第二章--试验结果的比较与评价

ˆ x; 方差。即：估计 μ 和 σ2；就是：
ˆ2 V
(3) 极大似然法：是在待估参数 θ 的一切可能值中取出一个，以样本观察
ˆ 称为 θ 的极大似然估计。 结果概率最大的值作为 θ 的估计值，此估计值 θ
第4章 试验结果的比较与评价
参数估计与假设检验
2）区间估计 样本估计总体，得到是近似值，要了解真值（如μ） ，在置信度为 1-α 所 在区间内的可靠程度，这种估计称为区间估计。 (1)置信区间： 设总体分布中含有一个未知参数 θ， 若由样本确定的两个统计量 θ1(x1，x2…xn)，及 θ2(x1，x2…xn)对于给定值 α(0<α<1)有 P(θ1<θ<θ2)=1则：称区间(θ1，θ2)为真值 θ 的 1-α 置信区间， 1-α α/2 α/2 称 θ1 为置信下限，θ2 为置信上限， 称 1-α 为置信水平， 称 α 为显著性水平，为真值不落在置信区间的概率。 (2)显著性水平 α α 的大小是根据问题的要求而定。 一般工程问题，α 常取为 5%，即要求从样本估计总体有 95%正确， 在进行重大决定时 α 取为 1%或更小。 α 又称危险率：是真值不落在(θ1，θ2)内的概率。
χ2(n)分布概率密度
12
n1

2 2
n2
)
f（χ2(n)）
第4章 试验结果的比较与评价
正态分布总体中各种统计量的分布
4．t 分布
若 x～N(0,1)，y～χ2 (n)，且 x、y 互相独立， 则t
n=10 n=4 n=1
x ~ t (n) 分布，记作 t～t(n)。 y/n
定理：若 x1，x2…xn 是正态总体 N(μ，σ2)的一个子样， 则： t
x ， y 分别是 2 样本均值，V 是样本的平均方差
( x y ) ( 1 2 ) ~ t (n1 n2 2) 则： t V / n1 V / n2
平均方差： V
(n1 1)V1 (n2 1)V2 n1 n2 2
第4章 试验结果的比较与评价
正态分布总体中各种统计量的分布
5．F 分布
若：S1～χ2 (n1) ，S2～χ2 (n2) S /n 则： F 1 1 ~ F (n1 , n2 ) ，即：服从自由度为(n1，n2)的 F 分布 S2 / n2
V1 ~ F (n1 , n2 ) V2
F 分布性质：
n=∞ F(y) n=25 n=10
(x ) ~ t (n 1) 分布， V /n
其中： x 样本均值；μ 总体均值；V 样本方差；n 样本数。
第4章 试验结果的比较与评价
正态分布总体中各种统计量的分布
t 分布性质：概率分布以 t＝0 对称，类似正态分布。 n---->大，趋近于 N(0,1)分布 n---->小，与 N(0,1)分布差别越大。 当： x1，x2…xn y1，y2…yn 分别从总体 N(μ1， σ 2) N(μ2， σ 2) 抽取的样本， 两者相互独立，σ 相同
V
(n1 1)V1 (n2 1)V2 n1 n2 2
试验设计与方法
试验结果的比较与评价
主讲：林颢 江苏大学食品与生物工程学院 Email：linhao@ujs.edu.cn
第4章 试验结果的比较与评价
统计量中的各种分布
正态分布
正态分布（normal distribution）又名高斯分布（Gaussian
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distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率
第4章 试验结果的比较与评价
参数估计与假设检验
2．u 检验法
用途：用于总体的均值检验， 两个总体均值比较。 （即是否存在显著差异） 应用条件： ① 总体分布必须是正态分布； ② 比较两总体均值时，两总体是独立的正态总体； ③ 已知总体方差 σ2； ④ 若 σ2 未知，则样本量 n>30 时，样本方差可以代替总体方差。 1） 单总体均值检验 检验统计量： u 样本：x1，x2…xn
F (n1, n2 ) 1 F1 (n2 , n1 )
F(n1,n2)分布概率密度
第4章 试验结果的比较与评价
参数估计与假设检验
1．参数估计
目的：根据样本的数据估计总体中的未知数，从而认识总体。 方法：点估计、区间估计。 1）点估计：用一个样本统计量的单一数值估计一个未知总体参数。 常用的方法有： (1) 图估法：是利用概率纸作图的方式估计参数。 (2) 数字特征法(矩法)：用样本均值估计总体数学期望，样本方差估计总体
正态分布特点
正态分布一种概率分布。具有两个参数μ和σ2的连续型随机变量的 分布，第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ2是此 随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ,σ2 )。 服从正态分布的随机变量的概率规律为取与μ邻近的值的概率大 ， 而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大， 分布越分散。 正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，在μ处达到最大值， 在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点。它的形状是中间高两 边低 ，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。当μ=0，σ2 =1时，称为标 准正态分布，记为N（0，1）。
1．均值分布
已知 x～N(μ，σ2)，其样本为 x1， x2…xn， 则 x ～N(μ，σ2/n)， （其中方差随 n 的增大缩小为 σ2/n，p67）
F(x)
x (n)
第4章 试验结果的比较与评价
正态分布总体中各种统计量的分布
2．均值差的分布 已知： x11， x12， …x1n1 ～ N(μ1， σ12) x21， x22， …x2n2 ～ N(μ2， σ22 则其均值差： ( x1 x2 ) ~ N ( 1 2 , 3． χ2 分布 若总体 x～ N(0,1)， 其样本为： x1， x2…xn 当 T= x12， x22， …xn2 则： T～ χ2(n)分布， 即 T 服从 n 自由度的 χ2 分布。
则：H0 不成立，应停止生产，查找原因。
第4章 试验结果的比较与评价
参数估计与假设检验
例 2：钢筋直径 σ=2.6mm，取 100 个样 x =11.2mm,可否 认为平均直径>10mm?(α=0.05)？ 解：(1)假设 H0 成立：μ=10mm；H1 成立：μ>10mm (2)由 α=0.05，查表得 Zα=1.64 单边检测 n=100； x =11.2； σ=2.6 (3) u
x 0.82 0 计算： t V / n 1.25 / 10
由 α=0.05 查 t 分布表：t0.05 得：t>t0.05，H0 不成立，H1 成立，此药有疗效。
第4章 试验结果的比较与评价
参数估计与假设检验
2）两个总体均值显著性检验 统计量：
t
( x1 x2 ) ( 1 2 ) ~ t (n1 n2 2) V V n1 n2
分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。若随机变量X服从一 个数学期望为μ、标准方差为σ2的高斯分布，记为：则其概率密度函
数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。我们通常所说的 标准正态分布是μ = 0,σ = 1的正态分布。
第4章 试验结果的比较与评价
第4章 试验结果的比较与评价
参数估计与假设检验
例：已知正态总体 ～N(μ，0.09)，随机抽样 4 个独立的观察值： x1=12.6，x2=13.4，x3=12.8，x4=13.2 求总体均值 μ 的置信区间(α=0.05)。
ˆ x xi / 4 13
x ～N(μ，σ2/n)----> x ~ N (0,1) (将非标准正态分布－－标准正态分布) / n
x ~ t (n 1) V/ n
第4章 试验结果的比较与评价
参数估计与假设检验
单总体均值检验时， tα(单边检验)或 tα/2(双边检验)， 据 α 或 α/2 及自由度 n-1 查 t 分布表求得临界值 tα 或 tα/2。 例 1：为检验安眠药的疗效，抽取 10 名病人服用，平均睡眠增 加 0.82h，σ＝1.25h，问疗效(α=0.05)？ 解： 病人服药后增加的睡眠 x～N(μ， σ2)。 n=10(<30)采用 t 检验。 假设：H0: μ=0；H1: μ>0 单边检测
能发生”是针对“一次试验”来说的，因为试验次数多了，该事件当 然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的 原理”进行推断时，我们也有5%的犯错误的可能。
第4章 试验结果的比较与评价
正态分布总体中各种统计量的分布
目的：了解各种分布特点以处理各种情况的统计检验。 中心极限定理：若 x1，x2…xn 互相独立，且遵循相同的分 布(可非正态分布)，但存在总体均值 μ 和总体方差 σ2，则其 均值 x 的分布随着 n 的增大而逐渐近似正态分布 N(μ， σ2/n)。 当测定值严重不对称分布， n>30 可以认为：x ～N(μ， σ2/n)
x/ n
11.2 10 2.6 / 100
4.615
则：u>Z0.05=1.64 故：H0 不成立，即可以认为平均直径>10mm
第4章 试验结果的比较与评价
参数估计与假设检验
2）两个总体均值差异显著性检验 已知条件：x1～N(μ1，σ12) x2～N(μ2，σ22) 则： ( x1 x2 ) ~ N (1 2 ,
x
/
n
~ N (0,1)
x xi / n
总体～N(μ，σ2)；
第4章 试验结果的比较与评价
参数估计与假设检验
例 1：滚珠直径服从正态分布 x～N(15.1，0.05mm2)，随机抽样 6 零件直径： 14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1(mm) 问滚珠生产是否正常(α=0.05)？ 解： (1) 假设 H0 成立：μ=μ0；H1 成立：μ≠μ0 (2) 由 α=0.05，查表得 Zα/2=1.96 双边检测 n=6； x =14.95； σ2=0.05 (3) 根据-Zα/2< /
x/ n
落在[θ1，θ2]的概率为 1-α=95% α/2 -Zα/2 1-α α/2 0 Zα/2
由给定的 α 查标准正态分布表得-Zα/2，Zα/2 则：-Zα/2< /
x n
< Zα/2
得： x Z / 2 . / n x Z / 2 . / n α=0.05，Zα/2= Z0.025=1.96，代入上式得： 13－1.96×0.3/2<μ<13+1.96×0.3/2 12.71<μ<13.29
x n
< Zα/2
// u
9515.1 x/n 14.0 1.64 在区间内。 .05 / 6
得：-0.18<( x )<0.18;
( x =14.95-15.1=-0.15)
故：H0 成立，即样本与总体得均值差在（-0.18，0.18）区间内。合格！ 如果： x =15.3，则： x =0.2 x =14.8，则： x =-0.3 // u=2.19 // u=-3.29
第4章 试验结果的比较与评价
标准正态曲线
标准正态曲线N（0，1）是一种特殊的正态分布曲线，以及标准正 态总体在任一区间(a，b)内取值概率
“小概率事件”和假设检验的基本思想 “小概率事件”通常指发
生的概率小于5%的事件，认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生 的。这种认识便是进行推断的出发点。
关于这一点我们要有以下两个方面的认识：一是这里的“几乎不可
12
n1

2 2
n2
)
检验统计量： u
( x1 x2 ) ( 1 2 )
12
n1

2 2
~ N (0,1) 分布
n2
检验方法同上。
第4章 试验结果的比较与评价
参数估计与假设检验
3．t 检验法
用途：同 u 检验，当总体 σ2 未知时。 应用条件： ① 总体是正态分布； ② 两总体均值比较时，两总体独立且总体方差（σ12＝σ22）无显著差别； ③ 总体方差 σ2 未知； ④ 样本方差 V 可求； ⑤ 不要求 n>30。 1）单总体均值检验 若：x1……. xn～N(μ1，σ12) 统计量： t