高级微观经济学作业

第

1.20设偏好由柯布道格拉斯函数形容，即()21121,x U αα-=x Ax x ，10<<α，设存在一个内点解，求这里的马歇尔需求函数？

答：消费者所面临的约束条件设为

M x p x p ≤+2211

消费者效用最大化时所面临的问题是

()M x p x p t s x Ax x ≤+=-221121121..,,x max U αα

构造拉格朗日函数

())(.,,x L 221121121x p x p M x Ax x --+=-λλαα

分别对21,x x 与λ求一阶偏导并令其为0，得到

112111

0p x x A x L λαα

α-=∂∂=

-- 2212

)1(0p x x A x L λαα

α--=∂∂=

- 22110x p x p M L

--=∂∂=

λ

解得

1

*1M

p x α=

2

*2M

)1(p x α-=

因此，1x 商品的马歇尔需求函数为

1

*1M

p x α=

2x 种商品的马歇尔需求函数为

2

*2M

)1(p x α-=

1.26 消费两种商品的消费者面对着正的价格并具有一个正的收入，其效用函数为()121,x U x x =，推导出它的马歇尔需求函数？

消费者所面临的约束条件设为

M x p x p ≤+2211

消费者效用最大化时所面临的问题是

()M x p x p t s x x ≤+=2211121..,,x max U

由于消费者的效用函数只包括1x 种商品，因此消费者的效用只取决于1x 种商品的数量，因此，消费者对1x 商品的马歇尔需求函数为

1

*

1M

p x =

0*2=x

1.28一个永久生存的消费者拥有一单位的商品——他终生消费这种商品，该

商品可完善贮存并且他将接受该商品数量不会超过他目前所拥有的。在t 时期里消费的商品数量由t x 表示，并且其终生效用由下列式子给出：

()∑∞

==021)ln(,,x U t t t x x β ，这里10<<β

计算每期他的最优消费水平。

答：消费者所面临的预算约束是

10

t ≤∑∞

=t

x

消费者终生面临的问题是

()..,)ln(,,x maxU 0

21t s x x t t t

∑∞==β 10

t ≤∑∞

=t x

构造拉格朗日函数

()=

λ,,x L 21 x ∑∞

=0

)ln(t t t

x β

+)1(.0

∑∞

=-t t x λ

对t x ，1-t x 求一阶偏导得到

λβ-=∂∂=

t

t t x x L 1

0 λβ-=∂∂=

---1

1110t t t x x L

=∂∂=λL 0∑∞

=-0

t 1t x

解得，

t t x x =-1β

10

t =∑∞

=t

x

根据上两式，得到该消费者第t 期的最优消费是

(

)t ββ-=1x *t 1.53 n 种物品的柯布道格拉斯函数为()∏==n

i a i x A x 1

1u

这里A>0，并且11

=∑=n

i i a

（a ） 求马歇尔需求函数

（b ） 推出间接效用函数、 （c ） 计算支出函数 （d ） 计算希克斯函数

答：（a ）消费者面临的问题是

()M x p t s i i i ∑∏==≤=n

1

n

1

i a i ..,x A x maxU i

构造拉格朗日函数得到

()=λ,,x L 21n x x ∏=n i a i i x A 1

+).(n

1

∑=-i i i x p M λ

分别对i x ，λ分别求一阶偏导并令其为0

i i n

i a i i i p x x A x L i λα-=∂∂=∏=101

11

1110--=--=∂∂=∏i i n i a i i i p x x A x L i λα

∑=-=∂∂=n

i i i x p M L 1

0λ

解得

i i n

i a i i p x A i x 1

λα=∏=

∑==n

i i i x p M 1

又因为

11

=∑=n

i i

a

因此，

i

i i p a M

x =

* （b ）答：将得到的每种商品的马歇尔需求带入到原效用函数中得到间接效用函数

()M p v ,。

()()

∏==n

i i

i n

p a M A M p v 11, （c ）根据间接效用函数与支出函数的关系，对于任何一个价格水平p ，总存在一个()u p ,e 使得下式成立：

()()()()∏∏====n

i i

i n

n

i i i n

p a u p e A p a M A M p v 111,1,

因此，支出函数()u p ,e 为

()u p ,e =()n

n

i i

i p a A M p v 1

1),(

∏=

（d ）根据谢泼特引理，对得到的支出函数关于价格i p 求偏导数得到商品的希克斯需求函数为

()i n i i i n

i i i i h i a p a A M p v p a Ap M n x 21

11

1

))(,()(1-=-=∏∏=

1.62 在价格为（8，p ）处，效用最大化消费者的需求方程组的替代矩阵是：

⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-212a

b