立体几何、解析几何综合10题(含答案)

城北中学高二上期第八周20班周末双休数学练笔

题目及参考答案

1、已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为14

5

，求双曲线方程．

解： 由椭圆方程可得椭圆的焦点为F (0，±4)，离心率e ＝4

5

，

所以双曲线的焦点为F (0，±4)，离心率为2，

从而c ＝4，a ＝2，b ＝2 3.所以双曲线方程为y 24－x 2

12

＝1.

2、如图4所示，矩形ABCD 中，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ＝2，F 为

CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .

(1)求证：AE ⊥平面BCE ； (2)求证：AE ∥平面BFD ；

(1)证明 ∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ， ∴BC ⊥平面ABE ，则AE ⊥BC . 又∵BF ⊥平面ACE ，则AE ⊥BF ，

又BC ∩BF ＝B ，∴AE ⊥平面BCE .

(2)证明 由题意可得G 是AC 的中点，连结FG ， ∵BF ⊥平面ACE ，∴CE ⊥BF . 而BC ＝BE ，∴F 是EC 的中点， 在△AEC 中，FG ∥AE ，∴AE ∥平面BFD .

3、设椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e ＝

3

2

.已知点P ⎝⎛⎭⎫0，32到这个椭圆上的点的最远距离为7，求这个椭圆的方程．

解： 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，M (x ，y )为椭圆上的点，由c a ＝3

2

得a ＝2b .

|PM |2＝x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝－3⎝⎛⎭⎫y ＋1

22＋4b 2＋3(－b ≤y ≤b )， 若b <1

2，则当y ＝－b 时，|PM |2最大，即⎝⎛⎭⎫b ＋322＝7， 则b ＝7－32>1

2

，故舍去．

若b ≥12时，则当y ＝－1

2时，|PM |2最大，即4b 2＋3＝7，

解得b 2＝1.

∴所求方程为x 24

＋y 2

＝1.

4、矩形ABCD ，AB ＝2，AD ＝3，沿BD 把ΔBCD 折起，使C 点在平面ABD 上的射影E 恰好落在AD 上. (1)求证：CD ⊥AB

(2)求CD 与平面ABD 所成角的余弦值.

(1)证明 过C 点作AD 的垂线，垂足为E 则CE ⊥面ABD ，

∵AD ⊥AB ，∴CD ⊥AB

(2)解：∵CE ⊥面ABD

∴∠CDE 为CD 与平面ABD 所成的角，cos ∠CDE ＝

DE

CD

DE ∶CD ＝CD ∶DA ＝AB ∶DA ＝2∶3∴CD 与平面ABD 所成角的余弦值为

3

2 5、设λ＞0，点A 的坐标为(1,1)，点B 在抛物线y ＝x 2上运动，点Q 满足BQ →＝λQA →

，经过点

Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM →＝λMP →

，求点P 的轨迹方程．

解： 由QM →＝λMP →

知Q 、M 、P 三点在同一条垂直于x 轴的直线上，

故可设P (x ，y )，Q (x ，y 0)，M (x ，x 2)，则x 2－y 0＝λ(y －x 2)， 即y 0＝(1＋λ)x 2－λy .①

再设B (x 1，y 1)，由BQ →＝λQA →

， 即(x －x 1，y 0－y 1)＝λ(1－x,1－y 0)，

解得⎩

⎪⎨⎪⎧

x 1＝(1＋λ)x －λ，y 1＝(1＋λ)y 0－λ.②

将①式代入②式，消去y 0，

得⎩

⎪⎨⎪⎧

x 1＝(1＋λ)x －λ，y 1＝(1＋λ)2x 2

－λ(1＋λ)y －λ.③ 又点B 在抛物线y ＝x 2上，所以y 1＝x 21， 再将③式代入y 1＝x 21，得

(1＋λ)2x 2－λ(1＋λ)y －λ＝[(1＋λ)x －λ]2，

(1＋λ)2x 2－λ(1＋λ)y －λ＝(1＋λ)2x 2－2λ(1＋λ)x ＋λ2， 2λ(1＋λ)x －λ(1＋λ)y －λ(1＋λ)＝0.

因为λ>0，两边同除以λ(1＋λ)，得2x －y －1＝0. 故所求点P 的轨迹方程为y ＝2x －1.

6、如图，已知四棱锥P —ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高．(1)证明：平面P AC ⊥平面PBD ； (2)若AB ＝6，∠APB ＝∠ADB ＝60°，求四棱锥P —ABCD 的体积．

证明(1) 因为PH 是四棱锥P —ABCD 的高，

所以AC ⊥PH .又AC ⊥BD ，PH ，BD 都在平面PBD 内，且PH ∩BD ＝H ， 所以AC ⊥平面PBD ， 故平面P AC ⊥平面PBD .

(2)因为ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，AB ＝6， 所以HA ＝HB ＝ 3. 因为∠APB ＝∠ADB ＝60°， 所以P A ＝PB ＝6，HD ＝HC ＝1， 可得PH ＝ 3.

等腰梯形ABCD 的面积为S ＝1

2AC ×BD ＝2＋ 3.

所以四棱锥的体积为V ＝13×(2＋3)×3＝3＋23

3

.

7、已知椭圆的长轴长为2a ，焦点是F 1(－3，0)、F 2(3，0)，点F 1到直线x ＝－a 2

3

的距离

为3

3

，过点F 2且倾斜角为锐角的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，使得|F 2B |＝3|F 2A |.(1)求椭圆的方程；(2)求直线l 的方程．

解： (1)∵F 1到直线x ＝－a 23

的距离为3

3，

∴－3＋a 23＝3

3.

∴a 2＝4.而c ＝3， ∴b 2＝a 2－c 2＝1. ∵椭圆的焦点在x 轴上， ∴所求椭圆的方程为x 24＋y 2

＝1.

(2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)． ∵|F 2

B |＝3|F 2

A |，∴⎩⎪⎨⎪⎧

3＝x 2

＋3x 1

1＋3

，0＝y 2

＋3y

1

1＋3，

⎩⎨

⎧

x 2＝43－3x 1，

y 2＝－3y 1.

∵A 、B 在椭圆x 24

＋y 2

＝1上，

∴⎩

⎨⎧

x 21

4

＋y 21＝1，(43－3x 1)2

4

＋(－3y 1)2＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧

x 1＝10

33，y 1

＝2

33(取正值).