导数的概念及简单应用小题提速练
高中 导数的概念、运算及应用知识点+例题+练习 含答案
教学过程【例3】(2013·新课标全国Ⅰ卷改编)设函数f(x)＝e x(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.求a，b的值．规律方法已知曲线在某点处的切线方程求参数，是利用导数的几何意义求曲线的切线方程的逆用，解题的关键是这个点不仅在曲线上也在切线上.【训练3】(2013·福建卷改编)设函数f(x)＝x－1＋ae x(a∈R，e为自然对数的底数)．曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值．1．在对导数的概念进行理解时，特别要注意f′(x0)与(f(x0))′是不一样的，f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值，不一定为0；而(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．第2讲导数的应用(一)教学效果分析【例3】(2012·重庆卷)已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在点x＝2处取得极值c－16.(1)求a，b的值；(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．规律方法在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.【训练3】设函数f(x)＝x＋ax2＋b ln x，曲线y＝f(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.(1)求a，b的值；(2)令g(x)＝f(x)－2x＋2，求g(x)在定义域上的最值．1．求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全，区分极值点与导数为0的点；含参数时，要讨论参数的大小．2．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．一个函数在其定义域内最值是唯一的，可以在区间的端点取得．。
导数的概念及运算(试题部分)
D
【五年高考】
考点一
导数的概念及几何意义
1.(2019 课标Ⅲ,6,5 分)已知曲线 y=aex+xln x 在点(1,ae)处的切线方程为 y=2x+b,则(
A.a=e,b=-1
B.a=e,b=1
C.a=e-1,b=1
D.a=e-1,b=-1
答案
)
D
2.(2018 课标Ⅰ,5,5 分)设函数 f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若 f(x)为奇函数,则曲线 y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为(
1.(2020 届九师联盟 9 月质量检测,4)函数 f(x)=(x-1)ln(x-1)的图象在点(2,0)处的切线方程为(
A.y=x-2
B.y=2x-4
C.y=-x+2
答案
D.y=-2x+4
A
1
2.(2020 届山西省实验中学第一次月考,9)若函数 f(x)满足 f(x)= x3-f '(1)·x2-x,则 f '(1)的值为(
ABD
三、填空题(每题 5 分,共 20 分)
12.(2020 届北京师范大学附中摸底,11)函数 f(x)=
答案பைடு நூலகம்
ln
的图象在点(1, f(1))处的切线方程为
+1
x-2y-1=0
6/7
.
13.(2020 届山东百师联盟开学摸底大联考,15)设函数 f(x)=x3+ax2+(a+2)x.若 f(x)的图象关于原点(0,0)对称,则曲线
方程为
.
e
答案
;x-2ey+e2=0
2
考点二
导数的概念及运算(基础+复习+习题+练习)
导数的概念及运算一，导数的概念1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0x x y ='，即0000()()()lim x f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆ 在定义式中，设x x x ∆+=0，则0x x x -=∆，当x ∆趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义式可写成00000()()()()()limlim x o x x f x x f x f x f x f x x x x ∆→→+∆--'==∆-. 2.求函数()y f x =的导数的一般步骤：()1求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆()2求平均变化率x x f x x f xy ∆-∆+=∆∆)()(；()3取极限，得导数y '=()f x '=xyx ∆∆→∆0lim3.导数的几何意义：导数0000()()()lim x f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆是函数)(x f y =在点0x 处的瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化．．的快慢程度. 它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为()()()y f x f x x x -='-4.导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数()f x '，从而构成了一个新的函数()f x ', 称这个函数()f x '为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y '，即()f x '＝y '＝x x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0函数)(x f y =在0x 处的导数0x x y ='就是函数)(x f y =在开区间),(b a )),((b a x ∈上导数()f x '在0x 处的函数值，即0x x y ='＝0()f x '.所以函数)(x f y =在0x 处的导数也记作0()f x '1．用导数的定义求下列函数的导数：()1 2()y f x x==；()2 24()y f x x ==2．()1已知000(2)()lim13x f x x f x x→--=△△△，求0()f x '()2若(3)2f '=，则1(3)(12)lim1x f f x x →-+=-二，导数的四则计算常用的导数公式及求导法则： （1）公式①0'=C ，（C 是常数） ②x x cos )(sin '= ③x x sin )(cos '-=④1')(-=n n nx x ⑤a a a x x ln )('=⑥x x e e =')(⑦a x x a ln 1)(log '= ⑧xx 1)(ln '=⑨x x 2'cos 1)(tan = ⑩（xx 2'sin 1)cot -=（2）法则：''')]([)]([)]()([x g x f x g x f ±=±， )()()()()]()(['''x f x g x g x f x g x f +=)()()()()(])()([2'''x g x f x g x g x f x g x f -= 2，复合函数的求导法则：复合函数(())y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间的关系为'''xuxy y u =⋅.题型1， 导数的四则计算 1，求下列函数的导数：()1 ln x y e x =⋅ ()2 11x x e y e +=-()3sin 1cos x y x=+ ()4()21sin cos y x x x x =-⋅+⋅()532x x x y e e =⋅-+ ()6()()33421y x x x =-⋅-2，求导数 （1）()324y x x=- （2）sin x y x=（3）3cos 4sin y x x =- （4）()223y x =+（5）()ln 2y x =+三，复合函数的导数 链式法则若y= f (u )，u=)(x ϕ⇒ y= f [)(x ϕ]，则xy '=)()(x u f ϕ''若y= f (u )，u=)(v ϕ，v=)(x ψ⇒ y= f [))((x ψϕ]，则xy '=)()()(x v u f ψϕ'''说明：复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。
1导数的概念及其几何意义 习题 简单 (2)
导数的概念及其几何意义习题一、选择题（共14小题；共70分）1. 若函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，且x0∈(a,b)，则limℎ→0f(x0−ℎ)−f(x0)ℎ的值为( )A. fʹ(x0)B. −fʹ(x0)C. −2fʹ(x0)D. 02. 已知函数f(x)，则limΔx→0f(2+Δx)−f(2)Δx的含义是( )A. 表示函数f(x)在区间[2,2+Δx]的平均变化率B. 表示函数f(x)在区间[Δx,2]的平均变化率C. 表示函数f(x)在点(2,f(2))处的瞬时变化率D. 表示函数f(x)在区间[2,2+Δx]内任意一点的瞬时变化率3. 质点M按规律s=2t2+3作直线运动，则质点M在t=2时瞬时速度是( )A. 2B. 6C. 4D. 84. 设f(x)=ax+4，若fʹ(1)=2，则a=( )A. 2B. −2C. 3D. 45. 在求平均变化率的式子中，自变量的增量Δx应满足条件( )A. Δx>0B. Δx<0C. Δx=0D. Δx≠06. 函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)在x=1处的瞬时变化率为( )A. 4aB. 2a+bC. bD. 4a+b7. 已知函数y=f(x)的图象如图，则fʹ(x A)与fʹ(x B)的大小关系是( )A. fʹ(x B)<fʹ(x A)<0B. fʹ(x A)<fʹ(x B)<0C. fʹ(x A)=fʹ(x B)D. fʹ(x A)>fʹ(x B)>08. 某质点的位移函数是s(t)=2t3−12gt2(g=10m/s2)，则当t=2s时，它的加速度是( )A. 14m/s2B. 4m/s2C. 10m/s2D. −4m/s29. 如果质点A按照规律s=3t2运动，则在t0=3时的瞬时速度为( )A. 12B. 16C. 18D. 2710. 如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆．垂直于x轴的直线l:x=t(0≤t≤a)经过原点O向右平行移动，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y（图中阴影部分），若函数y=f(t)的大致图象如图，那么平面图形的形状不可能是( )A. B.C. D.11. 设函数 f (x )=x 2+1，当自变量 x 由 1 变到 1.1 时，函数 f (x ) 的平均变化率为 ( )A. 2.1B. 1.1C. 2D. 112. 函数在某一点的导数是 ( )A. 在该点的函数的增量与自变量的增量的比B. 一个函数C. 一个常数，不是变数D. 函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 13. 已知 f (x )=1x+1，则 limΔx→0f (2+Δx )−f (2)Δx 的值是 ( )A. −14B. 14C. −19D. 1914. 物体自由落体运动的方程为 s (t )=12gt 2，g =9.8 m/s 2，若 v =limΔt→0s (1+Δt )−s (1)Δt=9.8 m/s ，那么下列说法正确的是 ( ) A. 9.8 m/s 是在 1 s 这段时间内的速度B. 9.8 m/s 是从 1 s 到 (1+Δt )s 这段时间内的速度C. 9.8 m/s 是物体在 t =1 s 这一时刻的速度D. 9.8 m/s 是物体从 1 s 到 (1+Δt )s 这段时间内的平均速度二、填空题（共4小题；共20分） 15. 函数 y =ax +b 从 1 到 2 的平均变化率是 ．=．16. 在曲线y=x2+1的图象上取一点(1,2)及其附近一点(1+Δx,2+Δy)，则ΔyΔx（t是时间，s是位移），那么物体在时刻t=2时的速度17. 已知物体的运动方程为s=t2+3t为．18. 一个物体的位移s（米）与时间t（秒）的关系为s=4−2t+t2，则该物体在3秒末的瞬时速度是．三、解答题（共2小题；共26分）19. 求曲线f(x)=2x2−x在点(1,1)处的切线斜率.20. 求下列函数的导数：（1）y=−x2+6x；（2）y=x3−x；（3）y=3；x2（4）y=(x+2)2−3．第一部分1. B2. C3. D4. A5. D6. B 【解析】fʹ(1)=2a+b．7. B 【解析】fʹ(x A)和fʹ(x B)分别表示函数图象在点A，B处的切线斜率，故fʹ(x A)<fʹ(x B)<0 .8. A 【解析】由v(t)=sʹ(t)=6t2−gt，a(t)=vʹ(t)=12t−g，当t=2时，a(2)=vʹ(2)=12×2−10=14．9. C10. C【解析】从函数的图象观察可得，函数的导数开始比较小，然后变大，后又减小，反映到实际中，是图形面积相对于t的变化率ΔSΔt开始小，然后增大，后又变小．11. A12. C13. C14. C第二部分15. a16. Δx+2【解析】ΔyΔx =(1+Δx)2+1−2Δx=Δx+2．17. 134【解析】因为sʹ=2t−3t2，所以t=2时，v=4−34=134．18. 4米/秒第三部分19. 因为f(1+Δx)−f(1)Δx =3+Δx，所以k=limΔx→0(3+2Δx)=3 .20. （1）因为Δy=−(x+Δx)2+6(x+Δx)−(−x2+6x) =−(Δx)2−2xΔx+6Δx,所以yʹ=limΔx→0Δy Δx=limΔx→0−(Δx)2−2xΔx+6ΔxΔx=−2x+6.（2）因为Δy=(x+Δx)3−(x+Δx)−(x3−x) =3x2Δx+3x(Δx)−Δx,所以yʹ=limΔx→0Δy Δx=limΔx→03x2Δx+3x(Δx)2−ΔxΔx=3x2−1.（3）因为Δy=3(x+Δx)2−3x2=3[2Δx+(Δx)2]x(x+Δx)2,所以yʹ=limΔx→0Δy Δx=limΔx→0−3[2Δx+(Δx)2]Δx⋅x(x+Δx)2=−6x3.（4）因为y=x2+4x+4−3=x2+4x+1,所以Δy=(x+Δx)2+4(x+Δx)+1−(x2+4x+1) =(Δx)2+2xΔx+4Δx.因此yʹ=limΔx→0Δy Δx=limΔx→0(Δx)2+2xΔx+4ΔxΔx=2x+4.。
高中数学导数知识点归纳总结及例题
高中数学导数知识点归纳总结及例题导数考试知识要点1. 导数（导函数的简称）的定义：设x0是函数y f(x)定义域的一点，如果自变量x在x0处有增量x，则函数值y也引起相应的增量y f(x0x)f(x0)；比值yf(x0x)f(x0)称为函数y f(x)在点x0到x0x之间的平均变化率；如果极限x xf(x0x)f(x0)y存在，则称函数y f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做lim x0x x0xlim记作f’(x0)或y’|x x0，即f’(x0)=limy f(x)在x0处的导数，f(x0x)f(x0)y. lim x0x x0x注：①x是增量，我们也称为“改变量”，因为x可正，可负，但不为零.②以知函数y f(x)定义域为A，y f’(x)的定义域为B，则A与B关系为A B.2. 函数y f(x)在点x0处连续与点x0处可导的关系：⑴函数y f(x)在点x0处连续是y f(x)在点x0处可导的必要不充分条件.可以证明，如果y f(x)在点x0处可导，那么y f(x)点x0处连续.事实上，令x x0x，则x x0相当于x0.1于是limf(x)limf(x0x)lim[f(x x0)f(x0)f(x0)] x x0x0x0 lim[x0f(x0x)f(x0)f(x0x)f(x0)x f(x0)]lim lim limf( x0)f’(x0)0f(x0)f(x0).x0x0x0x xy|x|，当x＞0时，x x⑵如果y f(x)点x0处连续，那么y f(x)在点x0处可导，是不成立的. 例：f(x)|x|在点x00处连续，但在点x00处不可导，因为y y y不存在. 1；当x＜0时，1，故lim x0x x x注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3. 导数的几何意义：函数y f(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线y f(x)在点(x0,f(x))处的切线的斜率，也就是说，曲线y f(x)在点P(x0,f(x))处的切线的斜率是f’(x0)，切线方程为y y0f’(x)(x x0).4. 求导数的四则运算法则：(u v)’u’v’y f1(x)f2(x)...fn(x)y’f1’(x)f2’(x)...fn’(x) (uv)’vu’v’u(cv)’c’v cv’cv’（c为常数）vu’v’u u(v0) 2v v’注：①u,v必须是可导函数.②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导. 例如：设f(x)2sinx22，g(x)cosx，则f(x),g(x)在x0处均不可导，但它们和xx f(x)g(x)sinx cosx在x0处均可导.5. 复合函数的求导法则：fx’((x))f’(u)’(x)或y’x y’u u’x复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.6. 函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：设函数y f(x)在某个区间内可导，如果f’(x)＞0，则y f(x)为增函数；如果f’(x)＜0，则y f(x)为减函数.⑵常数的判定方法；如果函数y f(x)在区间I内恒有f’(x)=0，则y f(x)为常数.注：①f(x)0是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如y2x3在(,)上并不是都有f(x)0，有一个点例外即x=0时f（x）= 0，同样f(x)0是f（x）递减的充分非必2要条件.②一般地，如果f（x）在某区间(sinx)cosx (arcsinx)’1 x2(xn)’nxn1（n R）(cosx)’sinx (arccosx)’ 1x2 1’11’(arctanx)II. (lnx)(logax)logae xxx21’(ex)’ex (ax)’axlna (arccotx)’III. 求导的常见方法：①常用结论：(ln|x|)’1x2 1 (x a1)(x a2)...(x an)1.②形如y(x a1)(x a2)...(x an)或y两(x b1)(x b2)...(x bn)x边同取自然对数，可转化求代数和形式.③无理函数或形如y xx这类函数，如y xx取自然对数之后可变形为lny xlnx，对两边y’1lnx x y’ylnx y y’xxlnx xx. 求导可得yx 3导数中的切线问题例题1：已知切点，求曲线的切线方程曲线y x33x21在点(1，1)处的切线方程为（）例题2：已知斜率，求曲线的切线方程与直线2x y40的平行的抛物线y x2的切线方程是（）注意：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决，即设切线方程为y2x b，代入y x2，得x22x b0，又因为0，得b1，故选Ｄ．例题3：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．求过曲线y x32x上的点(1，1)的切线方程．例题4：已知过曲线外一点，求切线方程1求过点(2，0)且与曲线y相切的直线方程．x4练习题：已知函数y x33x，过点A(016) ，作曲线y f(x)的切线，求此切线方程．看看几个高考题1.（2009全国卷Ⅱ）曲线y x在点1,1处的切线方程为2x 122.（2010江西卷）设函数f(x)g(x)x，曲线y g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y2x1，则曲线y f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为3.（2009宁夏海南卷）曲线y xe2x1在点（0,1）处的切线方程为。
导数知识点总结及例题
导数知识点总结及例题一、导数的定义1.1 函数的变化率在生活中，我们经常会遇到函数随着自变量的变化而发生变化的情况，比如一辆汽车的速度随着时间的变化而变化、货物的销售量随着价格的变化而变化等。
这种情况下，我们就需要考虑函数在某一点处的变化率，也就是导数。
对于函数y=f(x)，在点x处的变化率可以用函数的增量Δy和自变量的增量Δx的比值来表示：f'(x) = lim(Δx→0) (Δy/Δx)其中f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
利用导数的定义，我们可以计算得到函数在某一点处的变化率。
1.2 导数的几何意义导数还有一个重要的几何意义，它表示了函数曲线在某一点处的切线的斜率。
例如，对于函数y=x^2，在点(1,1)处的导数就代表了曲线在这一点处的切线斜率。
这也意味着，导数可以帮助我们理解函数曲线在不同点处的形状和走向。
1.3 导数存在的条件对于一个函数f(x)，它在某一点处的导数存在的条件是：在这一点处函数曲线的切线存在且唯一。
也就是说，如果函数在某一点处导数存在，那么这个点就是函数的可导点。
二、导数的性质2.1 导数与函数的关系导数是函数的一个重要属性，它可以帮助我们理解函数的性质。
例如，导数可以表示函数在某一点处的斜率，可以告诉我们函数曲线的凹凸性，还可以帮助我们找到函数的极值点等。
2.2 导数与导函数当一个函数在某一点处的导数存在时，我们可以使用导数的定义来求出函数在该点处的导数。
我们把这个过程称为求导，求出的导数称为导函数。
导函数的值就是原函数在对应点处的导数值。
2.3 导数的性质导数具有一些重要的性质，比如导数存在的条件、可导函数的和、差、积、商的导数求法则等。
这些性质是我们求解导数的问题时的重要依据，也是我们理解函数性质的基础。
三、求导法则3.1 基本求导法则基本求导法则是求解导数问题的基础，它包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等函数的导数求法。
导数的概念及运算--附答案
3.1导数的概念及运算(学案） 姓名【一.导数的意义】1.函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率 0000()()limlimx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆ 称为函数()y f x =在0x x =处的导数.其几何意义为：【二.导数的运算公式】①()c '= ；②()nx '= ；③(sin )x '= ；④(cos )x '= ；⑤()xa '= ；⑥()x e '= ;⑦(log )a x '= ；⑧(ln )x '= ；⑨1()x'=；⑩'= ； 【三.导数的运算法则】①.和差的导数：[()()]f x g x '±= ；②.[()]C f x '⋅= ；其中C 为常数。
③.积的导数：[()()]f x g x '= ；④.商的导数：()()f x g x '⎛⎫ ⎪⎝⎭=(()0)g x ≠。
【四.复合函数的导数】设函数()u g x =在点x 处有导数x u '，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数u y '，则复合函数(())y f g x =在点x 处也有导数，且x y '＝__ ______， 【五.求导】1.求导：①)5'⋅xa x （=5x 4·a x ＋x 5·a x ln a；② sin(2)3x π'⎛⎫+ ⎪⎝⎭=③2ln 1x x '⎛⎫ ⎪+⎝⎭=2．已知 f (x )＝x 2＋3x (2)f '，则(2)f '＝__-2___.3.求函数y ＝(x －1)(x －2)·…·(x －100) (x >100)的导数.解析：两边取对数得ln y ＝ln(x －1)＋ln(x －2)＋…＋ln(x －100)．两边对x 求导：y ′y ＝1x －1＋1x －2＋…＋1x －100.∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1x －1＋1x －2＋…＋1x －100·(x －1)(x －2)·…·(x －100)．【六.导数的几何意义】4.已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点(2,4)的切线方程．解 (1)∵y ＝13x 3＋43，∴y ′＝x 2，∴曲线在点(2,4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4 由y －4＝4(x －2)，得4x －y －4＝0.∴曲线在点(2,4)处的切线方程为 4x －y －4＝0(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43 则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20. ∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20x －23x 30＋43∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0， ∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝05.在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数f (x )＝e x (x >0)的图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是___max 11()2t e e=+_____． 解析：设00(,),xP x e 则00000:(),(0,(1))x x x l y ee x x M x e -=-∴-，过点P 作l 的垂线000000(),(0,)x x x x y e e x x N e x e ---=--+，00000000011[(1)]()22x x x x x x t x e e x e e x e e --=-++=+-00'01()(1)2x x t e e x -=+-，所以，t 在(0,1)上单调增，在(1,)+∞单调减，max 11()2t e e=+。
导数在函数中的应用知识点讲解+例题讲解(含解析)
导数在函数中的应用一、知识梳理1.函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.2.函数的极值与导数形如山峰形如山谷3.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若函数f (x )在(a ，b )内单调递增，那么一定有f ′(x )>0.( )(2)如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )在此区间内没有单调性.( ) (3)函数的极大值一定大于其极小值.( )(4)对可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0为极值点的充要条件.( )(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( ) 解析 (1)f (x )在(a ，b )内单调递增，则有f ′(x )≥0. (3)函数的极大值也可能小于极小值.(4)x 0为f (x )的极值点的充要条件是f ′(x 0)＝0，且x 0两侧导函数异号. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√2.如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析 由题意知在x ＝－1处f ′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正. 答案 A3.函数f (x )＝2x －x ln x 的极值是( ) A.1eB.2eC.eD.e 2解析 因为f ′(x )＝2－(ln x ＋1)＝1－ln x ，令f ′(x )＝0，所以x ＝e ，当f ′(x )>0时，解得0<x <e ；当f ′(x )<0时，解得x >e ，所以x ＝e 时，f (x )取到极大值，f (x )极大值＝f (e)＝e. 答案 C4.(2019·青岛月考)函数f (x )＝cos x －x 在(0，π)上的单调性是( ) A.先增后减 B.先减后增 C.单调递增D.单调递减解析易知f′(x)＝－sin x－1，x∈(0，π)，则f′(x)<0，所以f(x)＝cos x－x在(0，π)上递减.答案D5.(2017·浙江卷)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()解析设导函数y＝f′(x)与x轴交点的横坐标从左往右依次为x1，x2，x3，由导函数y＝f′(x)的图象易得当x∈(－∞，x1)∪(x2，x3)时，f′(x)<0；当x∈(x1，x2)∪(x3，＋∞)时，f′(x)>0(其中x1<0<x2<x3)，所以函数f(x)在(－∞，x1)，(x2，x3)上单调递减，在(x1，x2)，(x3，＋∞)上单调递增，观察各选项，只有D选项符合.答案D6.(2019·豫南九校考评)若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为()A.4B.2或6C.2D.6解析函数f(x)＝x(x－c)2的导数为f′(x)＝3x2－4cx＋c2，由题意知，在x＝2处的导数值为12－8c＋c2＝0，解得c＝2或6，又函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，故导数在x＝2处左侧为负，右侧为正，而当e＝6时，f(x)＝x(x－6)2在x＝2处有极大值，故c＝2.答案C考点一 求函数的单调区间【例1】 已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值. (1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ，求函数g (x )的单调减区间. 解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ，因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝0，即3a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x ，故g ′(x )＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x . 令g ′(x )<0，即x (x ＋1)(x ＋4)<0， 解得－1<x <0或x <－4，所以g (x )的单调减区间为(－1，0)，(－∞，－4). 规律方法 1.求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求f ′(x )；(3)在定义域内解不等式f ′(x )>0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f ′(x )<0，得单调递减区间. 2.若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”与“和”连接.【训练1】 (1)已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )( ) A.在(0，＋∞)上递增 B.在(0，＋∞)上递减 C.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递增 D.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递减 (2)已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间为________.解析 (1)因为函数f (x )＝x ln x ，定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，当f ′(x )>0时，解得x >1e ，即函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞；当f ′(x )<0时，解得0<x <1e ，即函数的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e .(2)f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x .令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，即f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.答案 (1)D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2考点二 讨论函数的单调性【例2】 (2017·全国Ⅰ卷改编)已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，其中参数a ≤0. (1)讨论f (x )的单调性； (2)若f (x )≥0，求a 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，且a ≤0. f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a ).①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，在(－∞，＋∞)上单调递增. ②若a <0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增.(2)①当a ＝0时，f (x )＝e 2x ≥0恒成立.②若a <0，则由(1)得，当x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f (x )取得最小值，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2， 故当且仅当a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2≥0， 即0>a ≥－2e 34时，f (x )≥0.综上，a 的取值范围是[－2e 34，0].【训练2】 已知f (x )＝x 22－a ln x ，a ∈R ，求f (x )的单调区间.解 因为f (x )＝x 22－a ln x ，x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＝x －a x ＝x 2－ax .(1)当a ≤0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数. (2)当a >0时，f ′(x )＝（x ＋a ）（x －a ）x，则有①当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递减区间为(0，a ). ②当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞). 综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间. 当a >0时，函数f (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞).考点三 函数单调性的简单应用 角度1 比较大小或解不等式【例3－1】 (1)已知函数y ＝f (x )对于任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x ＝1＋ln x ，其中f ′(x )是函数f (x )的导函数，则下列不等式成立的是( ) A.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4B.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4C.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4D.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6(2)已知函数f ′(x )是函数f (x )的导函数，f (1)＝1e ，对任意实数都有f (x )－f ′(x )>0，设F (x )＝f （x ）e x ，则不等式F (x )<1e 2的解集为( ) A.(－∞，1) B.(1，＋∞) C.(1，e)D.(e ，＋∞)解析 (1)令g (x )＝f （x ）cos x ，则g ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )(－sin x )cos 2x ＝1＋ln x cos 2x .由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <π2，g ′(x )>0，解得1e <x <π2；由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <π2，g ′(x )<0，解得0<x <1e .所以函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，π2上单调递增，又π3>π4，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cos π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos π4， 即2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4.(2)F ′(x )＝f ′(x )e x －e x f (x )(e x )2＝f ′(x )－f (x )e x ，又f (x )－f ′(x )>0，知F ′(x )<0， ∴F (x )在R 上单调递减.由F (x )<1e 2＝F (1)，得x >1， 所以不等式F (x )<1e 2的解集为(1，＋∞).答案 (1)B (2)B角度2 根据函数单调性求参数【例3－2】 (2019·日照质检)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x . (1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求实数a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求实数a 的取值范围. 解 h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x >0.∴h ′(x )＝1x －ax －2.(1)若函数h (x )在(0，＋∞)上存在单调减区间， 则当x >0时，1x －ax －2<0有解，即a >1x 2－2x 有解. 设G (x )＝1x 2－2x ，所以只要a >G (x )min . 又G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，所以G (x )min ＝－1.所以a >－1.即实数a 的取值范围是(－1，＋∞). (2)由h (x )在[1，4]上单调递减，∴当x ∈[1，4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立， 则a ≥1x 2－2x 恒成立，设G (x )＝1x 2－2x ， 所以a ≥G (x )max . 又G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，x ∈[1，4]，因为x ∈[1，4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716.又当a ＝－716时，h ′(x )＝1x ＋716x －2＝（7x －4）（x －4）16x，∵x ∈[1，4]，∴h ′(x )＝（7x －4）（x －4）16x ≤0，当且仅当x ＝4时等号成立. ∴h (x )在[1，4]上为减函数. 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞.规律方法 1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. 2.根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集.(2)f (x )是单调递增的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上，f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.【训练3】 (1)已知f (x )是定义在区间(0，＋∞)内的函数，其导函数为f ′(x )，且不等式xf ′(x )<2f (x )恒成立，则( ) A.4f (1)<f (2) B.4f (1)>f (2) C.f (1)<4f (2)D.f (1)>4f ′(2)(2)(2019·淄博模拟)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(2，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( )A.(－∞，－2]B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C.[2，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12解析 (1)设函数g (x )＝f (x )x 2(x >0)，则g ′(x )＝x 2f ′(x )－2xf (x )x 4＝xf ′(x )－2f (x )x 3<0，所以函数g (x )在(0，＋∞)内为减函数，所以g (1)>g (2)，即f (1)12>f (2)22，所以4f (1)>f (2).(2)由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(2，＋∞)上单调递增，等价于f ′(x )＝k －1x ≥0在(2，＋∞)上恒成立，由于k ≥1x ，而0<1x <12，所以k ≥12.即k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 答案 (1)B (2)B三、课后练习1.(2017·山东卷)若函数e x f (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质.下列函数中具有M 性质的是( ) A.f (x )＝2－x B.f (x )＝x 2 C.f (x )＝3－xD.f (x )＝cos x解析 设函数g (x )＝e x ·f (x )，对于A ，g (x )＝e x ·2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x，在定义域R 上为增函数，A 正确.对于B ，g (x )＝e x ·x 2，则g ′(x )＝x (x ＋2)e x ，由g ′(x )>0得x <－2或x >0，∴g (x )在定义域R 上不是增函数，B 不正确.对于C ，g (x )＝e x ·3－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x在定义域R 上是减函数，C 不正确.对于D ，g (x )＝e x ·cos x ，则g ′(x )＝2e x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，g ′(x )>0在定义域R 上不恒成立，D 不正确. 答案 A2.(2019·上海静安区调研)已知函数f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2，则不等式f (ln x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x <2f (1)的解集为( ) A.(e ，＋∞)B.(0，e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ∪(1，e) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 解析 f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2是偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x ＝f (－ln x )＝f (ln x ).则原不等式可变形为f (ln x )<f (1)⇔f (|ln x |)<f (1). 又f ′(x )＝x cos x ＋2x ＝x (2＋cos x )， 由2＋cos x >0，得x >0时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增. ∴|ln x |<1⇔－1<ln x <1⇔1e <x <e. 答案 D3.若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是________.解析 f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝1－23(2cos 2x －1)＋a cos x ＝－43cos 2 x ＋a cos x ＋53，f (x )在R 上单调递增，则f ′(x )≥0在R 上恒成立.令cos x ＝t ，t ∈[－1，1]，则－43t 2＋at ＋53≥0在[－1，1]上恒成立，即4t 2－3at －5≤0在t ∈[－1，1]上恒成立. 令g (t )＝4t 2－3at －5，则⎩⎨⎧g (1)＝4－3a －5≤0，g (－1)＝4＋3a －5≤0，解得－13≤a ≤13. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，134.已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R ). (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′（x ）＋m 2在区间(t ，3)上总不是单调函数，求m 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝a （1－x ）x， 当a >0时，f (x )的递增区间为(0，1)， 递减区间为(1，＋∞)；当a <0时，f (x )的递增区间为(1，＋∞)，递减区间为(0，1)； 当a ＝0时，f (x )为常函数.(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a 2＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x .∴g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x ， ∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t ，3)上总不是单调函数， 即g ′(x )在区间(t ，3)上有变号零点.由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎨⎧g ′(t )<0，g ′(3)>0.当g ′(t )<0时，即3t 2＋(m ＋4)t －2<0对任意t ∈[1，2]恒成立， 由于g ′(0)<0，故只要g ′(1)<0且g ′(2)<0， 即m <－5且m <－9，即m <－9；由g ′(3)>0，即m >－373. ∴－373<m <－9.即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－9.。
导数的概念及运算专题练习(含参考答案)
数学 导数的概念及运算1．已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝( ) A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1π2．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0D ．(e －1)x －y －1＝03．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2.若f ′(2 018)＝6，则f ′(－2 018)＝( ) A ．－6 B ．－8 C ．6D ．84．如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．45．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．22D ．36．(2018·高考全国卷Ⅱ)曲线y ＝2ln x 在点(1，0)处的切线方程为________．7．(2019·南昌第一次模拟)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝________．8．(2017·高考天津卷)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．9．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 10．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．1．(2019·成都第二次诊断检测)若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B ．[－12，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)2．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－23．(2019·云南第一次统考)已知函数f (x )＝ax ln x ＋b (a ，b ∈R )，若f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，则a ＋b ＝________．4．设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．5．设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标．6．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．【参考答案】1．已知函数f (x )＝1xcos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝( )A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1π解析：选C ．因为f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，所以f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π. 2．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0D ．(e －1)x －y －1＝0解析：选C ．由于y ′＝e －1x ，所以y ′|x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.3．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2.若f ′(2 018)＝6，则f ′(－2 018)＝( ) A ．－6 B ．－8 C ．6D ．8解析：选D.因为f ′(x )＝4ax 3－b sin x ＋7.所以f ′(－x )＝4a (－x )3－b sin(－x )＋7＝－4ax 3＋b sin x ＋7. 所以f ′(x )＋f ′(－x )＝14.又f ′(2 018)＝6，所以f ′(－2 018)＝14－6＝8，故选D.4．如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B ．由题图可得曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 5．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为( ) A ．1B ．2C ．22D ．3解析：选B ．因为定义域为(0，＋∞)，令y ′＝2x －1x ＝1，解得x ＝1，则在P (1，1)处的切线方程为x －y ＝0，所以两平行线间的距离为d ＝22＝ 2. 6．(2018·高考全国卷Ⅱ)曲线y ＝2ln x 在点(1，0)处的切线方程为________．解析：由题意知，y ′＝2x ，所以曲线在点(1，0)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝2，故所求切线方程为y －0＝2(x －1)，即y ＝2x －2. 答案：y ＝2x －27．(2019·南昌第一次模拟)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝________．解析：因为f (ln x )＝x ＋ln x ，所以f (x )＝x ＋e x ， 所以f ′(x )＝1＋e x ，所以f ′(1)＝1＋e 1＝1＋e. 答案：1＋e8．(2017·高考天津卷)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．解析：因为f ′(x )＝a －1x ，所以f ′(1)＝a －1，又f (1)＝a ，所以切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)，令x ＝0，得y ＝1.答案：19．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0， 即4a 2＋4a ＋1>0， 所以a ≠－12.所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 10．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． 因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.所以f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. 所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)， 即y ＝13x －32. (2)设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1， 所以直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又因为直线l 过点(0，0)，所以0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8， 所以x 0＝－2，所以y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， k ＝3×(－2)2＋1＝13.所以直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)因为切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，所以切线的斜率k ＝4. 设切点的坐标为(x 0，y 0)， 则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4， 所以x 0＝±1.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18，即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)， 切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.1．(2019·成都第二次诊断检测)若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B ．[－12，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选D.f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x (x >0)，根据题意有f ′(x )≥0(x >0)恒成立，所以2ax 2＋1≥0(x >0)恒成立，即2a ≥－1x 2(x >0)恒成立，所以a ≥0，故实数a 的取值范围为[0，＋∞)．故选D.2．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2解析：选D.因为f ′(x )＝1x ，所以直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1， 又f (1)＝0，所以切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m ＜0，于是解得m ＝－2. 3．(2019·云南第一次统考)已知函数f (x )＝ax ln x ＋b (a ，b ∈R )，若f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，则a ＋b ＝________．解析：由题意，得f ′(x )＝a ln x ＋a ，所以f ′(1)＝a ，因为函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，所以a ＝2，又f (1)＝b ，则2×1－b ＝0，所以b ＝2，故a ＋b ＝4.答案：44．设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．解析：y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1，设P (m ，n )，y ＝1x (x >0)的导数为y ′＝－1x 2(x >0)，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m 2(m >0)，因为两切线垂直，所以k 1 k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1，1)．答案：(1，1)5．设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标． 解：(1)由题意得，y ′＝－2x ＋92.设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1，① y 1＝－x 21＋92x 1－4，② －2x 1＋92＝k ，③联立①②③得，x 1＝2，x 2＝－2(舍去)． 所以k ＝12.(2)过P 点作切线的垂线， 其方程为y ＝－2x ＋5.④ 将④代入抛物线方程得，x 2－132x ＋9＝0.设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，则2x 2＝9， 所以x 2＝92，y 2＝－4.所以Q 点的坐标为⎝⎛⎭⎫92，－4. 6．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由已知得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ， 因为f ′(－1)＝0， 所以3a －6－6a ＝0， 所以a ＝－2.(2)存在．由已知得，直线m 恒过定点(0，9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线， 则设切点为(x 0，3x 20＋6x 0＋12)． 因为g ′(x 0)＝6x 0＋6，所以切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)， 将(0，9)代入切线方程，解得x 0＝±1. 当x 0＝－1时，切线方程为y ＝9； 当x 0＝1时，切线方程为y ＝12x ＋9. 由(1)知f (x )＝－2x 3＋3x 2＋12x －11， ①由f ′(x )＝0得－6x 2＋6x ＋12＝0， 解得x ＝－1或x ＝2.在x ＝－1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝－18； 在x ＝2处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝9， 所以y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线是y ＝9.②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。
导数概念练习题
导数概念练习题导数是微积分的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率，即函数在该点处的斜率。
导数的概念在许多学科中都有广泛的应用，如物理学、工程学、经济学等。
下面是一些导数概念的练习题，帮助大家更好地理解这个概念。
已知函数f(x) = x^2 + 2x + 1，求f'(x)。
已知函数f(x) = sin(x)，求f'(x)。
已知函数f(x) = log(x)，求f'(x)。
已知函数f(x) = e^x，求f'(x)。
已知函数f(x) = x^n，求f'(x)。
已知函数f(x) = x/ln(x)，求f'(x)。
解：f'(x) = (ln(x)-1)/(ln(x))^2已知函数f(x) = arctan(x)，求f'(x)。
已知函数f(x) = e^(arctan(x))，求f'(x)。
解：f'(x) = e^(arctan(x))*(1/(1+x^2))已知函数f(x) = sin(e^x)，求f'(x)。
解：f'(x) = cos(e^x)*e^x已知函数f(x) = x^sin(x)，求f'(x)。
解：f'(x) = sin(x)x^(sin(x)-1)(cos(x)-1)以上练习题可以帮助大家理解导数的概念，并掌握一些常见的导数计算方法。
导数是数学中一个非常重要的概念，它描述了一个函数在某一点处的变化率。
求导数是数学分析中的一个基本技能，也是解决许多实际问题中必不可少的工具。
下面是一些求导数的练习题，供大家参考。
(1)θ=sinx,y=cosx。
(x)=3xx=0为函数的极值点。
随着素质教育的不断推进，高中数学课程中引入了越来越多的抽象概念，其中导数概念便是之一。
导数概念作为微积分的核心概念之一，对于高中生而言，是一个极具挑战性的知识点。
因此，本文旨在探讨高中学生对导数概念的理解情况，为教师提供有益的教学参考，从而提高学生对导数概念的理解和掌握程度。
导数 专题知识清单及例题练习(含答案)
桂林市卓远文化艺术培训学校专用资料导数专题知识清单及例题练习编写者： 审核者：邹俊飞一．导数的概念设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；比值xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ∆+0之间的平均变化率；如果极限xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000 说明：1. 函数f （x ）在点0x 处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。
如果x y∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。
2.x ∆是自变量x 在0x 处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。
3. 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点0x 处的导数的步骤（可由学生来归纳）： （1）求函数的增量y ∆=f （0x +x ∆）－f （0x ）；（2）求平均变化率x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00； （3）取极限，得导数f’(0x )=x y x ∆∆→∆0lim。
例题： 利用定义求 2)(x x f =在x=2处的导数；练习：求 24)(x x f =在x=2处的导数二．导数的几何意义 （求切线方程）函数y=f （x ）在点0x 处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （0x ，f （x 0））处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f （x ）在点p （0x ，f （x 0））处的切线的斜率是f’（ 0x ）。
高考数学总复习考点知识讲解与提升练习18 导数的概念及其意义、导数的运算
高考数学总复习考点知识讲解与提升练习 专题18 导数的概念及其意义、导数的运算考点知识1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f (ax ＋b ))的导数．知识梳理 1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数记作f ′(x 0)或y ′|0x x ＝. f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .(2)函数y ＝f (x )的导函数(简称导数)f ′(x )＝y ′＝limΔx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx.2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3．基本初等函数的导数公式4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； [f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)；[cf (x )]′＝cf ′(x )． 5．复合函数的定义及其导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数与函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 常用结论1．区分在点处的切线与过点处的切线(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条． 2.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f (x )′＝－f ′(x )[f (x )]2(f (x )≠0)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．(×) (2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(×) (3)f ′(x 0)＝[f (x 0)]′.(×) (4)(cos2x ) ′＝－2sin2x .(√) 教材改编题1．若函数f (x )＝3x ＋sin2x ，则() A ．f ′(x )＝3x ln3＋2cos2x B ．f ′(x )＝3x ＋2cos2x C ．f ′(x )＝3xln3＋cos2xD ．f ′(x )＝3xln3－2cos2x答案A解析因为函数f (x )＝3x ＋sin2x ， 所以f ′(x )＝3x ln3＋2cos2x .2．函数f (x )＝e x ＋1x在x ＝1处的切线方程为．答案y ＝(e －1)x ＋2解析由题意得，f ′(x )＝e x－1x2，∴f ′(1)＝e －1，又∵f (1)＝e ＋1，∴切点为(1，e ＋1)，切线斜率k ＝f ′(1)＝e －1， 即切线方程为y －(e ＋1)＝(e －1)(x －1)， 即y ＝(e －1)x ＋2.3．已知函数f (x )＝x ln x ＋ax 2＋2，若f ′(e)＝0，则a ＝. 答案－1e解析由题意得f ′(x )＝1＋ln x ＋2ax ， ∴f ′(e)＝2a e ＋2＝0，解得a ＝－1e.题型一导数的运算例1(1)(多选)下列求导正确的是() A ．[(3x ＋5)3]′＝9(3x ＋5)2 B ．(x 3ln x )′＝3x 2ln x ＋x 2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x x 2′＝2x cos x ＋4sin x x 3D ．(2x ＋cos x )′＝2x ln2－sin x 答案ABD解析对于A ，[(3x ＋5)3]′＝3(3x ＋5)2(3x ＋5)′＝9(3x ＋5)2，故A 正确； 对于B ，(x 3ln x )′＝(x 3)′ln x ＋x 3(ln x )′＝3x 2ln x ＋x 2，故B 正确； 对于C ，⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x x 2′＝(2sin x )′x 2－2sin x (x 2)′x 4＝2x cos x －4sin x x 3，故C 错误；对于D ，(2x ＋cos x )′＝(2x )′＋(cos x )′＝2x ln2－sin x ，故D 正确．(2)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，则f′(2)等于()A．1B．－9C．－6D．4答案C解析因为f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，所以f′(x)＝3x2＋2xf′(1)＋2，把x＝1代入f′(x)，得f′(1)＝3×12＋2f′(1)＋2，解得f′(1)＝－5，所以f′(x)＝3x2－10x＋2，所以f′(2)＝－6.思维升华(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．跟踪训练1(1)(多选)下列求导运算正确的是()A．若f(x)＝sin(2x＋3)，则f′(x)＝2cos(2x＋3)B．若f(x)＝e－2x＋1，则f′(x)＝e－2x＋1C．若f(x)＝xe x，则f′(x)＝1－xe xD．若f(x)＝x ln x，则f′(x)＝ln x＋1答案ACD解析f(x)＝sin(2x＋3)，f′(x)＝cos(2x＋3)·(2x＋3)′＝2cos(2x＋3)，故A正确；f(x)＝e－2x＋1，则f′(x)＝－2e－2x＋1，故B错误；f (x )＝xe x ，f ′(x )＝e x －x e x (e x )2＝1－xex ，故C 正确；f (x )＝x ln x ，f ′(x )＝(x )′ln x ＋x (ln x )′＝ln x ＋1，故D 正确．(2)函数f (x )的导函数为f ′(x )，若f (x )＝x 2＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝.答案π236＋2π3解析∵f ′(x )＝2x ＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cos x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2π3＋12f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝4π3，∴f (x )＝x 2＋4π3sin x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝π236＋2π3.题型二导数的几何意义 命题点1求切线方程例2(1)(2023·大同模拟)已知函数f (x )＝2e 2ln x ＋x 2，则曲线y ＝f (x )在点(e ，f (e))处的切线方程为()A ．4e x －y ＋e 2＝0B ．4e x －y －e 2＝0C ．4e x ＋y ＋e 2＝0D ．4e x ＋y －e 2＝0 答案B解析因为f (x )＝2e 2ln x ＋x 2，所以f ′(x )＝2e 2x＋2x ，所以f (e)＝2e 2lne ＋e 2＝3e 2，f ′(e)＝4e ，所以曲线y ＝f (x )在点(e ，f (e))处的切线方程为y －3e 2＝4e(x －e)，即4e x －y －e 2＝0.(2)(2022·新高考全国Ⅱ)曲线y ＝ln|x |过坐标原点的两条切线的方程为__________，____________. 答案y ＝1e xy ＝－1ex解析先求当x >0时，曲线y ＝ln x 过原点的切线方程，设切点为(x 0，y 0)， 则由y ′＝1x ，得切线斜率为1x 0，又切线的斜率为y 0x 0，所以1x 0＝y 0x 0，解得y 0＝1，代入y ＝ln x ，得x 0＝e ， 所以切线斜率为1e ，切线方程为y ＝1e x .同理可求得当x <0时的切线方程为y ＝－1e x .综上可知，两条切线方程为y ＝1e x ，y ＝－1e x .命题点2求参数的值(范围)例3(1)(2022·重庆模拟)已知a 为非零实数，直线y ＝x ＋1与曲线y ＝a ln(x ＋1)相切，则a ＝________. 答案e解析设切点坐标为(t ，a ln(t ＋1))，对函数y ＝a ln(x ＋1)求导得y ′＝a x ＋1，所以⎩⎨⎧at ＋1＝1，a ln (t ＋1)＝t ＋1，解得t ＝e －1，a ＝e.(2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y ＝(x ＋a )e x 有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范答案(－∞，－4)∪(0，＋∞)解析因为y ＝(x ＋a )e x ，所以y ′＝(x ＋a ＋1)e x .设切点为A (x 0，(x 0＋a )0e x )，O 为坐标原点，依题意得，切线斜率k OA ＝y ′|0x x ＝＝(x 0＋a ＋1)0e x ＝000()e x x a x +，化简，得x 20＋ax 0－a ＝0.因为曲线y ＝(x ＋a )e x 有两条过坐标原点的切线，所以关于x 0的方程x 20＋ax 0－a ＝0有两个不同的根，所以Δ＝a 2＋4a >0，解得a <－4或a >0，所以a 的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．思维升华 (1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上． (2)注意区分“在点P 处的切线”与“过点P 的切线”． 跟踪训练2(1)曲线f (x )＝x 2＋x －2e x在(0，f (0))处的切线方程为()A ．y ＝3x －2B ．y ＝3x ＋2C ．y ＝－3x －2D ．y ＝－3x ＋2 答案A解析由题知f ′(x )＝(2x ＋1)e x －(x 2＋x －2)e x (e x )2＝－x 2＋x ＋3e x ，所以f ′(0)＝3，f (0)＝－2，所以曲线f (x )在(0，f (0))处的切线方程为y －(－2)＝3(x －0)，即y ＝3x －2.(2)(2023·泸州模拟)已知曲线y ＝a cos x x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π，－a π处的切线方程为y ＝2π2x ＋b ，则a 的值是() A.4πB ．－2C ．－4πD ．2解析令y ＝f (x )＝a cos x x ，则f ′(x )＝－a (x sin x ＋cos x )x 2， 曲线在点⎝⎛⎭⎪⎫π，－a π处的切线的斜率为f ′(π)＝a π2＝2π2，解得a ＝2. 题型三两曲线的公切线例4(1)若直线l ：y ＝kx ＋b (k >1)为曲线f (x )＝e x －1与曲线g (x )＝eln x 的公切线，则l 的纵截距b 等于() A ．0B ．1C ．eD ．－e 答案D解析设l 与f (x )的切点为(x 1，y 1)，则由f ′(x )＝e x －1，得l ：y ＝11e x x －＋(1－x 1)11e x －. 同理，设l 与g (x )的切点为(x 2，y 2)， 则由g ′(x )＝e x ，得l ：y ＝ex 2x ＋e(ln x 2－1)．故⎩⎨⎧11e x －＝ex 2，(1－x 1)11e x －＝e (ln x 2－1).解得⎩⎨⎧x 1＝1，x 2＝e或⎩⎨⎧x 1＝2，x 2＝1.则l ：y ＝x 或y ＝e x －e.因为k >1，所以l ：y ＝x 不成立，故b ＝－e.(2)(2023·晋中模拟)若两曲线y ＝ln x －1与y ＝ax 2存在公切线，则正实数a 的取值范围是()A ．(0,2e] B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12e －3，＋∞C.⎝⎛⎦⎥⎤0，12e －3D ．[2e ，＋∞)解析设公切线与曲线y ＝ln x －1和y ＝ax 2的切点分别为(x 1，ln x 1－1)，(x 2，ax 22)，其中x 1>0，对于y ＝ln x －1有y ′＝1x ，则y ＝ln x －1的切线方程为y －(ln x 1－1)＝1x 1(x －x 1)，即y ＝xx 1＋ln x 1－2，对于y ＝ax 2有y ′＝2ax ，则y ＝ax 2的切线方程为y －ax 22＝2ax 2(x －x 2)，即y ＝2ax 2x －ax 22，所以⎩⎨⎧1x 1＝2ax 2，ln x 1－2＝－ax 22，则－14ax 21＝ln x 1－2，即14a＝2x 21－x 21ln x 1(x 1>0)， 令g (x )＝2x 2－x 2ln x ，则g ′(x )＝3x －2x ln x ＝x (3－2ln x )， 令g ′(x )＝0，得x ＝32e ，当x ∈(0，32e )时，g ′(x )>0，g (x )单调递增； 当x ∈(32e ，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减， 所以g (x )max ＝g (32e )＝12e 3，故0<14a ≤12e 3，即a ≥12e －3.思维升华 公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．跟踪训练3(1)已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝x 2－m ，h (x )＝6ln x －4x ，设两曲线y ＝f (x )与y ＝h (x )在公共点处的切线相同，则m 等于() A ．－3B ．1C ．3D ．5 答案D解析依题意，设曲线y ＝f (x )与y ＝h (x )在公共点(x 0，y 0)处的切线相同． ∵f (x )＝x 2－m ，h (x )＝6ln x －4x ， ∴f ′(x )＝2x ，h ′(x )＝6x－4，∴⎩⎨⎧f (x 0)＝h (x 0)，f ′(x 0)＝h ′(x 0)，即⎩⎨⎧x 20－m ＝6ln x 0－4x 0，2x 0＝6x－4，∵x 0>0，∴x 0＝1，m ＝5.(2)已知f (x )＝e x －1，g (x )＝ln x ＋1，则f (x )与g (x )的公切线有() A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条 答案C解析根据题意，设直线l 与f (x )＝e x －1相切于点(m ，e m －1) ，与g (x )相切于点(n ，ln n ＋1)(n >0)，对于f (x )＝e x －1，f ′(x )＝e x ，则k 1＝e m ， 则直线l 的方程为y ＋1－e m ＝e m (x －m ) ， 即y ＝e m x ＋e m (1－m )－1，对于g (x )＝ln x ＋1，g ′(x )＝1x ，则k 2＝1n，则直线l 的方程为y －(ln n ＋1)＝1n(x －n )，即y ＝1nx ＋ln n ，直线l 是f (x )与g (x )的公切线，则⎩⎨⎧e m＝1n ，(1－m )e m＝ln n ＋1，可得(1－m )(e m －1)＝0，即m ＝0或m ＝1，则切线方程为y ＝e x －1或y ＝x ，故f (x )与g (x )的公切线有两条．课时精练1．(2023·广州模拟)曲线y ＝x 3＋1在点(－1，a )处的切线方程为() A ．y ＝3x ＋3B ．y ＝3x ＋1 C ．y ＝－3x －1D ．y ＝－3x －3 答案A解析因为f ′(x )＝3x 2，所以f ′(－1)＝3， 又当x ＝－1时，a ＝(－1)3＋1＝0，所以y ＝x 3＋1在点(－1，a )处的切线方程为y ＝3(x ＋1)， 即y ＝3x ＋3.2．记函数f (x )的导函数为f ′(x )．若f (x )＝e x sin2x ，则f ′(0)等于() A ．2B ．1C ．0D ．－1答案A解析因为f(x)＝e x sin2x，则f′(x)＝e x(sin2x＋2cos2x)，所以f′(0)＝e0(sin0＋2cos0)＝2.3．(2022·广西三市联考)设函数f(x)在R上存在导函数f′(x)，f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝12x＋2，那么f(1)＋f′(1)等于()A．1B．2C．3D．4 答案C解析由题意得f(1)＝12×1＋2＝52，f′(1)＝1 2，所以f(1)＋f′(1)＝52＋12＝3.4．已知函数f(x)＝x ln x，若直线l过点(0，－e)，且与曲线y＝f(x)相切，则直线l 的斜率为()A．－2B．2C．－eD．e答案B解析设切点坐标为(t，t ln t)，∵f(x)＝x ln x，∴f′(x)＝ln x＋1，直线l的斜率为f′(t)＝ln t＋1，∴直线l的方程为y－t ln t＝(ln t＋1)(x－t)，将点(0，－e)的坐标代入直线l的方程得－e－t ln t＝－t(ln t＋1)，解得t＝e，∴直线l的斜率为f′(e)＝2.5．已知函数f (x )＝a ln x ，g (x )＝b e x ，若直线y ＝kx (k >0)与函数f (x )，g (x )的图象都相切，则a ＋1b的最小值为()A ．2B ．2eC ．e 2D. e 答案B解析设直线y ＝kx 与函数f (x )，g (x )的图象相切的切点分别为A (m ，km )，B (n ，kn )．由f ′(x )＝ax，有⎩⎨⎧km ＝a ln m ，am ＝k ，解得m ＝e ，a ＝e k .又由g ′(x )＝b e x，有⎩⎨⎧kn ＝b e n，b e n＝k ，解得n ＝1，b ＝ke，所以a ＋1b ＝e k ＋ek≥2e 2＝2e ，当且仅当a ＝e ，b ＝1e时等号成立．6．(多选)定义方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫做函数f (x )的“新不动点”，则下列函数中只有一个“新不动点”的是() A ．g (x )＝x ·2xB ．g (x )＝－e x －2xC ．g (x )＝ln xD ．g (x )＝sin x ＋2cos x 答案ABC解析对于A，g′(x)＝2x＋x·2x·ln2，由x·2x＝2x＋x·2x·ln2，解得x＝11－ln2，∴g(x)只有一个“新不动点”，故A正确；对于B，g′(x)＝－e x－2，由－e x－2＝－e x－2x，得x＝1，∴g(x)只有一个“新不动点”，故B正确；对于C，g′(x)＝1 x ，根据y＝ln x和y＝1x的图象可看出ln x＝1x只有一个实数根，∴g(x)只有一个“新不动点”，故C正确；对于D，g′(x)＝cos x－2sin x，由sin x＋2cos x＝cos x－2sin x，得3sin x＝－cos x，∴tan x＝－1 3，根据y＝tan x和y＝－13的图象可看出方程tan x＝－13有无数个解，∴g(x)有无数个“新不动点”，故D错误．7．写出一个同时具有性质：①f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，②当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0的函数f(x)＝.答案ln x (答案不唯一)解析若函数f (x )＝ln x ，则f (x 1x 2)＝ln(x 1x 2)＝ln x 1＋ln x 2＝f (x 1)＋f (x 2)，满足①；f (x )＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1x>0，满足②，故f (x )＝ln x 符合题意．8．已知函数f (x )＝x (x －1)(x －2)(x －3)(x －4)·(x －5)，则f ′(3)＝________. 答案12解析由题意得，f ′(x )＝x (x －1)(x －2)(x －4)(x －5)＋(x －3)[x (x －1)(x －2)(x －4)(x －5)]′，所以f ′(3)＝3×(3－1)×(3－2)×(3－4)×(3－5)＋0＝12. 9．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x . (1)求f ′(e)及f (e)的值；(2)求f (x )在点(e 2，f (e 2))处的切线方程． 解(1)∵f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，∴f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，∴f ′(e)＝－1e ，f (x )＝－2xe ＋ln x ，∴f (e)＝－2ee ＋lne ＝－1.(2)∵f (x )＝－2x e ＋ln x ，f ′(x )＝－2e ＋1x， ∴f (e 2)＝－2e 2e ＋lne 2＝2－2e ，f ′(e 2)＝－2e ＋1e2，∴f (x )在点(e 2，f (e 2))处的切线方程为y －(2－2e)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2e ＋1e 2(x －e 2)，即(2e －1)x ＋e 2y －e 2＝0.10．(2022·全国甲卷)已知函数f (x )＝x 3－x ，g (x )＝x 2＋a ，曲线y ＝f (x )在点(x 1，f (x 1))处的切线也是曲线y＝g(x)的切线．(1)若x1＝－1，求a；(2)求a的取值范围．解(1)当x1＝－1时，f(－1)＝0，所以切点坐标为(－1,0)．由f(x)＝x3－x，得f′(x)＝3x2－1，所以切线斜率k＝f′(－1)＝2，所以切线方程为y＝2(x＋1)，即y＝2x＋2.将y＝2x＋2代入y＝x2＋a，得x2－2x＋a－2＝0.由切线与曲线y＝g(x)也相切，得Δ＝(－2)2－4(a－2)＝0，解得a＝3.(2)由(1)知，y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线斜率k＝f′(x1)＝3x21－1，又f(x1)＝x31－x1，所以切线方程为y－(x3－x1)＝(3x21－1)(x－x1)，1即y＝(3x21－1)x－2x31.将y＝(3x21－1)x－2x31代入y＝x2＋a，得x2－(3x21－1)x＋a＋2x31＝0.由切线与曲线y＝g(x)也相切，得Δ＝(3x21－1)2－4(a＋2x31)＝0，整理，得4a＝9x41－8x31－6x21＋1.令h(x)＝9x4－8x3－6x2＋1.则h′(x)＝36x3－24x2－12x＝12x(3x＋1)(x－1)．由h′(x)＝0，得x＝－13，0,1，当x变化时，h′(x)，h(x)的变化如表所示，↘由表知，当x＝－13时，h(x)取得极小值h⎝⎛⎭⎪⎫－13＝2027，当x＝1时，h(x)取得极小值h(1)＝－4，易知当x→－∞时，h(x)→＋∞，当x→＋∞时，h(x)→＋∞，所以函数h(x)的值域为[－4，＋∞)，所以由4a∈[－4，＋∞)，得a∈[－1，＋∞)，故实数a的取值范围为[－1，＋∞)．11．已知曲线y＝e x在点(x1，1e x)处的切线与曲线y＝ln x在点(x2，ln x2)处的切线相同，则(x1＋1)(x2－1)等于()A ．－1B ．－2C ．1D ．2 答案B解析已知曲线y ＝e x 在点(x 1，1e x )处的切线方程为y －1e x ＝1e x (x －x 1)， 即y ＝1e x x －1e x x 1＋1e x ，曲线y ＝ln x 在点(x 2，ln x 2)处的切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2x －1＋ln x 2，由题意得⎩⎨⎧1ex ＝1x 2，1ex －1e x x 1＝－1＋ln x 2，解得x 2＝11ex ， 1e x －1e x x 1＝－1＋ln x 2＝－1＋11lne x ＝－1－x 1， 则1e x ＝x 1＋1x 1－1， 又x 2＝11ex ， 所以x 2＝x 1－1x 1＋1， 所以x 2－1＝x 1－1x 1＋1－1＝－2x 1＋1， 所以(x 1＋1)(x 2－1)＝－2.12．我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为00型分式，比如：当x →0时，e x －1x的极限即为00型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：lim x →0e x －1x ＝lim x →0(e x －1)′x ′＝lim x →0e x 1＝lim x →0e x ＝e 0＝1，则lim x →1x 2ln x x 2－1＝.答案12解析lim x →1x 2ln x x 2－1＝lim x →1(x 2ln x )′(x 2－1)′＝lim x →12x ln x ＋x 2x ＝lim x →1⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋12＝ln1＋12＝12.13．已知a ，b 为正实数，直线y ＝x －a2与曲线y ＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋b 2相切，则a 24－b 的取值范围是()A ．(－∞，0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C ．[1，＋∞) D．(0,1) 答案D解析函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋b 2的导函数为y ′＝1x ＋b 2，令y ′＝1x ＋b 2＝1，解得x ＝1－b 2，所以切点为⎝⎛⎭⎪⎫1－b 2，0，代入y ＝x －a2，得a ＋b ＝2， 因为a ，b 为正实数，所以a ∈(0,2)， 则a 24－b＝a 22＋a，令g(a)＝a22＋a，a∈(0,2)，则g′(a)＝a(a＋4)(2＋a)2>0，则函数g(a)在(0,2)上单调递增，所以0＝g(0)<g(a)<g(2)＝1，即g(a)∈(0,1)，所以a24－b∈(0,1)．14．设a i(i＝0,1,2，…，2022)是常数，对于∀x∈R，都有x2022＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)(x－2)＋…＋a2022·(x－1)(x－2)…(x－2022)，则－a0＋a1－a2＋2！a3－3！a4＋4！a5－…＋2020！a2021－2021！a2022＝________.答案2021解析因为x2022＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)·(x－2)＋…＋a2022(x－1)(x－2)…(x－2022)，则令x＝1，可得a0＝1.对x2022＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)(x－2)＋…＋a2022(x－1)(x－2)…(x－2022)两边求导可得2022x2021＝a1＋a2[(x－1)(x－2)]′＋…＋a2022[(x－1)(x－2)…(x－2022)]′，令f n(x)＝(x－1)(x－2)…(x－n)，则f n′(x)＝(x－1)[(x－2)(x－3)…(x－n)]′＋(x－2)(x－3)…(x－n)，所以f n′(1)＝(1－2)×…×(1－n)＝(－1)n－1(n－1)！，所以2022×12021＝a1＋a2×(－1)1×1＋a3×(－1)2×2！＋…＋a2022×(－1)20212021！，故2022＝a1－a2＋2！a3－…－2021！a2022，所以－a0＋a1－a2＋2！a3－3！a4＋4！a5－…＋2020！a2021－2021！a2022＝2022－1＝2021.21 / 21。
导数的概念及运算知识点讲解(含解析)
导数的概念及运算一、知识梳理1.函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数(1)定义：称函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim x ∆→ΔyΔx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0limx ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0).2.函数y ＝f (x )的导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，函数f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数.3.导数公式表4.导数的运算法则 若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1) [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2) [f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0).5.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为 y x ′＝y u ′·u x ′.知识点小结：1.f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，且(f (x 0))′＝0.2. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f (x )′＝－f ′(x )[f (x )]2. 3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率.( ) (2)函数f (x )＝sin(－x )的导数f ′(x )＝cos x .( ) (3)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0).( ) (4)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.( ) 解析 (1)f ′(x 0)表示y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率，(1)错. (2)f (x )＝sin(－x )＝－sin x ，则f ′(x )＝－cos x ，(2)错.(3)求f ′(x 0)时，应先求f ′(x )，再代入求值，(3)错. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A.－9B.－3C.9D.15解析 因为y ＝x 3＋11，所以y ′＝3x 2，所以y ′|x ＝1＝3，所以曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线方程为y －12＝3(x －1).令x ＝0，得y ＝9. 答案 C3.在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，则运动员的速度v ＝________ m/s ，加速度a ＝______ m/s 2.解析 v ＝h ′(t )＝－9.8t ＋6.5，a ＝v ′(t )＝－9.8. 答案 －9.8t ＋6.5 －9.84.(2019·青岛质检)已知函数f (x )＝x (2 018＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 019，则x 0等于( ) A.e 2B.1C.ln 2D.e解析 f ′(x )＝2 018＋ln x ＋x ×1x ＝2 019＋ln x .由f ′(x 0)＝2 019，得2 019＋ln x 0＝2 019，则ln x 0＝0，解得x 0＝1. 答案 B5.(2018·天津卷)已知函数f (x )＝e x ln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)的值为________.解析 由题意得f ′(x )＝e xln x ＋e x·1x ，则f ′(1)＝e.答案 e6.(2017·全国Ⅰ卷)曲线y ＝x 2＋1x 在点(1，2)处的切线方程为________.解析 设y ＝f (x )，则f ′(x )＝2x －1x 2， 所以f ′(1)＝2－1＝1，所以在(1，2)处的切线方程为y －2＝1×(x －1)， 即y ＝x ＋1. 答案 y ＝x ＋1考点一 导数的运算角度1 根据求导法则求函数的导数 【例1－1】 分别求下列函数的导数： (1)y ＝e x ln x ； (2)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)f (x )＝ln 1＋2x .解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e xx ＝e x ⎝⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x .(2)因为y ＝x 3＋1＋1x 2，所以y ′＝3x 2－2x 3. (3)因为y ＝ln1＋2x ＝12ln ()1＋2x ，所以y ′＝12·11＋2x ·(1＋2x )′＝11＋2x .角度2 抽象函数的导数计算【例1－2】 (2019·天津河西区调研)已知函数f (x )的导函数是f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln 1x ，则f (1)＝( ) A.－eB.2C.－2D.e解析 由已知得f ′(x )＝2f ′(1)－1x ，令x ＝1得f ′(1)＝2f ′(1)－1，解得f ′(1)＝1，则f (1)＝2f ′(1)＝2. 答案 B【训练1】 (1)若y ＝x －cos x 2sin x2，则y ′＝________. (2)已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________. 解析 (1)因为y ＝x －12sin x ，所以y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12sin x ′＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝1－12cos x .(2)∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2.∴f ′(x )＝2x －4，∴f ′(0)＝－4. 答案 (1)1－12cos x (2)－4考点二 导数的几何意义 角度1 求切线方程【例2－1】 (2018·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax .若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( ) A.y ＝－2x B.y ＝－x C.y ＝2xD.y ＝x解析 因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以a －1＝0，则a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x . 答案 D角度2 求切点坐标【例2－2】 (1)(2019·聊城月考)已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( ) A.3B.2C.1D.12(2)设曲线y ＝e x在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________. 解析 (1)设切点的横坐标为x 0(x 0>0)，∵曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12， ∴y ′＝x 2－3x ，即x 02－3x 0＝12，解得x 0＝3或x 0＝－2(舍去，不符合题意)，即切点的横坐标为3. (2)∵函数y ＝e x 的导函数为y ′＝e x ，∴曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1.设P (x 0，y 0)(x 0>0)，∵函数y ＝1x 的导函数为y ′＝－1x 2，∴曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线的斜率k 2＝－1x 20，由题意知k 1k 2＝－1，即1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 20＝－1，解得x 20＝1，又x 0>0，∴x 0＝1.又∵点P 在曲线y ＝1x (x >0)上，∴y 0＝1，故点P 的坐标为(1，1). 答案 (1)A (2)(1，1)角度3 求参数的值或取值范围【例2－3】 (1)函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，2] B.(－∞，2) C.(2，＋∞)D.(0，＋∞)(2)(2019·河南六市联考)已知曲线f (x )＝x ＋ax ＋b (x ≠0)在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝2x ＋5，则a －b ＝________.解析 (1)由题意知f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解. ∴f ′(x )＝1x ＋a ＝2在(0，＋∞)上有解，则a ＝2－1x . 因为x ＞0，所以2－1x ＜2，所以a 的取值范围是(－∞，2). (2)f ′(x )＝1－ax 2，∴f ′(1)＝1－a ，又f (1)＝1＋a ＋b ，∴曲线在(1，f (1))处的切线方程为y －(1＋a ＋b )＝(1－a )(x －1)，即y ＝(1－a )x ＋2a ＋b ，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＝2，2a ＋b ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝7，∴a －b ＝－1－7＝－8. 答案 (1)B (2)－8规律方法 1.求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.2.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.【训练2】 (1)(2019·东莞二调)设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为( ) A.(0，0)B.(1，－1)C.(－1，1)D.(1，－1)或(－1，1)(2)(2018·全国Ⅱ卷)曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为________________.解析 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2，得f ′(x )＝3x 2＋2ax . 根据题意可得f ′(x 0)＝－1，f (x 0)＝－x 0，可列方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 30＋ax 20＝－x 0， ①3x 20＋2ax 0＝－1， ②解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，a ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，a ＝2.当x 0＝1时，f (x 0)＝－1，当x 0＝－1时，f (x 0)＝1. ∴点P 的坐标为(1，－1)或(－1，1). (2)由题意得y ′＝2x ＋1.在点(0，0)处切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝2.∴曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y －0＝2(x －0)，即y ＝2x . 答案 (1)D (2)y ＝2x三、课后练习1.(2019·深圳二模)设函数f (x )＝x ＋1x ＋b ，若曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处的切线经过坐标原点，则ab ＝( ) A.1B.0C.－1D.－2解析 由题意可得，f (a )＝a ＋1a ＋b ，f ′(x )＝1－1x 2，所以f ′(a )＝1－1a 2，故切线方程是y －a －1a －b ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1a 2(x －a )，将(0，0)代入得－a －1a －b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 2(－a )，故b ＝－2a ，故ab ＝－2. 答案 D2.已知函数f (x )＝|x 3＋ax ＋b |(a ，b ∈R )，若对任意的x 1，x 2∈[0，1]，f (x 1)－f (x 2)≤2|x 1－x 2|恒成立，则实数a 的取值范围是________. 解析 当x 1＝x 2时，f (x 1)－f (x 2)≤2|x 1－x 2|恒成立；当x 1≠x 2时， 由f (x 1)－f (x 2)≤2|x 1－x 2|得f （x 1）－f （x 2）|x 1－x 2|≤2，故函数f (x )在[0，1]上的导函数f ′(x )满足|f ′(x )|≤2，函数y ＝x 3＋ax ＋b 的导函数为y ′＝3x 2＋a ，其中[0，1]上的值域为[a ，a ＋3]，则有⎩⎪⎨⎪⎧|a |≤2，|a ＋3|≤2，解得－2≤a ≤－1.综上所述，实数a 的取值范围为[－2，－1]. 答案 [－2，－1]3.函数g (x )＝ln x 图象上一点P 到直线y ＝x 的最短距离为________. 解析 设点(x 0，ln x 0)是曲线g (x )＝ln x 的切线中与直线y ＝x 平行的直线的切点，因为g ′(x )＝(ln x )′＝1x ，则1＝1x 0，∴x 0＝1，则切点坐标为(1，0)，∴最短距离为(1，0)到直线y ＝x 的距离， 即为|1－0|1＋1＝22. 答案 224.若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________.解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，定义域为(0，＋∞)，∴f ′(x )＝x －a ＋1x .∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，即x ＋1x －a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x ≥2(当且仅当x ＝1时取等号).答案 [2，＋∞)。
导数的概念及运算练习含答案
第1讲导数的概念及运算一、选择题1．设y＝x2e x，则y′＝() A．x2e x＋2x B．2x e xC．(2x＋x2)e x D．(x＋x2)e x解析y′＝2x e x＋x2e x＝(2x＋x2)e x.答案 C2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，则f′(1)等于() A．－e B．－1C．1 D．e解析由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋1 x，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.答案 B3．曲线y＝sin x＋e x在点(0,1)处的切线方程是() A．x－3y＋3＝0 B．x－2y＋2＝0C．2x－y＋1＝0 D．3x－y＋1＝0解析y′＝cos x＋e x，故切线斜率为k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y ＋1＝0.答案 C4．(2017·成都诊断)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为()A．e B．－e C.1e D．－1e解析y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝1x，设切点为(x0，ln x0)，则y′|x＝x0＝1x0，切线方程为y－ln x0＝1x0(x－x0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x0＝－1，解得x0＝e，故此切线的斜率为1 e.答案 C5．(2017·昆明诊断)设曲线y＝1＋cos xsin x在点⎝⎛⎭⎪⎫π2，1处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a等于()A．－1 B.1 2C．－2 D．2解析∵y′＝－1－cos xsin2x，∴＝－1.由条件知1a＝－1，∴a＝－1.答案 A二、填空题6．若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.解析因为y′＝2ax－1x，所以y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，解得a＝1 2.答案1 27.(2017·长沙一中月考)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.解析 由图形可知：f (3)＝1，f ′(3)＝－13，∵g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)＝1－1＝0. 答案 08．(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.解析 由y ＝x ＋ln x ，得y ′＝1＋1x ，得曲线在点(1,1)处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝1＝2，所以切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1. 又该切线与y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切， 消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0， ∴a ≠0且Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 答案 8 三、解答题9．已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程； (2)切线l 的倾斜角α的取值范围． 解 (1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1， 所以当x ＝2时，y ′＝－1，y ＝53， 所以斜率最小的切线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53，斜率k ＝－1，所以切线方程为x ＋y －113＝0. (2)由(1)得k ≥－1，所以tan α≥－1，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.10．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限． (1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程． 解 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1， 由已知令3x 2＋1＝4，解之得x ＝±1. 当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又∵点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4)．(2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，∴直线l 的斜率为－14.∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，∴直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0. 11．(2016·山东卷)若函数y ＝f (x )的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质，下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 3解析 若y ＝f (x )的图像上存在两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))， 使得函数图像在这两点处的切线互相垂直，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.对于A ：y ′＝cos x ，若有cos x 1·cos x 2＝－1，则当x 1＝2k π，x 2＝2k π＋π(k ∈Z )时，结论成立；对于B ：y ′＝1x ，若有1x 1·1x 2＝－1，即x 1x 2＝－1，∵x 1＞0，x 2>0，∴不存在x 1，x 2，使得x 1x 2＝－1；对于C ：y ′＝e x ，若有e x 1·e x 2＝－1，即e x 1＋x 2＝－1.显然不存在这样的x 1，x2；对于D：y′＝3x2，若有3x21·3x22＝－1，即9x21x22＝－1，显然不存在这样的x1，x2.答案 A12．(2017·合肥模拟)点P是曲线x2－y－ln x＝0上的任意一点，则点P到直线y ＝x－2的最小距离为()A．1 B.32 C.52 D. 2解析点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，当过点P的切线和直线y＝x－2平行时，点P到直线y＝x－2的距离最小，直线y＝x－2的斜率为1，令y＝x2－ln x，得y′＝2x－1x＝1，解得x＝1或x＝－12(舍去)，故曲线y＝x2－ln x上和直线y＝x－2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，点(1,1)到直线y＝x－2的距离等于2，∴点P到直线y＝x－2的最小距离为 2.答案 D13．若函数f(x)＝12x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．解析∵f(x)＝12x2－ax＋ln x，∴f′(x)＝x－a＋1x(x>0)．∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，即x＋1x－a＝0有解，∴a＝x＋1x≥2(当且仅当x＝1时取等号)．答案[2，＋∞)14．已知函数f(x)＝x－2x，g(x)＝a(2－ln x)(a>0)．若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线．解根据题意有f′(x)＝1＋2x2，g′(x)＝－ax.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3，曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a，所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－f(1)＝3(x－1)．所以y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0.曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y－g(1)＝3(x－1)，所以y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，所以，两条切线不是同一条直线.。
导数专题的题型总结
导数专题的题型总结一、导数的概念与运算题型1. 求函数的导数- 题目：求函数y = x^3+2x - 1的导数。
- 解析：- 根据求导公式(x^n)^′=nx^n - 1，对于y = x^3+2x - 1。
- 对于y = x^3，其导数y^′=(x^3)^′ = 3x^2；对于y = 2x，其导数y^′=(2x)^′=2；对于y=-1，因为常数的导数为0，所以y^′ = 0。
- 综上，函数y = x^3+2x - 1的导数y^′=3x^2+2。
2. 复合函数求导- 题目：求函数y=(2x + 1)^5的导数。
- 解析：- 设u = 2x+1，则y = u^5。
- 根据复合函数求导公式y^′_x=y^′_u· u^′_x。
- 先对y = u^5求导，y^′_u = 5u^4；再对u = 2x + 1求导，u^′_x=2。
- 所以y^′ = 5u^4·2=10(2x + 1)^4。
二、导数的几何意义题型1. 求切线方程- 题目：求曲线y = x^2在点(1,1)处的切线方程。
- 解析：- 对y = x^2求导，根据求导公式(x^n)^′=nx^n - 1，可得y^′ = 2x。
- 把x = 1代入导数y^′中，得到切线的斜率k = 2×1=2。
- 由点斜式方程y - y_0=k(x - x_0)（其中(x_0,y_0)=(1,1)，k = 2），可得切线方程为y - 1=2(x - 1)，即y = 2x-1。
2. 已知切线方程求参数- 题目：已知曲线y = ax^2+3x - 1在点(1,a + 2)处的切线方程为y = 7x + b，求a和b的值。
- 解析：- 先对y = ax^2+3x - 1求导，y^′=2ax + 3。
- 把x = 1代入导数y^′中，得到切线的斜率k = 2a+3。
- 因为切线方程为y = 7x + b，所以切线斜率为7，即2a + 3=7，解得a = 2。
导数的知识点和典型例题
导数的知识点和典型例题导数的基本概念1. 导数的定义导数是微积分中的重要概念，表示函数在某一点上的变化率。
对于函数f(x)，在点x处的导数可以通过以下公式定义：其中，h表示x点附近的一个小增量。
该定义可以简化为下面的形式：2. 导数的几何意义导数的几何意义是切线的斜率。
对于曲线y=f(x)，在点(x, f(x))处的导数即为曲线在该点切线的斜率。
导数正值表示曲线逐渐上升，负值表示曲线逐渐下降。
3. 导数的物理意义导数在物理学中具有速度和加速度的物理意义。
对于位移函数s(t)，其导数s’(t)表示在时刻t的瞬时速度。
二阶导数s’’(t)则表示在时刻t的瞬时加速度。
导数的计算方法1. 基本函数的导数以下是一些常见的函数的导数公式：•常数函数：常数函数的导数为0。
•幂函数：幂函数f(x)=x n的导数为f’(x)=nx(n-1)。
•指数函数：指数函数f(x)=a x的导数为f’(x)=a x * ln(a)，其中ln(a)表示以e为底a的对数。
•对数函数：对数函数f(x)=log_a(x)的导数为f’(x)=1/(x * ln(a))，其中ln(a)表示以e为底a的对数。
•三角函数：三角函数的导数公式如下：–sin(x)的导数为cos(x)。
–cos(x)的导数为-sin(x)。
–tan(x)的导数为sec^2(x)。
•反三角函数：反三角函数的导数公式如下：–arcsin(x)的导数为1/sqrt(1-x^2)。
–arccos(x)的导数为-1/sqrt(1-x^2)。
–arctan(x)的导数为1/(1+x^2)。
2. 导数的基本运算法则导数具有一些基本的运算法则，便于计算更复杂函数的导数：•常数因子法则：对于函数y=c f(x)，其中c为常数，f(x)为可导函数，其导数为y’=c f’(x)。
•和差法则：对于函数y=f(x)±g(x)，其中f(x)和g(x)均为可导函数，其导数为y’=f’(x)±g’(x)。
高二数学导数的定义及其几何意义的应用例题+方法总结+课后作业
导数的概念及几何意义知识点一、导数的概念1． 导数的概念设函数=()y f x ，当自变量x 从0x 变1x 时，函数值从()0f x 变到()1f x ，函数值关于x 的平均变化率为()()()()100010=f x f x f x x f x y x x x x-+∆-∆=∆-∆， 当1x 趋于0x ，即x ∆趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数=()y f x 在0x 点的导数，通常用符号()0'f x ‘表示，记作 ()()()xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆'→∆→∆00000lim lim＝注意：（1）导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率．（2）对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义．如位移运动中，位移S 从时间1t 到2t 的平均变化率即为1t 到2t 这段时间的平均速度．（3）增量x ∆可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．0x ∆→的意义：x ∆与0之间距离要多近有多近，即|0|x ∆-可以小于给定的任意小的正数． （4）0x ∆→时，Δy 在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数．即存在一个常数与00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限接近． （5）函数=()y f x 在0x 点的导数还可以用符号0'|x x y =表示．知识点二、导数的几何意义已知点00(,)P x y 是曲线=()y f x 上一定点，点00(,)Q x x y y +∆+∆是曲线=()y f x 上的()0'f x ‘表示曲线=()y f x 在0x x =处的切线的斜率，即()0'=tan f x α‘（α为切线的倾斜角）动点，我们知道平均变化率yx∆∆表示割线PQ 的斜率．如图所示：当点Q 无限接近于点P ，即0x ∆→时，割线PQ 的极限位置直线PT 叫做曲线在点P 处的切线．也就是：当0x ∆→时，割线PQ 斜率的极限，就是切线的斜率．即：0000()()limlim ()x x f x x f x yk f x x x∆→∆→+∆-∆'===∆∆．注意：（1）曲线上一点切线的斜率值只与该点的位置有关．（2）关于切线有两种不同的说法，求法也不同，具体求法与步骤参考类型二：①曲线在点P 处的切线：点P 在曲线上，在点P 处作曲线的切线（P 是切点），此时数量唯一．②曲线经过点P 处的切线：点P 位置不确定（在曲线上或曲线外），过点P 作曲线上任意位置的切线（只要切线经过点P 即可），数量不唯一．（3）直线与曲线相切⎫直线和曲线有1个公共点；有别于直线和圆，如图，直线l 2与曲线C 有唯一公共点M ，但我们不能说直线l 2与曲线C 相切；而直线l 1尽管与曲线C 相切，却有不止一个公共点．这也是我们用割线的极限位置来定义切线，而不说“与曲线只有一个公共点的直线叫做切线”的原因．知识点三、导数的物理意义在物理学中，如图物体运动的规律是()=s s t ，那么该物体在时刻0t 的瞬时速度v 就是()=s s t 在0=t t 时的导数，即()0='v s t ；如果物体运动的速度随时间变化的规律是()v v t =，那么物体在时刻0t 的瞬时加速度a 就是()v v t =在0=t t 时的导数，即()0'a v t =．题型一、导数定义的应用例1． 用导数的定义，求函数()y f x==x =1处的导数．【总结升华】利用定义求函数的导数值，有三步，即三步求导法，具体步骤如下： （1）求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-； （2）求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； （3）求极限，得导数：00000()()'()lim lim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆==∆∆．【变式1】已知函数()2=f x x x -+的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-，则=∆∆xy，()'1=f - ．【变式2】求函数 2()3f x x =在x =1处的导数．【变式3】求函数()2f x x x =-+在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．例2． 已知函数()24f x x=，求()f x '．【变式1】求函数y =在(0,)+∞内的导函数． 【变式2】已知()f x =，求'()f x ，'(2)f ．例3（1）若0'()2f x =，则000()()lim2k f x k f x k→--=________．()2若(3)2f '=，则1(3)(12)lim 1x f f x x →-+=-【变式1】函数)(x f 满足2)1('=f ，则当x 无限趋近于0时，（1）=-+xf x f 2)1()1( ；（2）=-+xf x f )1()21( ．【变式2】若0'()f x a = （1）求()()xx f x x f x ∆-∆-→∆000lim的值；（2）求000()()lim x f x x f x x x∆→+∆--∆∆的值．【变式3】设函数()f x 在点x 0处可导，则000()()lim2h f x h f x h h→+--=________．题型二、求曲线的切线方程方法总结：1.求曲线()y f x =在0x x =处切线的步骤：（1）先求()0'f x ，即曲线()y f x =在))((00x f x P ，处切线的斜率． （2）再求()0f x ，则切线过点()()00x f x ，；（2）最后由点斜式写出直线方程：()000=()()y f x f x x x '--．特别的，如果()y f x =在点00(())x f x ，处的切线平行于y 轴（此时导数不存在）时，由切线定义知：切线方程为：0x x =． 2.求曲线()f x 经过点()00P x y ，的切线方程的一般步骤： （1）求导函数()'f x ；（2）验证点P 是否在曲线上：计算()0f x ，观察()00=f x y 是否成立； （3）分类讨论：①若()00=f x y ，则P 是切点，切线唯一，方程为()000=()()y f x f x x x '--： ②若()00f x y ≠，则P 不是切点，求切点：设切点坐标为()()a f a ，，则切线方程()=()()y f a f a x a '--，代入点()00P x y ，坐标，求出a 的值（注意0a x ≠），可得切线方程．例4．求曲线21y x =+在点()12P ，处的切线方程．【变式】求曲线215y x x=++上一点2x =处的切线方程．例5．求曲线()3f x x =经过点(1,1)P 的切线方程．例6.过点(1，－1)且与曲线y ＝x 3－2x 相切的直线方程为( )A ．x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0B ．x －y －2＝0C ．x －y －2＝0或4x ＋5y ＋1＝0D ．x －y ＋2＝0【变式1】 已知函数3()3f x x x =-，过点(2,2)作函数图象的切线． 求切线方程．【变式2】已知曲线1y x=． （1）求曲线过点()10A ，的切线方程； （2）求满足斜率为13-的曲线的切线方程．【变式3】设函数32()2f x x ax bx a =+++，2()32g x x x =-+（其中x ∈R ，,a b 为常数）．已知曲线()y f x =与()y g x =在点（2，0）处有相同的切线l ．求,a b 的值，并写出切线l 的方程．题型三、导数的实际应用例6．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为()120155T t t =++，其中()T t 为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时间(单位：min)．计算()2T '，并解释它的实际意义．【变式1】设一个物体的运动方程是：2021)(at t v t s +=，其中0v 是初速度（单位：m ），t 是时间（单位：s ）．求：2s t =时的瞬时速度（函数s(t)的瞬时变化率）．课后作业1.若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 的值为( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或72.已知f(x)为偶函数，当x ＜0时，f(x)=f （-x ）+3x ，则曲线y=f （x ）在点（1，-3）处的切线方程是3.设曲线y=ax-ln （x+1）在点（0,0）处的切线方程为y=2x ，则a=A. 0B.1C.2D.34.若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （x+1）的切线，则b=5.若曲线y=e -x 上点P 处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P 的坐标是6.在平面直角坐标系中，若曲线y=ax 2+xb（a ，b 为常数）过点P （2，-5），且该曲线在点P 处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b=7.设点P 在曲线y=21e x上，点Q 在曲线y=ln （2x ）上，则▕PQ ▏的最小值为A.1-ln2B.2（1-ln2）C.1+ln2D.2(1+ln2) 8.若存在过点（1,0）的直线与曲线y=x 3和y=ax 2+415x-9都相切，则a 等于 9.抛物线y=x 2上的点到直线x-y-2=0的最短距离为 A.2B.827C. 22D. 110.已知点P 在曲线y=14x e 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是。
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1.已知函数 f(x＋1)＝2xx＋＋11，则曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为
√A.1
B.－1
C.2
D.－2
解析 由 f(x＋1)＝2xx＋＋11，知 f(x)＝2x－x 1＝2－1x. ∴f′(x)＝x12，且 f′(1)＝1.
由导数的几何意义，得所求切线的斜率 k＝1.
解析 答案
√A.c<b<a
B.c<a<b
C.b<c<a
D.a<c<b
解析 答案
6.设函数f(x)＝12x2－9ln x在区间[ a－1，a＋1]上单调递减，则实数 a的取值 范围是
√A.(1，2]
B.[4
，＋∞)
C.(－∞，2]
D.(0，3]
解析 易知 f(x)的定义域为(0，＋∞)，且 f′(x)＝x－9x. 由 f′(x)＝x－9x<0，解得 0<x<3.
B. ex1 f ?x2 ?? ex2 f ?x1 ? C. ex1 f ?x2 ?＝ex2 f ?x1 ? D. ex1 f ?x2 ? 与 ex2 f ?x1 ?的大小关系不确定
解析 答案
考点三 导数与函数的极值、最值
方法技巧 (1)函数零点问题，常利用数形结合与函数极值求解 . (2)含参恒成立或存在性问题，可转化为函数最值问题；若能分离参数， 可先分离 . 特别提醒 (1)f′(x0)＝0是函数 y＝f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分 条件.
2.函数f(x)＝excos x的图象在点(0，f(0))处的切线方程是 A.x＋y＋1＝0 B.x＋y－1＝0
√C.x－y＋1＝0 D.x－y－1＝0
解析 f(0)＝e0cos 0＝1， 因为f′(x)＝excos x－exsin x， 所以f′(0)＝1，所以切线方程为 y－1＝x－0， 即x－y＋1＝0，故选 C.
第二篇 重点专题分层练，中高档题得高分
第26练 导数的概念及简单应用[小题提速练]
明晰考情 1.命题角度：考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值 和最值 . 2.题目难度：中档偏难 .
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考点一 导数的几何意义
方法技巧 (1)f′(x0)表示函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 . (2)f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点P(x0，y0)处切线的斜率 .
，g(x)＝－(x＋1)2＋a，?
x ∈[0
1
，2]，?
x ∈[0
2
使得f(x1)≤g(x2)成立，则实数 a的取值范围是 _????_1_0_－__1e_，__＋__∞__????_.
，2]，
解析
?
x1∈[
0，2]，?
x ∈[0
2
，2]，使得 f(x1)≤g(x2)成立，
等价于f(x)min≤g(x)min，f′(x)＝3x2－3＋x－ex 1＝(x－1)????3x＋3＋e1x????，
√C.f(x)有3个零点
D.f(x)无最大值也无最小值
解析 答案
10.(2018·江苏 )若函数 f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋ ∞)内有且只有一 个零点，则 f(x)在[－1，1]上的最大值与最小值的和为 _－__3__.
解析 答案
11.已知f(x)＝x3－3x＋3－
x ex
故当x∈(0，1)时，f′(x)<0；
当 x∈(1，2)时，f′(x)>0，故 f(x)min＝f(1)＝1－1e； 当x＝2时，g(x)取得最小值 g(2)＝a－9，
所以 1－1e≤a－9，即实数 a 的取值范围是 a≥10－1e.
解析 答案
考点四 定积分
要点重组 微积分基本定理：
一般地，如果 f(x)是区间[a，b]上的连续函数，且 F′(x)＝f(x)，那么
∵f(x)＝12x2－9ln x 在[ a－1，a＋1]上单调递减， ∴?????aa－ ＋11>≤03，， 解得 1<a≤2.
解析 答案
7.定义在R上的函数f(x)满足f′(x)>f(x)恒成立，若 x1<x2，则 ex1 f ?x2 ?与 ex2 f ?x1 ?的大小关系为
√A. ex1 f ?x2 ?? ex2 f ?x1 ?
(2)函数f(x)在[a，b]上有唯一一个极值点，这个极值点就是最值点 .
8.(2017·全国Ⅱ)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则 f(x)的
极小值为
√A.－1
B. －2e－3
C.5e－3
D.1
解析 答案
9.已知 f′(x)是定义在 R上的可导函数 f(x)的导数，对任意 x∈R，x≠3且 x≠－1，都有 (x2－2x－3)f′(x)－ex＝0，f(－1)<0，f(－2)<f(3)，f(5)>0 ， 则下列结论错误的是 A.f(x)的增区间为 (－∞，－1)，(3，＋∞) B.f(x)在x＝3处取极小值，在 x＝－1处取极大值
?baf(x)dx＝F(b)－F(a).
解析 答案
考点二 导数与函数的单调性
方法技巧 (1)若求单调区间 (或证明单调性 )，只要在函数定义域内解 (或 证明 )不等式 f′(x)>0 或f′(x)<0. (2)若已知函数的单调性，则转化为不等式 f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区 间上恒成立问题－x＋1x，若 a＝－f ????13????，b＝f(π)，c＝f(5)，则
解析 答案
3.(2018·全国Ⅰ)设函数 f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线 y ＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为
A.y＝－2x C.y＝2x
B.y＝－x
D.√y＝x
解析 答案
4.(2016·全国 Ⅱ)若直线 y＝kx＋b是曲线 y＝ln x＋2的切线，也是曲线 y＝ ln(x＋1)的切线，则 b＝_1_－__l_n_2__.
解析 y＝ln x＋2 的切线为 y＝x11·x＋ln x1＋1(设切点横坐标为 x1). y＝ln(x＋1)的切线为 y＝x2＋1 1x＋ln(x2＋1)－x2x＋2 1(设切点横坐标为 x2)，
∴????x11＝x2＋1 1， ???ln x1＋1＝ln?x2＋1?－x2x＋2 1，
解得 x1＝12，x2＝－12，∴b＝ln x1＋1＝1－ln 2.