人教版九年级数学讲义垂径定理(含解析)(2020年最新)

第11讲垂径定理

知识定位

讲解用时：3分钟

A、适用范围：人教版初三，基础一般

B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要学习垂径定

理及其相关推论，着重理解垂径定理及其相关推论在实际问题以及几何图形中的

应用，掌握关于垂径定理部分题型的常见辅助线的做法，能够结合勾股定理进行熟练计算。本节课的难点是垂径定理及其推论在几何图形中的应用，涉及的知识点较多，考查的内容较广，具有一定的综合性。希望同学们认真学习，为后面圆

的其他内容理解奠定良好基础。

知识梳理

讲解用时：15分钟

垂径定理及其推论

（1）垂径定理

如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平

分这条弦所对的弧。

（2）相关推论

①如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这

条弦，并且平分这条弦所对的弧；

①如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦；

①如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平

分这条弦所对的弧；

①如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，

并且垂直于这条弦；

①如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线

经过圆心，并且平分这条弦。

总结：在圆中，对于某一条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果有两组关系成立，那么其余两组关

系也成立。

课堂精讲精练

【例题1】

下列判断中，正确的是（）。

A．平分一条弦所对的弧的直线必垂直于这条弦

B．不与直径垂直的弦不能被该直径平分

C．互相平分的两条弦必定是圆的两条直径

D．同圆中，相等的弦所对的弧也相等

【答案】C

【解析】本题考查了垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理

同时平分一条弦所对优弧、劣弧的直线必垂直于这条弦，故A错误；

任意两条直径互相平分，故B错误；

同圆中，相等的弦所对的优弧、劣弧分别相等，故D错误。

讲解用时：3分钟

解题思路：根据垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理逐项排除。

教学建议：基本概念题，逐项排除。

难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018

【练习1】

下列说法正确的个数是（）。

①垂直于弦的直线平分弦；①平分弦的直线垂直于弦；①圆的对称轴是直径；①圆的对称轴有无数条；①在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦所对

的优弧和劣弧分别相等。

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】B

【解析】本题主要考查了垂径定理以及圆的基本性质，

①垂直于弦的直径平分弦；故错误；

①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦；故错误；

①圆的对称轴是直径所在的直线；故错误；

①圆的对称轴有无数条；故正确；

①在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦所对的优弧和劣弧分别相等，故正确，故选：B．

讲解用时：7分钟

解题思路：根据垂径定理，轴对称图形的性质以及圆的性质分别判断得出答案即可。

教学建议：基本概念题，逐项排除。

难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：香坊区校级月考年份：2016秋

【例题2】

如图，AB是①Ｏ的一条弦，直径CD①AB于点E，若AB=24，CD=26，则DE 的长度是（）。

A．5B．6 C．7 D．8

【答案】D

【解析】本题考查了垂径定理和勾股定理，

设DE为x，连接OA，

①CD是①Ｏ的直径，弦AB①CD于点E，AB=24，

①①AEO=90°，AE=EB=12，

由勾股定理得：OA2=AE2+OE2，

132=122+（13﹣x）2，解得：x=8，

则DE的长度是8，故选：D．

讲解用时：3分钟

解题思路：连接OA，根据垂径定理求出AE，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可。

教学建议：求出AE=EB是解此题的关键。

难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：涪城区模拟年份：2018 【练习2】

如图，①Ｏ过点B 、C ，圆心O 在等腰Rt ①ABC 的内部，①BAC=90°，OA=2，BC=8．则①Ｏ的半径为（）A ．

5

B ．5

C ．5

2D ．6

【答案】C

【解析】此题考查了垂径定理，勾股定理，以及等腰三角形的性质，

延长AO 交BC 于点D ，连接OB ，由对称性及等腰Rt ①ABC ，得到AD ①BC ，①Ｄ为BC 的中点，即BD=CD=

2

1BC=4，AD=

21BC=4，

①OA=2，①OD=AD ﹣OA=4﹣2=2，

在Rt ①BOD 中，根据勾股定理得：OB=52，则圆的半径为52，故选：C ．讲解用时：5分钟

解题思路：延长AO 于BC 交于点D ，连接OB ，由对称性及三角形ABC 为等腰直角三角形，得到AD 与BC 垂直，根据三线合一得到D 为BC 的中点，利用直

角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到

AD 为BC 的一半，求出AD 的长，由

AD ﹣OA 求出OD 的长，再利用垂径定理得到D 为BC 的中点，求出BD 的长，

在直角三角形BOD 中，利用勾股定理求出

OB 的长，即为圆的半径

教学建议：根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键。难度：3

适应场景：当堂练习

例题来源：相山区四模

年份：2018

【例题3】

如图，①Ｏ的直径为10，弦AB=8，P 是弦AB 上一动点，那么OP 长的取值范围是

。

【答案】3≤OP ≤５

【解析】本题考查了垂径定理和勾股定理的综合应用，

如图：连接OA ，作OM ①AB 与M ，①①Ｏ的直径为10，①半径为5，