第五章 统计推断(1)
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2检验是根据s判断抽出该样本的总体 其标准差是否等于
某一给定值。
检验程序：
(a) 确定假设H 0和H A： H 0：＝ 0；H A 有三种可能的形式： （ 1 ） 0 （2） 0 (若已知不可能小于 0 ) （3） 0 (若已知不可能大于 0 )
(b)计算检验的统计量：
1. 单个样本平均数检验
在实际研究中，常常要 检验一个样本平均数 x与已知的总体 平均数0是否有显著差异，即检 验该样本是否来自某一 已知 的总体。
已知的总体平均数一般 为一些公认的理论数值 。如畜禽正常 的生理指标、怀孕期、 生产性能指标等，都可 以样本平均数 与之比较，检验差异显 著性。
1.1 在σ已知的情况下，单个平均数的显著性 检验－u检验 检验程序：
• 两类错误之间的关系如何？
二者的区别是I型错误只有在否定H0的情况下发生，而 II型错误只有在接受H0时才会发生。 二者的联系是，在样本容量相同的情况下，I型错误减 小，II型错误就会增大；反之II型错误减小，I型错误就 会增大。比如，将显著性水平α从0.05提高到0.01，就 更容易接受H0，因此犯I型错误的概率就减小，但相应 地增加了犯II型错误的概率。
第一节 假设检验的基本步骤及原理
1. 假设检验的基本步骤
我们通过一个例子来介绍假设检验的基本步骤：
例一，已知某品种玉米 单穗重X ~ N (300,9.52 )，即单穗重 总体平均数0 300g，标准差 9.5 g。在种植过程中喷洒 了某种药剂的植株中随 机抽取9个果穗，测得平均单穗 重 x 308g，试问这种药剂对该品 种玉米的平均单穗重 有无真实影响？
• （一）提出假设
首先对样本所在的总体 作一假设。假设喷洒了 药剂的玉米单穗重 总体平均数与原来的玉米单穗重总 体平均数0之间没有真实差异， 即＝0。也就是说表面差异（ x 0）是由抽样误差造成的 。
0被称为零假设或无效假 设，记为 H0 : 0 .
所谓“零”就是指处理（药剂） 没有效果
3 双侧检验与单侧检验
在例一里，备择假设是 H A : 0。H A实际上包含了 0 或 0这两种情况，此时 水平的拒绝域为 (， u / 2 ] 和[u / 2 , )。
这种利用两个尾部进行 的检验称作双侧检验。 双侧检验的目的 在于判断与0有无差异，而不考虑 与0谁大谁小。
H 0是待检验的假设，它有 可能被接受，也有可能 被否定。 因此，需要设定一个对 立的假设，称为备择假 设。
所谓备择假设就是在零 假设被否定时，准备接 受的假设， 记为 H A : 0 .
• （二）计算概率
在假定零假设成立的前提下，根据检验统计量的分 布（第四章的内容），来计算现有样本发生的概率。
(a ) 确定假设H 0和H A： H 0：＝ 0；H A 有三种可能的形式： （ 1 ） 0 （2） 0 (若已知不可能小于 0 ) （3） 0 (若已知不可能大于 0 )
x 0 (b)计算检验的统计量： u / n
(c)求临界值并确定拒绝域 。相对于H A的不同形式，拒绝域为
(c)求临界值并确定拒绝域 。相对于H A的不同形式，拒绝域为
(1)
t / 2
t / 2
( 2)
t
(3)
t
(d )下结论
2 解：由于总体方差 0 未知，且新品种的千粒 重可能高于
也可能低于汕优 63 的千粒重，故采用双侧 t检验法。
(1)提出假设 H0 : 0 27.5 ; H A : 27.5
(2)计算检验统计量的值 s2 x
2
( x ) 2 / n n 1
2
97635 (987) 2 / 10 24.23 9
2
(n 1) s
2
9 24.23 1.11 196
(3)求出临界值，确定拒绝 域。
2
(n 1) s 2
2
, 它服从自由度为 n 1
的卡方分布
(c)求临界值并确定拒绝域 。相对于H A的不同形式，拒绝域为
(1)
12 / 2
2 /2
( 2)
2
(3)
(d )下结论
12
解：由于这是单样本变 异性检验，故采用 2检验法。
(1) 提出假设 H0 : 0 14 ; H A : 0 14
(1)
u / 2
u / 2
( 2)
u
(3)
u
(d )下结论
2 解：由于总体方差 0 已知，且新品种的鲜果 穗重可能高于
也可能低于原品种，故 采用双侧u检验。
(1)提出假设 H0 : 0 216.5 ; H A : 216.5
(2)计算检验统计量的值 x 255.0 185.0 278.5 x 227.9( g ) n 8
但在有些情况下，双侧 检验不一定符合实际情 况。如采用 某种新的配套技术措施 以提高鸡的产蛋量，已 知此种技术 不会降低产蛋量。此时 ，若进行新技术与常规 技术的比较， 零假设仍为H 0 : 0，而备择假设应为 H A : 0，即新 技术提高产蛋量。
• 双侧检验与单侧检验的选择：应根据专业 知识在试验设计时就确定。
II型错误的概率记为β ，其数值依据真实差异的程 H0不正确
否定H0
接受H0
I型错误（α）
推断正确（1－α）
推断正确（1－β ） II型错误（β ）
• 如何降低两类错误的概率？
一般通过增加样本含量n，获得更多的关于总体的信 息，从而降低推断中可能出现的错误的概率。
(2)计算检验统计量的值 x 32.5 28.6 29.7 x 29.255( g ) n 9
s
x
2
( x) 2 / n n 1
(32.52 29.7 2 ) (263.3) 2 / 9 2.587 9 1
x 0 29.255 27.5 t 2.036 s/ n 2.587/ 9
x 0 227.9 216.5 u 0.712 0 / n 45.2 / 8
(3)求出双侧临界值，确定 拒绝域。＝0.05
u u0.025 1.96
2
(4)下结论。因统计量 u 0.712没有落在拒绝域内，我 们不否定 H 0，因此新品种与苏玉糯 1号鲜果穗重差异不显著 。
第五章 统计推断
由样本推断总体得过程叫统计推断。统计推断能排 除试验误差得影响，揭示事物的内在规律。
假设检验
对总体的参数预先提出 一个假设， 如＝3.6， 2＝4.5等，然后通过样本 数据去推断这个假设是 否可以接受。
统
（显著性检验）
计
推
断
参数估计
通过样本统计量去直接 估计参数， 如用样本平均数 x去估计等。 这在下一章里讨论。
1.2 在σ未知的情况下，单个平均数的显著性 检验－t检验 检验程序：
(a ) 确定假设H 0和H A： H 0：＝ 0；H A 有三种可能的形式： （ 1 ） 0 （2） 0 (若已知不可能小于 0 ) （3） 0 (若已知不可能大于 0 )
x 0 (b)计算检验的统计量： t s/ n
u / 2
u / 2
• 注意：假设检验选用的显著性水平应根据 实验的要求而定。
• 如果实验中难以控制的因素很多，试验精度不是很高，则 显著性水平α的值可稍大点； • 如果实验的精度很高，真实差异不容易被误差所掩盖，处 理的作用容易被检验出来，这时显著性水平α可适当取小 些。
• 无论如何，显著性水平α的值必须在实验开 始前就已经确定下来。
• 一般若事先不知道所比较的两个处理效果谁好谁 坏，分析的目的在于推断两个处理之间有无显著 差异，则选用双侧检验；
• 若根据理知识或实践经验判断甲处理的效果不会 比乙处理的效果差，分析的目的在于推断甲处理 是否真的比乙处理号，这时应用单侧检验
4 两类错误
假设检验可能发生两类错误：I型错误与II型错误。
从第（二）步概率计算中得到，在H0成立的假设下，观察到现有样本 的概率是0.014。如果我们把小概率标准定为0.05（也称为显著性水 平），那么现有样本的发生是小概率事件，根据小概率事件实际不可 能原理，是不可能得到现有样本的。
但是，在我们的实验中确实得到了现有的样本，这只能说明H0成立 的前提是错误的。因此，我们在显著性水平为0.05的情况下，否定 H0，而接受HA。所以这种药剂对玉米单穗重有显著的影响。
(3) 求出双侧临界值，确定 拒绝域。 df n 1 8时, ＝0.05的双侧临界值 t / 2 2.306
查表 4 a
2.306
2.306
(4)下结论。因统计量 t 2.036没有落在拒绝域内，我 们不否定 H 0，因此新品种的千粒重 与汕优63没有显著差异。
2 单个样本的方差检验－χ2检验
本例的u的尾区概率： P(| u | 2.526) 2P(u 2.526) 2 0.00570 0.0114 1.14%
• （三）统计推断（下结论）
若随机事件的概率很小，例如小于0.05或0.01，称之为小概率事件
小概率事件不可能原理：小概率事件在一次试验中 实际上是不可能发生的。
I型错误：H0实际上是正确的，但假设检验的结果却 否定H0。通俗地讲，就是没有差异说成了有差异。
以例一为例。假如H0是正确的，由于抽样的随机性， 仍有一部分样本的u值会落在拒绝域内，利用这些样本 作假设检验就会拒绝H0，从而犯下I型错误。 由于拒绝域的面积为α，所以I型错误的概率约为α。
II型错误：H0实际上是错误的，但假设检验的结果却 接受H0。通俗地讲，就是有差异说成了没有差异。
本例是在假定 H 0 : 0 300 的前提下，研究得到这 个样本的 概率。从样本平均数的 抽样分布入手。
2 第四章里讲到： x ~ N ( x , x ), 其中 x , x
n
所以，u
x x
x
x ~ N (0,1) / n
在本题中， x 308, 300, 9.5, n 9, 带入上式得到
这一推断过程等同于将 u 2.562 同 0.05的
u (双侧) u / 2 1.96
双侧临界值 u （双侧）＝u / 2 1.96相比较： 因为2.562 1.96, 所以我们否定 H0
因为检验统计量 u落在拒绝域内，我们否 定H 0 而接受H A，这种途径称为临界值 途径，它与 前面的尾区概率途径是 等同的。
308 300 从本题中样本观察到的 u 2.526 9.5 / 9
现有样本发生的可能性可以以u的尾 区概率来衡量：越靠近平均数，则尾区
现有样本 u 2.526
面积越大，越容易发生。
尾区概率也可以理解成观察到比现 有样本更为极端的样本的概率，即
尾区概率
P( |u|>2.526 )
如果尾区概率小，则说明不容易再观察 到比现有样本更为极端的情形，也就是 说明现有样本本身就很极端，即它发生 的可能性就小。
本例利用了U分布来估计| u | 2.562的尾区概率，所以称为 u检验。 x 0 u 称为检验统计量。 / n
2. 显著性水平
用来否定或接受零假设的小概率标准称为显著性水平，记 为α。在生物学研究中，常取α＝0.05，称为显著；或α＝ 0.01，称为极显著。
在例一中， 0.05 ，因为尾区概率 P(| u | 2.562) 0.014 ，所以否定H0。
5 总结：假设检验的基本程序
（a）根据题意，书写零假设H0和备择假设HA （b）确定检验所需的统计量，如u统计量，t统计量等，并计 算其数值 （c）根据备择假设确定拒绝域 （d）如果统计量的值落在拒绝域内，则否定H0接受HA，如果 统计量的值落在拒绝域外，则不否定H0
第二节 单个样本的统计假设检验
某一给定值。
检验程序：
(a) 确定假设H 0和H A： H 0：＝ 0；H A 有三种可能的形式： （ 1 ） 0 （2） 0 (若已知不可能小于 0 ) （3） 0 (若已知不可能大于 0 )
(b)计算检验的统计量：
1. 单个样本平均数检验
在实际研究中，常常要 检验一个样本平均数 x与已知的总体 平均数0是否有显著差异，即检 验该样本是否来自某一 已知 的总体。
已知的总体平均数一般 为一些公认的理论数值 。如畜禽正常 的生理指标、怀孕期、 生产性能指标等，都可 以样本平均数 与之比较，检验差异显 著性。
1.1 在σ已知的情况下，单个平均数的显著性 检验－u检验 检验程序：
• 两类错误之间的关系如何？
二者的区别是I型错误只有在否定H0的情况下发生，而 II型错误只有在接受H0时才会发生。 二者的联系是，在样本容量相同的情况下，I型错误减 小，II型错误就会增大；反之II型错误减小，I型错误就 会增大。比如，将显著性水平α从0.05提高到0.01，就 更容易接受H0，因此犯I型错误的概率就减小，但相应 地增加了犯II型错误的概率。
第一节 假设检验的基本步骤及原理
1. 假设检验的基本步骤
我们通过一个例子来介绍假设检验的基本步骤：
例一，已知某品种玉米 单穗重X ~ N (300,9.52 )，即单穗重 总体平均数0 300g，标准差 9.5 g。在种植过程中喷洒 了某种药剂的植株中随 机抽取9个果穗，测得平均单穗 重 x 308g，试问这种药剂对该品 种玉米的平均单穗重 有无真实影响？
• （一）提出假设
首先对样本所在的总体 作一假设。假设喷洒了 药剂的玉米单穗重 总体平均数与原来的玉米单穗重总 体平均数0之间没有真实差异， 即＝0。也就是说表面差异（ x 0）是由抽样误差造成的 。
0被称为零假设或无效假 设，记为 H0 : 0 .
所谓“零”就是指处理（药剂） 没有效果
3 双侧检验与单侧检验
在例一里，备择假设是 H A : 0。H A实际上包含了 0 或 0这两种情况，此时 水平的拒绝域为 (， u / 2 ] 和[u / 2 , )。
这种利用两个尾部进行 的检验称作双侧检验。 双侧检验的目的 在于判断与0有无差异，而不考虑 与0谁大谁小。
H 0是待检验的假设，它有 可能被接受，也有可能 被否定。 因此，需要设定一个对 立的假设，称为备择假 设。
所谓备择假设就是在零 假设被否定时，准备接 受的假设， 记为 H A : 0 .
• （二）计算概率
在假定零假设成立的前提下，根据检验统计量的分 布（第四章的内容），来计算现有样本发生的概率。
(a ) 确定假设H 0和H A： H 0：＝ 0；H A 有三种可能的形式： （ 1 ） 0 （2） 0 (若已知不可能小于 0 ) （3） 0 (若已知不可能大于 0 )
x 0 (b)计算检验的统计量： u / n
(c)求临界值并确定拒绝域 。相对于H A的不同形式，拒绝域为
(c)求临界值并确定拒绝域 。相对于H A的不同形式，拒绝域为
(1)
t / 2
t / 2
( 2)
t
(3)
t
(d )下结论
2 解：由于总体方差 0 未知，且新品种的千粒 重可能高于
也可能低于汕优 63 的千粒重，故采用双侧 t检验法。
(1)提出假设 H0 : 0 27.5 ; H A : 27.5
(2)计算检验统计量的值 s2 x
2
( x ) 2 / n n 1
2
97635 (987) 2 / 10 24.23 9
2
(n 1) s
2
9 24.23 1.11 196
(3)求出临界值，确定拒绝 域。
2
(n 1) s 2
2
, 它服从自由度为 n 1
的卡方分布
(c)求临界值并确定拒绝域 。相对于H A的不同形式，拒绝域为
(1)
12 / 2
2 /2
( 2)
2
(3)
(d )下结论
12
解：由于这是单样本变 异性检验，故采用 2检验法。
(1) 提出假设 H0 : 0 14 ; H A : 0 14
(1)
u / 2
u / 2
( 2)
u
(3)
u
(d )下结论
2 解：由于总体方差 0 已知，且新品种的鲜果 穗重可能高于
也可能低于原品种，故 采用双侧u检验。
(1)提出假设 H0 : 0 216.5 ; H A : 216.5
(2)计算检验统计量的值 x 255.0 185.0 278.5 x 227.9( g ) n 8
但在有些情况下，双侧 检验不一定符合实际情 况。如采用 某种新的配套技术措施 以提高鸡的产蛋量，已 知此种技术 不会降低产蛋量。此时 ，若进行新技术与常规 技术的比较， 零假设仍为H 0 : 0，而备择假设应为 H A : 0，即新 技术提高产蛋量。
• 双侧检验与单侧检验的选择：应根据专业 知识在试验设计时就确定。
II型错误的概率记为β ，其数值依据真实差异的程 H0不正确
否定H0
接受H0
I型错误（α）
推断正确（1－α）
推断正确（1－β ） II型错误（β ）
• 如何降低两类错误的概率？
一般通过增加样本含量n，获得更多的关于总体的信 息，从而降低推断中可能出现的错误的概率。
(2)计算检验统计量的值 x 32.5 28.6 29.7 x 29.255( g ) n 9
s
x
2
( x) 2 / n n 1
(32.52 29.7 2 ) (263.3) 2 / 9 2.587 9 1
x 0 29.255 27.5 t 2.036 s/ n 2.587/ 9
x 0 227.9 216.5 u 0.712 0 / n 45.2 / 8
(3)求出双侧临界值，确定 拒绝域。＝0.05
u u0.025 1.96
2
(4)下结论。因统计量 u 0.712没有落在拒绝域内，我 们不否定 H 0，因此新品种与苏玉糯 1号鲜果穗重差异不显著 。
第五章 统计推断
由样本推断总体得过程叫统计推断。统计推断能排 除试验误差得影响，揭示事物的内在规律。
假设检验
对总体的参数预先提出 一个假设， 如＝3.6， 2＝4.5等，然后通过样本 数据去推断这个假设是 否可以接受。
统
（显著性检验）
计
推
断
参数估计
通过样本统计量去直接 估计参数， 如用样本平均数 x去估计等。 这在下一章里讨论。
1.2 在σ未知的情况下，单个平均数的显著性 检验－t检验 检验程序：
(a ) 确定假设H 0和H A： H 0：＝ 0；H A 有三种可能的形式： （ 1 ） 0 （2） 0 (若已知不可能小于 0 ) （3） 0 (若已知不可能大于 0 )
x 0 (b)计算检验的统计量： t s/ n
u / 2
u / 2
• 注意：假设检验选用的显著性水平应根据 实验的要求而定。
• 如果实验中难以控制的因素很多，试验精度不是很高，则 显著性水平α的值可稍大点； • 如果实验的精度很高，真实差异不容易被误差所掩盖，处 理的作用容易被检验出来，这时显著性水平α可适当取小 些。
• 无论如何，显著性水平α的值必须在实验开 始前就已经确定下来。
• 一般若事先不知道所比较的两个处理效果谁好谁 坏，分析的目的在于推断两个处理之间有无显著 差异，则选用双侧检验；
• 若根据理知识或实践经验判断甲处理的效果不会 比乙处理的效果差，分析的目的在于推断甲处理 是否真的比乙处理号，这时应用单侧检验
4 两类错误
假设检验可能发生两类错误：I型错误与II型错误。
从第（二）步概率计算中得到，在H0成立的假设下，观察到现有样本 的概率是0.014。如果我们把小概率标准定为0.05（也称为显著性水 平），那么现有样本的发生是小概率事件，根据小概率事件实际不可 能原理，是不可能得到现有样本的。
但是，在我们的实验中确实得到了现有的样本，这只能说明H0成立 的前提是错误的。因此，我们在显著性水平为0.05的情况下，否定 H0，而接受HA。所以这种药剂对玉米单穗重有显著的影响。
(3) 求出双侧临界值，确定 拒绝域。 df n 1 8时, ＝0.05的双侧临界值 t / 2 2.306
查表 4 a
2.306
2.306
(4)下结论。因统计量 t 2.036没有落在拒绝域内，我 们不否定 H 0，因此新品种的千粒重 与汕优63没有显著差异。
2 单个样本的方差检验－χ2检验
本例的u的尾区概率： P(| u | 2.526) 2P(u 2.526) 2 0.00570 0.0114 1.14%
• （三）统计推断（下结论）
若随机事件的概率很小，例如小于0.05或0.01，称之为小概率事件
小概率事件不可能原理：小概率事件在一次试验中 实际上是不可能发生的。
I型错误：H0实际上是正确的，但假设检验的结果却 否定H0。通俗地讲，就是没有差异说成了有差异。
以例一为例。假如H0是正确的，由于抽样的随机性， 仍有一部分样本的u值会落在拒绝域内，利用这些样本 作假设检验就会拒绝H0，从而犯下I型错误。 由于拒绝域的面积为α，所以I型错误的概率约为α。
II型错误：H0实际上是错误的，但假设检验的结果却 接受H0。通俗地讲，就是有差异说成了没有差异。
本例是在假定 H 0 : 0 300 的前提下，研究得到这 个样本的 概率。从样本平均数的 抽样分布入手。
2 第四章里讲到： x ~ N ( x , x ), 其中 x , x
n
所以，u
x x
x
x ~ N (0,1) / n
在本题中， x 308, 300, 9.5, n 9, 带入上式得到
这一推断过程等同于将 u 2.562 同 0.05的
u (双侧) u / 2 1.96
双侧临界值 u （双侧）＝u / 2 1.96相比较： 因为2.562 1.96, 所以我们否定 H0
因为检验统计量 u落在拒绝域内，我们否 定H 0 而接受H A，这种途径称为临界值 途径，它与 前面的尾区概率途径是 等同的。
308 300 从本题中样本观察到的 u 2.526 9.5 / 9
现有样本发生的可能性可以以u的尾 区概率来衡量：越靠近平均数，则尾区
现有样本 u 2.526
面积越大，越容易发生。
尾区概率也可以理解成观察到比现 有样本更为极端的样本的概率，即
尾区概率
P( |u|>2.526 )
如果尾区概率小，则说明不容易再观察 到比现有样本更为极端的情形，也就是 说明现有样本本身就很极端，即它发生 的可能性就小。
本例利用了U分布来估计| u | 2.562的尾区概率，所以称为 u检验。 x 0 u 称为检验统计量。 / n
2. 显著性水平
用来否定或接受零假设的小概率标准称为显著性水平，记 为α。在生物学研究中，常取α＝0.05，称为显著；或α＝ 0.01，称为极显著。
在例一中， 0.05 ，因为尾区概率 P(| u | 2.562) 0.014 ，所以否定H0。
5 总结：假设检验的基本程序
（a）根据题意，书写零假设H0和备择假设HA （b）确定检验所需的统计量，如u统计量，t统计量等，并计 算其数值 （c）根据备择假设确定拒绝域 （d）如果统计量的值落在拒绝域内，则否定H0接受HA，如果 统计量的值落在拒绝域外，则不否定H0
第二节 单个样本的统计假设检验