刚体的基本运动
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理论力学6—刚体的基本运动
34.8
§6-5 以矢量表示角速度和角加速度.以矢积表示点的速度和加速度
1、角速度矢量和角加速度矢量
角速度矢量
dj
ww
dt
大小
角速度矢沿轴线，弯向表示刚体转动的方向。
指向用右手螺旋法则。
w wk
角加速度矢量
dw dw
k k
dt
dt
§6-5 以矢量表示角速度和角加速度.以矢积表示点的速度和加速度
2
例6-6
某定轴转动刚体通过点M0（2，1，3），其角速度矢w 的方向
余弦为0.6，0.48，0.64，角速度 的大小ω=25rad/s 。求：刚体上点
M（10，7，11）的速度矢。
解：角速度矢量
w wn
其中 n （0.6，0.48，0.64）
M点相对于转轴上一点M0的矢径
r rM rM0 10,7,11 2,1,3 8,6,8
Z2=60，Z3=12，Z4=70。(a)求减速箱的总减速比i13 ；(b)如
果n1=3000r/min，求n3.
1
n1
2
n2
3
n3
4
解：求传动比：
n1 n1 n2 Z 2 Z 4
i13
34.8
n3 n2 n3 Z1 Z 3
则有：
n1 3000
n3
86r / min
i13
4 rad
dw dw d
dw
w
dt
d dt
d
dw
w
0.2
d
解：
w
w wdw
0
§6-5 以矢量表示角速度和角加速度.以矢积表示点的速度和加速度
1、角速度矢量和角加速度矢量
角速度矢量
dj
ww
dt
大小
角速度矢沿轴线，弯向表示刚体转动的方向。
指向用右手螺旋法则。
w wk
角加速度矢量
dw dw
k k
dt
dt
§6-5 以矢量表示角速度和角加速度.以矢积表示点的速度和加速度
2
例6-6
某定轴转动刚体通过点M0（2，1，3），其角速度矢w 的方向
余弦为0.6，0.48，0.64，角速度 的大小ω=25rad/s 。求：刚体上点
M（10，7，11）的速度矢。
解：角速度矢量
w wn
其中 n （0.6，0.48，0.64）
M点相对于转轴上一点M0的矢径
r rM rM0 10,7,11 2,1,3 8,6,8
Z2=60，Z3=12，Z4=70。(a)求减速箱的总减速比i13 ；(b)如
果n1=3000r/min，求n3.
1
n1
2
n2
3
n3
4
解：求传动比：
n1 n1 n2 Z 2 Z 4
i13
34.8
n3 n2 n3 Z1 Z 3
则有：
n1 3000
n3
86r / min
i13
4 rad
dw dw d
dw
w
dt
d dt
d
dw
w
0.2
d
解：
w
w wdw
0
15刚体的基本运动
于是得 a at an
例1 荡木用两条等长的钢索平行吊起，如图所示。 钢索长为l，单位为m。当荡木在图示平面内摆动 π j j 0 sin t t 为时间， 时, 钢索的摆动规律为 ，其中 4 单位为s；转角j0的单位为rad，试求当t=0和 t=2s 时，荡木的中点M的轨迹、速度和加速度。
v1 v2
a1 a2
O2 r2
v1 v2
a1 a2
由于 v1 r1w1
于是可得 即
r1 w 2 w1 r2
v2 r2w 2 a1 r11 a2 r2 2
w1 1 r2 w2 2 r1
r1 2 1 r2
通常称主动轮与从动轮角速度或角加速度之比 为传动比，记为i12，由上例可知
解：系统为匀变速转动，根据 v2 – v02 = 2as，得M点的速度
2 v 2as v0
2 4.9m/s 2 2m (4m/s) 2 5.96 m / s dv M点的切向加速度: at a 4.9m/s 2 dt M点的法向加速度:
2 2as v0 2 4.9m/s 2 2m (4m/s) 2 an R 0.2m
解：用n1， n2 ， n3和n4分 别表示各齿轮的转速，且有 n2 n3 传动比i12，i34为 n1 z2 n3 z4 i12 , i34 n2 z1 n4 z3 n1n3 z2 z4 将两式相乘，得 n2 n4 z1 z3 因为n2= n3，于是从动轮Ⅰ到齿轮Ⅳ的传动比为
2
j =0.15 t3
代入 t =2 s， 得
w 1.8 rad / s ， 1.8 rad / s 2
刚体的基本运动
转速：刚体每分钟转过的圈数。单位：r / min。 转速 n 与角速度 2n n 60 30
的关系：
（7-6）
角加速度
d d 2 lim 2 t 0 t dt dt
（7-7）
刚体的角加速度（Angular acceleration）
等于其角速度对时间的一阶导数，也等于其转角对
v r 0.4 50 20 m / s
an r 0.4 50 1000 m /s
2 2
2
例7-4 定轴轮系如图7-9所示，主动轮I通过轮齿
与从动轮II轮齿啮合实现转动传递。主动轮I和从动轮 II的节圆半径分别为r1、r2，齿数分别为z1、z2。设I轮 的角速度为 1 （转数为n1），角加速度为 1 ；II轮的 角速度为 2（转数为n2），角加速度为 2 。试求上
2 a a2 an (r )2 (rω2 )2 r 2 ω4
tan
a an
ω
2
（7-13）
在给定瞬时，刚体的角速度和角加速度有确 定的值，对刚体上任何点都是一样。因而，在同一瞬 时，转动刚体上各点的速度 v 和加速度 a 的大小均与
该点的转动半径 r 成正比；各点速度 v 的方向都垂直
O轴作定轴转动，其转动方程为 t 2 4t （1）当t = 1 s时，试求轮缘上M点速度和加速度；
（2）若轮上绕一不可伸长的绳索，并在绳索下端
悬一物体A，求当t = 1 s时，物体A的速度和加速度。 解：圆轮在任一瞬时的角速 a M 度和角加速度为 d 2t 4 rad / s
当
t 1s，直杆AB上D点的速度和加速度。
解：由于O1A与O2B平行等
3-1刚体的基本运动
3－1
刚体的基本运动
例3-1 一半径 r 0 .5 0 m 的飞轮,转速n 6 0 0 r m in 1 , 制动后转过 1 0 圈而静止.设转动过程中飞轮作匀变 速转动.求:(1)转动过程中飞轮的角加速度和经过的 时间;(2)在1 s末时,飞轮边缘某点的线速度、切向加 速度和法向加速度.
0
0
第三章 刚体的定轴转动
3－1
刚体的基本运动
t d dt
瞬时角速度（角速度）
lim
t 0
刚体定轴转动（一维转动）的转动方向可以 用角速度的正负来表示 .
z
面对 O z 轴方向观察, 如果 0,刚体逆时 针转动;反之,刚体顺 时针转动.
z
0
0
1
3 1 .4 rad s
1
轮边缘某点的线速度
v r 0 .5 3 1 .4 m s
1
1 5 .7 m s
1
切向加速度
a t r 0 .5 3 1 .4 m s
2
1 5 .7 m s
2
法向加速度
a n r
3－1
刚体的基本运动
三、 匀变速转动公式 匀变速转动：当刚体绕定轴转动的角加速度为 恒量时的转动. 刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比 质点匀变速直线运动
v v 0 at
x x0 v 0t 1 2 at
2
刚体绕定轴作匀变速转动
0 t
0 0t
第三章作业 P83
15、17、18、19、21、23
第三章 刚体的定轴转动
解 （1） 0 5 π rad s
第三章-刚体力学基础
薄板对Z轴的转动惯量 J Z ＝
对X轴的转动惯量 J X
对Y轴的转动惯量 JY
Z
垂直轴定理
JZ JX JY
O
yi
Y
xi
ri
X
JZ miri2 mi xi2 mi yi2 Jx J y
五 刚体定轴转动的转动定律的应用
例１、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ的定
滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳， 绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂
分析： 由 每分钟150转 可知
0
t
2 150
60
5
rad
/ s
而已知 r=0.2m t=30s ω=0
可由公式求相应的物理量
解: (1) 0 0 5 (rad / s2 )
t
30
6
负号表示角加速度方向与角速度方向相反
（飞轮做匀减速转动）
2 02 2
(5 )2 2 ( )
末位置：
Ek
1 2
J 2
l
由刚体定轴转动的动能定理
1 mgl sin 1 J 2 0
2
2
mgl sin 3g sin
J
l
M
1 mgl cos
2
3g cos
J
1 ml2
2l
3
dm dl
gdm
（用机械能守恒定律解） 假设棒在水平位置时的重力势能为零势能
0 1 J2 (mg l sin ) O
动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的
角加速度和角速度。（分别用动能定理和机械能守
恒定律求解）
解： （用动能定理解）
重力对轴的力矩为
M 1 mgl cos（M
O
刚体力学基础
非专业训练，请勿模仿
例 解 由转动定律得
1 mgl sin J 2 1 2 式中 J ml 3 3g sin 得 2l
角加速度与质量无关，与长 度成反比，竹竿越长越安全。
-------------------------------------------------------------------------------
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
-------------------------------------------------------------------------------
二、刚体绕定轴转动定律
F外力 F内力 mi ai
ai ：质元绕轴作圆运动
-------------------------------------------------------------------------------
二、定轴转动的角动量守恒定律
质点角动量（相对O点）
定轴转动刚体
L r p r mv
-------------------------------------------------------------------------------
解：
M 1l gdl cos M mgL cos 2 m g1 l cos dl cos mgl M 2 3g cos L 1 22 J 2l M ml L g 3 cos L 2 3g cos d d d d 1 2 l dt cos d d mgL dt 2
2 法向： F cos F cos m r 法向力的作用线过转轴 i i i i. 内力 ,其力矩为零 外力 切向：F外力 sin i F内力 sin i mi ri
第八章 刚体的基本运动
平移刚体在任一瞬时速度、加速度都一样， 平移刚体在任一瞬时速度、加速度都一样，各点的运动轨迹 形状相同。 平移刚体的运动可以简化为一个点的运动。 形状相同。即平移刚体的运动可以简化为一个点的运动。
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第八章 刚体的基本运动
荡木用两条等长的钢索平行吊起，如图所示。 例8-1 荡木用两条等长的钢索平行吊起，如图所示。钢索长 为 长 l， 长 度 单 位 为 m。 当 荡 木 摆 动 时 钢 索 的 摆 动 规 律 ， 。 π 为时间，单位为s；转角φ 为 ϕ =ϕ0 sin t ，其中 t 为时间，单位为 ；转角 0的单位为 4 rad，试求当 和t=2 s时，荡木的中点 的速度和加速度。 的速度和加速度。 ，试求当t=0和 时 荡木的中点M的速度和加速度
∴aτ =ε × r
∴a n =ω × v
a n =ω × v
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第八章 刚体的基本运动
三、定轴轮系的传动比 在实际工程中，不同机器的工作转速往往是不一样的， 在实际工程中，不同机器的工作转速往往是不一样的， 故需要利用轮系的传动来提高或降低机器转速。 故需要利用轮系的传动来提高或降低机器转速。常用的有 带传动和齿轮传动。一般将主动轮转速与从动轮转速之比， 带传动和齿轮传动。一般将主动轮转速与从动轮转速之比， 表示， 用i表示，即 表示 n主 ω主 i= = n从 ω 从 1．带传动 当主动轮Ⅰ转动时， 当主动轮Ⅰ转动时，利用胶带与带轮轮缘间的摩擦带动 从动轮Ⅱ转动。 从动轮Ⅱ转动。 不考虑胶带由于拉力引起的变形及胶带的厚度， 不考虑胶带由于拉力引起的变形及胶带的厚度，为此在 同一瞬时胶带上各点速度大小应相等， 同一瞬时胶带上各点速度大小应相等，即v1 = v = v2。若胶带 与带轮间没有滑动， 与带轮间没有滑动，则
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第八章 刚体的基本运动
荡木用两条等长的钢索平行吊起，如图所示。 例8-1 荡木用两条等长的钢索平行吊起，如图所示。钢索长 为 长 l， 长 度 单 位 为 m。 当 荡 木 摆 动 时 钢 索 的 摆 动 规 律 ， 。 π 为时间，单位为s；转角φ 为 ϕ =ϕ0 sin t ，其中 t 为时间，单位为 ；转角 0的单位为 4 rad，试求当 和t=2 s时，荡木的中点 的速度和加速度。 的速度和加速度。 ，试求当t=0和 时 荡木的中点M的速度和加速度
∴aτ =ε × r
∴a n =ω × v
a n =ω × v
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第八章 刚体的基本运动
三、定轴轮系的传动比 在实际工程中，不同机器的工作转速往往是不一样的， 在实际工程中，不同机器的工作转速往往是不一样的， 故需要利用轮系的传动来提高或降低机器转速。 故需要利用轮系的传动来提高或降低机器转速。常用的有 带传动和齿轮传动。一般将主动轮转速与从动轮转速之比， 带传动和齿轮传动。一般将主动轮转速与从动轮转速之比， 表示， 用i表示，即 表示 n主 ω主 i= = n从 ω 从 1．带传动 当主动轮Ⅰ转动时， 当主动轮Ⅰ转动时，利用胶带与带轮轮缘间的摩擦带动 从动轮Ⅱ转动。 从动轮Ⅱ转动。 不考虑胶带由于拉力引起的变形及胶带的厚度， 不考虑胶带由于拉力引起的变形及胶带的厚度，为此在 同一瞬时胶带上各点速度大小应相等， 同一瞬时胶带上各点速度大小应相等，即v1 = v = v2。若胶带 与带轮间没有滑动， 与带轮间没有滑动，则
理论力学 第二章 刚体的基本运动
0
nπ 式中n为转速 单位：转/ 分(r/min) 。 山东大学 土建与水利学院工程力学系 THEORETICAL MECHANICS 30
§ 2.2 刚体绕定轴的转动
3.角加速度
描述角速度变化的快慢程度
2
d d lim 2 t 0 t dt dt
单位：弧度/秒2 (rad/s2 ) α与同号，刚体加速转动；
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
§2.4 轮系的传动比
1 n1 r2 Z2 i1,2 2 n2 r1 Z1
此结论对于锥齿轮传动和带 轮传动同样适用。 在一些复杂轮系（如变速器） 中包含有几对齿轮。可将每一对 齿轮的传动算出后，将它们连乘 起来，变为可得总的传动比。
392.8 62.5 转 2π
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
例 题
例2- 3 轮子绕O点作定轴转动，其加速度方向和轮的半径
成60度角，求轮的转动方程，以及角速度和转角之间的关系。
00, 0.
M
O
a
60
THEORETICAL MECHANICS
解 ： AB 杆 为 平 移 ， O1A 为 定 轴 转 动 。 根 据 平移的特点，在同一瞬 时，M、A两点具有相同 的速度和加速度。
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
例 题
A点作圆周运动，其运动方程为
s O1 A 3π t
ds dv vA 3π （m/s) a A t 0 dt dt
§ 2.1 刚体的平行移动
第七章 刚体的基本运动
7
第二节 刚体绕定轴转动
一. 转动方程
(1)转角 Ⅰ和Ⅱ夹角 ,单位弧度(rad)
(2)转动方程 =f(t)
(3) 的正、负规定
对着z 轴正向看
逆时针为正 顺时针为负
第二节 刚体绕定轴转动
二、角速度
⑴ 平均角速度
t
⑵ 角速度（瞬时）:表示刚
体转动快慢和转动方向的物
理量。
刚体平动→点的运动
第二节 刚体绕定轴转动
1.定义：当刚体运动时 ，刚体内（刚体外）有一 条直线始终保持不动。 2.刚体定轴转动的特点
（1) 始终保持不动的直线称为转轴； （2）其余各点都在垂直于转轴的平面 上以轴上的一点为圆心做圆周运动。
定轴转动实例：电机的转子、机床的主轴、变速箱中 的齿轮、绕固定铰链开关的门窗等！
转动 刚体上任一点的速度分布：
第三节 定轴转动刚体上点的速度和加速度
二.定轴转动刚体上点的加速度
点的加速度包括切向加速度和法向加速度！
⒈ 切向加速度
a
dv dt
d dt
(R)
d
dt
R
R
垂直转动半径，并指向刚体转动的一方。
⒉法向加速度
an
v2 R
(R)2
R
R 2
始终指向转轴O
⒊ 全加速度
⑴ 大小 ： a a 2 an2 R 2 4
⑵
方向 ：
tg
| a an
|
R| | R 2
| | 2
转动刚体内任一点的切向加速度的大小，等于该点的 转动半径与刚体角加速度的乘积，方向沿轨迹的切线 （垂直于转动半径的方向），指向与ε的转向一致。
第二节 刚体绕定轴转动
一. 转动方程
(1)转角 Ⅰ和Ⅱ夹角 ,单位弧度(rad)
(2)转动方程 =f(t)
(3) 的正、负规定
对着z 轴正向看
逆时针为正 顺时针为负
第二节 刚体绕定轴转动
二、角速度
⑴ 平均角速度
t
⑵ 角速度（瞬时）:表示刚
体转动快慢和转动方向的物
理量。
刚体平动→点的运动
第二节 刚体绕定轴转动
1.定义：当刚体运动时 ，刚体内（刚体外）有一 条直线始终保持不动。 2.刚体定轴转动的特点
（1) 始终保持不动的直线称为转轴； （2）其余各点都在垂直于转轴的平面 上以轴上的一点为圆心做圆周运动。
定轴转动实例：电机的转子、机床的主轴、变速箱中 的齿轮、绕固定铰链开关的门窗等！
转动 刚体上任一点的速度分布：
第三节 定轴转动刚体上点的速度和加速度
二.定轴转动刚体上点的加速度
点的加速度包括切向加速度和法向加速度！
⒈ 切向加速度
a
dv dt
d dt
(R)
d
dt
R
R
垂直转动半径，并指向刚体转动的一方。
⒉法向加速度
an
v2 R
(R)2
R
R 2
始终指向转轴O
⒊ 全加速度
⑴ 大小 ： a a 2 an2 R 2 4
⑵
方向 ：
tg
| a an
|
R| | R 2
| | 2
转动刚体内任一点的切向加速度的大小，等于该点的 转动半径与刚体角加速度的乘积，方向沿轨迹的切线 （垂直于转动半径的方向），指向与ε的转向一致。
第五章刚体的运动
ωdω=βdθ
ω θ
=[3gsinθ/(2l)]dθ
θ
p O N
ωdω= 0 [3gsinθ/(2l)]dθ 0 ω=[3g(1–cosθ)/l]1/2
例题 一根轻绳跨过一个半径为r，质量为M的 定滑轮，绳的两端分别系有质量为m1和m2的物 体 ，如图所示。假设绳不能伸长，并忽略轴的 摩擦，绳与滑轮也无相对滑动。求：定滑轮转 动的角加速度和绳的张力。
L
O
·
*质点作匀速率圆周运动时， 对圆心的角动量的大小为 v R L Rmv m 方向圆平面不变。
*同一质点的同一运动，如果选取的固定点不同， 其角动量也会不同。
锥摆
O
L 0 ro m m v
Lo ' r mv
L 0 lm v
方向变化
L o ' lm v sin
②积分形式：
其中：
t2 t1
t2 t1
M d t L 2 L1
M d t 称冲量矩
—力矩对时间的积累作用
例题 锥摆的角动量
r ①对O点： om T 0 rom m g l sin （ mg ）
锥摆
O
T l
m
v mg
解: m1, m2 及定滑轮切向受力如 图, 以运动方向为坐标正向. T1–m1g=m1a1 m2g–T2=m2a2
T1 m1 T1
T2
T2 m2
T2R2–T1R1=Jβ
β=a1/R1=a2/R2 J=M1R1
2/2+M 2R2 2/2
m1g
m2g
2(m2R2–m1R1)g 解得 β= 2m1R12+2m2R22+M1R12+M2R22
ω θ
=[3gsinθ/(2l)]dθ
θ
p O N
ωdω= 0 [3gsinθ/(2l)]dθ 0 ω=[3g(1–cosθ)/l]1/2
例题 一根轻绳跨过一个半径为r，质量为M的 定滑轮，绳的两端分别系有质量为m1和m2的物 体 ，如图所示。假设绳不能伸长，并忽略轴的 摩擦，绳与滑轮也无相对滑动。求：定滑轮转 动的角加速度和绳的张力。
L
O
·
*质点作匀速率圆周运动时， 对圆心的角动量的大小为 v R L Rmv m 方向圆平面不变。
*同一质点的同一运动，如果选取的固定点不同， 其角动量也会不同。
锥摆
O
L 0 ro m m v
Lo ' r mv
L 0 lm v
方向变化
L o ' lm v sin
②积分形式：
其中：
t2 t1
t2 t1
M d t L 2 L1
M d t 称冲量矩
—力矩对时间的积累作用
例题 锥摆的角动量
r ①对O点： om T 0 rom m g l sin （ mg ）
锥摆
O
T l
m
v mg
解: m1, m2 及定滑轮切向受力如 图, 以运动方向为坐标正向. T1–m1g=m1a1 m2g–T2=m2a2
T1 m1 T1
T2
T2 m2
T2R2–T1R1=Jβ
β=a1/R1=a2/R2 J=M1R1
2/2+M 2R2 2/2
m1g
m2g
2(m2R2–m1R1)g 解得 β= 2m1R12+2m2R22+M1R12+M2R22
刚体的基本运动
第三章 刚体力学§3.1 刚体运动的分析 §3.2 角速度矢量 §3.3 刚体运动微分方程 §3.4 刚体平衡方程 §3.5 转动惯量 §3.6 刚体的平动与定轴转动 §3.7刚体的平面平行运动§3.1 刚体运动的分析 一、描述刚体位置的独立变量1.刚体是特殊质点组dr ij =0,注意:它是一种理想模型,形变大小可忽略时可视为刚体。
2.描述刚体位置的独立变数描述一个质点需(x,y,z), 对刚体是否用3n 个变量？否,由于任意质点之间的距离不变,如确定不在同一直线上的三点,即可确定刚体的位置,需9个变量，由于两点间的距离保持不变，所以共需9-3=6个变量即可。
刚体的任意运动=质心的平动+绕质心的转动，描述质心可用(x,y,z), 描述转轴可由α,β,γ。
二、刚体的运动分类1.平动：刚体在运动过程中，刚体上任意直线始终平行.任意一点均可代表刚体的运动，通常选质心为代表.需要三个独立变量,可以看成质点力学问题.(注意:平动未必是直线运动)2.定轴转动: 刚体上有两点不动,刚体绕过这两点的直线转动,该直线为转轴. 需要一个独立变量φ3.平面平行运动: 刚体上各点均平行于某一固定平面运动。
可以用平行于固定平面的截面代表刚体。
需要三个独立变量。
4.定点运动: 刚体中一点不动,刚体绕过固定点的瞬转转动。
需三个独立的欧拉角。
5.一般运动: 平动+转动 §3.2 角速度矢量定轴转动时角位移用有向线段表示,右手法确定其方向.有向线段不一定是矢量,必须满足平行四边形法则,对定点转动时,不能直接推广,因不存在固定轴.刚体在dt 时间内转过的角位移为d n ，则角速度定义为0limt d t dt ∆→∆==∆n nω角速度反映刚体转动的快慢。
线速度与角速度的关系：,t d d d d =⨯⨯∴==rv r n r ωr§3.3 刚体运动微分方程 一、 基础知识1.力系：作用于刚体上里的集合。
08刚体的基本运动
结论：平移刚体的运动学问题可归结为
点
的运动学问题。
第二节
刚体绕定轴转动
一、绕定轴转动刚体的转动方程 转角：
t
说明：
（1）转角 为代数量，正负号表示 转向，一般按右手螺旋法则确定；
（2）转角 的单位：rad（弧度）
二、绕定轴转动刚体的角速度
d dt
说明（1）绕定轴转动刚体的角速度 为代数量，其正负号表示转向 ；角速 度 的正负号规定与转角 一致；
[例3] 如图，鼓轮绕轴 O 转动，已知鼓轮的半径 R = 0.2 m，转
动方程 = －t2＋4t （t 以 s 计， 以 rad 计）；不可伸长的绳索
缠绕在鼓轮上，绳索的另一端悬挂重物 A。试求当 t = 1 s 时， 轮缘上的点 M 和重物 A 的速度和加速度。
[例4] 半径 R = 0.5 m 的飞轮由静止开始转动，角加速度按 = b/(5 + t) rad/s2（b 为常数）的规律变化。已知 t = 5 s 时，轮缘 上点的速度 v = 20 m/s，试求当 t = 10 s 时，轮缘上点的速度和 加速度。 解：1）求飞轮的角速度、角加速度
时木梁中点 M 的速度和加速度
解： 木梁整体做曲线平移运动，因此
其上各点的运动轨迹相同t
v r
at r
an r
2
d d 2 2 dt dt
a r 2 4
tan 2
[例2] 杆OA套在套筒 B 中绕轴 O 转动，套筒 B 在竖直滑道中运 动。已知套筒 B 以匀速 v = 1 m/s 向上运动，滑道与轴 O 的水平 距离 l = 400 mm，运动初始时 = 0°。试求 = 30°时，杆OA的 角速度和角加速度。
刚体的基本运动
三、刚体平面运动的运动方程 刚 体 平 面 运 动 建立如图的静坐标系， 建立如图的静坐标系， 基点。 点称为基点 将 O′点称为基点。 当刚体作平面运动时， 当刚体作平面运动时， xO′，yO′ 和 均随时间连续变 化，它们均为时间的单值连 续函数， 续函数，即 x = f (t ) (t
1 O′ yO′ = f 2 (t ) = f 3 (t )
O
vO
O
ω
A B
O
ω
O1
二、刚体平面运动的简化 刚 体 平 面 运 动 如图所示， 如图所示，刚体作平面 运动时， 运动时，刚体上所有与空间 某固定平面距离相等的点所 构成的平面图形就保持在它 自身所在的平面内运动。 自身所在的平面内运动。
A1
π
A
S
经分析可得如下结 论：
π0
A2
刚体的平面运动可以简化为平面图形S 刚体的平面运动可以简化为平面图形 在其自身所在的平面内运动。 在其自身所在的平面内运动。
静 平 面 动
z
= (t )
平 面
这就是刚体的转动方程。 开门 这就是刚体的转动方程。(开门 转动方程 开门)
刚体上任意一点的轨迹都为圆。
O
二、角速度、角加速度 角速度、
刚体绕定轴转动的角速度等于其位置角对时 8.2 间的一阶导数，用ω 表示，即 间的一阶导数， 表示，
刚 体 的 定
d ω= = dt
绝对运动中,动点的速度与加速度称为绝对速度 va 与绝对加速度
aa
相对运动中,动点的速度和加速度称为相对速度 vr 与相对加速度 ar 牵连运动中,牵连点的速度和加速度称为牵连速度 ve与牵连加速度 ae
牵连点：在任意瞬时，动坐标系中与动点相重合的点，也就是 牵连点 设想将该动点固结在动坐标系上，而随着动坐标系一起运动时 该点叫牵连点。 四．动点的选择原则： 动点的选择原则： 一般选择主动件与从动件的连接点，它是对两个坐标系都有 运动的点。 五．动系的选择原则： 动系的选择原则 动点对动系有相对运动，且相对运动的轨迹是已知的， 或者能直接看出的。
理论力学8刚体的基本运动
前面都为数量表达式，只有大小，而未标明方向； 矢量表达既有大小，又有方向。
一. 角速度和角加速度的矢量表示
按右手定则规定
w ， 的方向。
大小:|w ||ddt |
dw dw k k
dt dt
方向如图 w wk
15
二 刚体内任一点的线速度和线加速度的矢积表示
vRw rsin w |w r|wrsin Rw
小于90o , 在同一瞬间的速度和加速度的分布图为:
各点速度分布图
各点加速度分布图
10
§8-4 绕定轴转动刚体的传动问题
传动比：通常称主动轮与从动轮角速度之比
i12
w1 w2
一.齿轮传动
因为是做纯滚动(即没有相对滑动) 1.内啮合
vF vE vF vE
wF rF wE rE
定义齿轮传动比
iEF
aC n Rw02 0.532 4.5m/s 2
aC (aC )2 (aC n )2 12 4.52 4.61 m/s2
tg
aC aC n
1 4.5
0.222,
12.5
⑤ t=3s 时， aC aA 1m/s2,aCn Rw 2 0.592 40.5m/s2
aC
12 40.52 40.51m/s2,
w 2 w02 2
7
§8-3 转动刚体内各点的速度和加速度
一. 线速度V和角速度w之间的关系(即角量与线量的关系)
w , 对整个刚体而言(各点都一样)；
v, a 对刚体中某个点而言(各点不一样)。
v
v
lim
t0
R t
wR
v wR
8
二.角加速度 与an ,a 的关系
刚体的基本运动
刚体的基本运动
答案：
刚体的基本运动形式包括平动、转动（分为定轴转动和非定轴转动）以及平面运动（随质心的平动、绕质心的转动）。
平动是指刚体在运动过程中，整体上以同一速度沿直线运动的现象，其特点是刚体内各点的运动轨迹完全相同。
转动则是刚体绕某一轴心进行旋转的运动，根据轴心的位置不同，可以分为定轴转动和非定轴转动。
平面运动则包括了随质心的平动和绕质心的转动，这种运动形式在工程实际中也是常见的。
复合运动，即平动和转动的组合运动，是刚体运动的一种特殊形式。
例如，自行车在平地上行驶时，既有整车质心的平动，又有轮胎相对于地面的转动。
因此，复合运动确实是刚体的基本运动形式之一。
延伸：
刚体指在运动中和受力作用后，形状和大小不变，而且内部各点相对位置不变的物体。
绝对刚体实际上只是一种理想模型，因为任何物体在受力作用后，都或多或少地变形，如果变形的程度相对于物体本身几何尺寸来说极为微小，在研究物体运动时变形就可以忽略不计。
把许多固体视为刚体，所得到的结果在工程上一般已有足够的准确度。
刚体的特点：刚体上任意两点的连线在平动中是平行且相等的。
刚体上任意质元的位置矢量不同，相差一恒矢量，但各质元的位移、速度和加速度却相同。
因此，常用“刚体的质心”来研究刚体的平动。
第六章 刚体的基本运动
dω dr dv d = （ω× r ) = × r + ω× a= dt dt dt dt
z R a M
n
a = α × r + ω× v
aτ = α × r
α × r = α ⋅ r sin θ = α ⋅ R
O
aτ
v
α ω θ r
ω× r
a
n
= ω × v
ω ⋅ v = ω ⋅ ω ⋅ R = ω
dθ = ωo 其中： dt
所以： bcosθ ⋅ ω o = rcos(θ + ϕ ) ⋅ (ω o + ω )
dϕ =ω dt
*
rcos(θ + ϕ ) ω 解得： ω o = bcosθ − rcos(θ + ϕ )
方程*两边对时间取导数，得：
bcosθ ⋅ ω o = rcos(θ + ϕ ) ⋅ (ω o + ω )
一 、角速度的矢量表示
z
ω
k k
ω
z
ω=ω k
右手螺旋规则：右手的四指代表转动的方向，拇指代表角 速度矢量 ω 的方向。
二、角加速度的矢量表示
角加速度矢量定义：
dω α= dt
角加速度矢
α 为角速度矢 ω 对时间的一阶导数
d dω α = ( ωk) = k dt dt
dω d ϕ = 2 α= dt dt
为描述变速的程度，引入传动比的概念。
ω1 R2 z 2 = = 传动比： i12 = ω 2 R1 z1
ω1 n1 α1 R2 z 2 i12 = = = = = ω 2 n2 α 2 R1 z1
二 、皮带轮传动
n1 R1
vB A vA B R2
z R a M
n
a = α × r + ω× v
aτ = α × r
α × r = α ⋅ r sin θ = α ⋅ R
O
aτ
v
α ω θ r
ω× r
a
n
= ω × v
ω ⋅ v = ω ⋅ ω ⋅ R = ω
dθ = ωo 其中： dt
所以： bcosθ ⋅ ω o = rcos(θ + ϕ ) ⋅ (ω o + ω )
dϕ =ω dt
*
rcos(θ + ϕ ) ω 解得： ω o = bcosθ − rcos(θ + ϕ )
方程*两边对时间取导数，得：
bcosθ ⋅ ω o = rcos(θ + ϕ ) ⋅ (ω o + ω )
一 、角速度的矢量表示
z
ω
k k
ω
z
ω=ω k
右手螺旋规则：右手的四指代表转动的方向，拇指代表角 速度矢量 ω 的方向。
二、角加速度的矢量表示
角加速度矢量定义：
dω α= dt
角加速度矢
α 为角速度矢 ω 对时间的一阶导数
d dω α = ( ωk) = k dt dt
dω d ϕ = 2 α= dt dt
为描述变速的程度，引入传动比的概念。
ω1 R2 z 2 = = 传动比： i12 = ω 2 R1 z1
ω1 n1 α1 R2 z 2 i12 = = = = = ω 2 n2 α 2 R1 z1
二 、皮带轮传动
n1 R1
vB A vA B R2
刚体
牵连速度
r r r a = a'+a0
牵连 加速度
三、加利略变换 系相对于S系作匀速直线平动 若S′系相对于 系作匀速直线平动，则: 系相对于 系作匀速直线平动，
v u = 常矢量 v v du a0 = =0 dt v v a = a′
设t=0时两坐标系的原点 时两坐标系的原点 重合， 系相对于 系相对于S系以 重合，S′系相对于 系以 速率u朝 正方向运动 正方向运动,则 速率 朝x正方向运动 则
1-6
相对运动
一、运动描述具有相对性
车上的人观察
地面上的人观察
运动是相对的 静止参考系、 静止参考系、运动参考系也是相对的
二、“绝对运动”、牵连运动、相对运动 绝对运动” 牵连运动、 三者应具有如下变换关系 “绝对位矢” 绝对位矢” 绝对位矢 1、位移变换关系 相对位矢 、
v v v r = r′ + r0
A x
dy d 2 2 (2) v = = ( 8.5 + t − 8.5) dt dt t v= 8.52 + t 2
dv d t a= ) = ( dt dt 8.52 + t 2 8.52 a= (8.52 + t 2 )3 2
3、一质点在 、一质点在OXY平面内运动，运动学方程为： 平面内运动， 平面内运动 运动学方程为： X=2t, Y=19-2t2 (1) 质点的运动轨道方程 (2)写出 写出t=1s和t=2s时刻质点的位矢；并计算这一秒 时刻质点的位矢； 写出 和 时刻质点的位矢 内质点的平均速度； 内质点的平均速度； (4)在什么时刻质点的位矢与其速度恰好垂直 ？ 这 在什么时刻质点的位矢与其速度恰好垂直？ 在什么时刻质点的位矢与其速度恰好垂直 它们的X、 分量各为多少 分量各为多少？ 时，它们的 、Y分量各为多少？ (3)t=1s和t=2s时刻的速度和加速度； 时刻的速度和加速度； 和 时刻的速度和加速度 (5)在什么时刻，质点离原点最近？距离是多少？ 在什么时刻， 在什么时刻 质点离原点最近？距离是多少？
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刚体的基本运动 班级 姓名 学号
一、是非题（正确用√，错误用×，填入括号内。
）
1、定轴转动刚体上与转动轴平行的任一直线上的各点加速度的大小相等，而且方向也相同。
（ ）
2、刚体作平动时，其上各点的轨迹可以是直线，可以是平面曲线，也可以是空间曲线。
（ ）
3、刚体作定轴转动时，垂直于转动轴的同一直线上的各点，不但速度的方向相同而且其加速度的方向也相同。
（ ）
二、选择题（每题3分。
请将答案的序号填入划线内。
）
1、在图示机构中，杆B O A O 21//，杆D O C O 32//，且201=A O cm ，402=C O cm,
CM=MD =30cm, 若杆1AO 以角速度s rad /3=ω匀速转动，
则D 点的速度的大小为﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍cm ，M 点的加速度的大小为﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2/s cm 。
① 60 ；② 120 ；③ 150 ；④ 360 ；
2、已知正方形板ABCD 作定轴转动，转轴垂直于板面，A 点的速度s cm v A /10=，加速度
2/210s cm a A =，方向如图。
则正方形板转动的角速度的大小为﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍。
①s rad /1； ②s rad /2； ③无法确定。
三、计算题
1、已知搅拌机的主动齿轮O 1以m in r 950=n
的转速转动。
搅杆ABC 用销钉A 、B 与齿轮O 2、O 3相连，如图所示。
且
32O O AB =，m 25.023==B O A O ，各齿轮齿数为z 1=20，z 2=50，z 3=50。
求搅杆端点C 的速度和轨迹。
2、机构如图所示，假定杆AB 在某段时间内以匀速v 运动，开始时0=ϕ。
试求当4πϕ=时，摇杆OC 的角速度和角
加速度。
3、图示曲柄滑道机构中，T 形杆中BC 保持水平、DE 保持铅直。
曲柄OA 长10cm ，以匀角速度s rad /20=ω绕O 轴转动，通过套筒A 使杆BC 作往复运动。
求杆BC 的速度和加速度。