期权定价二叉树模型 ppt课件
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第五讲期权定价理论I二叉树模型
15
记每步时长为Δt，那么单步二叉树模型下的期权价格 为：
f=e-rΔt[pfu +(1-p)fd] 其中，p=(erΔt-d)/(u-d)。由此可以计算出期初和第一步
到期时各个节点的期权价值：
fu=e-rΔt[pfuu+(1-p)fud] fd=e-rΔt[pfud+(1-p)fdd]
f=e-rΔt[pfu+(1-p)fd] 把fu和fd代入f可得：
f=e-2rΔt[ p2 fuu+2p(1-p)fud+(1-p)2 fdd] 因此，期权的价格为期权预期收益以无风险利率进行
贴现的现值。 想象一下，三步二叉树模型下期权的定价问题。
16
（四）看跌期权的情形
例5：考虑如下图11.7两年期的欧式看跌股票期 权，执行价格为52元，股票的当期价格为50元， 假设时期分为两步，每步期长为1年，且每步 股票价格要么上涨20%，要么下跌20%，无风 险利率为5%。
23
（七）Δ
回忆：Δ是什么？ Δ=(fu–fd)/(S0u-S0d) 什么意思？ Δ为期权价格变化与标的股票价格的变化之比； Δ为我们针对每个期权空头而持有的股票数量，
目的是构建一个无风险资产组合。 Δ对冲（delta hedging）通常是指构建一个无风险
对冲。看涨期权的Δ为正，看跌期权的Δ为负。 计算图11.1和11.7中的Δ。
26
4. 期货期权的定价 在风险中性世界里，期货的价格增长率为0。假设期货
的为期F0，初因价此格，为F0，时间长度为Δt的期货的期望价格也 E(FT)=pF0u+(1-p)F0d=F0 p=(1-d)/(u-d) 例10：一个期货的当前价格为31，波动率为30%，无风
记每步时长为Δt，那么单步二叉树模型下的期权价格 为：
f=e-rΔt[pfu +(1-p)fd] 其中，p=(erΔt-d)/(u-d)。由此可以计算出期初和第一步
到期时各个节点的期权价值：
fu=e-rΔt[pfuu+(1-p)fud] fd=e-rΔt[pfud+(1-p)fdd]
f=e-rΔt[pfu+(1-p)fd] 把fu和fd代入f可得：
f=e-2rΔt[ p2 fuu+2p(1-p)fud+(1-p)2 fdd] 因此，期权的价格为期权预期收益以无风险利率进行
贴现的现值。 想象一下，三步二叉树模型下期权的定价问题。
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（四）看跌期权的情形
例5：考虑如下图11.7两年期的欧式看跌股票期 权，执行价格为52元，股票的当期价格为50元， 假设时期分为两步，每步期长为1年，且每步 股票价格要么上涨20%，要么下跌20%，无风 险利率为5%。
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（七）Δ
回忆：Δ是什么？ Δ=(fu–fd)/(S0u-S0d) 什么意思？ Δ为期权价格变化与标的股票价格的变化之比； Δ为我们针对每个期权空头而持有的股票数量，
目的是构建一个无风险资产组合。 Δ对冲（delta hedging）通常是指构建一个无风险
对冲。看涨期权的Δ为正，看跌期权的Δ为负。 计算图11.1和11.7中的Δ。
26
4. 期货期权的定价 在风险中性世界里，期货的价格增长率为0。假设期货
的为期F0，初因价此格，为F0，时间长度为Δt的期货的期望价格也 E(FT)=pF0u+(1-p)F0d=F0 p=(1-d)/(u-d) 例10：一个期货的当前价格为31，波动率为30%，无风
期权定价的二叉树模型(ppt 39页)
第7章 期权定价的二叉树模型
2022/3/23
22
ftrf S S f1 22S2 S 2f2rf f
c St N d1 X erf Tt N d2
St erf Tt N d1 X N d2 erf Tt
EST Nd1 X N d2 erf Tt EST Nd1 X N d2 erf Tt
2022/3/23
21
风险中性定理表达了资本市场中的这样的 一个结论：即在市场不存在任何套利可能性的 条件下，如果衍生证券的价格依然依赖于可交 易的基础证券，那么这个衍生证券的价格是与 投资者的风险态度无关的。
这个结论在数学量，尤其是期望收益率。
公平的入局费＝2000×50％+0×50％＝ 1000元
第7章 期权定价的二叉树模型
2022/3/23
13
愿意支付的入局费 风险类型 数量 入局费＜1000元 风险厌恶者 众多 入局费＝1000元 风险中性者 入局费＞1000元 风险喜好者 极少
如果有人愿意无条件地参加公平的赌博， 则这样的人被认为是风险中性。风险中性者对 风险采取无所谓的态度。
考虑以下组合：
①买入1份股票看涨期权 ②卖空Δ股股票
显然，适当调整Δ可以使得上述组合为无风 险组合。
第7章 期权定价的二叉树模型
2022/3/23
3
如果这个组合是无风险组合，则其价值与 状态无关，所以，以下数学表达式成立：
22118
解得，
0.25
也就是说，1份看涨期权多头加上0.25股股 票空头构成的组合是无风险组合。
这就是风险中性定价的基本思想。
第7章 期权定价的二叉树模型
2022/3/23
18
我们回到之前的示例中，在那里，我们可 以把股票价格上升的概率定义为p，于是在到 期日T时刻，股票价格的期望值为：
第十讲期权的定价-37页PPT资料
在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。
在所有投资者都是风险中性的条件下（有时我们称之为进 入了一个“风险中性世界”），所有证券的预期收益率都可以等 于无风险利率r，这是因为风险中性的投资者并不需要额外的收益 来吸引他们承担风险。同样，在风险中性条件下，所有现金流量 都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。这就是风险中性定价 原理。
1.期权价格的影响因素
期权价格的影响因素包括：标的资产市场价格、执行价 格、波动率、无风险利率、到期时间。
2.风险中性定价原理
观察式期权定价公式，我们可以注意到期权价格是与标
的资产的预期收益率 无关的。即在我们描述标的资产价格
所遵循的几何布朗运动时曾经出现过的预期收益率在期权定 价公式中消失了。这对于寻求期权定价的人们来说无疑是一 个很大的好消息。因为迄今为止，人们仍然没有找到计算证
由于欧式期权不会提前执行，其价值取决于3个月后股票的市 价。若3个月后该股票价格等于11元，则该期权价值为0.5元；若3 个月后该股票价格等于9元，则该期权价值为0。
为了求出该期权的价值，我们可构建一个由一单位看涨期权空 头和X单位的标的股票多头组成的组合。若3个月后该股票价格等 于11元时，该组合价值等于（11X－0.5）元；若3个月后该股票价 格等于9元时，该组合价值等于9X元。为了使该组合价值处于无风 险状态，我们应选择适当的X值，使3个月后该组合的价值不变， 这意味着：
d1
Tt
d2
lnS(/
X)(r2 Tt
/2)(Tt)d1
Tt
c为无收益资产欧式看涨期权价格；N(x)为标准正态分布 变量的累计概率分布函数（即这个变量小于x的概率），根据 标准正态分布函数特性，我们有 N (x)1N (x)。
在所有投资者都是风险中性的条件下（有时我们称之为进 入了一个“风险中性世界”），所有证券的预期收益率都可以等 于无风险利率r，这是因为风险中性的投资者并不需要额外的收益 来吸引他们承担风险。同样，在风险中性条件下，所有现金流量 都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。这就是风险中性定价 原理。
1.期权价格的影响因素
期权价格的影响因素包括：标的资产市场价格、执行价 格、波动率、无风险利率、到期时间。
2.风险中性定价原理
观察式期权定价公式，我们可以注意到期权价格是与标
的资产的预期收益率 无关的。即在我们描述标的资产价格
所遵循的几何布朗运动时曾经出现过的预期收益率在期权定 价公式中消失了。这对于寻求期权定价的人们来说无疑是一 个很大的好消息。因为迄今为止，人们仍然没有找到计算证
由于欧式期权不会提前执行，其价值取决于3个月后股票的市 价。若3个月后该股票价格等于11元，则该期权价值为0.5元；若3 个月后该股票价格等于9元，则该期权价值为0。
为了求出该期权的价值，我们可构建一个由一单位看涨期权空 头和X单位的标的股票多头组成的组合。若3个月后该股票价格等 于11元时，该组合价值等于（11X－0.5）元；若3个月后该股票价 格等于9元时，该组合价值等于9X元。为了使该组合价值处于无风 险状态，我们应选择适当的X值，使3个月后该组合的价值不变， 这意味着：
d1
Tt
d2
lnS(/
X)(r2 Tt
/2)(Tt)d1
Tt
c为无收益资产欧式看涨期权价格；N(x)为标准正态分布 变量的累计概率分布函数（即这个变量小于x的概率），根据 标准正态分布函数特性，我们有 N (x)1N (x)。
期权定价的二叉树模型
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风险中性的投资者对风险不要求回报，他 们投资于任何资产所要求的收益率等于无风险 收益率。
投资回报率=无风险利率+风险溢价
第7章 期权定价的二叉树模型
2020/11/29
17/39
在一个假想的风险中性的世界（RiskNeutral World ）里，所有的市场参与者都是风 险中性的，那么，所有的资产不管其风险的大 小或是否有风险，预期收益率都相同，都等于 无风险收益率，因此，所有资产现在的市场均 衡价格都应等于其未来价值的预期值，加上考 虑到货币的时间价值，就都是未来预期价值按 无风险收益率贴现的价值（即现值）。
2020/11/29
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风险中性定理表达了资本市场中的这样的 一个结论：即在市场不存在任何套利可能性的 条件下，如果衍生证券的价格依然依赖于可交 易的基础证券，那么这个衍生证券的价格是与 投资者的风险态度无关的。
这个结论在数学上表现为衍生证券定价的 微分方程中并不包含有受投资者风险态度的变 量，尤其是期望收益率。
第7章 期权定价的二叉树模型
➢ 单步二叉树模型 ➢ 风险中性定价原理 ➢ 两步二叉树模型
一、单步二叉树模型
⒈ 一个示例
STu 22 cTu 1
S0 20 c0 ?
3个月
STd 18 cTd 0
执行价格为21 元的看涨期权。
第7章 期权定价的二叉树模型
2020/11/29
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股票和股票期权所面临的系统风险相关，适 当配置两种资产可以消除系统风险，组建无风险 组合。
2020/11/29
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⒉ 两步二叉树的一般形式
第7章 期权定价的二叉树模型
2020/11/29
7/39
第三节-二叉树模型课件
表示了看涨期权获得完全保值时，所需要的 股票的数量。
思考：当二叉树步数增加时，delta是否会变化？
PPT学习交流
28
二、两期二叉树模型与delta动态保值
考虑两期二叉树
22
B
24.2 D 3.2
20 1.2823
A
B点处的delta值：
2.0257
19.8
E
0.0
18
C
0.0
16.2
D 3.20 0.73 24.219.8
PPT学习交流
12
一、单期二叉树
无套利定价法的思路 • 首先，构造一个由Δ股股票多头和一个期权空头组
成的证券组合，使得该组合为无风险组合，即：
Su D – ƒu
Sd D – ƒd
D su fuD sd fd
由此计算出该组合为无风险时的Δ值。
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13
一、单期二叉树
• 如果无风险利率用r表示，则该无风险组合的现值 一定是（SuΔ-fu）e-rT,而构造该组合的成本是SΔf，在没有套利机会的条件下，两者必须相等。即 SΔ-f=（SuΔ-fu）e-rT ，所以
PPT学习交流
11
一、单期二叉树
一般的例子
• 假设一个无红利支付的股票，当前时刻t股票价 格为S，基于该股票的某个期权的价值是f，期权 的有效期是T，在这个有效期内，股票价格或者 上升到Su，或者下降到Sd（d<exp(rT)<u）。当 股票价格上升到Su时，我们假设期权的收益为fu， 如果股票的价格下降到Sd时，期权的收益为fd。
PPT学习交流
4
一、单期二叉树
例：假设一种不支付红利股票目前的市价为20元， 我们知道在3个月后，该股票价格要么是22元，要 么是18元。假设现在的无风险年利率等于10%（连 续复利），现在我们要找出一份3个月期协议价格 为21元的该股票欧式看涨期权的价值。
第八章 期权定价二叉树模型[优质ppt]
![第八章 期权定价二叉树模型[优质ppt]](https://img.taocdn.com/s3/m/3bbb042902768e9950e73815.png)
• 3、例2
• 假设标的资产为不付红利股票，其当前市场价 为50元,波动率为每年40%，无风险连续复利 年利率为10%，该股票5个月期的美式看跌期 权协议价格为50元，求该期权的价值。
4、倒推定价法总结
5、有红利资产期权的定价
• 课后自行阅读
6、构造树图的其他方法和思路
• 不作要求
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Sert pSu(1p)Sd 在股票价格服从BS模型所假定的几何布朗运动下，
其方差为：S2e2rt(e2t 1)。而在S二叉树模型下
的方差为：pS2u2 (1p)S2d2 S2pu(1p)d。故：
S2e2rt(e2t 1) pS2u2 (1p)S2d2 S2 pu(1p)d
第三节 利用二叉树模型给美式期权定价
• 一，基本方法 • 在每个节点都将二叉树模型所计算出来
的值与提前执行所得的收益进行比较， 取较大者。 • 二、例1
• 一份2年期的美式股票看跌期权，期权执 行价格为52，当前价格为50。假设用两 步二叉树模型，每步长一年，每步股票 价格或上升20%，或下跌20%。无风险利 率为5%。见下图
S0u3 S0u2d S0ud2 S0d3
三、单步二叉树定价模型
• 构造由 单位的股票多头和一个单位衍生 证券的空头形成的投资组合，则
• 如股票价格上升，则投资组合的价值为：
S0u fu
• 若下跌，则组合的价值为：
•
S0d fd
• 如果 取特殊值，使得股价无论上升还 是下降，其价值都相等，即
将上述两个方程简化，有： e rt p u (1 p ) d e 2r t 2 t p u 2 (1 p ) d 2 在 加 入 C ox、 R oss和 R ubinstein 用 的 第 三 个 条 件 u= 1
金融工程概论课件 - 期权(二叉树)
主要内容
z 期权合约及市场运作 z 期权交易策略 z 股票期权的性质 z 期权定价
¾ 二叉树 ¾ BS模型
z 股指期权、货币期权与期货期权 z 期权价格的敏感性及套期保值
期权定价——二叉树 (binomial tree)
z 二叉树用来表示在期权期限内可能会出现的股票 价格变动的路径。
Su
fu
S
f
Sd
40
9.4636
72
0
48
4
32
20
p = e0.05*1 − 0.8 = 0.6282 1.2 − 0.8
fu = e−0.05 (0.6282 * 0 + 0.3718 * 4) = 1.4147
fd = e−0.05 (0.6282 * 4 + 0.3718 * 20) = 9.4636
f = e−0.05 (0.6282*1.4147 + 0.3718*9.4636)
d = 1 = 0.7408 1.3499
p = e0.05 − 0.7408 = 0.5097 1.3499 − 0.7408
e0.05 = 1.0513
e0.3 = 1.3499
期权定价——二叉树 (binomial tree)
z 二叉树定价的一般方法
(ud (=u1)d = 1)
倒推定价法
j
9 支付红利率 9 支付红利额
期权定价——二叉树 (binomial tree)
z 对于不同标的资产
p= a−d u−d
a = e(r−q)Δt a = e(r−rf )Δt
a =1
支付连续股息收益率股票或股指 货币
期货
u = eσ Δt d = e−σ Δt
z 期权合约及市场运作 z 期权交易策略 z 股票期权的性质 z 期权定价
¾ 二叉树 ¾ BS模型
z 股指期权、货币期权与期货期权 z 期权价格的敏感性及套期保值
期权定价——二叉树 (binomial tree)
z 二叉树用来表示在期权期限内可能会出现的股票 价格变动的路径。
Su
fu
S
f
Sd
40
9.4636
72
0
48
4
32
20
p = e0.05*1 − 0.8 = 0.6282 1.2 − 0.8
fu = e−0.05 (0.6282 * 0 + 0.3718 * 4) = 1.4147
fd = e−0.05 (0.6282 * 4 + 0.3718 * 20) = 9.4636
f = e−0.05 (0.6282*1.4147 + 0.3718*9.4636)
d = 1 = 0.7408 1.3499
p = e0.05 − 0.7408 = 0.5097 1.3499 − 0.7408
e0.05 = 1.0513
e0.3 = 1.3499
期权定价——二叉树 (binomial tree)
z 二叉树定价的一般方法
(ud (=u1)d = 1)
倒推定价法
j
9 支付红利率 9 支付红利额
期权定价——二叉树 (binomial tree)
z 对于不同标的资产
p= a−d u−d
a = e(r−q)Δt a = e(r−rf )Δt
a =1
支付连续股息收益率股票或股指 货币
期货
u = eσ Δt d = e−σ Δt
第8讲：二叉树期权定价模型.
Binomial Trees and Option Valuation
9
一般化Generalization
• A derivative lasts for time T and is dependent on a stock
Su
S
ƒu
ƒ=?
Sd
ƒd
Binomial Trees and Option Valuation
of $21. r = 12%.
• The value of the portfolio today (r =12% per annum) is 4.5e – 0.12´0.25 = 4.3670
Binomial Trees and Option Valuation
7
期权的价值
• The portfolio that is long 0.25 shares short 1 option
Stock price = $18 Option value = $0
17
两期二叉树定价A Two-Step Binomial Tree
24.2
22
D
B
20
19.8
A
E
18
C
16.2
F
• Stock: Price = $20, up or down by 10% in each quarter
(3 months); there are two quarters. A call with a strike
14
Valuing the Option
S ƒ
The value of the option is
Su = 22 ƒu = 1
Sd = 18 ƒd = 0
9
一般化Generalization
• A derivative lasts for time T and is dependent on a stock
Su
S
ƒu
ƒ=?
Sd
ƒd
Binomial Trees and Option Valuation
of $21. r = 12%.
• The value of the portfolio today (r =12% per annum) is 4.5e – 0.12´0.25 = 4.3670
Binomial Trees and Option Valuation
7
期权的价值
• The portfolio that is long 0.25 shares short 1 option
Stock price = $18 Option value = $0
17
两期二叉树定价A Two-Step Binomial Tree
24.2
22
D
B
20
19.8
A
E
18
C
16.2
F
• Stock: Price = $20, up or down by 10% in each quarter
(3 months); there are two quarters. A call with a strike
14
Valuing the Option
S ƒ
The value of the option is
Su = 22 ƒu = 1
Sd = 18 ƒd = 0
金融数学第五讲期权定价 二叉树方法ppt课件
推广到一般情形
一个依赖于股票的衍生证券，到期时间为 T
Su
S
ƒu
ƒ
Sd
ƒd
推广到一般情形
(continued)
考虑一个组合：持有D份股票，成为一份衍生证券的空头
当 D满足下面的条件时，组合为无Su风D –险ƒ：u
SuD
–
ƒu
=
Sd
DS–dDƒd–
or ƒd
D ƒu fd Su Sd
S*(iDt)S(iDt)
当 iDt 时
S * (iD t) S (iD t) D e r( iD t) 当 iDt 时（表示红利）
在 iDt 时刻：
当 iDt 时，这个树上每个结点对应的证券价格为：S0*ujdijD er(iDt) 当 iDt 时，这个树上每个结点对应的证券价格为：S0*u jdi j
无风险组合为: 持有 0.25份股票成为一份看涨期权的空头
三个月后组合的价值为 22´0.25 – 1 = 4.50 组合在时刻0的价值为 4.5e – 0.12´0.25 = 4.3670
期权的估值
资产组合为 持有 0.25份股票
成为一份看涨期权的空头 组合在时刻0的价值为4.3670 股票的价值是 5.000 (= 0.25×20 ) 从而，期权的价格为 0.633 (= 5.000 – 4.367 )
72 D0
48
E
4
32 F 20
美式期权该如何估值？
50 5.0894
A
60
B
1.4147
40
C
12.0
72 D0
48
E
4
32 F 20
5-2_期权定价的二叉树模型
以一个月为一个时间段，得三个月的股价树， 见图4-21。
2021/5/15
40
100
t 0
144
172.8
120
129.6
108
90
97.2
81 72.9
1
2
3
图4-21 回望期权的股价二叉树
2021/5/15
41
表3-1 路径、概率及最高价
路径
uuu uud udu duu dud
ddu udd ddd
p1
则：
2
u d 1 t
2
u d 2 t
2021/5/15
50
用样本估计值来代替
u 1 t t
d
1
t
t
1 t t
1 t t
d
1 t
u
图4-23 Hull-White模型的解
2021/5/15
51
用样本均值、样本方差分别代替总体均值和方差。
若：
S1 X1S0
Sk 1 X k 1Sk
0 0 0
2.53 1
2.53
14.12 19 19
图4-17 完整的美式看跌期权二叉树图
0 0 10.9 27.1
障碍期权(barrier option)
一般分为两类，即敲出期权和敲入期权。
敲出期权：
当标的资产价格达到一个特定障碍水平时，该期权作废。
敲入期权：
敲出期权
向上敲出 向下敲出
敲入期权
向上敲入 向下敲入
dS0
图4-22 股票价格二叉树
2021/5/15
45
第六节 实证数据下二叉树模型分析
漂移率 ：单位时间内股价的平均变化幅度。
2021/5/15
40
100
t 0
144
172.8
120
129.6
108
90
97.2
81 72.9
1
2
3
图4-21 回望期权的股价二叉树
2021/5/15
41
表3-1 路径、概率及最高价
路径
uuu uud udu duu dud
ddu udd ddd
p1
则：
2
u d 1 t
2
u d 2 t
2021/5/15
50
用样本估计值来代替
u 1 t t
d
1
t
t
1 t t
1 t t
d
1 t
u
图4-23 Hull-White模型的解
2021/5/15
51
用样本均值、样本方差分别代替总体均值和方差。
若：
S1 X1S0
Sk 1 X k 1Sk
0 0 0
2.53 1
2.53
14.12 19 19
图4-17 完整的美式看跌期权二叉树图
0 0 10.9 27.1
障碍期权(barrier option)
一般分为两类，即敲出期权和敲入期权。
敲出期权：
当标的资产价格达到一个特定障碍水平时，该期权作废。
敲入期权：
敲出期权
向上敲出 向下敲出
敲入期权
向上敲入 向下敲入
dS0
图4-22 股票价格二叉树
2021/5/15
45
第六节 实证数据下二叉树模型分析
漂移率 ：单位时间内股价的平均变化幅度。
期权二叉树定价模型(ppt36张)
以图8-2所示的看涨期权估值为例，该看涨期权的 Delta计算如下：
1 0 0.25 22 18
这是因为当股票价格从18变化到22时，期权价格从0 变化到1。
在图8-3中，对于第一个时间步，股票价格变动的 Delta为：
2.025700.5064 2218
如果在第一个时间步之后，还有一个向上的运动，则 在第二个时间步股票价格变动的Delta为：
股票现在的价格已知为$20。用f表示期权的价格。因此， 由
20×0.25－f=4.3674
得
f=0.633
如果期权价格偏离0.633，则将存在套利机会。
➢8.1.2 一般结论
考虑一个无红利支付的股票，股票价格为S。基于该股 票的某个衍生证券的当前价格为f。假设当前时间为零时刻， 衍生证券给出了在T时刻的盈亏状况 。
1）由式（9.2）求出的值。 2）提前执行所得的收益。
➢9.4.2 举例
考虑一个两年期美式看跌期权，股票的执行价格为 $52，当前价格为$50。假设价格为两步二叉树，每个步 长为一年，在每个单步二叉树中股票价格或者按比率上 升20％，或者按比率下降20％。无风险利率为5％。
如图8-6所示，在节点B，期权的价值为$1.4147，而 提前执行期权的损益为负值(-$8)。在节点B提前执行不是 明智的，此时期权价值为1.4147。在节点C，期权的价值 为$9.4636，而提前执行期权的损益为$12.0。在这种情况 下，提前执行是最佳的，因此期权的价值为$12.0。
f er t[pfu(1p)fd] （9.7）
将式（9.5）和（9.6）代入式（9.7），得到：
f e 2 r t[ p 2 f u u 2 p ( 1 p ) f u d ( 1 p ) 2 fd d ]
1 0 0.25 22 18
这是因为当股票价格从18变化到22时，期权价格从0 变化到1。
在图8-3中，对于第一个时间步，股票价格变动的 Delta为：
2.025700.5064 2218
如果在第一个时间步之后，还有一个向上的运动，则 在第二个时间步股票价格变动的Delta为：
股票现在的价格已知为$20。用f表示期权的价格。因此， 由
20×0.25－f=4.3674
得
f=0.633
如果期权价格偏离0.633，则将存在套利机会。
➢8.1.2 一般结论
考虑一个无红利支付的股票，股票价格为S。基于该股 票的某个衍生证券的当前价格为f。假设当前时间为零时刻， 衍生证券给出了在T时刻的盈亏状况 。
1）由式（9.2）求出的值。 2）提前执行所得的收益。
➢9.4.2 举例
考虑一个两年期美式看跌期权，股票的执行价格为 $52，当前价格为$50。假设价格为两步二叉树，每个步 长为一年，在每个单步二叉树中股票价格或者按比率上 升20％，或者按比率下降20％。无风险利率为5％。
如图8-6所示，在节点B，期权的价值为$1.4147，而 提前执行期权的损益为负值(-$8)。在节点B提前执行不是 明智的，此时期权价值为1.4147。在节点C，期权的价值 为$9.4636，而提前执行期权的损益为$12.0。在这种情况 下，提前执行是最佳的，因此期权的价值为$12.0。
f er t[pfu(1p)fd] （9.7）
将式（9.5）和（9.6）代入式（9.7），得到：
f e 2 r t[ p 2 f u u 2 p ( 1 p ) f u d ( 1 p ) 2 fd d ]
期权定价二叉树模型
其中，0<d<1<u
S0u3 S0u2d S0ud2 S0d3
三、单步二叉树定价模型
• 构造由 单位的股票多头和一个单位衍生 证券的空头形成的投资组合，则
• 如股票价格上升，则投资组合的价值为：
S0u fu
• 若下跌，则组合的价值为：
•
S0d fd
பைடு நூலகம்
• 如果 取特殊值，使得股价无论上升还 是下降，其价值都相等，即
S0u2
fuu
S0u
fu
S0
S0ud
f0
fud
S0d
fd
S0d2
fdd
• 基本思路:利用前述单步二叉树模型,先求 出f11和f12 ,再求出f0即可。
S0u2
fuu
S0u S0ud
fu
fud
• 推理如下：
fu e -rT2 p fuu (1 p ) fud f d e -rT2 p fud (1 p ) f dd , 代 入 得 ： f 0 e -rT1 p fu (1 p ) f d
d 可解出方程 p= a d
ud u e t d e t 其 中 ， a e rt
第三节 利用二叉树模型给美式期权定价
• 一，基本方法 • 在每个节点都将二叉树模型所计算出来
的值与提前执行所得的收益进行比较， 取较大者。 • 二、例1
• 一份2年期的美式股票看跌期权，期权执 行价格为52，当前价格为50。假设用两 步二叉树模型，每步长一年，每步股票 价格或上升20%，或下跌20%。无风险利 率为5%。见下图
其方差为：S2e2rt(e2t 1)。而在S二叉树模型下
的方差为：pS2u2 (1p)S2d2 S2pu(1p)d。故：
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33
2
1.025
30
?
27
1 0
1.025
(a)股票价格树
(b)期权价值树
(c)无风险收益树
股票价格树: 给出股票在不同阶段不同状态确 定的价格.
期权价值树: 根据股票在不同阶段不同状态确 定的价格以及期权确定的执行价格,给出期 权在相应状态的价值,其在初始状态的价值 就是要确定的期权价格.
无风险收益树: 无风险资产在不同阶段不同状 态的价格,这是进行无套利定价的标准.
期权定价二叉树模型
期权定价的二项式方法
一、定价原理 二、二项式定价的基本过程 三、期权定价的二项式公式 四、二项式定价公式推导 五、美式期权的定价
一、定价原理
无套利定价原理: 具有相同收益不同头寸的价格应该相同。
在到期日现金流完全相同的两个组合，它们 期初的现金流必定也完全相同 .
期权在到期日的执行与否是不确定的， 这种不确定性使得在到期日的收益变得不确 定,因而难于直接利用无套利原理对期权进行 定价。
令
解之得
33A227A，
A 1/ 3 ，
即该组合应由买入1/3股该股票和卖出一份
该股票的买入期权组成。无论股票的价格
是升还是降，组合在期末的价值：
33122719
3
3
• 根据无套利原理，这就要求无风险投资在 期末的收益同为9元，因而期初用于无风险 投资的资金应为：
9e0.10.258.78
• 这也应该是期初用于投资组合的资金，由 此得：
301C 8.78, C 1 0 8 .7 8 1 .2 2
3 • 买入期权的价格应该定为1.22元
三、期权定价的二项式公式
符号:
S 0 股票在期初的价格, S X 期权确定的执行价格,
u 股票价格在单个时间阶段内的上升因子
d 股票价格在单个时间阶段内的下降因子(-) R u 期权在股票价格上升状态下的收益 R d 期权在股票价格下降状态下的收益
• 首先确定应买入的股票数A使得组合在期末的收 益在两种状态(价升或价降)下都相同。
• 如果股票价格上升至33元，组合在到期日的价值 为：
33A2，
其中2是期权被执行后投资者的付出； • 如果股票价格下降至27元，期权不被执行，组合
的价值为：
27 A 。
• 在到期日这两个值应相等，且应等于无风险投资 的收益。
生成股票价格树
72.6
79.86
87.846 75.867
66
68.97
60
62.7
65.5215
57
59.565
54.15
56.5868
51.44பைடு நூலகம்5
股票价格树
48.8704
到第四阶段末，即期权的到期日，股票价格已经有 5个状态。如果我们把整个有效期分成n个阶段，那 么到期权的到期日(最后一个阶段末)，股票价格将 有n+1个可能的状态。
对上述例子的应用
u(erT1)0.1(e0.02 51)0.37342
ud
0.2
q ue rT (1 )e 0 .02 0 5.62 6 0 .651 811
qde rTe 0 .02 5 0 .37 3 0 .3 46 24
Ru 2,Rd 0
C q uR u q dR d 0 .61 1 2 1 1 .21 .21
r 年无风险收益率
T 期权的期限
期权在股票价格上升状态下的收益：
R u mS 0 a (1 x u ) { S X ,0 } 期权在股票价格下降状态下的收益 ：
R d m a x { S 0 (1 d ) S X ,0 }
构建一个组合，由买入A股股票，卖出一份 买入期权组成，要求在期权到期日无论何种 情况出现，组合的价值相同
• 期权的价格就可以利用无套利原理从这有限个确 定的股票价格(期权的收益)来进行估计.
• 时间区间分得越小, 在到期日确定的股票价格状 态越多, 计算越复杂,所得期权价格估计越接近于 真实的价格.
二、二项式定价的基本过程
设有这样一个以某股票为标的资产的3月期 欧式买入期权，股票现行的市场价格为30 元，期权确定的执行价格为31元。设已知3 个月后股票价格要么上升10%，要么下降 10%，市场的无风险利率为10%(年利率)， 试确定该期权的价格。
A 0 ( 1 S u ) R u A 0 ( 1 S d ) R d A Ru Rd
S0(u d)
根据无套利原理,买入期权的价格C应满足方
程：
S 0 A C [A 0 (1 S u ) R u ]e rT
将A代入得：
C e r[ TR d (1)R u]
erT(1u)u(erT1)
ud
ud
qu erT(`1)市场的上升状态价格因子 qd erT 市场的下降状态价格因子
CquRuqdRd
q u m S 0 ( 1 a u ) x S X , 0 } { q d m S 0 ( 1 a d ) x S X , 0 } {
上升状态价格因子和下降状态价格因子仅同股 票价格在每个阶段的上升因子、下降因子、期 权有效期(每个时段)的长短以及期权有效期内 的无风险收益率有关，而同股票价格和期权确 定的执行价格无关。
在期权价值树上进行计算
qu Ru
C
2
0.61111
1.22
qd
Rd
0.3642
0
计算期权价格的价格树(二叉树)
四个时段的情形 考虑以某一股票为标的资产、执行期限为T 的买入期权，设股票的现行价格为S0 60元， 期权确定的执行价格为 SX 6。5元 设把期权 的有效期分为时间相同的4个阶段，预计股 票价格在每阶段要么上升10%，要么下降 5%，每阶段内无风险收益率为5%, 确定期 权的价格.
• 无风险资产在每个阶段的收益率应该根据无风险资 产的年收益率及每个阶段的时间长度来确定. 在本 例中,每阶段无风险资产的收益率为： 10%/4=0.025
• 确定期权的价格 无套利定价: 考虑这样一个组合，买入A股该股票 和卖出该股票的一份买入期权组成。 要求组合在期权到期日的收益无论股票价格是升还 是降都应同无风险投资的收益相等。
为了克服这种不确定性的困难, 以便采用 无套利原理对期权进行定价:
二项式定价方法； 布莱克—舒尔斯定价方法； 蒙特卡罗模拟法。 二项式方法 (二叉树方法)的步骤具体如下：
• 把整个持有期分成若干个时间区间, 并假定在每 个时间区间内股票的价格只有上升和下降两种状 态, 且价格上升和下降的百分比也已知,这样可以 得出股票在期权到期日有限个确定的价格状态,从 而克服了不确定性.