浅谈如何解决向量法求二面角大小的不足
向量暗藏玄机 方向掌控自如——关于法向量确定二面角大小问题的反思
证明 ： 设 点Ｐ 坐标 （ Ｙ ｏ ） （ ‰≠
０ ） ， 则 点Ｑ 坐标 为（ 一 ， ｙ ｏ ｝ ， 由 抛 物
线 定 义 易 知 Ⅳ 是 线 段 Ｑ Ｆ 中 点， 得 则 Ⅳ 点 坐 标 为 （ ０ ， Ｙ Ｏ １ ， 则
Ａ 的斜率 为 Ｍ ； — ＝ 旦 ，又抛物 线在点Ｐ 处 的切 线斜率
参 考 文献 ： １ ． 梅 向明， 等． 高等 几 何 ［ Ｍ］ ． 北京： 高 等 教 育 出版 社 ，
２ ０ Ｏ ｏ ．一
誊中。 ？ 毒 ｉ ： ・ ？高 中 版
２ ０ １ ３年 ４月
案 例 点 评
材 法
机会来 了． 前一段时间 ， 笔者所在市 高三数学复 习研 讨会召开 ， 有一位杨老师上了一堂《 空间向量在立体几何 中的应用》 的展示课 ， 让笔者受益匪浅 现把题 目摘录如下 ：
线ｙ 一 为 曲线在 处的切线． 对于Ａ， ｃ 关 系的其他情况分析也类似 ， 就不再赘述．
其实 ， 当Ｐ 点无 限向抛物线顶点逼 近时 ， Ｐ 和Ⅳ 两点无 限接近 ， 直 线Ｐ Ⅳ 无 限接 近于ｙ 轴， 所以， 从 极 限的观点来 看， 定理 ５ 可以推广． 从 高等数学 的角度来看 圆锥 曲线的焦点和准线 ： 已知圆锥 曲线 ｃ ： Ａ ＋ ＋ ２ ＋ ２ Ｅ ｙ ＋ Ｆ ＝ Ｏ （ Ａ ＋ Ｃ ２ ≠０ ） ， 则称点ｐ （ ｘ ０ ， Ｙ ０ ） 和直线ｌ ： Ａ ｘ ｏ ｘ ＋ Ｃ ｙ ｏ ｙ ＋ Ｄ（ ｘ ＋ ｘ ０ ） ＋ Ｅ（ ｙ ＋ ｙ ０ ） ＋
Ａ Ｂ ＝ ＡＣ ＝ ２ ， 求二面 角Ｃ Ｄ — Ｅ（ 略 作改动 ）
杨 老师的解答如下 ：
误， 不是 太直观 ， 还是 没有 真正脱离 “ 形” 的影子 ， 有没有
如何利用空间向量准确确定二面角的大小
如何利用空间向量准确确定二面角的大小 摘要：使用空间向量，使立体几何问题代数化，演绎难度降低，解题路子更宽阔，用简单的代数运算取代了复杂的几何证明和纷繁复杂的辅助线，解题思路方向明确。
特别是对于解决空间二面角问题，不必为如何解（证）和做辅助线问题而煞费苦心. 但是对于两向量所成的角什么时候就是所求二面角，正确理解和准确掌握两向量所成角与所求二面角之间的大小关系,对求二面角有重要的意义，对解决高考中的二面角问题有着重要的指导作用。
关键词：空间直角坐标系、二面角、法向量、二面角的内部、外部、相等、互补。
向量由于融形、数于一体，具有几何形式和代数形式的“双重身份”，拓展了中学数学问题解决的思维空间.近几年的高考立体几何知识内容的考察一般以“方便建系”及“常规方法”为原则，使得考生能自由选择解法，即常规方法或向量解法，相比较向量法使将立体几何问题代数化，避免了复杂的几何证明和纷繁复杂的辅助线，化复杂为简单，成为解决立体几何问题的重要工具。
题干一般以“关系”证明，空间角、距离、截面面积、体积计算为求解目标。
从2007年全国各地19套37份试卷和近几年的高考试题来看，空间二面角成为考察的重点和难点。
但是，用空间向量知识解决立体几何中的二面角问题时我们往往会这样一类棘手的问题，两向量所成角的大小是否就是所求二面角的大小，即两向量所成角φ与所求二面角θ相等还是互补。
而利用空间向量求二面角一般有以下两种方法方法一：：如图1所示，在二面角βα--l 的棱l 上确定两个点B A 、，过B A 、分别在平面βα、内求出与棱l 垂直的两向量21n n 、（21n n 、起点或终点一般选取平面内的某一特殊点），则二面角βα--l 的大小θ等于向量21n n 、的夹角φ，即 1212cos cos .||||n n n n θφ⋅==⋅1212arccos ||||n n n n θ⋅=⋅ 显然用此方法中φ=12n n 、=θ，二面角βα--l 的大小即为21n n 、所成角的大小。
利用向量法解二面角问题研究
：
向量法在几何学中是一种重要的计算技术，用来回答有关向量内容的问题。
对于解决二面角问题，向量法也可以派上用场。
二面角是位于不同边之间夹角，它们在几何中是一种重要的概念。
向量表示的夹角的量的大小取决于其向量的夹角，以及两个边的单位向量的夹角。
当使用向量法计算二面角时，首先需要确定两条边的向量与夹角。
一旦有了这些命令，就可以使用向量来计算夹角的全部组件，以及如何进行相互间的运算。
要计算二面角，首先需要确定该边所在的空间中心，求出该空间中心两侧的边界，根据给定的信息求出两侧向量的夹角，最后就可以求出夹角的大小。
在计算向量的夹角时，可以使用向量的内积（dot product）来计算。
在计算夹角的大小时，使用标准的正切函数就可以求出。
由于向量法中的向量主要包括两个部分，一部分是向量及其法线，一部分是旋转，因此，可以将向量向量之间的旋转及法线联系起来，来计算一个特殊的二面角。
向量法在研究二面角问题时可以节省很多时间和计算复杂度，让整个计算过程更加顺畅。
关于二面角问题，向量法在几何和物理学中都有重要的应用，是解决此类问题的重要手段。
用法向量求二面角的大小及其角度关系的确定
用法向量求二面角的大小及其角度关系的确定我们都知道，向量知识在数学学科里有其非常广泛的应用，尤其是在立体几何求角和距离时，若利用向量知识求解会得到事半功倍的效果，也正体现了向量知识的工具性和灵活性。
而在应用向量知识求解二面角的大小时，不是所有的二面角的两个半平面的法向量的夹角都和二面角相等，有时是互补，那么，什么时候相等，什么时候互补，如何确定其“角度之间的大小关系”一直以来是困扰很多教师和学生的一个难题。
向量有其自身的独特性质—自由性，当一个向量在空间的某一位置时，可以自由移动，只要满足其方向不变，其无论移动到任何位置，向量都是相等的。
根据这一性质，当我们把二面角的某个半平面的法向量求出后，把它的起点放到坐标原点，然后确定其向量的方向的指向，从而确定其法向量的夹角和二面角的大小的关系，在确定了法向量的夹角与二面角的关系后，再利用向量的数量积求出二面角的大小，下面就来具体阐述一下这一做法。
一．规定法向量的指向方向1.当法向量的方向指向二面角的内部时称之为向里指，如：图1中的向量。
1n 2.当法向量的方向指向二面角的外部时称之为向外指，如：图1中的向量。
2n 二．法向量的夹角和二面角大小的关系1.设 分别为平面的法向量，二面角的大小为，向量21,n n βα,βα--l θ的夹角为，当两个法向量的方向都向里或都向外指时，则有21,n n ϕ（图2）；πϕθ=+2.当两个法向量的方向一个向里指一个向外指时（图3）ϕθ=图2图3三、在坐标系中做出法向量，从而确定法向量的方向指向1.已知二面角，若平面的法向量，由向量的相等条βα--l α)3,4,4(=n 件知，坐标是（4，4，3）的向量有无数多个，根据向量的自由性，我们只需n 做出由原点出发的一个向量便可，如图4所示，从而，我们很容易的判断出平面法向量的方向的指向，是指向二面角的里面。
α2.若平面法向量，同理可做出从原点出发的法向量，如图5α)1,3,4(--=n 所示，显然，方向是指向二面角的外面。
浅析向量法求解二面角
浅析向量法求解二面角用向量法求解二面角降低了综合法的解题技巧，把抽象的几何问题代数化，并有很强的规律性和可操作性。
本文通过对平面法向量方向的判断和利用平面法向量的夹角来表示二面角的平面角以及在两个半平面内用垂直公共棱的两个向量之间夹角来表示二面角的平面角对二面角问题的求解进行阐述。
标签：二面角；法向量；方向；基向量；平面角随着新课程标准的不断推进，空间向量作为研究空间几何的强有力工具，给空间几何问题的研究注入了新的生机和活力，开辟了很多解题的新途径，新方法，新思路。
空间向量法将抽象的几何问题代数化，以算代证，将问题具体化，并有很强的规律性和可操作性。
因此，在解决空间几何问题中普遍使用，尤其是用法向量求解二面角大大降低了综合法的解题技巧，使得解题思维更直接清晰，解题过程更简洁流畅。
借助平面法向量求二面角时，二面角的平面角θ的大小与法向量的所成角α（α=＜n1，n2＞）相等或互补，当二面角两个法向量都指向二面角的内部或外部时，θ=π-α；当两个法向量一个指向二面角的内部而另一个指向二面角的外部时θ=α对于法向量的方向的判断一直是个难点，具体问题中如何判断法向量的方向，具体方法如下：在二面角的公共棱上任取一点M，在二面角内部任取一点N（分别在两个半平面内各取一点A，B，则线段AB的中点（N）在二面角的内部），构造向量MN，根据向量的数量积和向量的夹角的定义，法向量n1，n2的方向均指向二面角内部时，n1·MN＞0且n2·MN＞0（若n1，n2均指向二面角外部时有n1·MN ＜0且n2·MN＜0）即n1·MN与n2·MN同号时，二面角两个半平面的法向量都指向二面角的内部（或外部），这是二面角θ=π-＜n1，n2＞。
法向量n1的方向指向二面角内部，n2的方向指向二面角外部时，有n1·MN ＞0且n2·MN＜0，即n1·MN与n2·MN异号时，二面角两个半平面的法向量一个指向二面角的内部，另一个指向二面角的外部，这是二面角θ=＜n1，n2＞。
向量法求二面角的大小
向量投影的计算方法：先求出两个向量的点积和模长然后根据定义计算投影长度。
向量投影的应用：在几何、物理和工程等领域中向量投影是重要的概念用于描述方向、速度和力等物理量在某个 方向上的分量。
向量投影的定义：向量的投影是该向量在给定平面上的正交投影长度。
向量法在二面角计算中的步 骤
向量法的基本原理
ห้องสมุดไป่ตู้
向量法在二面角计算中的优 势
向量法在二面角计算中的注 意事项
向量法求二面角大 小的步骤
确定原点：选择一个方便的点作为 原点通常选择二面角的顶点
确定坐标：根据需要在x轴和y轴上 选择单位长度并确定其他点的坐标
添加标题
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确定轴：选择两个垂直的向量作为 x轴和y轴通常选择二面角的两个法 向量
向量投影的性质：投影长度总是非负的且与原向量平行。
向量投影的计算方法：先求出原向量与给定平面的法向量的点积再除以法向量的模的平 方。
向量投影的应用：在求解二面角的大小、向量的模等问题中可以通过计算向量投影来简 化计算。
向量法求二面角大 小的原理
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向量法定义：利用向量的数量积、向量积和向量的混合积计算二面角的大小。
向量的模定义：向 量的大小或长度记 作||计算公式为|| = √(x^2 + y^2)。
向量的数量积定义： 两个向量的点乘记 作 ·b 计 算 公 式 为 ·b = ||·|b|·cosθ其中 θ为两向量之间的 夹角。
向量的数量积性 质 ： ·b = b ·即 点 乘 满足交换律；分配 律 ： ( + b ) ·c = ·c + b ·c 。
立体几何向量法求二面角
立体几何向量法求二面角一、引言在几何学中，二面角是指两个平面或者一个平面和一个直线之间的夹角。
它是描述多面体中相邻两个面之间的夹角的重要参数。
在工程学、物理学和化学等领域，求解二面角是非常常见的问题。
本文将介绍立体几何向量法求解二面角的方法。
二、立体几何向量法立体几何向量法是一种非常有效的求解二面角的方法。
它基于向量叉积和点积的运算，通过将多面体分解成若干个三角形来计算二面角。
1. 向量叉积向量叉积是两个向量所构成的新向量，其大小等于两个向量所构成平行四边形的面积，方向垂直于这两个向量所构成平行四边形所在平面。
设有两个三维向量a = (a1, a2, a3)和b = (b1, b2, b3)，则它们的叉积c = a × b定义为：c = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)其中c表示a和b所构成平行四边形所在平面上一条垂直这个平行四边形的向量。
2. 向量点积向量点积是两个向量所构成的标量，其大小等于两个向量夹角的余弦值乘以两个向量的模长之积。
设有两个三维向量a = (a1, a2, a3)和b = (b1, b2, b3)，则它们的点积c = a · b定义为：c = a1b1 + a2b2 + a3b3其中c表示a和b之间夹角的余弦值乘以它们的模长之积。
3. 二面角计算公式二面角可以通过计算相邻两个面法线向量之间夹角的余弦值来求解。
具体地，设有一个多面体，其中相邻两个面A和B所对应的法线分别为nA和nB，则它们之间的二面角θAB可以通过以下公式计算：cosθAB = -nA·nB / |nA||nB|其中“·”表示向量点积，“| |”表示向量模长。
4. 多面体分解在实际问题中，通常需要将多面体分解成若干个三角形来计算二面角。
具体地，考虑一个四面体（如图1），其中相邻两个三角形ABC和ABD所对应的法线分别为nABC和nABD，则它们之间的二面角θABC-D可以通过以下公式计算：cosθABC-D = -nABC·nABD / |nABC||nABD|其中“·”表示向量点积，“| |”表示向量模长。
高考数学复习点拨 利用空间向量求二面角的两种策略
利用空间向量求二面角的两种策略策略一：先作出二面角的的平面角，再利用向量的内积公式求解：设∠AOB 是一二面角α--β的一个平面角，则向量错误!与错误!所成的角就是所求的二面角的大小例1 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求平面A 1BD 与平面C 1BD 所成二面角解法一：如图1，设AC 与BD 交于O ，连结A 1O ，C 1O ，因为A 1D=A 1B ，所以A 1O ⊥BD ，同理C 1D ⊥BD ∴∠A 1OC 1就是平面A 1BD 与平面C 1BD 所成二面角的平面角设正方体棱长为1，则|错误!|=错误!，错误!=错误!错误!，∴|错误!|2=错误!错误!·错误!错误!=|错误!|22错误!·错误!|错误!|2=1错误!2×错误!×co90︒=错误!,∴|错误!|=错误!，同理|错误!|=错误!，又错误!·错误!=错误!错误!·错误!错误!=错误!·错误!错误!·错误!错误!·错误!错误!·错误!=﹣错误!=错误!，∴co=错误!=错误!=错误!故平面A 1BD 与平面C 1BD 所成二面角大小为arcco 错误! 解法二：设AC 与BD 交于E ，连结A 1E ，C 1E ，因为A 1D=A 1B ，所以A 1E ⊥BD ， 同理C 1E ⊥BD ∴∠A 1EC 1就是平面A 1BD 与平面C 1BD 所成二面角的平面角建立如图2所示的空间直角坐标系D-，设正方体的棱长为2，则A 12，0，2，C 10，2，2，E1,1,0，∴错误!=1，-1，2，错误!=-1，1，2， ∴错误!·错误!=1×-1-1×12×2=2，|错误!|=|错误!|=错误!，∴co=错误!=错误!=错误!故平面A 1BD 与平面C 1BD 所成二面角大小为arcco 错误!策略二：利用平面的法向量求解：设错误!是平面α的法向量，错误!是平面β的法向量①若两个平面的二面角如图3所示的示意图，则错误!与错误!之间的夹角就是欲求的二面角；②若两个平面的二面角如图4所示的示意图，设错误!与错误!之间的夹角为θ则两个平面的二面角为π﹣θ 例2如图5，四边形ABCD 是直角梯形，∠ABC=90︒，SA ⊥平面ABCD ，SA=AB=BC=1，AD=错误!，求平面SCD 与平面SAB 所成二面角的大小解法一：平面SAB 的法向量是错误!，平面SCD 的法向量可设为错误!=λ错误!μ错误!错误! ∵SA ⊥平面ABCD ，∴错误!·错误!=0，错误!·错误!=0，错误!·错误!=0， 又AB ⊥AD ，AB ⊥BC ，∴错误!·错误!=0，错误!·错误!=0由错误!·错误!=λ错误!μ错误!错误!·错误!错误!错误!=λ错误!·错误!λ错误!·错误!μ错误!·错误!=﹣错误!λ错误!λμ=错误!λμ=0，又错误!·错误!=λ错误!μ错误!错误!·错误!﹣错误!=错误!·错误!﹣λ错误!·错误!=1﹣错误!λ=0，∴λ=4,μ=﹣1,∴错误!=4错误!﹣错误!错误!,∴错误!·错误!=错误!·4错误!-错误!错误!=4|错误!|2=1∴|错误!|2=4错误!﹣错误!错误!2=16|错误!|2|错误!|2|错误!|2=6，∴|错误!|=错误! 设θ表示平面SCD 与平面SAB 所成二面角，则co θ=错误!=错误!=错误!∴θ=arcco 错误! 故平面SCD 与平面SAB 所成二面角的大小为arcco 错误!解法二：建立如图6所示的空间直角坐标系A ﹣，则A0,0,0，D 错误!,0,0，C1，1，0，S0，0，1，由条件易知，错误!是面SAB 的法向量，且错误!=错误!，0，图 3 图4图 5 图 1 图 2 图60，设面SCD的法向量为错误!=，，，∵错误!=错误!，0，﹣1，错误!=错误!，1，0，又错误!·错误!=0，错误!·错误!=0，∴错误!﹣=0。
求解二面角问题的基本方法
求解二面角问题的基本方法二面角问题是一个在几何学中的重要概念，它用来描述两个平面或两条直线之间的夹角。
在本文中，我们将解释二面角问题的基本方法，并介绍一些常见的应用。
首先，我们来了解一下二面角的定义。
二面角是指由两个平面或两条直线构成的夹角，其中一个平面或直线位于另一个平面或直线的一侧。
二面角的大小可以用度或弧度来表示。
解决二面角问题的基本方法有以下几步：1.确定问题类型：首先要确定问题是关于平面二面角还是直线二面角。
对于平面二面角，需要考虑两个平面的法向量，而对于直线二面角，则需考虑两条直线的方向向量。
2.确定坐标系：选择一个合适的坐标系来描述问题。
这可以是笛卡尔坐标系、极坐标系或其他适用的坐标系。
3.确定向量表示：将平面或直线用向量表示。
对于平面，可以用平面的法向量来表示，对于直线，可以用线的方向向量来表示。
4.计算夹角：根据向量的性质，可以使用内积或向量运算来计算二面角。
对于平面二面角，通过计算两个平面的法向量之间的夹角来获得结果。
对于直线二面角，可以计算两条直线的方向向量之间的夹角。
5.考虑特殊情况：在计算二面角之前，需要考虑一些特殊情况，例如平行的平面、重合的直线等。
在这些情况下，二面角将无法确定或不存在。
6.应用：解决二面角问题后，可以将该概念应用于一些实际问题中。
例如，在工程或建筑领域中，二面角可用于计算建筑物或结构物的角度或距离。
除了以上的基本方法，还有一些常见的应用问题可以使用二面角来解决1.碰撞检测：通过计算两个物体的二面角，可以确定它们是否会碰撞。
如果二面角为零，则表示物体发生了碰撞。
2.相交判定：通过计算两个平面或两条直线的二面角，可以判断它们是否相交。
如果二面角为零，则表示它们相交。
3.雷达信号处理：在雷达系统中，通过计算接收到的信号与发送信号之间的二面角，可以确定目标物体的位置和速度。
4.机器人定位：通过计算机器人与周围环境之间的二面角，可以确定机器人的位置和姿态，以实现定位和导航。
专题：如何解决向量法求二面角大小的判断
图图专题：如何解决向量法求二面角大小的判断求二面角的大小时，用平面的法向量法与其他方法相比，思想清晰而且推理简易，是一个较好的方法，是很多初学者乐于使用的方法。
但教材中对向量法求二面角大小的解释是模糊不清的，对于初学者来说，很难掌握。
对于二面角来说，设它的两个半平面现所在的平面21,αα的法向量分别为21,n n ，两个法向量的夹角为ϕ，二面角的大小为()πθθ≤≤0。
由图1，图2可以看出ϕθ=或ϕπθ-=以上我们可以看出：一个二面角的平面角与这个二面角的两 个半平面的法向量21,n n 所成的角相等（⎫⎛arccos）或互补（⎫⎛-arccos π）。
但到底是相等还是互补，在具体解题时，很多学生感到无从下手，往往任凭感觉来判断，缺乏严格的推理、证明，不严谨的求学风格也自然形成，各位同行也一定深有体会。
解决这一问题的关键在于确定法向量的确切方向。
引理：设点A 是平面α内一点，点B 是平面α外一点，是平面α的法向量当0>⋅n AB 时，n 的方向指向点B 所在的一侧（如图3）；当0<⋅时，的方向指向点B 不在的一侧（如图4）；下面，我们可以利用引理解决前面碰到的问题。
设B A ,分别是平面βα,上的两点，且都不在平面βα,的交线上，,分别是βα,的法向量，θ为平面βα,平面角。
1）当0,0>⋅>⋅时，得,的方向如图5所示，则=θ2） 当0,0<⋅<⋅m AB n AB 时，得m n ,图3图4图5图63） 当0,0<⋅>⋅m AB n AB 时，得m n ,的方向如图7所示，则-=πθ 4） 当0,0>⋅<⋅时，得,的方向如图8所示，则-=πθ综上所述，当⋅与m AB ⋅同号时，二面角的平面角大小为； 当⋅与m AB ⋅异号时，二面角的平面角大小为-π；例题 如图9所示,直三棱柱111C B A ABC -中，︒=∠90ACB ，2,1==CB AC ，侧棱11=AA ，侧面B B AA 11的两条对角线交点为D ，11C B 的中点为M ，求面BD B 1与面CBD 所成二面角的大小.解：建系如图则()0,0,0C ，()0,0,2B，()()()1,0,0,1,1,0,0,1,211A A B所以()()()()0,1,0,0,1,2,0,0,2,1,1,2111===-=CB设平面BCD 的一个法向量为()z y x n ,,=，则：⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001BAn CB n ，即：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=0202z y x x ，令1=y ，得()1,1,0-=；同理可得平面D BB 1的一个法向量为()2,0,1=所以33,cos -=>=<又021>=⋅CB ，011>=⋅CB ，所以1CB m ⋅与1CB n ⋅同号，所以所求二面角的平面角为33arccos 33arccos arccos -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎫⎛π 通过以上分析，用向量法求二面角的大小时，首先求出两个半平面的法向量，再从两个半平面内任选两点A ，B （不同在交线上），判断与法向量数量积的符号，确定法向量夹角与二面角大小之间的关系。
灵活运用空间向量，提升解答空间角问题的效率
解题宝典空间角主要包括异面直线所成的角、二面角、直线与平面所成的角.空间角问题侧重于考查异面直线所成的角、二面角、直线与平面所成的角的定义的应用.有些空间角问题采用常规方法求解，其过程较为繁琐，此时可转换思路，运用空间向量求解，通过空间向量运算来快速求得问题的答案.下面主要介绍如何运用空间向量解答三种空间角问题.一、求二面角的大小二面角是指空间中两个相交平面所构成的角.运用空间向量求二面角的大小的步骤为：①建立合适的空间直角坐标系，根据所给的条件求出两个平面的法向量 n 1、 n 2；②根据向量的数量积公式可求得两个法向量的余弦值cos n 1, n 2= n 1∙n 2|| n 1|| n 2.而该角的余弦值或其相反数即为求二面角的余弦值.例1.已知四棱锥P -ABCD 的底面为直角梯形，AB //DC ，∠DAB =90°，且PA =AD =DC =12AB =1，M 是PB 的中点，求平面AMC 与平面BMC 所成角的大小.解：如图1，以点A 为原点，AD 、AB 、AP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则P æèöø0,0,12,A ()0,0,0,B ()0,1,0,C æèöø12,12,0,M æèöø0,12,14,可知 BC =æèöø12,-12,0， CM =æèöø-12,0,14，AC =æèöø12,12,0,设平面ACM 的法向量为n =()x ,y ,z ，则{AC ∙n =0， CM ∙n =0，可得ìíîïï12x +12y =0，-12x +14z =0，得n =()1,-1,2，同理可得平面BCM 的一个法向量m =()1,1,2，则cos m ,n =m ∙n ||m ||n =23，解得m ,n =arccos 23，由图可知二面角A -MC -B 的大小为π-arccos 23.首先根据四棱锥的特点，以点A 为原点，AD 、AB 、AP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，并用坐标表示平面上的各个点、各条线段；然后根据线面垂直的判定定理，在平面ACM 以及BCM 内找出两条直线，使其分别垂直于法向量，据此建立关系式，求得两个平面的法向量，即可根据向量的数量积公式求得二面角的余弦值.图1图2例2.已知正方形ABCD 与矩形ACEF 所在的平面互相垂直,AB =2,AF =1,求二面角A -DF -B 的大小.解：如图2，以点C 为原点，CD 、CB 、CE 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则A ()2，2,0，B ()0，2,0，D()2,0,0，F ()2，2,1，可得 AD =()0,-2,0, DF =()0,2,1，BF =()2,0,1,设平面ADF 的法向量为n 1，平面BDF 的法向量为 n 2,则ìíî n 1∙AD =0， n 1∙ DF =0，即ìíî-2y =0，2y +z =0，所以 n 1=()1,0,0，同理可得 n 2=()2，2,-2，可得cos n 1, n 2= n 1∙n 2|| n 1|| n 2=12，所以二面角A -DF -B 为60°.在运用空间向量解题时，要根据图形的特点，寻找或构造三条互相垂直的线段，并将其作为坐标轴，来建立空间直角坐标系.对于本题，我们需根据正方形ABCD 与矩形ACEF 的特点及其边之间的垂直关系来建立空间直角坐标系.再分别求得两个平面ADF 、BDF 的法向量，即可根据向量的数量积公式求得二面角的大小.二、求直线与平面所成的角求直线与平面所成的角，往往要在建立空间直角坐标系后，求得平面外一条直线的方向向量a →以及平面的法向量n →；再根据向量的数量积公式求得40解题宝典cos n →∙a →=||||||n →∙a →||||||n →||||||a →，该值即为直线与平面所成的角的正弦值.例3.如图3，已知四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD //BC ，AB =AD =AC =3，PA =BC =4，点M 为线段AD 上的一点，AM =2MD ，点N 为PC 的中点，求直线AN 与平面PMN 所成的角.解：以A 为原点，建立如图3所示的空间直角坐标系A -xyz ，可得P(0,0,4),M (0,2,0),C (5,2,0),N 所以 PM=(0,2,-4), PN =AN .设n =(x ,y ,z )为平面PMN 的法向量，ìíîn ⋅ PM =0,n ⋅PN =0,即ì4z =0,+y -2z =0,可得n =(0,2,1)，所以n ∙ AN =4,|n |=5,| AN |=52，所以|cos <n, AN >|=n ∙ AN |n ||AN |=45×52，则直线AN 和平面PMN 所成的角为.建立空间直角坐标系后，就将问题转化为直线的方向向量和平面的法向量之间的夹角问题，再利用向量的夹角公式进行求解，即可解题.因为平面的法向量有无数个，方向可上可下，模可大可小，因此只需求出其中一个法向量即可.三、求异面直线所成的角运用空间向量求异面直线所成的角，要先求得两条直线的方向向量a 、b；然后根据向量的夹角公式求得两个向量的余弦值cos a ,b =|| a ∙ b ||a ∙||||b .则两个异面直线所成的角即为向量a 、b所成的角或者补角.例4.已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1底面边长为a ，侧棱长为2a ，求AC 1与CB 1所成的角.解：以A 为原点，AB 为y 轴，AA 1为z轴，建立如图4所示的空间直角坐标系.则A (0,0,0),C 1,12a ,2a ),C ,12a ,0),B 1(0,a ,2a )，所以 AC 1=,12a ,2a ), C B 1,12a ,2a )，即cos θ< AC 1, C B 1>= AC 1∙C B 1||AC 1|| C B 1=32a 23a2=12.所以AC 1和CB 1所成的角为π3.由于ABC -A 1B 1C 1为正三棱柱，其底面为正三角形，于是以A 为原点，AB 为y 轴，AA 1为z 轴，垂直与AB 的直线为x 轴，来建立空间直角坐标系.这样便可使更多的点落在坐标轴上，快速求得各个点的坐标、直线AC 1和CB 1的方向向量.xzy图4图5例5.如图5，在Rt ΔAOB 中，∠AOB =90°，现将ΔAOB 沿着平面AOB 的法向量方向平移到△A 1O 1B 1的位置.已知OA =OB =OO 1，A 1B 1、A 1O 1的中点为D 1、F 1,求异面直线BD 1与AF 1所成的角.解：以点O 为坐标原点，建立如图5所示的空间直角坐标系，设OA =1，则A ()1,0,0,B ()0,1,0,F 1æèöø12,0,1,D 1æèöø12,12,1,所以 AF 1=æèöø-12,0,1,BD 1=æèöø12,-12,1，即cosAF 1, BD 1= AF 1∙BD 1||AF1∙|| BD 1,故异面直线BD 1与AF 1所成的角为.解答本题，需首先建立空间直角坐标系，用坐标表示出异面直线BD 1与AF 1；然后利用向量的夹角公式求出两直线所形成角的余弦值.由此可知，运用空间向量求空间角问题，需注意：（1）结合图形的特点建立合适的空间直角坐标系；（2）灵活运用向量的运算法则和向量的数量积公式；（3）根据图形中直线、平面之间的位置关系确定角的取值范围.（作者单位：江苏省泗洪姜堰高级中学）图341。
求二面角大小的两种思路
知识导航二面角问题在立体几何中比较常见.一般地，要求二面角的大小，要先作出二面角的平面角，然后求得二面角的平面角的大小，二面角的平面角的大小即为二面角的大小.求二面角的大小一般有两种思路，即采用定义法和向量法.下面我们结合一道典型例题来探讨求二面角大小的两种思路.例题：已知圆O 的直径AB 的长为2，上半圆弧有一点C ，∠COB =60°，点P 是弧AC 上的点，点D 是下半圆弧的中点.现以AB 为折痕，使下半圆所在平面垂直于上半圆所在平面，连接PO ,PD ,PC ,CD ，如图1所示.当三棱锥P -COD 体积最大时，求二面角D -PC -O 的余弦值.该题较为复杂，不仅考查了三棱锥的体积、平面与平面的垂直关系，还考查了求二面角大小的方法.我们需首先根据题意和几何图形，明确各点、线、面的位置关系，然后合理添加辅助线，作出二面角的平面角，然后再求出平面角的大小.有以下两种思路.一、采用定义法求二面角的大小定义法是求二面角大小的常用方法，也是基本方法.以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.在求二面角的大小时，我们可以根据二面角的平面角的定义，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，然后将平面角的两条边或角置于某一个三角形或平行四边形内，运用平面几何知识，如正余弦定理、解三角形知识、勾股定理等求出平面角的大小.解：由题意可知DO ⊥平面PCD ,∴V P -COD =V D -COP ,∵S △COP =12∙OC ∙OP ∙sin ∠COP ，∴当OC ⊥OP 时，三棱锥P -COD 体积最大，如图2所示，取PC 中点H ,连接OH ,DH ,∵OC =OP ,DC =DP ,∴OH ,DH 都与PC 垂直，即∠OHD 是所求二面角的平面角，在Rt△OPC 中，OH=；在Rt△OHD 中，DH=，∴cos ∠OHD,∴二面角D -PC -O .我们先根据二面角的平面角的定义在几何图形上添加辅助线，找到二面角的平面角，然后根据直角三角形的性质以及勾股定理求得二面角的平面角的大小.二、利用向量法求二面角的大小向量法是指通过向量运算解答问题的方法.在求二面角的大小时，我们可以先结合几何体的特点建立合适的空间直角坐标系，然后求出各点、线段、平面的坐标，通过向量坐标运算求得二面角的大小.对于本题，要先利用已知条件找出两两相互垂直的直线，即OP ,OD ,OC ，建立空间直角坐标系，然后通过坐标运算求得二面角的两个半平面的法向量，再运用夹角公式进行求解即可.解：由题意可得DO ⊥平面PCD ,所以V P -COD =V D -COP ,因为S △COP =12∙OC ∙OP ∙sin ∠COP ，所以当OC ⊥OP 时，三棱锥P -COD 体积最大，由题意可知OP ,OD ,OC 两两垂直，以点O 为坐标原点， OP , OD ,OC 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图3所示的空间直角坐标系，则有P ()1,0,0，D ()0,1,0，C ()0,0,1， PC =()-1,0,1，DP =()1,-1,0.设平面DPC 的法向量为 n 1=()x ,y ,z ，则ìíîPC ∙n 1=0DP ∙ n 1=0,可得 n 1=()1,1,1，同理可求得平面PCO 的法向量n 2=()0,1,0.设二面角D -PC -O 的平面角为α，则cos α=|| n 1∙ n 2||n 1|| n 2=即二面角D -PC -O 的余弦值为.从上述分析可以看出，求解二面角问题可以从两个不同的角度，即定义和向量运算出发来寻找解题的思路.运用第一种思路解题，需灵活运用立体几何中的定理、定义来处理空间中点、线、面的位置关系；运用第二种思路解题，需熟练掌握空间向量运算的法则，将问题转化为向量问题来求解.(作者单位:江苏省南通市海门四甲中学)黄林佳图1图2图338Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
立体几何向量法求二面角
立体几何向量法求二面角简介在立体几何中，二面角指的是两个平面的夹角。
为了求解二面角，我们可以使用向量法，具体就是将两个平面的法向量进行运算，得到两个向量之间的夹角。
本文将详细介绍立体几何向量法求解二面角的原理和具体步骤。
背景知识在学习立体几何向量法求解二面角之前，我们需要了解一些基础知识： 1. 平面的法向量：平面上的每一点都有一个与之垂直的向量，称为平面的法向量。
平面的法向量可以用两个不共线的向量来确定。
2. 向量的点乘：向量的点乘运算可以得到两个向量之间的夹角。
点乘的结果等于两个向量的模长乘积与它们之间夹角的余弦值的乘积。
3. 向量的模长：向量的模长表示向量的长度。
理论推导假设有两个平面，分别为平面A和平面B，我们需要求解它们之间的二面角。
要求解二面角，我们可以使用以下的步骤： 1. 确定平面A和平面B的法向量。
可以通过已知条件或者使用平面上的点来确定法向量。
2. 对平面A和平面B的法向量进行点乘运算，得到它们之间的夹角的余弦值。
3. 通过反余弦函数，将夹角的余弦值转换为夹角的度数。
以下是具体的求解步骤：步骤1：确定法向量首先，我们需要确定平面A和平面B的法向量。
实际情况中，可能已经给出了平面的法向量，也可能需要通过平面上的点来计算法向量。
假设平面A的法向量为??，平面B的法向量为??。
步骤2：点乘运算接下来，我们对平面A和平面B的法向量进行点乘运算，得到它们之间的夹角的余弦值。
点乘的结果等于两个向量的模长乘积与它们之间夹角的余弦值的乘积。
? · ?? = |??| |??| cos(?)其中，?为平面A和平面B的法向量之间的夹角。
步骤3：求解夹角最后，通过反余弦函数，我们可以将夹角的余弦值转换为夹角的度数。
得到的结果就是平面A和平面B之间的二面角。
= arccos( · ?)实例演示为了更好地理解立体几何向量法求解二面角的过程，我们来看一个具体的实例。
假设有两个平面，平面A的法向量为? = (1, 0, 0)，平面B的法向量为?? = (0, 1, 0)。
高中数学求二面角技巧
高中数学求二面角技巧
高中数学中，我们学习了很多几何知识，其中包括了二面角的概念和计算方法。
二面角是指两个平面的夹角，它在很多几何问题中都有着重要的应用。
在本文中，我们将介绍一些以高中数学为基础的求解二面角的技巧。
我们需要了解二面角的定义。
二面角是指两个平面的夹角，它的大小可以通过两个平面的法向量来计算。
具体来说，如果两个平面的法向量分别为a和b，那么它们的夹角θ可以通过以下公式计算：cosθ = (a·b) / (|a|·|b|)
其中，a·b表示向量a和向量b的点积，|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模长。
通过这个公式，我们可以求出两个平面的夹角。
我们需要了解如何求解两个平面的法向量。
在高中数学中，我们学习了向量的概念和运算方法，可以通过向量的叉积来求解两个平面的法向量。
具体来说，如果两个平面的法向量分别为a和b，那么它们的叉积a×b就是这两个平面的法向量。
通过这个方法，我们可以求解出两个平面的法向量，从而计算它们的夹角。
我们需要了解如何应用二面角的概念来解决实际问题。
在几何问题中，二面角常常用于计算两个平面的夹角，例如计算两个多面体的相交部分的体积。
在这种情况下，我们可以通过求解两个平面的法向量和夹角来计算它们的相交部分的体积。
通过这种方法，我们可
以解决很多实际问题。
以高中数学为基础，我们可以通过求解两个平面的法向量和夹角来计算二面角。
在实际问题中，二面角常常用于计算两个平面的夹角，例如计算两个多面体的相交部分的体积。
通过掌握这些技巧，我们可以更好地应用数学知识解决实际问题。
利用向量积巧求法向量解决二面角问题
共 线 的 向 量 ａ 然 后 ，
分别 在 平 面 ｏ Ｊ ／ ８内 、
题 ． 文介绍 一 种利 用 向量 积求 法 向量解 决 二 面 角 的 本 方法 ， 精简 了 分 析 计算 的 过 程 、 去 了判 断 法 向量 方 省 向的步 骤 ， 于 在短 时 间 内求解 二 面角 ． 便
求 出平 面 ａ 的法 向量 ． 、
图 ７
图 ８
图１
图２
Ｉ 璺ｌ ９
利用 右手法 ห้องสมุดไป่ตู้ 可判 断 出 ： ａ ａ 。的顺 序 以 ×６ 、 ×ｂ
图３ 图４
所求 出 的法 向量 即 满 足分 别 指 向二 面角 内部 和 外 部
的要 求 （ ９． 图 ）
因此 ， 我们 只需 求 出 ２个 平 面 的法 向量 并 使 它们
出 ｃ ｓｍ， ＞ ｏ ＜ ｎ 的值 ， 此时 无须 再进 行 判 断 ，Ｏ （ ， 就 Ｃ Ｓｍ， ） １
是所 求二 面 角的余 弦值 ．
下 面 以例 题具 体演 示 上述过 程．
， ’
ｂ一 （ ｂ ａｙ 一 ｎ ｂ 口 ｂ ， 一 ａ ｂ ｎ ｂ ， 一 ａｙ ） ｂ ．
ｏ ， （） ） 由 １ 的结 论 知 Ｓ Ｅ＝２ Ｂ， Ｅ（９ 詈 ÷ 因 此 Ｅ 故 ÷ ９ ９）
◇
写 物
河北 ． 张 伟
（ ）求 二 面角 Ａ ＤＥ Ｃ ２ ＿ ＿
的大小 ． 图 １ ０
提 到 高 中物 理 教 学 ， 人 的感 觉 就 是 ： 象 、 给 抽 枯 燥 、 度大 ． 的学 生一 上物 理 课 就 昏 昏欲 睡 ， 至 个 难 有 甚 别 学 生说 ， 物 理课 像 听 念 紧 箍 咒 一 样 感 到 头 疼 ． 听 每 门学科 都有 其 特 点 ， 物 理离 不 开 抽 象 思 维 ， 要 静 学 需 下 心 去思考 ， 这 些 不 是 让 我 们 把 物 理 课 和 枯 燥 、 但 无
解答二面角问题的三种措施
备考指南理能力.结合实例进行探讨.一、利用定义法一般地，在二面角的棱上选取一点，垂直于棱的射线，的平面角.面角的平面角；角形，根据正余弦定理、例1.如图1，四棱锥S -底面ABCD ，AD =2,DC =SD 点，∠ABM =60°，求二面角S -图1解：过B 点作BF ⊥AM ，过AC ，如图2所示，因为SD ⊥底面ABCD ，所以∠ADS =∠ADC =90°，因为DC =SD =2，所以Δ所以AC =AS ，因为AM ⊥SC ,GF ⊥AM ，中点，的中位线，点G 为AS 的中点，S -AM -B 的平面角，SA =AC =6,BM =2,3，=BF =3，GF 2+BF 2-GB 22GF ∙BF =，-B 的余弦值为最重要的一步便是找到二面角首先要根据二面角的平面角、AMB 及其棱AM ；然后在两BF ,GF ，则∠GFB 即为所求二将问题转.首先需根据题目中给出的来建立空间直角坐标系；然后求m 、n ；再根<m ,n >=m ∙n |m |∙|n |；最后还需根据.P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，∠BAD =120°，PA =AD =1,AB苏其亮54备考指南=2，M 、N（1）（2）解：（线为x 、y 则A N 12则 CM 设m则{令x 1设n则{n n 令x 2cos <直线为x 要先根据题意寻找垂其与二面然后根据平面几何知识，三角形的性质、平行四边形即可解题.棱锥S -ABC 中，SA ⊥平面垂直平分AC 、SC ，且交AC 、SC =BC ，求二面角E -BD -C 的、DB ，E 是SC 中点，SBC 的中线，则BE ⊥SC ，⋂DE =E ，BE 、DE ⊂平面BDE ，，所以SC ⊥BD .，BD ⊂平面ABC ，、SA ⊂平面SAC ，，平面BDE =DE ，平面SAC ⋂平⊥DC ，E -BD -C 的平面角，，所以SA ⊥AB ,SA ⊥AC ，2,SB =BC =22，AC =23,∠ACS =30°，所以∠EDC =60°，-C 的大小为60°..，DE 垂直平分AC 、SC ，即可.再在直角三角形SAB 、SAC 、即可解题.向量法、垂面法都是解答二面向却比较便捷，能有效.甘肃省白银市靖远县第一中学）55。
浅析向量法求解二面角
个半平面 的法 向量一个指 向二面 角的内 部 ，另一个指 向二面角 的外部 ，这是二 参 考 文献 ： 面 角 ０＝＜ 一 ｎ １ ， 一 Ｒ ２ ＞。为 方 便记 忆 概 ［ １ ］ 杨 华 ． 对用法 向量求 二面角 的
括为 “ 同进 同出互补 ， 一进一 出相等 ” 。
时，
・ 莉
＞ ０且
角直接 表示二面 角。用坐标法计算降低
随 着新 课 程标 准 的不 断推 进 ，空 间 向量 作 为研 究 空 间几何 的强 有 力工
具 ，给 空 间 几 何 问 题 的 研 究 注 入 了
了对平面 向量基 向量运算的思维过程 的 均指 向二面 角外部时 有 ・ 两 ＜ ０ 且 要 求 ， 使整个解题思路更加直接 清晰 ， 解
技巧 ，把抽 象的几何 问题代 数化，并有很 强的规律 性和可操作 性。本 文通过对平 面法 向量方 向的判断 和 利用平面 法向量的夹角来表 示二面角的平面角 以
Ａ， ，则线 段 Ａ Ｂ的中 点 量积 ”等进 行求解 ，用这两个向量的夹
及 在两个半平Βιβλιοθήκη 面内用垂直公共棱 的两个 向量之 间夹
（ 作 者单 位 ：湖 北省 成 宁市 通城 县第一 中学 ）
指 向二面 角 的 外部 时 ０＝Ｏ ｔ 对 于法 向
角来表 示二面角的平面角对 二面角 问题 的求解进行
阐述。
角 ，没有求 二面 角的两个 半平 面的法向
量 ，而是在 二面 角两个半平面内找个两 个 与棱 垂直的向量 ，用这两个 向量 的夹
的 方 向 均 指 向 二 面 角 内 部
一
关 键 词 ：二 面 角 ；法 向量 ；方 向 ；基 向 量 ；平 面 角
也谈向量求解二面角问题
也谈向量求解二面角问题摘要：二面角，抽象具体，平行、垂直、二面角的平面角，求法步骤，易于操作关键词：二面角，平行、垂直、二面角的平面角用空间向量来解决空间向量问题，给我们带来很大方便的同时，也略有不足之处。
就是再求二面角的大小的时候，由于平面法向量的方向不定，导致的向量夹角和二面角的大小不一致的问题，这个问题是由于什么情况引起的？由此带来的困惑能否很好的解决呢？【解析】已知二面角a→l→β，ɑ的法向量na，β的法向量nβ，其方向如图（1）所示时，设θ=。
∠ aob为二面角的平面角，此时，θ+∠aob=180°。
而当其方向如图（2）时，θ=∠aob。
在具体求解时，na与nβ的方向很难判断是属于还是属于的情况，导致二面角难以具体确定。
【解决方法】我们舍弃平面的法向量，改为在l上取一点n，nf β，nf⊥l，在l上取一点m，mea，me⊥l则=θ与二面角a→l→β大小处处一致。
因为θ的大小实质就是二面角的平面角∠aob。
有时n，m重合，此时θ就是∠aob。
【具体应用举例一】例题：在四棱锥中a-bcde中，底面bcde为矩形，侧面abc⊥bcde。
bc=2，cd=2。
若ab=ac=bc，求二面角c-ad-e的大小。
解：如图，取bc中点o，de中点m，则ao，bc，cm两两垂直。
以oc为x轴，om为y轴，oa为z轴，建立空间直角坐标系，则a （1，0，3），d（1，2，0），c（1，0，0），b（-1，2，0）在面acd 内过点c作cs⊥ad于s，过点e在平面ade内作eh⊥ad于n。
设s（x，y，z），ad=（1，2，3），as=（x，y，z-3），sc=（1-x，-y1，-z1）ad⊥cs（1-x1）+（-2y1）+3z1=0ad⊥asx11=y12=z1-3-3s23，223，33同理得：h23，233，33。
所以，h，s重合。
sc=13，-223，-33，he=-53，233，33。
所以cosθ=cos（sc，he）=sc·hesc·he=-5+4+325+2+3=-6610=-1010。
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浅谈如何解决向量法求二面角大小的不足
上海市扬子中学数学组 郑根火
【摘 要】:在二期课改的新教材中，向量是一个非常重要的解题工具。
无论在求角，求距离问题中都有着广泛的用处。
法向量法求二面角的平面角是其应用之一。
用向量法求二面角的大小时，常因为无法判断是锐角还是钝角而使得这种方法缺泛严密性，确定法向量的方向是解决这一问题的根本方法。
【关键字】：向量，向量夹角，二面角，二面角的平面角
作为新课程改革，高中数学教材的一个显著变化就是“向量”的引入。
其目的也很明确：为空间图形，提供新的研究手段，充分体现它们的工具性。
求二面角的大小时，用平面的法向量法与其他方法相比，思想清晰而且推理简易，是一个较好的方法，是很多初学者乐于使用的方法。
但教材中对向量法求二面角大小的解释是模糊不清的，对于初学者来说，很难掌握。
以下摘取了上海教育出版社发行的《高中三年级（试验本）理科》P 55中关于二面角求法的一段描述，供参考。
对于二面角来说，设它的两个半平面现所在的平面21,αα的法向量分别为
21,n n ，两个法向量的夹角为ϕ，二面角的大小为()πθθ≤≤0。
由图1，图2可以看出ϕθ=或ϕπθ-=
以上我们可以看出：一个二面角的平面角与这个二面角的两个半平面的法向
图1
图2
量21,n n
所成的角相等（⎪⎫ ⎛
arccos
）或互补（⎪
⎫
⎛-arccos π）。
但到底是相等还是互补，在具体解题时，很多学生感到无从下手，往往任凭感觉来判断，缺乏严格的推理、证明，不严谨的求学风格也自然形成，各位同行也一定深有体会。
解决这一问题的关键在于确定法向量的确切方向。
引理：设点A 是平面α内一点，点B 是平面α外一点，n 是平面α的法向量 当0>⋅时，的方向指向点B 所在的一侧（如图3）； 当0<⋅n AB 时，n 的方向指向点B 不在的一侧（如图4）；
下面，我们可以利用引理解决前面碰到的问题。
设B A ,分别是平面βα,上的两点，且都不在平面βα,的交线上，,分别是
βα,的法向量，θ为平面βα,平面角。
1） 当0,0>⋅>⋅时，得,的方向如图5所示，
则=θ
2） 当0,0<⋅<⋅时，得,
图3
图4
图5
图6
3） 当0,0<⋅>⋅时，得,的方向如图7所示，
则
-=a r c πθ
4） 当0,0>⋅<⋅时，得,的方向如图8所示，
则
-=a r c πθ
综上所述，当n AB ⋅与m AB ⋅
同号时，二面角的平面角大小为；
当n AB ⋅与m AB ⋅
异号时，二面角的平面角大小为-π；
按照这样的方法，求二面角的大小时，就可以避免不严格的问题了，而且操作简单。
例题 如图9所示,直三棱柱
1
11C B A ABC -中，︒=∠90ACB ，
2,1==CB AC ，侧棱11=AA ，侧面B B AA 11的两条对角线交点为D ，11C B 的中点为M （1）求证：⊥CD 平面BDM ；
（2）求面BD B 1与面CBD 所成二面角的大小
解：（1）略
图7
图8
图9
（2）以为坐标原点建系，如图9所示， 则()0,0,0C ，()0,0,2B ，(
)
()()1,0,0,1,1,0,0,1,211A A B
所以：()(
)(
)
()0,1,0,0,1,2,0,0,2,1,1
,2111==
=-=CB
设平面BCD 的一个法向量为()z y x n ,,=，则：
⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅0
1BA n ，即：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=0202z y x x ，令1=y ，得()1,1,0-=； 同理可得平面D BB 1的一个法向量为()
2,0,1=
所以3
3
,cos -
=>=
< 又021>=⋅CB ，011>=⋅CB ， 所以1CB ⋅与1CB ⋅同号，
所以所求二面角的平面角为33arccos 33arccos arccos -=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎫
⎛π 通过以上分析，用向量法求二面角的大小时，首先求出两个半平面的法向量，再从两个半平面内任选两点A ，B （不同在交线上），判断与法向量数量积的符号，确定法向量夹角与二面角大小之间的关系，便可以避免教材中求二面角大小的不足了。