浅谈如何解决向量法求二面角大小的不足

浅谈如何解决向量法求二面角大小的不足

上海市扬子中学数学组 郑根火

【摘 要】:在二期课改的新教材中，向量是一个非常重要的解题工具。无论在求角，求距离问题中都有着广泛的用处。法向量法求二面角的平面角是其应用之一。用向量法求二面角的大小时，常因为无法判断是锐角还是钝角而使得这种方法缺泛严密性，确定法向量的方向是解决这一问题的根本方法。 【关键字】：向量，向量夹角，二面角，二面角的平面角

作为新课程改革，高中数学教材的一个显著变化就是“向量”的引入。其目的也很明确：为空间图形，提供新的研究手段，充分体现它们的工具性。

求二面角的大小时，用平面的法向量法与其他方法相比，思想清晰而且推理简易，是一个较好的方法，是很多初学者乐于使用的方法。

但教材中对向量法求二面角大小的解释是模糊不清的，对于初学者来说，很难掌握。以下摘取了上海教育出版社发行的《高中三年级（试验本）理科》P 55中关于二面角求法的一段描述，供参考。

对于二面角来说，设它的两个半平面现所在的平面21,αα的法向量分别为

21,n n ，两个法向量的夹角为ϕ，二面角的大小为()πθθ≤≤0。由图1，图2可以看出ϕθ=或ϕπθ-=

以上我们可以看出：一个二面角的平面角与这个二面角的两个半平面的法向

图1

图2

量21,n n

所成的角相等（⎪⎫ ⎛

arccos

）或互补（⎪

⎫

⎛-arccos π）。但到底是相等还是互补，在具体解题时，很多学生感到无从下手，往往任凭感觉来判断，缺乏严格的推理、证明，不严谨的求学风格也自然形成，各位同行也一定深有体会。

解决这一问题的关键在于确定法向量的确切方向。

引理：设点A 是平面α内一点，点B 是平面α外一点，n 是平面α的法向量 当0>⋅时，的方向指向点B 所在的一侧（如图3）； 当0<⋅n AB 时，n 的方向指向点B 不在的一侧（如图4）；

下面，我们可以利用引理解决前面碰到的问题。

设B A ,分别是平面βα,上的两点，且都不在平面βα,的交线上，,分别是

βα,的法向量，θ为平面βα,平面角。

1） 当0,0>⋅>⋅时，得,的方向如图5所示，

则=θ

2） 当0,0<⋅<⋅时，得,

图3

图4

图5

图6

3） 当0,0<⋅>⋅时，得,的方向如图7所示，

则

-=a r c πθ

4） 当0,0>⋅<⋅时，得,的方向如图8所示，

则

-=a r c πθ

综上所述，当n AB ⋅与m AB ⋅

同号时，二面角的平面角大小为；

当n AB ⋅与m AB ⋅

异号时，二面角的平面角大小为-π；

按照这样的方法，求二面角的大小时，就可以避免不严格的问题了，而且操作简单。

例题 如图9所示,直三棱柱

1

11C B A ABC -中，︒=∠90ACB ，

2,1==CB AC ，侧棱11=AA ，侧面B B AA 11的两条对角线交点为D ，11C B 的中点为M （1）求证：⊥CD 平面BDM ；

（2）求面BD B 1与面CBD 所成二面角的大小

解：（1）略

图7

图8

图9

（2）以为坐标原点建系，如图9所示， 则()0,0,0C ，()0,0,2B ，(

)

()()1,0,0,1,1,0,0,1,211A A B

所以：()(

)(

)

()0,1,0,0,1,2,0,0,2,1,1

,2111==

=-=CB

设平面BCD 的一个法向量为()z y x n ,,=，则：

⎪⎩⎪⎨

⎧=⋅=⋅0

1BA n ，即：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=0202z y x x ，令1=y ，得()1,1,0-=； 同理可得平面D BB 1的一个法向量为()

2,0,1=

所以3

3

,cos -

=>=

< 又021>=⋅CB ，011>=⋅CB ， 所以1CB ⋅与1CB ⋅同号，

所以所求二面角的平面角为33arccos 33arccos arccos -=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=⎪⎫

⎛π 通过以上分析，用向量法求二面角的大小时，首先求出两个半平面的法向量，再从两个半平面内任选两点A ，B （不同在交线上），判断与法向量数量积的符号，确定法向量夹角与二面角大小之间的关系，便可以避免教材中求二面角大小的不足了。