A 不发生的概率为p,独立重复n 次试验,A 发生了X 次。
则正确的是:( C ) (注:~b(n,1p)X -)(A) ()()21p p X E -= ; (B)()E X np = ;(C)(1)DX np p =- ; (D) 2DX p p =-。
9.设随机变量X 和Y 不相关,则下列结论中正确的是( B ) A . X 与Y 独立; B. ()D X Y DX DY -=+; C .()D X Y DX DY -=-; D. ()D XY DXDY =. 10. 任何一个连续型随机变量的概率密度)(x ϕ一定满足( C )。
A 、1)(0≤≤x ϕ B 、在定义域内单调不减 C 、1)(=⎰+∞∞-dx x ϕ D 、1)(>x ϕ11 袋中有m 个红球,n 个白球,任取2球,求(1)取得两个同色球的概率;(2)至少取得一个白色球的概率解:(1)2nm 2n2n m 2m C C C C +++ (2)1—2n m 2m C C +12 已知(,)X Y 的联合分布率为:⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<≤<≤<=9x 19x 40.94x 10.81x 00.70x 1-0.3-1x 4-0.1-4x 0)Z (F Z13 有朋自远方来,他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4。
若他乘火车、轮船、汽车来的话,迟到的概率分别为111,,4312,而乘飞机来不迟到,试求:(1)这位朋友迟到的概率;(2)如果他迟到了,求他乘火车的概率。
解:令1A 表示“朋友乘火车来”,2A 表示“朋友乘轮船来”,3A 表示“朋友乘汽车来”,4A 表示“朋友乘飞机来”;B 表示“朋友迟到”。
则(1) ()()()2031.01212.0313.04141=⨯+⨯+⨯==∑=k k k A P A B P B P(2)()()()()212033.041111=⨯==B P A P A B P B A P14 设A , B 为随机事件,且21)(,31)(,41)(===B A P A B P A P ,令 ;,,0,1不发生发生A A X ⎩⎨⎧= .,,0,1不发生发生B B Y ⎩⎨⎧=求:(1) 二维离散型随机变量(X , Y )的概率分布表;(2) X 和Y 是否相互独立解:(1) 由于121)()()(==A B P A P AB P ,,61)()()(==B A P AB P B P 所以 121)(}1,1{====AB P Y X P , 61)()()(}0,1{=-====AB P A P B A P Y X P ,,121)()()(}1,0{=-====AB P B P B A P Y X P)(1)(}0,0{B A P B A P Y X P +-====32)()()(1=+--=AB P B P A P (或32121611211}0,0{=---===Y X P ) 故(X ,Y )的联合概率分布为 YX 1 0 11216112132(2) X , Y 的概率分布分别为X 0 1 Y 0 1 p4341 p 65 61 由于P (X=1)P (Y=1)=111=4624⋅, P (X=1,Y=1)= 112P (X=1)P (Y=1)≠ P (X=1,Y=1)故X 与Y 不相互独立15 设随机变量X 的概率密度为0(,)0Ax Bx f x y π+<<=⎧⎨⎩其它且23EX π=求(1)A,B 的值;(2)3()44P X ππ≤≤;(3)sin Z X =的密度 解:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⎰⎰πππ032xdx )B Ax (1dx )B Ax ( 解得:⎪⎩⎪⎨⎧==0B 2A 2π (2)21xdx 2)43X 4(P 342==≤≤⎰πππππ(3)⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=其他01z 0z 12)z (f 2z π (分布函数法!)16 设总体2~(,)X N μσ(2σ未知)有假设检验::0010HH μμμμ=↔<及样本, (12X)X X n (1)请指出所用统计量及其分布;(2)指出并推导拒绝域(显著水平为α) 解:(1)~(1)X tt n μ-=- 其中12()11nSX X i i n ∑=-=- (2)若0H 成立~(1)t t n -则((1))1P tt n αα<-=- (注意:此处拒绝域形式应该与备择假设形式一致!)从而拒绝域为{(1)}{(1)}1tt n t t n αα<-=<---17 某包装机包装物品重量服从正态分布)4,(2μN 。