新高中数学必修一第一册第一章 讲义 集合与常用逻辑用语--第1讲集合的概念与性质(含答案)

第一章 集合与常用逻辑用语

第一讲：集合的概念

知识点梳理讲解：

一、集合的概念 【知识梳理】

1、元素与集合的概念

【要点讲解】 准确认识集合的含义

(1)集合的概念是一种描述性说明，因为集合是数学中最原始的、不加定义的概念，这与我们初中学过的点、直线等概念一样，都是用描述性语言表述的．

(2)集合含义中的“元素”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素. 【知识精讲】

例1 (1)下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数的全体；③平面上到点A 的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤2的近似值的全体．其中能构成集合的组数是( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

(2)判断下列说法是否正确，并说明理由． ①某个公司里所有的年轻人组成一个集合；

②由1，32，6

4，21 ，12

组成的集合有五个元素；

③由a ，b ，c 组成的集合与由b ，a ，c 组成的集合是同一个集合．

【解】(1)选A “接近于0的数”“比较小的正整数”标准不明确，即元素不确定，所以①②不是集合．同样，“2的近似值”也不明确精确到什么程度，因此很难判定一个数，比如2是不是它的近似值，所以⑤也不是一个集合．③④能构成集合．

(2)①不正确．因为“年轻人”没有确定的标准，对象不具有确定性，所以不能组成集合．

②不正确．由于32＝64，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＝12，由集合中元素的互异性知，这个集合是由1，32，1

2这三个元素组成的． ③正确．集合中的元素相同，只是次序不同，但它们仍表示同一个集合．

【变式训练】

1、下列各组对象可以组成集合的是( ) A ．数学必修1课本中所有的难题 B ．小于8的所有素数

C ．平面直角坐标系内第一象限的一些点

D ．所有小的正数 【答案】 B

【解析】A 中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B 能构成集合；C 中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“平面直角坐标系内第一象限的一些点”不能构成集合；D 中没有明确的标准，所以不能构成集合．

2 考察下列每组对象能否构成一个集合． (1)不超过20的非负数；

(2)方程x 2

－9＝0在实数范围内的解； (3)某班的所有高个子同学； (4)3的近似值的全体．

【解】(1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合； (2)能构成集合；

(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合； (4)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合．

3、判断下列每组对象能否构成一个集合．

(1)著名的数学家；

(2)某校2020年在校的所有高个子同学； (3)不超过20的非负数；

(4)方程x 2

－9＝0在实数范围内的解； (5)平面直角坐标系内第一象限的一些点．

【解】(1)“著名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，因此“著名的数学家”不能构成一个集合．(2)与(1)类似，也不能构成集合．(3)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合．(4)类似于(3)，也能构成集合．(5)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合.

【方法技巧总结】

判断一组对象能否组成集合的标准及其关注点

(1)标准：判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．

(2)关注点：利用集合的含义判断一组对象能否组成一个集合，应注意集合中元素的特性，即确定性、互异性和无序性．

二、元素的特性及集合相等

【知识梳理】

1．集合相等

只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合相等．

2．集合元素的特性

集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．

【要点讲解】

(1)确定性：作为一个集合的元素必须是明确的，不能确定的对象不能构成集合．也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的．

(2)互异性：对于给定的集合，其中的元素一定是不同的，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素．

(3)无序性：对于给定的集合，其中的元素是不考虑顺序的．如由1,2,3构成的集与3,2,1构成的集合是同一个集合.

【知识精讲】

例1、已知集合A有三个元素：a－3,2a－1，a2＋1，集合B也有三个元素：0,1，x.

(1)若－3∈A，求a的值；

(2)若x2∈B，求实数x的值；

(3)是否存在实数a，x，使A＝B.

【解】(1)由－3∈A且a2＋1≥1，

可知a－3＝－3或2a－1＝－3，

当a －3＝－3时，a ＝0；当2a －1＝－3时，a ＝－1. 经检验，0与－1都符合要求． ∴a ＝0或－1.

(2)当x ＝0,1，－1时，都有x 2

∈B ，

但考虑到集合元素的互异性，x ≠0，x ≠1，故x ＝－1. (3)显然a 2

＋1≠0.由集合元素的无序性， 只可能a －3＝0或2a －1＝0. 若a －3＝0，则a ＝3，

A ＝{a －3,2a －1，a 2＋1}

＝{0,5,10}≠B . 若2a －1＝0，则a ＝1

2

，

A ＝{a －3,2a －1，a 2＋1}

＝⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧-

45,25,0≠B . 故不存在这样的实数a ，x ，使A ＝B .

例2、 已知集合A 中含有两个元素a 和2

a ，若1∈A ，求实数a 的值． 【解】

若1∈A ，则a ＝1或2

a ＝1，即a ＝±1.

当a ＝1时，a ＝2

a ，集合A 中有一个元素，∴a ≠1. 当a ＝－1时，

集合A 中含有两个元素1，－1，符合互异性．∴a ＝－1.

【变式训练】

1、已知集合M 中含有三个元素：2，a ，b ，集合N 中含有三个元素：2a,2，b 2

，且M ＝N ，求a ，b 的值． 【解】

方法一： 根据集合中元素的互异性，

有⎩

⎪⎨⎪⎧

a ＝2a ，

b ＝b 2

或⎩

⎪⎨

⎪⎧

a ＝

b 2

，

b ＝2a ，

解得⎩⎪⎨

⎪⎧

a ＝0，

b ＝1

或⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝0，

b ＝0

或⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝1

4，b ＝1

2.