人教A版2020届高考数学二轮复习讲义：三角函数
2020高考文科数学(人教A版)总复习课件：第四章 三角函数、解三角形4.2
������
≠
π 2
+
������π,������∈Z
.
一
二三四五六
角
正弦 余弦 正切
2kπ+α (k∈Z) sin α cos α
tan α
π+α -α
π-α
π2-α
π 2
+α
-sin α -sin α sin α cos α cos α
-cos α cos α -cos α sin α -sin α
= t1a-nt2a���n���+2���1��� .
cos2������
∵tan α=-43,
∴1
cos2������-sin2������
=
tan2������+1 1-tan2������
=
(1-43-()-243+)21=-275.
考点一
第四章
考点二
考点三
4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式
=
1 5
,
①
sin2������ + cos2������ = 1.②
由①得 cos α=15-sin α,将其代入②,
整理得 25sin2α-5sin α-12=0.
解得 sin α=45或 sin α=-35.
∵α∈(0,π),∴sin α=45,cos α=-35. ∴tan α=-43.
第四章
4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式
必备知识·预案自诊
关关键键能能力力··学学案案突突破破
-10-
法三:设角 α 终边上任一点的坐标为(x,y),
∵sin α+cos α=15,
∴ ������ +
人教A版2020届高考数学二轮复习讲义及题型归纳(中档)：极坐标与参数方程
目录目录 (1)一、总论 (2)二、考纲解读 (2)三、命题趋势探究 (2)四、知识讲解 (3)1.极坐标系 (3)2.极坐标与直角坐标的互化 (3)3.极坐标的几何意义 (3)4.直线的参数方程 (4)5.圆的参数方程 (4)6.椭圆的参数方程 (5)7.双曲线的参数方程 (5)8.抛物线的参数方程 (5)五、解答题题型归纳 (5)核心考点1: 参数方程与普通方程、极坐标系与直角坐标系的互化 (5)核心考点2: 参数方程中参数的几何意义 (16)一、总论坐标系与参数方程它以函数、方程等知识点为载体，渗透着换元、化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．近几年的数学高考中频频出现参数的几何意义问题，其形式逐渐多样化，但只要知其本质，便可举一反三，金枪不倒.二、考纲解读1.理解坐标系的作用.2.了解在直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.3.能在极坐标中用极坐标表示点的位置.理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.4.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.5.了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中的点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置方法相比较，了解它们的区别.6.了解参数方程,了解参数的意义.7.能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.8.掌握参数方程化普通方程的方法.三、命题趋势探究本章是新课标新增内容，属选考内容，在高考中可能有所体现.参数方程是解析几何、平面向量、三角函数、圆锥曲线与方程等知识的综合应用和进一步深化，是研究曲线的工具之一，值得特别关注.四、知识讲解1.极坐标系在平面上取一个定点O，由点O出发的一条射线Ox、一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.点O称为极点，Ox称为极轴.平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ(弧度制)来刻画(如图1和图2所示).这两个实数组成的有序实数对(,)ρθ称为点M的极坐标. ρ称为极径，θ称为极角.2.极坐标与直角坐标的互化设M为平面上的一点，其直角坐标为(,)x y，极坐标为(,)ρθ，由图16-31和图16-32可知，下面的关系式成立:cossinxyρθρθ=⎧⎨=⎩或222tan(0)x yyxxρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩（对0ρ<也成立）.3.极坐标的几何意义rρ=——表示以O为圆心，r为半径的圆；θθ=——表示过原点(极点)倾斜角为θ的直线，(0)θθρ=≥为射线；2cosaρθ=表示以(,0)a为圆心过O点的圆.图1图2(可化直角坐标: 22cosaρρθ=222x y ax⇒+=222()x a y a⇒-+=.)4.直线的参数方程直线的参数方程可以从其普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为00()y y k x x-=-，其中tan(kαα=为直线的倾斜角)，代人点斜式方程: 00sin()()cos2y y x xαπαα-=-≠,即00cos sinx x y yαα--=.记上式的比值为t,整理后得0cost sinx x ty yαα=+⎧⎨=+⎩,2πα=也成立，故直线的参数方程为cost sinx x ty yαα=+⎧⎨=+⎩(t为参数，α为倾斜角，直线上定点000(,)M x y，动点(,)M x y，t为M M 的数量，向上向右为正(如图3所示).5.圆的参数方程若圆心为点00(,)M x y，半径为r，则圆的参数方程为0cos(02)sinx x ry y rθθπθ=+⎧≤≤⎨=+⎩.图36.椭圆的参数方程椭圆2222C :1x y a b +=的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，(02)θπ≤≤）.7.双曲线的参数方程双曲线2222C :1x y a b -=的参数方程为sec tan x a y b θθ=⎧⎨=⎩(,)2k k πθπ≠+∈Z .8.抛物线的参数方程抛物线22y px =的参数方程为222x pt y pt⎧=⎨=⎩（t 为参数，参数t 的几何意义是抛物线上的点与顶点连线的斜率的倒数）.五、解答题题型归纳核心考点1: 参数方程与普通方程、极坐标系与直角坐标系的互化 1.在极坐标系中，圆4sin ρθ=的圆心到直线6πθ=(ρ∈R )的距离是 .极坐标系中的圆4sin ρθ=转化为平面直角坐标系中的一般方程为224x y y +=，即22(2)4x y +-=，其圆心为(0,2)，直线6πθ=转化为平面直角坐标系中的方程为：3y x =，即0x -= .圆心(0,2)到直线0x =的距离为=2. 已知曲线12,C C 的极坐标方程分别为cos 3ρθ=，4cos ρθ=，(0,0)2πρθ≥≤<，则曲线1C 与2C 交点的极坐标为 .解析 解法一：1C x =3：，22:4cos C ρρθ=，得2240,,02x y x πθρ⎛⎫⎡⎫+=∈≥⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭（圆在第一象限的部分）。
2020年高三数学第二轮复习讲义 三角函数 理
三角函数1．了解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；2．掌握三角函数的公式（同角三角函数基本关系式、诱导公式、和、差角及倍角公式） 3．能正确运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和条件等式及恒等式的证明． 4． 掌握正弦定理、余弦定理，运用它们解三角形 1. 平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1，1＋tan 2α＝ ， 2．sin(α±β)＝sinα cosβ±cosα sinβ cos(α±β)＝ ; tan(α±β)＝ . 3．倍角公式sin2α＝ ；cos2α＝ ＝ ＝ ； tan2α＝ . 类型一：求值例1. 已知tan α=2,求下列各式的值： （1）ααααcos 9sin 4cos 3sin 2--; （2） 4sin 2α-3sin αcos α-5cos 2α.变式训练1. 已知－02<<x π，sin x ＋cos x ＝51． （1）求sin x －cos x 的值．（2）求xxx tan 1sin 22sin 2-+的值．类型二：化简 例2. 化简：140cos 40cos 2)40cos 21(40sin 2-︒+︒︒+︒变式训练2.化简［2sin50°+sin10°(1+3tan10°)］·ο80sin 22类型三：角的变换例3. 已知α∈(4π，43π)，β∈(0，4π),cos (α－4π)＝53，sin(43π＋β)＝135，求sin(α＋β)的值．变式训练3：设cos （α－2β）=－91，sin （2α－β）=32，且2π＜α＜π，0＜β＜2π，求cos （α+β）.类型四：求解析式例4：已知函数()b a x x a x a x f++--=2cos sin 322cos 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，，值域为 [ －5，1 ]，则常数a 、b 的值分别是 ．变式训练4： 如图为y=Asin(ωx+ϕ)的图象的一段，求其解析式.类型五：求最值例5：设函数a x x x x f ++=ϖϖϖcos sin cos 3)(2（其中ω>0，a ∈R），且f(x)的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6π． （1）求ω的值； （2）如果)(x f 在区间]65,3[xπ-的最小值为3，求a 的值．变式训练5：求下列函数的值域： （1）y=xxx cos 1sin 2sin -;（2）y=sinx+cosx+sinxcosx; （3）y=2cos )3(x +π+2cosx.类型六：求单调区间例6：已知函数f (x )＝)0,0)(cos()sin(3><<+-+ωϕϕωϕωπx x 为偶函数，且函数y＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为.2π （Ⅰ）求f （8π）的值； （Ⅱ）将函数y ＝f (x )的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间.变式训练6：已知函数22()sin cos 2cos ,.f x x x x x x R =+∈ （I ）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；（II ）函数()f x 的图象可以由函数sin 2()y x x R =∈的图象经过怎样的变换得到？类型七：三角与不等式例7：设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a Bb Ac -=． （Ⅰ）求tan cot A B 的值；（Ⅱ）求tan()A B -的最大值．变式训练7：（Ⅰ）在ABC ∆中，已知,sin232cos sin 2cossin 22B AC C A =+ （1）求证：c b a ,,成等差数列；（2）求角B 的取值范围.类型八：三角应用题例8：某观测站C 在城A 的南20˚西的方向上，由A 城出发有一条公路，走向是南40˚东，在C 处测得距C 为31千米的公路上B 处有一人正沿公路向A 城走去，走了20千米后，到达D 处，此时C 、D 间距离为21千米，问这人还需走多少千米到达A 城？变式训练8：如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点A ，B 及CD 的中点P 处．AB ＝20km ，BC ＝10km ．为了处理这三家工厂的污水，计划在矩形区域内（含边界）且与A ，B 等距的O 点建污水处理厂，并铺设三条排污管道AO ，BO ，PO ．记铺设管道的总长度为y km ． （1）按下列要求建立函数关系式： （i ）设BAD θ∠=（rad ），将y 表示成θ的函数； （ii ）设OP x =（km ），将y 表示成x 的函数；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂O 的位置，使三条污水管道的总长度最短．三角函数章节测试题一、选择题1． 若f(sinx)＝3－cos2x ，则f(cosx)＝ （ ）A ．3－cos2xB ．3－sin2xC ．3＋cos2xD ．3＋sin2xA BC D O P2． 设a>0，对于函数)0(sin sin )(π<<+=x xax x f ，下列结论正确的是 （ ） A ．有最大值而无最小值 B ．有最小值而无最大值 C ．有最大值且有最小值 D ．既无最大值又无最小值 3． 函数f(x)＝xxcos 2cos 1- （ ）A ．在[0，2π]、⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ,2上递增，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡23,ππ、⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ2,23上递减 B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡20π，、⎥⎦⎤ ⎝⎛23ππ，上递增，在⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ,2、⎥⎦⎤⎝⎛ππ223，上递减 C ．在⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ，2、⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ223，上递增，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡20π，、⎥⎦⎤ ⎝⎛23ππ， 上递减D ．在⎪⎭⎫⎢⎣⎡23,ππ、⎥⎦⎤⎝⎛ππ2,23上递增，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡20π，、⎥⎦⎤⎝⎛ππ,2上递减 4． y ＝sin(x －12π)·cos(x－12π)，正确的是 （ ）A ．T ＝2π，对称中心为(12π，0)B ．T ＝π，对称中心为(12π，0) C ．T ＝2π，对称中心为(6π，0) D ．T ＝π，对称中心为(6π，0) 5． 把曲线y cosx ＋2y －1＝0先沿x 轴向右平移2π，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程为 （ ）A ．(1－y)sinx ＋2y －3＝0B ．(y －1)sinx ＋2y －3＝0C ．(y ＋1)sinx ＋2y ＋1＝0D ．－(y ＋1)sinx ＋2y ＋1＝06．已知，函数y ＝2sin(ωx＋θ)为偶函数(0＜θ＜π) 其图象与直线y ＝2的交点的横坐标为x 1，x 2，若| x 1－x 2|的最小值为π，则 （ ） A ．ω＝2，θ＝2π B ．ω＝21，θ＝2π C ．ω＝21，θ＝4πD ．ω＝2，θ＝4π 二、填空题7． 已sin(4π－x)＝53，则sin2x 的值为 。
人教A版2020届高考数学二轮复习解答题题型归纳：导数与切线(基础)
解答题题型总结 一:导数与切线1．直线y m =分别与曲线()21y x =+，与ln y x x =+交于点,A B ，则AB 的最小值为（ ）A.324 B. 2 C. 3 D. 32【答案】D【解析】由题意可知，当过点B 的切线与()21y x =+平行时，|AB|取得最小值。
为此对ln y x x =+进行求导得11y x'=+，令2y '=，解得1x =，代入ln y x x =+，知1y =，所以当BC 取到最小值时，m=1，所以A(12-,1),B(1,1),易知13122AB ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，故选D2．已知函数()3110sin 6f x x x =+在0x =处的切线与直线0nx y -=平行，则二项式()()211nx x x ++-展开式中4x 的系数为（ ）A. 120B. 135C. 140D. 100 【答案】B【解析】由题()2110cos 2f x x x =+' ，则函数()3110sin 6f x x x =+在0x =处切线的斜率为()21010cos00102f '=+⨯=，又切线与直线0nx y -=平行，故10n = ，则二项式()()10211x x x ++-展开式中4x 的系数可由如下得到：21039210111111x x x x x x x x ++-=--∴++-Q （）（）（）（）（）（） 展开式中含4x 的系数为91x -（） 的含x 4的系数加上其含x 的系数91x -Q （） 展开式的通项为19r r r T C x +=-（） 令41r =，分别得展开式含4x x ， 项的系数为C 94，C 91，故()()10211x x x ++-展开式中4x 的系数为4199135C C += ， 故选B ．3．已知()()()4201xf x a x x x =-+>+，若曲线()f x 上存在不同两点,A B ，使得曲线()f x 在点,A B 处的切线垂直，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()3,3- B. ()2,2- C. ()3,2- D. ()2,3- 【答案】A【解析】由()()421x f x a x x =-++，得()()2421f x a x '=-++． ∵0x >，∴()22a f x a '-<<+．设()()1122,,,A x y B x y ，则两切线的斜率为()()1122,k f x k f x ==''， 则1222,22a k a a k a -<<+-<<+且121k k =-，可得()()20{20221a a a a -<+>-+<-，解得33a -<<．故实数a 的取值范围是()3,3-．选A ．4．已知a ，b ，c ∈R ，且满足b 2+c 2=1，如果存在两条互相垂直的直线与函数f （x ）=ax+bcosx+csinx 的图象都相切，则a+23b c +的取值范围是（ ）A. [﹣2，2]B. 5,5⎡⎤-⎣⎦C. 6,6⎡⎤-⎣⎦D. 22,22⎡⎤-⎣⎦【答案】B【解析】∵函数()22cos sin ,1f x ax b x c x b c =+++=， ∴()()cos sin sin f x a c x b x a x ϕ=+-'=--，其中tan c bϕ=， 则()[]1,1f x a a ∈-+'，若存在两条互相垂直的直线与函数()cos sin f x ax b x c x =++的图象都相切，则存在[]12,1,1k k a a ∈-+，使121k k =-，由()()21111a a a -+=-≥-，得0a =，则()23235sin a b c b c ϕθ++=+=+，其中3tan 2θ=， 故235,5a b c ⎡⎤++∈-⎣⎦；故选B ．点睛：求有关三角函数的最值或值域问题，主要有以下题型：①化为()sin y A x k ωϕ=++型：一般是利用二倍角公式、两角和差公式、配角公式进行恒等变形成()sin y A x k ωϕ=++，再利用三角函数的单调性进行求解；②形如“2sin sin y a x b x c =++”，一般是利用换元思想（令sin t x =），再利用二次函数的性质进行求解.5．设()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在区间()20,e 上有三个零点，则实数a 的取值范围是( )A. 10,e ⎛⎫⎪⎝⎭B.211,e e ⎛⎫⎪⎝⎭C. 222,e e ⎛⎫⎪⎝⎭D. 221,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】令()()0g x f x ax =-=，可得()f x ax =. 在坐标系内画出函数()ln f x x =的图象（如图所示）.当1x >时， ()ln f x x =.由ln y x =得1y x'=. 设过原点的直线y ax =与函数y x ln =的图象切于点()00,ln A x x ，则有00{1lnx ax a x ==，解得0{ 1x ea e==.所以当直线y ax =与函数y x ln =的图象切时1a e=.又当直线y ax =经过点()2B ,2e 时，有22a e =⋅，解得22a e=. 结合图象可得当直线y ax =与函数()ln f x x =的图象有3个交点时，实数a 的取值范围是221,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 即函数()()g x f x ax =-在区间()20,e 上有三个零点时，实数a 的取值范围是221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭.选D.点睛：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法 (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解.6．设函数()()()222ln 2f x x a x a =-+-，其中0x >， R a ∈，存在0x 使得()045f x ≤成立，则实数a 的值是 A.15 B. 25 C. 12D. 1 【答案】A【解析】由题意得，函数()f x 表示动点(),2ln M x x 和动点(),2N a a 间的距离的平方。
届数学二轮复习第二部分专题篇素养提升文理专题一三角函数三角恒等变换与解三角形第2讲三角恒等变换与解三
第2讲三角恒等变换与解三角形（文理)JIE TI CE LUE MING FANG XIANG解题策略·明方向⊙︱考情分析︱1．三角恒等变换是高考的热点内容，主要考查利用各种三角函数公式进行求值与化简,其中二倍角公式、辅助角公式是考查的重点，切化弦、角的变换是常考的内容．2．正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：(1）边、角、面积的计算;（2）有关边、角的范围问题；(3)实际应用问题．⊙︱真题分布︱（理科)年份卷别题号考查角度分值202 0Ⅰ卷9、16三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值；利用余弦定理解三角形10Ⅱ卷17解三角形求角和周长的12（文科）KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN考点分类·析重点考点一三角恒等变换错误!错误!错误!错误!三角恒等变换与求值1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1）sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β。
(2）cos(α±β）＝cos αcos β∓sin αsin β。
(3)tan(α±β)＝错误!。
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α。
（2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.（3）tan 2α＝错误!.3．辅助角公式a sin x＋b cos x＝错误!sin(x＋φ）（其中tan φ＝错误!)典错误!错误!错误!典例1（1)（2020·全国Ⅱ卷模拟）cos2 40°＋2sin 35°sin 55°sin 10°＝（A)A．错误!B．错误!C．错误!＋错误!D．错误!(2)(2020·宜宾模拟）已知α∈错误!,且3sin2α－5cos2α＋sin 2α＝0，则sin 2α＋cos 2α＝（A)A．1B．－错误!C．－错误!或1D．－1（3）已知函数f（x）＝错误!cos x cos错误!＋sin2错误!－错误!.①求f（x)的单调递增区间;②若x∈错误!，f（x)＝错误!,求cos 2x的值．【解析】（1）原式＝cos240°＋2sin 35°cos 35°sin 10°＝cos240°＋sin 70°sin 10°＝12＋12cos 80°＋sin 70°sin 10°＝错误!＋错误!(cos 70°cos 10°－sin 70°sin 10°＋2sin 70°sin 10°）＝错误!＋错误!(cos 70°cos 10°＋sin 70°sin 10°）＝错误!＋错误!cos 60°＝34。
2020新课标高考数学二轮讲义：第三部分回顾3三角函数与平面向量
回顾3三角函数与平面向量［必记知识］［提醒］奇变偶不变，符号看象限，“奇、偶”指的是2的倍数是奇数，还是偶数，“变与不变”指的是三角函数名称的变化，“变”是指正弦变余弦(或余弦变正弦) •“符号看象限”的n含义是：把角a看作锐角，看n2±a(n€ Z)是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号•［提醒］求函数f(x) = Asin( 汁©的单调区间时，要注意A与的符号，当0时，需把3的符号化为正值后求解3. 三角函数图象的变换由函数y = sin x 的图象变换得到 y = sin( ®x+$)(A > 0, w> 0)的图象的两种方法［提醒］图象变换的实质是点的坐标的变换 ,所以三角函数图象的伸缩、平移变换可以利用两个函数图象上的特征点之间的对应确定变换的方式 ，一般选取离y 轴最近的最高点或最低点，当然也可以选取在原点左侧或右侧的第一个对称中心点 ，根据这些点的坐标即可确定变换的方式、平移的单位与方向等.)4. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin( a±®= sin ocos 3± cos a in 0 cos(a±®= cos ocos 0?sin osin 0 tan a± tan 0 tan (a ±0)= i?tansin( a+ ®sin( a — 0= sin 2 a —sin 2 0(平方正弦公式). 2 2COS (a+ 0cos( a — 0)= COS a — Sin 0 5. 二倍角、辅助角及半角公式 (1)二倍角公式 sin 2 a= 2sin acos a .cos 2 a= cos 2 a — sin 2 a= 2cos 2 a — 1 = 1 — 2sin 2 a .① 1 + sin 2 a= (sina+ cos a)2. ② 1 — sin 2 a= (sin a — cos a 2.⑵辅助角公式tan 2 a= 2ta n a1 tan2 ay = asin x + bcos x = a 2 + b 2(sin xcos $+ cos xsin © = J a 2+ b 2sin(x +$),其中角 $的终边所 在象限由a , b 的符号确定，角©的值由tan 片b (a ^ 0)确定.a增解.7. 平面向量数量积的坐标表示已知非零向量a = (x i , y i ), b =(X 2, y 2), B 为向量a , b 的夹角.与任意非零向量平行(2)a b >0是〈a , b 〉为锐角的必要不充分条件； ,a b <0是〈a , b 〉为钝角的必要不充分1 •降幕、升幕公式⑴降幕公式(2)升幕公式C . 3条件. ［必会结论］① sin 2a= 1 —(2)s 2a；② cos 2a= 1 + cos 2 a Q .1:③ sin a cos a= ^sin 2 a .a ① 1 + cos a= 2cos ；；② 1 — cos aa= 2sin ；;③ 1 + sin 2 aC Aa= sin 2+ cos :④ 1—sin a=2a a sin — cos 22 •常见的辅助角结论— n(1)sin x ± cos x = 2sin x ±4 .(2)cos x ± sin x = . 2cos x?4 . (3)sin x ± . 3cos x = 2sin x(4)cos x ± . 3sin x = 2cos x?§ .(5) 3sin x ±cos x = 2sin x⑹，3cos x ± sin x = 2cos x?6 .［必练习题］, cos ( n — a)1 .已知 tan a= 3,贝U cos na — 2 的值为(解析: , cos ( n_ a)选A.-ncos a — 2asin a—cos 1 _ 1 tan a= 3.2 .已知 x € (0, n )且 cos=sin n2x ,则 tan x —-等于(n解析：选 A.由 cos 2x — 2 = sin 2x 得 sinn tan x — 11tan x —4=3.3 .函数y = cos 2x + 2sin x 的最大值为(C . 3解析：选 C.y = cos 2x + 2sin x =— 2sin 2x + 2sin x + 1.1 2 3 1设 t = sin x( — 1< t w 1),则原函数可以化为 y = — 2t 2 + 2t + 1=— 2 t — ? + ?，所以当 t = ?3时，函数取得最大值2.4.已知函数f(x)= Asin@x + $)(A > 0, w>0, 0V ©V n ,其导函数f'刈的图象如图所示,n则f -的值为()B . .2D .—子4解析：选D.依题意得f'x)= A w cos(wx+ ©),结合函数y = f 'x)的图象可知，T = 2n = 4 7^—7 co8 81 3 n 3 n 7 n 3 n 3 n,=n o= 2.又 A o= 1,因此 A = 2.因为 O v ©V n, ~4V ~ + ©V —，且 f = cos ~ + © =— 1,所以 3n+ ©= n,所以 ©= n ，f(x) = gin 2x + n = 2sin n+ n = — 2 x 22=— 42，故选 D.5.已知x =谥是函数f(x) = ,3sin(2x + ©) + cos(2x + ©)(0 V ©V x)图象的一条对称轴，将函 数f (x )的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则函数g(x)在—n ，n 上的最小4 4 6值为()A . — 2B . — 1C .—2D . — . 3%IT2x = sin 2x ,因为 x € (0, n ,所以 tan x = 2,所以A . 2 2C .-子n n nn解析：选B.因为x = 12是f(x)= 2sin 2x + g + 0图象的一条对称轴，所以3 +片k n+ q(k € Z),因为 0v 0< n 所以 0= 6，则 f(x) = 2sin 2x + 3 ,所以 g(x)=- 2sin 2x -g 在一：,-g 上的最n小值为g g =- 1.6.已知△ ABC 的内角A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,若cos C = 警,bcos A + acos B =2,则厶ABC 的外接圆面积为（)A . 4 nB . 8 nC . 9 nD . 36 n2\[2 1解析：选C.由题意知c = bcos A + acos B = 2,由cos C =—十得sin C = 3,再由正弦定理可 33c 得2R = sin C = 6,所以△ ABC 的外接圆面积为 nF^= 9 n 故选C.sin C7.已知非零单位向量 a , b 满足|a + b|= |a -b|,贝U a 与b -a 的夹角可能是（）n A . 67tB. 3nC . 4 3 nD. 7解析：选 D.由 |a + b|= |a — b|可得(a + b)2= (a - b)2,即 a b = 0,而 a (b — a) = a b - a 2=- |a|2< 0,即a 与b -a 的夹角为钝角，故选D.8. ____________________________________________________________________ 已知向量 a = (1, 3), b = (— 2, k),且(a + 2b) //(3a — b),则实数 k = _____________________________ .解析：a + 2b = (— 3, 3+ 2k), 3a - b = (5, 9 — k),由题意可得—3(9- k)= 5(3 + 2k),解得 k =- 6. 答案：—69. _______________ 已知向量a = (1, 0), |b|= 2 , a 与b 的夹角为45°,若c = a + b , d = a -b ，则c 在d 方向上的投影为 __ .解析：依题意得 |a|= 1, a b = 1 x 羽 x cos 45°=, |d|=p (a - b ) 2 =^J a 2+ b 2-2a b = 1, c d cd = a 2- b 2=- 1,因此c 在d 方向上的投影等于 ~ =- 1.答案：—1n10. 已知函数f(x) = sin 3X+ 3(3> 0), A , B 是函数y = f(x)图象上相邻的最高点和最低点，若|AB|= 2边，贝V f(1) = _______ .解析：设f(x)的最小正周期为 T ,则由题意，得—T 2 = 2^2,解得T = 4,所以3=〒 2 n n n n n n.5 n 1 厂-,所以 f(x)= sin 2x + 3 ,所以 f (1)= sin 2+ 3 = sin E = 1.2n答案：111在厶ABC 中，A = 60°, b= 1 , S A ABC = 3,则sin C解析：依题意得gbcsin A = ~43c= _ 3，则c= 4.由余弦定理得a = ' b2+ c2—2bccos A = ,13,因此聶=但=备9由正弦定理得盏=警sin A sin 60 ° 3 sin C 3答案：蔦39。
2020高考数学专项复习《专题系列--三角函数讲义》
x 2 + y 2专题：三角函数高中数学SCE 金牌数学专题系列§1.1.1、任意角1、 正角、负角、零角、象限角的概念.2、 与角终边相同的角的集合：{= + 2k , k ∈ Z }.§1.1.2、弧度制1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角.2、= l . rn Rn R 213、弧长公式： l =180= R . 4 、 扇 形 面 积 公 式 ： S =360 = lR . 2§1.2.1、任意角的三角函数 1、 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P (x , y )，那么： sin= y , cos= x , tan= y x2、 设点 A ( x , y ) 为角终边上任意一点，那么：（设 r =）sin =y ， c os= rx ， tan = r y， cot = x x y3、 sin， cos ， tan在四个象限的符号和三角函数线的画法.正弦线：M P ; 余弦线：O M ; 正切线：AT5、 特殊角 0°，30°45°，60°，90°，180°，270 等的三角函数值.64322 334322sincostan§1.2.2——————————————————————————————————————————————————— 1yPTO M A x1、 平方关系： sin 2+ cos2= 12 、 商数关系： tan =sin.3 、 倒数关系：tancot = 1§1.3、三角函数的诱导公式cos（概括为 k ∈ Z ）1、 诱导公式一： sin (+ 2k ) = sin ,cos (+ 2k ) = cos , （其中： k ∈ Z ） tan (+ 2k) = tan.2、 诱导公式二：sin (+) = -sin ,cos (+) = -cos ,tan (+) = tan .3、诱导公式三：sin (-) = -sin ,cos (-) = cos ,tan (-) = - tan .4、诱导公式四：sin (-) = sin ,cos (-) = -cos ,tan (-) = - t an .5、诱导公式五：sin⎛-⎫= cos , 2⎪ ⎝ ⎭co ⎛-⎫= sin . s ⎪ ⎝ 2⎭6、诱导公式六：sin⎛+⎫= cos , 2⎪ ⎝ ⎭co ⎛+⎫= -sin . s ⎪ ⎝ 2⎭§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质y=sinx-5π 2yπ 3π- 21 27π 2-4π -7π -3π-2π -3π -πoπ π-1 2π 5π 3π4πx21、记住正弦、余弦函数图象：2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.3、会用五点法作图.3y = sin x 在 x ∈[0, 2] 上的五个关键点为：（0，0）（， ，1）（，，0）（， ，-1）（，2，0）.2 2y=cosx-3π -4π -7π2y2-π π - 1 23π π 27π 2-2π -3π-1 o 3π π 2π 5π4πx图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质{x | x ≠+k, k ∈Z}2Rx = 2k+, k ∈Z时，y = 12 maxx = 2k-, k ∈Z时，y =-12 min x = 2k, k ∈Z时，y = 1maxx = 2k+, k∈Z时，y =-1minT = 2T = 2T =在[2k-上单调递增, 2k+ ]2 2在[2k+3上单调递减, 2k+]2 2 在[2k-, 2k] 上单调递增在[2k, 2k+]上单调递减在(k-上单调递, k+ )2 2增对称轴方程： x =k+2对称中心(k, 0) 对称轴方程： x =k对称中心(k+, 0)2无对称轴k对称中心( , 0)2§1.4.3、正切函数的图象与性质1、记住正2切函数的图象3图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.———————————————————————————————————————————————————31横坐标变为原来的| | 倍y =A sin (x +)（左加右减）平移| B| 个单位y =A sin (x +)+B（上加下减）②先伸缩后平移：y = sin x 横坐标不变y =A sin x纵坐标变为原来的 A 倍纵坐标不变y =A sin x1横坐标变为原来的| | 倍平移| B| 个单位y =A sin (x +)+B（上加下减）①先平移后伸缩：y = sin x 平移| | 个单位y = sin (x+)（左加右减）横坐标不变y =A sin (x+)纵坐标变为原来的 A 倍纵坐标不变y =A sin(x +)T2§1.5、函数y=A sin(x+)的图象1、对于函数：y =A sin (x +)+B (A > 0,> 0)有：振幅A ，周期T =2，初相，相位x+，频率f =1 =2、能够讲出函数y = sin x 的图象与y =A sin (x +)+B 的图象之间的平移伸缩变换关系.平移个单位3、三角函数的周期，对称轴和对称中心函数y = sin(x +)，x∈R及函数y = cos(x +)，x∈R(A,,为常数，且A≠0)的周期T =2；||函数y = tan(x +) ，x ≠k+ , k ∈Z (A,ω,为常数，且A≠0)的周期T =2.|| 对于y =A sin(x +) 和y =A cos(x +) 来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.求函数y =A sin(x +) 图像的对称轴与对称中心，只需令x+=k+ (k ∈Z ) 与2 x +=k(k ∈Z )解出x 即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.4、由图像确定三角函数的解析式———————————————————————————————————————————————————4 .高中数学1-tan tan 1+tantan利用图像特征： A = y max - y min， B =y max + y min.22要根据周期来求,要用图像的关键点来求.§1.6、三角函数模型的简单应用 （要求熟悉课本例题.）§3.1.1、两角差的余弦公式 记住 15°的三角函数值：sin costan126 - 426 + 42 2 - 3§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1、sin (+ ) = sin cos + cos sin2 、 sin (- ) = sin cos - cos sin 3、cos (+ ) = cos cos - sin sin4、cos (-) = coscos + s in sin5、 tan (+ ) = tan +tan. 6、 tan (-) = tan -tan. §3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式1 、 sin 2=2 sin cos ， 2 、 cos 2= cos 2- sin 2变 形 ： sin cos = 1 sin 2. = 2 cos 2 - 12= 1 - 2 sin2.⎧⎪1+ cos 2= 2 cos 2升幂公式： ⎨⎪⎩1- cos 2= 2 sin 2⎧cos 2 = 1 (1+ cos 2) ⎪ 2降幂公式： ⎨ ⎪sin 2= 1 (1- cos 2) ⎩ 23、 tan 2= 2 tan. 4 、 tan =sin 2 =1- cos 21 - t an2 1+ c os 2 sin 2§3.2、简单的三角恒等变换 1、 注意正切化弦、平方降次. 2、辅助角公式y = a sin x + b cos x =sin(x +)（ 其 中 辅 助 角 所 在 象 限 由 点(a , b ) 的 象 限 决——————————————————————————————————————————————————— 5a 2 +b 2⎩⎪⎨定, tan= b). a解三角形1、正弦定理：a sin A =b sin B =c sin C= 2R . （其中 R 为∆ABC 外接圆的半径）⇔ a = 2R sin A , b = 2R sin B , c = 2R sin C ;⇔ sin A =a, s in B =2R b, s in C =2Rc; 2R⇔ a : b : c = sin A : sin B : sin C .用途：⑴已知三角形两角和任一边，求其它元素； ⑵已知三角形两边和其中一边的对角，求其它元素。
2020版高三数学二轮复习(全国理)讲义：专题三第一讲三角函数的图象与性质
2．(文)(20xx·全国卷Ⅱ，10)若f(x)＝cosx－sinx在[0，a]上是减函数，则a的最大值是( C )
A． B．
C． D．π
[解析]f(x)＝cosx－sinx＝ cos 在 上单调递减，
所以[0，a]⊆ ，故0<a≤ .
(理)(20xx·全国卷Ⅱ，10)若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]上是减函数，则a的最大值是( A )
2020版高三数学二轮复习（全国理）讲义：专题三第一讲三角函数的图象与性质
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第一讲 三角函数的图象与性质
高考考点
考点解读
三角函数的定义域、值域、最值
1.求三角函数的值域或最值
2．根据值域或最值求参数
三角函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性
1.根据图象或周期公式求三角函数的周期、单调区间或判断奇偶性
2．根据单调性、奇偶性、周期性求参数
三角函数的图象及应用
1.考查三角函数的图象变换
2．根据图象求解析式或参数
备考策略
本部分内容在备考时应注意以下几个方面：
(1)加强对三角概念的理解，会求三角函数的值域或最值．
(2)掌握三角函数的图象与性质，能够判断三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等．
2．重要图象变换顺序
在图象变换过程中，注意分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．
3．忽视A，ω的符号
在求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要特别注意A和ω的符号，若ω<0，需先通过诱导公式将x的系数化为正的．
人教A版2020届高考数学二轮复习讲义及题型归纳(基础)：不等式选讲
目录目录 (1)一、考纲解读 (2)二、命题趋势探究 (2)三、知识点精讲 (2)(一).不等式的性质 (2)(二).含绝对值的不等式 (3)(三).基本不等式 (3)(四).不等式的证明 (3)四、解答题题型总结 (4)核心考点一:解含绝对值的不等式 (4)核心考点二:含绝对值不等式恒成立，求参数问题 (5)核心考点三:含绝对值（方程）不等式有解，求参数问题 (8)核心考点四:已知含绝对值不等式的解集，求参数的值或范围 (9)核心考点五:比较法（差值法和比值法）证明不等式 (11)核心考点六:利用函数的单调性证明 (12)一、考纲解读1.了解绝对值的几何意义，会利用绝对值的定义解不等式，利用绝对值不等式证明不等式和求最值.2.了解柯西不等式及其几何意义，会用它来证明不等式和求最位.3.了解基本不等式，会用它来证明不等式和求最值.4.会用综合法、分析法、反证法及数学归纳法证明不等式.二、命题趋势探究本节内容为新课标新增内容，是高考选考内容.题型以含绝对值的不等式的解法和证明为重要考点，不等式的应用为次重要考点，不等式证明放在一般位置，难度为中档.三、知识点精讲(一).不等式的性质1.同向合成（1）,a b b c a c >>⇒>；（2）,c a b d a c b d >>⇒+>+；（3）0,c 0a b d ac bd >>>>⇒>.（合成后为必要条件）2.同解变形（1）a b a c b c >⇔+>+；（2）0,0,a b c ac bc c ac bc >⇔>>⇔<<；（3）11000a b a b b a>>⇔>>⇔>>.（变形后为充要条件）3.作差比较法0,0a b a b a b a b >⇔>-><⇔-<(二).含绝对值的不等式（1）0,||a x a a x a ><⇔>-<<；0,||,a x a x a x a>>⇔>><-或（2）22||||a b a b >⇔>（3）||||x a x b c +++<零点分段讨论(三).基本不等式（1）222a b ab +>（当且仅当等号成立条件为a b =）（2）0,0,22a b a b ab +>>≥（当且仅当等号成立条件为a b =）；30,0,0,3a b c a b c abc ++>>>≥（当且仅当a b c ==时等号成立）（3）柯西不等式22222()()()a b c d ac bd ++≥+（当且仅当ad bc =时取等号）①几何意义：2222||ad bc a b c d ⋅⇔+≤++a b a b ||||||≤②推广：222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++ .当且仅当向量12(,,,)n a a a a =与向量12(,,,)n b b b b =共线时等号成立.(四).不等式的证明（1）作差比较法、作商比较法.（2）综合法——由因到果.（3）分析法——执果索因.（4）数学归纳法.（5）构造辅助函数利用单调性证明不等式.（6）反证法.（7）放缩法.四、解答题题型总结核心考点一:解含绝对值的不等式对于含绝对值的不等式问题，首先要考虑的是根据绝对值的意义去掉绝对值.常用的去绝对值方法是零点分段法.特别用于多个绝对值的和或差不等式问题.若单个绝对值的不等式常用以下结论：|()|()()()()f x g x g x f x g x <⇔-<<；|()|()()()()()f x g x f x g x f x g x >⇔><-或；22|()||()|()()(()())(()())0f x g x f x g x f x g x f x g x >⇔>⇔+->.有时去绝对值也可根据22||x x =来去绝对值.1.在实数范围内，不等式||2|1|1x --≤的解集为.解析由于||2|1|1x --≤，即1|2|11x -≤--≤，即|2|2x -≤，所以222x -≤-≤，所以04x ≤≤.所以不等式的解集为[0,4].2.不等式|5||3|10x x -++≥的解集是（）A.[5,7]- B.[4,6]- C.(,5][7,)-∞-+∞ D.(,4][6,)-∞-+∞ 解析解法一：当5≥x 时，原不等式可变形为1022≥-x ，所以6≥x ；当53<<-x 时，原不等式可变形为108≥，显然不成立；当3-≤x 时，原不等式可变形为4,1022-≤≥-x x 得，所以(][)+∞⋃-∞-∈,64,x .解法二：利用绝对值的几何意义，35++-x x 表示实数轴上的点x 到点x =-3与x =5的距离之和，要使点x 到点x =-3与x =5的距离之和等于10，只需64=-=x x 或，于是当6≥x ，或4-≤x 可使35++-x x 10≥成立.故选D.3.已知函数()|2||5|f x x x =---.（1）证明：3()3f x -≤≤；（2）求不等式2()815f x x x ≥-+的解集.解析(1)()|2||5|f x x x =---,|()|2||5|||(2)(5)|3f x x x x x =---≤---=,故3()3f x -≤≤.(2)由(1)知.当2x ≤时,2()815f x x x ≥-+的解集为空集;当25x <<时,2()815f x x x ≥-+的解集为{|535}x x -≤<;当5x ≥时,2()815f x x x ≥-+的解集为{|56}x x ≤≤.综上所述,不等式的解集为{|536}x x -≤≤.核心考点二:含绝对值不等式恒成立，求参数问题1.已知()|1|()f x ax a =+∈R ,不等式()3f x ≤的解集为{}|21x x -≤≤.(1)求a 的值；(2)若|()2()|2xf x f k -≤恒成立，求k 的取值范围.解析（1）由|1|3ax +≤得42ax -≤≤，又()3f x ≤的解集为{}|21x x -≤≤，所以当0a ≤时，不合题意.当0a >时，42x a a-≤≤得2a =.(2)记()()2()2x h x f x f =-，则1,11()43,1211,2x h x x x x ⎧⎪≤-⎪⎪=---<<-⎨⎪⎪-≥-⎪⎩，所以|()|1h x ≤，因此1k ≥，即k 的取值范围是[1,)+∞.2.已知函数()|||2|f x x a x =++-.（1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若()|4|f x x ≤-的解集包含[1,2]，求a 的取值范围.解析(1)当3a =-时,()3|3||2|3f x x x ≥⇔-+-≥2323x x x ≤⎧⇔⎨-+-≥⎩或23323x x x <<⎧⎨-+-≥⎩或3323x x x ≥⎧⇔⎨-+-≥⎩1x ⇔≤或4x ≥(2)原命题()|4|f x x ⇔≤-在[1,2]上恒成立||24x a x x ⇔++-≤-在[1,2]上恒成立22x a x ⇔--≤≤-在[1,2]上恒成立30a ⇔-≤≤.3.若关于实数x 的不等式|5||3|x x a -++<无解，则实数a 的取值范围是.解析因为|5||3||5||3||53|8x x x x x x -++=-++≥-++=,所以min (|5||3|)8x x -++=,要使|5||3|x x a -++<无解,只需8a ≤.故实数a 的取值范围是(,8]-∞.4.已知函数()|21||2|f x x x a =-++,g()3x x =+.(1)当2a =-时，求不等式()()f x g x <的解集；(2)设1a >-，且当1[,)22a x ∈-时，()()f x g x ≤，求a 的取值范围.解析(1)当2a =-时,不等式()()f x g x <化为|21||22|30x x x -+---<.设函数|21||22|3y x x x =-+---,则1521212361xx y x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩,其图像如图16—46所示,由图像可知,当且仅当(0,2)x ∈时,0y <,所以原不等式的解集是{|02}x x <<.(2)当1[,)22a x ∈-时,()1f x a =+,不等式()()f x g x ≤化为13a x +≤+,所以2x a ≥-对1[,)22a x ∈-都成立,故22a a -≥-.故43a ≤,从而a 的取值范围是4(1,]3-.核心考点三:含绝对值（方程）不等式有解，求参数问题1.若关于x 的不等式|||1||2|a x x ≥++-存在实数解，则实数a 的取值范围是.解析不等式|||1||2|a x x ≥++-有解，则min ||(|1||2|)3a x x ≥++-=，故实数a 的取值范围是(,3][3,)-∞-+∞ .2.若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立，则实数a 的取值范围是.解析因为|||1||()(1)||1|x a x x a x a -+-≥---=-.要使|||1|3x a x -+-≤有解,可使|1|3a -≤,所以313a -≤-≤,所以24a -≤≤.3.已知a ∈R ，关于x 的方程21||||04x x a a ++-+=有实根，求a 的取值范围.解析方程21||||04x x a a ++-+=有实根,则11404a a ⎛⎫∆=--+≥ ⎪⎝⎭⇒1144a a -+≤.(1)求出绝对值的零点,104a -=,得14a =;0a =,得0a =.(2)数轴标根,(3)分段讨论:①011()44a a a <⎧⎪⎨---≤⎪⎩⇒无解.②10411()44a a a ⎧≤<⎪⎪⎨⎪--+≤⎪⎩⇒10,4a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.③141144a a a ⎧≥⎪⎪⎨⎪-+≤⎪⎩⇒14a =.综上可得,10,4a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.核心考点四:已知含绝对值不等式的解集，求参数的值或范围1.设不等式|2|()x a a *-<∈N 的解集为A ，且31,22A A ∈∉.(1)求a 的值；(2)求函数()|||2|f x x a x =++-的最小值.解析（1）因为3,2A ∈且12A ∉，所以3|2|2a -<，且1|2|2a -≥，解得1322a <≤.又a *∈N ，所以1a =.(2)因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--=，当且仅当(1)(2)0x x +-≤，即12x -≤≤时取等号，所以()f x 的最小值为3.2.设函数()||3f x x a x =-+，其中0a >.(1)当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集；(2)若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤-，求a 的值.解析(1)当1a =时,()32f x x ≥+可化为12x -≥,由此可得3x ≥或1x ≤-,故不等式()32f x x ≥+的解集为{|31}x x x ≥≤或.(2)由()0f x ≤得20x a x -+≤,故此不等式化为不等式组30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩或30x a x a x <⎧⎨-+≤⎩,即4x a a x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或2x a a x <⎧⎪⎨≤-⎪⎩.由于0a >,所以不等式组的解集为|2a x x ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭.由题设可得12a -=-,故2a =.3.已知函数()||f x x a =-，其中1a >.(1)当2a =时，求不等式()4|4|f x x ≥--的解集；(2)已知关于x 的不等式|(2)2()|2f x a f x +-≤的解集为{}|12x x ≤≤，求a 的值.解析(1)当2a =时,()26,2|4|2,2426,4x x f x x x x x -+≤⎧⎪+-<<⎨⎪-≥⎩当2x ≤时,由()44f x x ≥--得264x -+≥,解得1x ≤;当24x <<时,()44f x x ≥--无解;当4x ≥时,由()44f x x ≥--得264x -≥,解得5x ≥.所以()44f x x ≥--的解集为{|15}x x x ≤≥或.(2)记()()()22h x f x a f x =+-,则2,042,()02,a x h x a x a x a x a -≤⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩,由|()|2h x ≤,解得1122a a x -+≤≤.又已知|()|2h x ≤的解集为{|12}x x ≤≤,所以211212a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩,于是3a =.4.若不等式|4|2kx -≤的解集为{}|13x x ≤≤，则实数k =.解析因为42kx -≤,所以242kx -≤-≤,即26kx ≤≤,又不等式的解集为{}13x x ≤≤.故2k =.核心考点五:比较法（差值法和比值法）证明不等式1.已知,,a b m 均为正实数，且a b <，求证：a m a b m b+>+.解析a m a b m b +-=+()()()b a m a b m b b m +-+=+()bm am b b m -=+()()b a m b b m -+.因为,,a b m +∈R ，a b <，所以0b a ->,0m >,0b m +>.故()0()a m ab a m b m b b b m +--=>++.所以a m a b m b +>+.2.已知,,a b +∈R ，且a b ≠,n *∈N .求证：11()()2()n n n n a b a b a b ++++<+.解析()()112()n n n n a b b a b a +++++-111122n n n n n n a a ab ba b b ++++=++-+-11n n n n ab a b a b ++=+--()()n n n n a b a b a b =-+-()()n n b a a b =--为确定差的符号,应分0a b >>和0b a >>两种情况讨论.①若0a b >>,n N *∈,则n n a b >,因此()()0n n b aa b --<,故原不等式成立;②若0b a >>,n N *∈,则n n b a >,因此()()0n nb a a b --<,原不等式也成立,综上所述,()()112()n n n n a b b a b a +++++<.核心考点六:利用函数的单调性证明使用对象：在某区间成立的函数不等式、数值不等式的证明通常是通过辅助函数完成的.解题程序：（1）移项（有时需要作简单的恒等变形），使不等式一端为0，另一端为所作辅助函数()f x .（2）求()f x 并验证()f x 在指定区间上的单调性.（3）求出区间端点的函数值（或极限值），其中至少有一个为0或已知符号，作比较即得所证.1.已知01x <<，求证：31sin 6x x x -<.解析原不等式等价于31sin 0(01)6x x x x -+><<.令31()sin (01)6f x x x x x =-+≤<，21()cos 12f x x x '=-+2212sin 22x x =-+.令()sin (01)22x x g x x =-≤<，则11()cos 0222x g x '=-≤，故()g x 在[0,1)上是减函数，所以当01x <<时，()sin(0)022x x g x g =-<=，故sin 22x x <.故22()2()022x x f x '>-+=，所以()f x 在[0,1)上是增函数.又(0)0f =，所以当01x <<时，()0f x >成立.于是31sin 6x x x -<成立.2.证明：当02x π<<时，2sin x x x π<<.解析不等式sin x x <⇔sin 0x x -<.令()sin f x x x =-,()cos 1f x x ='-,0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故()f x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减,又()00f =,所以()()00f x f <=,所以sin x x <.不等式2sin x x π>⇔sin 2x x π>⇔sin 20x x π->.令()sin 29x x x π=-,所以()22cos sin cos (tan )0x x x x g x x x x x -==-<'(因为tan x x >).所以()g x 在(0,)2π上单调递减.又sin22()022f ππππ=-=,故当02x π<<时,()02f x f π⎛⎫>= ⎪⎝⎭,即()02f x f π⎛⎫>= ⎪⎝⎭,于是2sin x x π<,综上所述,2sin x x x π<<.。
2020高考数学二轮复习 三角函数1课件 理
x2
y2
3(x2 y2 ) ，
x
则 y 的值为
_____ 。
当堂检测：
三角函数概念例题
2、已知
x
，
y
均
为
正
数
，
Hale Waihona Puke 4,
2
，满足
sin cos
xy
，
cos2 sin2
10
x2
y2 3(x2 y2 )
x
则 y 的值为_____________ 。
sin cos
变式：已知 x ， y 为非零实数，且满足 x y ，
cos2 sin2 10
的正弦、余弦、
正切的诱导公式，能画出的图像，了解三角函数的周期性。
5.以极度的热情投入到课堂学习中，体验学习的快乐。
导学案反馈
组 别
1
2
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
得分
存在的问题：
规范展示
展示内容
地点
（约5分钟）
展示
要求：
1.展示快速， 书写认真、 简洁。 2.非展示同 学迅速整理、 总结，准备 补充、质疑。
空间几何体的认识
课前准备
请拿出你的 “三角函数概念”导学案 、 课本、双色笔、草稿纸和典题本.
全力投入会使你与众不同. 你是最优秀的，你一定能做得更好！
学习目标
1.了解任意角的概念和弧度制的概念。．
2.能进行弧度与角度的互化。
3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义。
4.能利用单位圆中的三角函数线推导出
2020学年新教材高中数学第五章三角函数5.2.1三角函数的概念讲义新人教A版必修第一册(最新整理)
5。
2.1 三角函数的概念最新课程标准：（1)借助单位圆理解任意角的三角函数定义．(2）掌握三角函数在各象限的符号．(3)掌握诱导公式一并会应用．(4）会用三角函数线表示角的正弦、余弦和正切。
知识点一任意角的三角函数的定义前提如图，设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P（x，y）定义正弦y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y余弦x叫做α的余弦,记作cos α，即cos α＝x正切错误!叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝错误!(x≠0）三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数.错误!三角函数的定义(1)三角函数是一个函数，符合函数的定义,是由角的集合(弧度数)到一个比值的集合的函数．(2)三角函数值实质是一个比值,因此分母不能为零，所以正切函数的定义域就是使分母不为零的角的集合．知识点二正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域三角函数定义域sin αRcos αRtan α{α∈R｜α≠kπ＋错误!，k∈Z}知识点三三角函数线错误!（1）三角函数线的方向．正弦线由垂足指向角α的终边与单位圆的交点，余弦线由原点指向垂足,正切线由切点指向切线与角α的终边或其反向延长线的交点．（2)三角函数线的正负:三条有向线段凡与x轴或y轴同向的,为正值，与x轴或y轴反向的，为负值．知识点四三角函数值在各象限的符号状元随笔对三角函数值符号的理解三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．根据三角函数定义知：(1)正弦值符号取决于纵坐标y的符号;（2）余弦值的符号取决于横坐标x的符号;（3）正切值的符号是由x，y符号共同决定的，即x，y同号为正，异号为负．知识点五诱导公式一（1)语言表示：终边相同的角的同名三角函数的值相等．(2）式子表示错误!其中k∈Z.错误!诱导公式一(1）实质:是说终边相同的角的三角函数值相等。
2019-2020年高考数学二轮复习教案(8)三角函数 新人教A版
2019-2020年高考数学二轮复习教案(8)三角函数新人教A版【专题要点】任意角的概念和弧度制、任意角的三角函数的定义（重点是任意角的正弦、余弦和正切的定义）、周期函数的概念、三角函数（正弦函数、余弦函数和正切函数）的图象与性质、函数的图象和性质、同角三角函数的基本关系式和诱导公式【考纲要求】（1）任意角的概念、弧度制①了解任意角的概念，②了解弧度制概念，能进行弧度与角度的转化（2）三角函数①理解任意角的三角函数的定义；②能利用单位圆中的三角函数线推导出的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出正、余弦函数、正切函数的图象，了解三角函数的周期性；③理解正、余弦函数在]0，2π]，正切函数在（-，）的性质，如单调性、最大值与最小值、周期性，图象与x轴的交点；④理解同角三角函数的基本关系式；⑤了解的物理意义，能画出的图象，了解参数、、对函数图象变化的影响；⑥了解三角函数是描述周期性变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的问题。
【知识纵横】【教法指引】高考对三角函数的考查内容稳定，难度稳定，题量稳定，题型稳定，注重创新。
因此，我们在复习中应首先立足课本，打好基础，从数形两方面理解三角函数的定义，在牢固图象的基础上，把握三角函数的性质，通过认识整个体系的推导和形成过程，掌握公式的本质和规律，领会其中的数学思想，形成清晰的知识结构，明确各部分的基本知识，基本题型，基本方法和规律，强化易混、易漏、易错点的反思和感悟和针对性训练；其次，在学习过程中不断总结、反思提炼解题规律，学会观察差异，寻找联系，分析综合，合理转化，会从三角函数的名称、角和运算三个方面寻求解题思路；另外，注意重点问题的变式、拓展和延伸，突出复习的针对性和有效性，在解题时，注意在条件和结论中建立联系，讲求算理，就能立足基础、发展能力、决胜高考【典例精析】例1.若角的终边落在直线上，求的值解析：【解法一】分类讨论①角的终边在第二象限 22cos ,22sin -==αα 则； ②角的终边在第二象限 22cos ,22sin =-=αα 则. 【解法二】也可以按照课本上三角函数的定义，求出终边与单位圆的交点。
2020高考知识点21 三角函数的图象与性质—人教A版高考数学自编知识点复习讲义
解法一：利用图象．在同一坐标系中画出[0，2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示：
在[0，2π]内，满足sinx＝cosx的x为 ， ，在 内sinx＞cosx，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为{x| ＋2kπ＜x＜ ＋2kπ，k∈Z}．
类型五 三角函数图象的对称性
【例1】已知f(x)＝2sin (x∈R)，函数y＝f(x＋φ),(|φ|≤ )的图象关于直线x＝0对称，则φ的值为________．
【解析】∵y＝f(x＋φ)＝2sin(x＋ ＋φ)的图象关于 x＝0对称，即f(x＋φ)为偶函数，∴ ＋φ＝ ＋kπ，k∈Z，即φ＝kπ＋ ，k∈Z.又|φ|≤ ，∴φ＝ .故填 .
T＝ ＝ ＝4π.
由kπ－ < － <kπ＋ ，解得4kπ－ π<x<4kπ＋ π(k∈Z)．
∴函数的单调递减区间为 (k∈Z)．
【例2】下列函数中，周期为π且在 上是减函数的是( )
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin2xD．y＝cos2x
【解析】对于函数y＝cos2x，T＝π，当x∈ 时，2x∈[0，π]，y＝cos2x是减函数．故选D.
解法二：sinx－cosx＝ sin ＞0，由正弦函数y＝sinx的图象和性质可知:
2kπ＜x－ ＜π＋2kπ，解得2kπ＋ ＜x＜ ＋2kπ，k∈Z.
∴定义域为 .
【例2】已知函数f(x)＝ cos ，求f(x)在区间 上的最大值和最小值．
【解析】∵－ ≤x≤0，∴－ π≤2x＋ ≤ ，
∴当2x＋ ＝－ π，即x＝－ 时，f(x)有最小值，f(x)min＝－1；
【例2】函数y＝ sin ＋1的图象的一个对称中心的坐标是( )
2020高考文科数学(人教A版)总复习课件：第四章 三角函数、解三角形4.7
-11-
(设 因2)△为由A正bB2+C弦c的2定-a外理2=接8及>圆条 0,所半件以径,得为cobscR+A,c则>b0=si,4���n0������a<���=bAs2i<Rnπ2,C,所因,所以为以sai=���ns���i���R���n������=���.���2=R2a, , 所以 sin A=12,A=30°,所以 cos A=������2+2������������2������-������2 = √23,所以 bc=8√33, 所以 S△ABC=12bcsin A=2√33.
第四章
知识梳理 考点自诊
4.7 解三角形
必必备备知知识识··预预案案自自诊诊
关键能力·学案突破
-6-
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)在△ABC中,已知a,b和角B,能用正弦定理求角A;已知a,b和角C, 能用余弦定理求边c. ( √ )
(2)在三角形中,已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形. (√)
2.已知两边和它们的夹角、已知两边和一边的对角或已知三边 都能直接运用余弦定理解三角形,在运用余弦定理时,要注意整体 思想的运用.
3.已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边 和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的“有 界性”和“大边对大角”进行判断.
考点1
第四章
D.不确定
(2)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2+b2-c2=ab,且
2cos Asin B=sin C,则△ABC的形状为 等边三角形 .
解析: (1)由正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,
2020版高考理科数学大二轮专题复习新方略讲义：3.2三角函数的图象与性质
第2讲 三角函数的图象与性质考点1 三角函数的定义、诱导公式及基本关系1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x .各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．2．同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.3．诱导公式：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．[例1] (1)[2018·全国卷Ⅰ]已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝( )A.15B.55C.255 D ．1(2)[2019·山东潍坊一中月考]化简1＋2sin (π－2)cos (π－2)得( )A ．sin 2＋cos 2B ．cos 2－sin 2C ．sin 2－cos 2D ．±cos 2－sin 2(1)由cos 2α＝23，得cos 2α－sin 2α＝23，∴ cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝23，即1－tan 2α1＋tan 2α＝23， ∴ tan α＝±55，即b －a 2－1＝±55， ∴ |a －b |＝55.故选B. (2)1＋2sin (π－2)cos (π－2)＝1－2sin2cos 2 ＝sin 22＋cos 22－2sin 2cos 2＝(sin 2－cos 2)2＝|sin 2－cos 2|，又π2<2<π，∴sin 2>0，cos 2<0，∴1＋2sin(π－2)cos(π－2)＝sin 2－cos 2，故选C.【答案】(1)B(2)C应用三角函数的概念和诱导公式的注意事项(1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决，机械地使用三角函数的定义就会出现错误．(2)应用诱导公式与同角关系开方运算时，一定注意三角函数的符号；利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等.『对接训练』1．[2019·湖北稳派教育检测]若一个扇形的面积是2π，半径是23，则这个扇形的圆心角为( )A.π6B.π4C.π2D.π3详细分析：设扇形的半径为r ，圆心角为θ，则扇形的面积S ＝12lr ，其中弧长l ＝θr ，则S ＝12θr 2，所以θ＝2S r 2＝4π(23)2＝π3，故选D.答案：D2．[2019·河北行唐月考]已知tan x ＝13，则sin x cos x ＝( )A.310B.105C.310D.35 详细分析：通解 ∵tan x ＝13，∴sin x cos x ＝13，即cos x ＝3sin x ，又sin 2x ＋cos 2x ＝1，∴sin 2x ＝110.①当x 为第一象限角时，sin x ＝1010，cos x ＝31010，∴sin x cos x ＝310；②当x 为第三象限角时，sin x ＝－1010，cos x ＝－31010，∴sin x cos x ＝310.由①②得sin x cos x ＝310，故选C.优解一 ∵tan x ＝13，∴sin x cos x ＝13，即cos x ＝3 sin x ，又sin 2x ＋cos 2x ＝1，∴sin 2x ＝110，又1＋2sin x cos x ＝(sin x ＋cos x )2＝16sin 2x ，∴sin x ·cos x ＝16sin 2x －12＝1610－12＝310，故选C.优解二 ∵tan x ＝13>0，∴sin x 与cos x同号，∴sin x cos x >0，不妨设x 是第一象限角，且角x 终边上一点的坐标为(3,1)，∴sinx ＝1010，cos x ＝31010，∴sin x cos x ＝310，故选C.优解三 ∵sin x cos x ＝sin x cos x sin 2x ＋cos 2x＝tan x tan 2x ＋1，且tan x ＝13，∴sin x cos x ＝1319＋1＝310，故选C. 答案：C考点2 三角函数的图象与解+析式 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(1)“五点法”作图设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得．(2)图象变换y ＝sin x ――――――――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)y ＝sin(ωx ＋φ)―――――――→纵坐标变为原来的A (A >0)倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)．[例2] (1)[2019·辽宁辽阳期末]已知函数f (x )＝A sin ωx (A >0，ω>0)与g (x )＝A 2cos ωx的部分图象如图所示，则( )A ．A ＝1，ω＝3πB ．A ＝2，ω＝π3C ．A ＝1，ω＝π3D ．A ＝2，ω＝3π(2)[2019·山西平遥二中月考]为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝cos 2x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动5π12个单位长度B ．向右平行移动5π12个单位长度C ．向左平行移动5π6个单位长度D ．向右平行移动5π6个单位长度(1)由已知图象，可知A 2＝1，T ＝2πω＝1.5×4＝6，所以A ＝2，ω＝π3.故选B.(2)通解 ∵y ＝cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π12＋π2，∴只需把函数y ＝cos 2x 的图象上所有的点向右平行移动5π12个单位长度就得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，故选B. 优解 ∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π6＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π12，∴只需把函数y ＝cos 2x 的图象上所有的点向右平行移动5π12个单位长度就得到函数y＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，故选B. 【答案】 (1)B (2)B1．确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的解+析式的方法已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解+析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．2．[警示] 在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.『对接训练』3．[2019·河南洛阳一中月考]设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象向左平移π3个单位长度后得到的图象对应的函数是一个偶函数，则φ＝________.详细分析：通解 f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π3个单位长度后得到函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋φ的图象，∵g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋φ是偶函数，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋2π3＝±1，∴φ＝k π－π6(k ∈Z )，∵|φ|<π2，∴φ＝－π6.优解 ∵函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象向左平移π3个单位长度后得到的图象对应的函数是一个偶函数，∴f (x )＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x ＝π3对称，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋2π3＝±1，∴φ＝k π－π6(k ∈Z )，∵|φ|<π2，∴φ＝－π6.答案：－π64．[2019·成都检测]已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示．现将函数f (x )图象上的所有点向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的解+析式为( )A ．g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 B ．g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4 C ．g (x )＝2cos2x D ．g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 详细分析：由图象，知A ＝2，T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8－3π8＝π，所以ω＝2πT ＝2，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8，－2代入f (x )＝2sin(2x ＋φ)得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋φ＝－1，即5π4＋φ＝2k π＋3π2(k ∈Z )，结合|φ|<π2，得φ＝π4，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，故选D. 答案：D考点3 三角函数的性质1．三角函数的单调区间y ＝sin x 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )； y ＝cos x 的单调递增区间是[2k π－π，2k π](k ∈Z )，单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )；y ＝tan x 的递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )．2．三角函数的奇偶性与对称性y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得．y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得．y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数．[例3] (1)[2019·全国卷Ⅱ]下列函数中，以π2为周期且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2单调递增的是( )A ．f (x )＝|cos 2x |B ．f (x )＝|sin 2x |C ．f (x )＝cos|x |D ．f (x )＝sin|x |(2)[2019·全国卷Ⅰ]关于函数f (x )＝sin |x |＋|sin x |有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递增 ③f (x )在[－π，π]有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是( )A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③(1)本题主要考查三角函数的图象与性质，意在考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．A 中，函数f (x )＝|cos 2x |的周期为π2，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，函数f (x )单调递增，故A 正确；B 中，函数f (x )＝|sin 2x |的周期为π2，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，函数f (x )单调递减，故B 不正确；C 中，函数f (x )＝cos|x |＝cos x 的周期为2π，故C 不正确；D 中，f (x )＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <0，由正弦函数图象知，在x ≥0和x <0时，f (x )均以2π为周期，但在整个定义域上f (x )不是周期函数，故D 不正确．故选A.(2)本题主要考查三角函数的图象与性质(单调性、奇偶性、最值)，函数零点，考查考生的化归与转化能力、数形结合能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算．f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sinx |＝f (x )，∴f (x )为偶函数，故①正确；当π2<x <π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减，故②不正确；f (x )在[－π，π]的图象如图所示，由图可知函数f (x )在[－π，π]只有3个零点，故③不正确；∵y ＝sin|x |与y ＝|sin x |的最大值都为1且可以同时取到，∴f (x )可以取到最大值2，故④正确．综上，正确结论的序号是①④.故选C.【答案】 (1)A (2)C1. 三角函数的单调性、周期性及最值的求法(1)三角函数单调性的求法：求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))(A 、ω、φ为常数，A ≠0，ω>0)的单调区间的一般思路是令ωx ＋φ＝z ，则y ＝A sin z(或y＝A cos z)，然后由复合函数的单调性求得．(2)三角函数周期性的求法：函数y＝A sin(ωx＋φ)(或y＝A cos(ωx＋φ))的最小正周期T＝2π|ω|.应特别注意y＝|A sin(ωx＋φ)|的周期为T＝π|ω|.(3)三角函数值域的求法：在求最值(或值域)时，一般要先确定函数的定义域，然后结合三角函数性质可得函数f(x)的最值．2．[警示]求y＝A sin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意ω，A的符号．ω<0时，应先利用诱导公式将x的系数转化为正数后再求解；在书写单调区间时，不能弧度和角度混用，需加2kπ时，不要忘掉k∈Z，所求区间一般为闭区间.『对接训练』5．[2019·武昌区调研考试]已知函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为2π，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡ 2k π－π6，2k π＋π6](k ∈Z ) B.⎣⎢⎡ 2k π－π3，2k π＋2π3](k ∈Z ) C.⎣⎢⎡ 2k π－2π3，2k π＋π3](k ∈Z ) D.⎣⎢⎡2k π－π6，2k π＋5π6](k ∈Z ) 详细分析：解法一 因为f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin ωx －12cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6，f (x )的最小正周期为2π，所以ω＝2π2π＝1，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6， 由2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π3≤x ≤2k π＋2π3(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )，故选B. 解法二 因为f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin ωx －12cos ωx ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，f (x )的最小正周期为2π，所以ω＝2π2π＝1，所以f (x )＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3， 由2k π≤x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，得2k π－π3≤x ≤2k π＋2π3(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡ 2k π－π3，2k π＋2π3](k ∈Z )，故选B.答案：B6．[2019·重庆市学业质量调研]将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2x －2cos 2x 的图象向左平移π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．函数g (x )的最小正周期为2πB ．函数g (x )的最小值为－1C ．函数g (x )的图象关于x ＝π6对称D ．函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π上单调递减 详细分析：函数f (x )＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x －2cos 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x －2cos 2x ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度得y ＝g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，则函数g (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，g (x )的最小值为－2，g (x )的图象的对称轴为2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，即x＝π6＋k π2(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝π6为g (x )的图象的一条对称轴，令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )，当k ＝0时，函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上单调递减，故选C.答案：C考点4 三角函数与其他知识的交汇问题 [交汇创新]三角函数的图象与性质是高考考查的重点，近年来，三角函数与其他知识交汇命题成为高考的热点，由原来三角函数与平面向量的交汇渗透到三角函数与函数的零点、数列、不等式、复数、方程等知识的交汇．[例4] (1)设集合M ＝{y |y ＝|cos 2x －sin 2x |，x ∈R }，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1i <2，i 为虚数单位，x ∈R ，则M ∩N 为( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．[0,1)D ．[0,1](2)已知函数f (x )＝sin x ．若存在x 1，x 2，…，x m 满足0≤x 1<x 2<…<x m ≤6π，且|f (x 1)－f (x 2)|＋|f (x 2)－f (x 3)|＋…＋|f (x m －1)－f (x m )|＝12(m ≥2，m ∈N *)，则m 的最小值为________．(1)y ＝|cos 2x －sin 2x |＝|cos 2x |∈[0,1]，所以M ＝[0,1]．因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1i <2，所以|x ＋i|<2，即x 2＋1<2.又因为x ∈R ，所以－1<x <1，即N ＝(－1,1)．所以M ∩N ＝[0,1)，故选C.(2)因为f (x )＝sin x ，所以|f (x m )－f (x n )|≤f (x )max －f (x )min ＝2，因此要使得满足条件|f (x 1)－f (x 2)|＋|f (x 2)－f (x 3)|＋…＋|f (x m －1)－f (x m )|＝12的m 最小，须取x 1＝0，x 2＝π2，x 3＝3π2，x 4＝5π2，x 5＝7π2，x 6＝9π2，x 7＝11π2，x 8＝6π，即m ＝8.【答案】 (1)C (2)8解决三角函数与其他知识的交汇问题，要充分利用三角函数的图象与性质．本例(1)三角函数与复数的交汇，本例(2)是绝对值不等式与三角函数的最值问题，利用放缩法解决.『对接训练』7．设a n ＝1n sin n π25，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( )A ．25B ．50C ．75D ．100详细分析：当1≤n ≤24时，a n >0，当26≤n ≤49时，a n <0，但其绝对值要小于1≤n ≤24时相应的值；当51≤n ≤74时，a n >0；当76≤n ≤99时，a n <0，但其绝对值要小于51≤n ≤74时相应的值．故当1≤n ≤100时，均有S n >0.答案：D课时作业7 三角函数的图象与性质1．[2019·四川宜宾四中期中]角θ的终边经过点P (4，y )，且sin θ＝－35，则tan θ＝( )A ．－43 B.43C ．－34 D.34详细分析：解法一 ∵sin θ＝－35，∴y y 2＋16＝－35，∴y ＝－3，∴tan θ＝－34，故选C.解法二 由P (4，y )得角θ是第一或第四象限角或是终边在x 轴的正半轴上的角，∴cos θ>0.∵sin θ＝－35，∴cos θ＝1－sin 2θ＝45，∴tan θ＝sin θcos θ＝－34，故选C.解法三 由P (4，y )得角θ是第一或第四象限角或是终边在x 轴的正半轴上的角，∵sin θ＝－35<0，∴角θ是第四象限角，∴tanθ<0，故排除选项B ，D ，又sin θ＝－35>－22，不妨取－π4<θ<0，∴－1<tan θ<0，故选C. 答案：C2．[2019·福建厦门检测]已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，且|θ|<π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3 C.π6 D.π3详细分析：因为sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，所以－sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝ 3.因为|θ|<π2，所以θ＝π3，故选D.答案：D3．[2019·安徽芜湖一中月考]设α是第三象限角，且|cos α2|＝－cos α2，则α2的终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限详细分析：∵α是第三象限角，∴2k π＋π<α<2k π＋3π2(k ∈Z )，∴k π＋π2<α2<k π＋3π4(k ∈Z )，又|cos α2|＝－cos α2，∴cos α2≤0，∴2k π＋π2<α2<2k π＋3π4(k ∈Z )，∴α2是第二象限角，故选B.答案：B4．[2019·重庆调研]函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝π2B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝－π6详细分析：通解 由x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π＋π3(k ∈Z )，所以函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的一条对称轴方程是x ＝π3，故选C.优解一 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π6＝sin π2＝1，所以x ＝π3是函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的一条对称轴方程，故选C.优解二 因为将函数y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度就得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象，所以y ＝sin x 图象的一条对称轴x ＝π2向左平移π6个单位长度就得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象的一条对称轴x ＝π3，故选C.答案：C5．[2019·贵州贵阳十二中期中]已知sin α1＋cos α＝－23，则sin α1－cos α的值是( ) A.23 B ．－23C.32 D ．－32详细分析：∵sin α1＋cos α×sin α1－cos α＝sin 2α1－cos 2α＝sin 2αsin 2α＝1， ∴sin α1－cos α＝－32，故选D. 答案：D6．[2019·甘肃会宁一中月考]已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－13π6的值是( )A.45 B ．－45C.35 D ．－35详细分析：易知sin⎝ ⎛⎭⎪⎫α－136π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋α－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋α＋π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－45，故选B.答案：B7．[2019·辽宁瓦房店三中月考]函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) 详细分析：通解 由2n π＋π2≤π3－2x ≤2n π＋3π2(n ∈Z )，得－n π－7π12≤x ≤－n π－π12(n ∈Z )，令k ＝－n ，得k π－7π12≤x ≤k π－π12(k ∈Z )，又区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－7π12，k π－π12(k ∈Z )和区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z )相差一个周期π，∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z )，故选B. 优解一 ∵y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，∴求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递增区间即求函数t ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递减区间，由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z )，∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z )，故选B. 优解二 函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 单调递增区间的左端点值对应的函数值是函数的最小值，区间长度为一个周期π，经验证每一个选项的区间长度均为一个周期π，只有区间左端点x ＝k π＋5π12(k ∈Z )的相应函数值是函数的最小值－2，∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z )，故选B.答案：B8．[2019·天津卷]已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x )，若g (x )的最小正周期为2π，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝( )A ．－2B ．－ 2 C. 2 D ．2详细分析：本题主要考查三角函数的图象与性质，考查学生的数形结合能力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象．由f (x )为奇函数可得φ＝k π(k ∈Z )，又|φ|<π，所以φ＝0，所以g (x )＝A sin 12ωx .由g (x )的最小正周期为2π，可得2π12ω＝2π，故ω＝2，g (x )＝A sin x .g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝A sin π4＝2，所以A ＝2，所以f (x )＝2sin 2x ，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝2sin 3π4＝2.答案：C9．[2019·安徽芜湖一中月考]函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6≤x ≤π6的最大值与最小值之和为( )A.32 B ．2C ．0 D.34详细分析：y ＝cos 2x ＋sin x ＝－sin 2x ＋sin x ＋1，设t ＝sin x ，则y ＝－t 2＋t ＋1，∵－π6≤x ≤π6，∴－12≤t ≤12，∵y ＝－t 2＋t ＋1在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上是增函数，∴当t ＝－12时y 最小，为14，当t ＝12时y 最大，为54，∴最大值与最小值的和为32，故选A.答案：A 10．[2019·北京一零一中学统考]将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移a (a >0)个单位长度得到函数g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象，则a 的值可以为( )A.5π12B.7π12C.19π24D.41π24详细分析：通解 将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移a (a >0)个单位长度得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2a ＋π3的图象，∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2a ＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2a －π6，∴g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4和y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2a －π6是同一个函数，∴－2a －π6＝2k π＋π4(k ∈Z )，∴a ＝－k π－5π24(k ∈Z )，当k ＝－1时，a ＝19π24，∴a的值可以为19π24，故选C.优解一 ∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π24＋π4，∴将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向左平移5π24个单位长度得到函数g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象，又函数g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的周期为π，∴将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π－5π24＝19π24个单位长度得到函数g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象，故选C.优解二 ∵g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－3π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －19π24＋π3，∴将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移19π24个单位长度得到函数g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象，故选C. 优解三 ∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋3π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋11π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋19π24＋π4，∴将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移19π24个单位长度得到函数g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象，故选C.答案：C11．[2019·河南洛阳联考]已知函数f (x )＝a sin x －3cos x 的图象的一条对称轴为直线x ＝5π6，且f (x 1)·f (x 2)＝－4，则|x 1＋x 2|的最小值为( )A ．0 B.π3C.2π3D.4π3详细分析：∵直线x ＝5π6为函数f (x )的图象的一条对称轴，∴±a 2＋3＝a ＋32，解得a ＝1，∴f (x )＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3.∵f (x 1)·f (x 2)＝－4，∴f (x 1)和f (x 2)中必有一个为函数f (x )的最大值，另一个为最小值．由x －π3＝k π(k ∈Z )得x ＝k π＋π3(k ∈Z )，即函数f (x )的图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π3，0(k ∈Z )，∴|x 1＋x 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2k π＋2π3(k ∈Z )，∴|x 1＋x 2|的最小值为2π3，故选C.答案：C12．[2019·湖南株洲统一检测]如图，正方形ABCD 的边长为1，射线BP 从BA 的位置出发，绕着点B 顺时针旋转至BC 的位置，在旋转的过程中，记∠ABP＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，BP 所经过的在正方形ABCD 内的区域(阴影部分)的面积为y ＝f (x )，则函数f (x )的图象是( )详细分析：由题意得，当0≤x ≤π4时，f (x )＝12tan x ，∵在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上函数f (x )＝12tan x 是增函数且随x 的增大f (x )增加得越来越快，∴排除选项A ，C ，又当π4<x ≤π2时，阴影部分的面积增加得越来越慢，∴排除选项B ，∴函数f (x )的图象是选项D.答案：D13．[2019·江苏淮海阶段测试]在平面直角坐标系xOy 中，点P 在角2π3的终边上，且|OP |＝2，则点P 的坐标为______________．详细分析：设点P 的坐标为(x ，y )，由三角函数定义得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|OP |cos 2π3，y ＝|OP |sin 2π3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3，∴点P 的坐标为(－1，3)． 答案：(－1，3)14．[2019·江西九江一中月考]已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝____________.详细分析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－1＝－2＋33. 答案：－2＋3315．[2019·浙江温州一中月考]已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，如果x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)等于________________________________________________________________________．详细分析：由图象得函数f (x )的周期为π，∴ω＝2，又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，∴x 1＋x 2＝π6且直线x ＝π12为函数f (x )图象的对称轴，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝1，又|φ|<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin 2π3＝32. 答案：3216．[2018·北京卷]设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)．若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________．详细分析：∵ f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，- 41 - ∴ 当x ＝π4时，f (x )取得最大值，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4ω－π6＝1，∴ π4ω－π6＝2k π，k ∈Z ， ∴ ω＝8k ＋23，k ∈Z .∵ ω>0，∴ 当k ＝0时，ω取得最小值23. 答案：23。
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四、三角函数的图像与性质
functions tips
y sin x
y cos x
2
在0, 2 上
的图像
y
y
1
O 1
2 x
定义域
,
,
值域（有界性）
x k k Z
k
2
,
0
k
Z
x 2k 时sin x 1
2
max
x 2k 3 时sin x 1
2
min
x 2k 时cos x max 1
x
2k
时 cos
x min
1
函数
正切函数
y
tan
x,
x
k
2
y
O 3 x
图像
定义 域
x
|
x
k
2
,
k
Z
值域
周期 性
奇偶 性
单调 性
5
wwxx[[2222kk,
,
2 3 2
2k 2k
](k ](k
Z Z
) )
增区间； 减区间.
②对于 y A cos(wx ），
wx [ 2k ,2k ](k Z ) 增区间；
wx
[2k ,2k
](k
Z)
减区间.
6
) x0
1
当wx0
0时，y
k 2
cos(wx
(k Z )，即cos(wx )的对称中心为(
0 ) x0 ,0).
正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置.正、余弦的对称中心 是相应函数与 x 轴交点的位置.
（5）单调性. 假设 A 0，w 0 .
①对于 y A sin(wx ) ，
4
当wx
当wx
2 2
2k (k Z)时，函数取得最大值 2k (k Z )时，函数取得最小值
A; A;
②对于 y A cos(wx ），
当wx 2k (k Z)时，函数取得最大值A; 当wx 2k (k Z )时，函数取得最小值 A; （4）对称轴与对称中心. 假设 A 0，w 0 . ①对于 y A sin(wx ) ，
目录
一、总论.................................................................................................................... 2 二、考纲解读............................................................................................................ 2 三、命题趋势探究.................................................................................................... 2 四、三角函数的图像与性质.................................................................................... 2
轴的交点等），理解正切函数在区间
2
,
2
的单调性.
2.了解函数 A sin( x ) 的物理意义，能画出 A sin( x ) 的图像，了解参数 A,, 对函数图像的影响.
3.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数，会用三角函数解决一些简单实 际问题.
三、命题趋势探究
1.形如 A sin( x ) 的函数性质为高考必考内容，可在选择题，填空题中直接考 查其周期性、单调性、对称性、最值、图像的平移和伸缩变换、由图像确定解析 式等，解答题常与平面向量解三角形相结合，难度为中低档.
1,1
1,1
最小正周期 （周期性） 奇偶性（对称 性）
单调增区间
2
奇函数
2k
2
,
2k
2
k
Z
2 偶函数
2k , 2k k Z
单调减区间
对称轴方程
对称中心坐标
最大值及对应 自变量值 最小值及对应 自变量值
2k
2
,
2k
3 2
k
Z
2k , 2k k Z
x k k Z
2
k ,0k Z
对称 轴
(,)
T
奇函数，图像关于原点对称
在 ( k , k ), (k Z ) 上是单调增函数
2
2
无
对称 中心
k 2
, 0
(k Z)
3. y A sin(wx ) 与 y A cos(wx )( A 0, w 0) 的图像与性质 （1）最小正周期：T 2 .
w （2）定义域与值域： y Asin(wx ) ， y A cos(wx ）的定义域为 R，值域 为[-A,A]. （3）最值 假设 A 0，w 0 . ①对于 y A sin(wx ) ，
1
一、总论
三角函数在高考中通常以中低档题型出现,难度不大,但由于三角公式的特殊性, 解题中往往也涉及一些小的变换技巧,如果处理得当,往往可以事半功倍,快速而 准确地得到正确结论.通常情况下,三角变换应从“角度、函数、常数、次数、结构” 等几方面着手解决.
二、考纲解读
1.理解正弦、余弦函数在区间0, 2 的性质（如单调性、最大值和最小值以及与
当wx0 k
1时，y
sin(
(k
2 wx
Z )，即sin(wx0 )的对称轴为x x0
)
当wx0 时，y
k (k Z )，即sin(wx0 sin(wx )的对称中心为(x0
) ,0).
0
②对于 y A cos(wx ），
当w时x 0， y
k (k Z )，即cos(wx0 cos(wx )的对称轴为x