最小方差性的证明

最小方差性的证明：

假设*1

ˆβ

是其他方法得到的关于1

β的线性无偏估计量： ∑=i i Y c *1

ˆβ其中，i i i

d k c

+=，i d 为不全为零的常数。

∑∑∑∑∑+=+===i

i i i i i i i i X c c X c Y E c Y c E E 1010*1)()()()ˆ(βββββ由*

1

ˆβ

的无偏性，即1*1

)ˆ(ββ=E 可知：

∑∑=+1

10βββi i i X c c 从而有： ∑=0i

c

，∑=1

i i X c

*1

ˆβ的方差

∑∑∑∑====2222*1)var()var()var()ˆvar(σμβi i

i i i i i c c Y c Y c =∑∑∑∑++=+i

i i i i i d k d k d k 2

2222222)(σσσσ由于

∑∑∑∑-=-=2

)(i

i i i i i i i k c k k c k d k =∑∑∑∑∑∑

∑∑∑=-=--=

-0112222

22i

i i

i

i

i

i i i i

i

x x k

x c X c X k c x x 故

∑∑∑∑∑+=+=+=22122222222*1

)ˆvar(1)ˆvar(i i i

i i d d x d k σβσσσσβ因为 ∑≥0

2

i

d 所以 )ˆvar()ˆvar(1

*1ββ≥当0=i

d

，（

n

i ,2,1 =）等号成立，此时：

i i k c =，*1

ˆβ就是OLS 估计量1

ˆβ。