高级微观经济学作业

第1.20设偏好由柯布道格拉斯函数形容，即()21121,x U αα-=x Ax x ，10<<α，设存在一个内点解，求这里的马歇尔需求函数？答：消费者所面临的约束条件设为M x p x p ≤+2211消费者效用最大化时所面临的问题是()M x p x p t s x Ax x ≤+=-221121121..,,x max U αα构造拉格朗日函数())(.,,x L 221121121x p x p M x Ax x --+=-λλαα分别对21,x x 与λ求一阶偏导并令其为0，得到1121110p x x A x L λααα-=∂∂=-- 2212)1(0p x x A x L λααα--=∂∂=- 22110x p x p M L--=∂∂=λ解得1*1Mp x α=2*2M)1(p x α-=因此，1x 商品的马歇尔需求函数为1*1Mp x α=2x 种商品的马歇尔需求函数为2*2M)1(p x α-=1.26 消费两种商品的消费者面对着正的价格并具有一个正的收入，其效用函数为()121,x U x x =，推导出它的马歇尔需求函数？消费者所面临的约束条件设为M x p x p ≤+2211消费者效用最大化时所面临的问题是()M x p x p t s x x ≤+=2211121..,,x max U由于消费者的效用函数只包括1x 种商品，因此消费者的效用只取决于1x 种商品的数量，因此，消费者对1x 商品的马歇尔需求函数为1*1Mp x =0*2=x1.28一个永久生存的消费者拥有一单位的商品——他终生消费这种商品，该商品可完善贮存并且他将接受该商品数量不会超过他目前所拥有的。

在t 时期里消费的商品数量由t x 表示，并且其终生效用由下列式子给出：()∑∞==021)ln(,,x U t t t x x β ，这里10<<β计算每期他的最优消费水平。

答：消费者所面临的预算约束是10t ≤∑∞=tx消费者终生面临的问题是()..,)ln(,,x maxU 021t s x x t t t∑∞==β 10t ≤∑∞=t x构造拉格朗日函数()=λ,,x L 21 x ∑∞=0)ln(t t tx β+)1(.0∑∞=-t t x λ对t x ，1-t x 求一阶偏导得到λβ-=∂∂=tt t x x L 10 λβ-=∂∂=---11110t t t x x L=∂∂=λL 0∑∞=-0t 1t x解得，t t x x =-1β10t =∑∞=tx根据上两式，得到该消费者第t 期的最优消费是()t ββ-=1x *t 1.53 n 种物品的柯布道格拉斯函数为()∏==ni a i x A x 11u这里A>0，并且11=∑=ni i a（a ） 求马歇尔需求函数（b ） 推出间接效用函数、 （c ） 计算支出函数 （d ） 计算希克斯函数答：（a ）消费者面临的问题是()M x p t s i i i ∑∏==≤=n1n1i a i ..,x A x maxU i构造拉格朗日函数得到()=λ,,x L 21n x x ∏=n i a i i x A 1+).(n1∑=-i i i x p M λ分别对i x ，λ分别求一阶偏导并令其为0i i ni a i i i p x x A x L i λα-=∂∂=∏=101111110--=--=∂∂=∏i i n i a i i i p x x A x L i λα∑=-=∂∂=ni i i x p M L 10λ解得i i ni a i i p x A i x 1λα=∏=∑==ni i i x p M 1又因为11=∑=ni ia因此，ii i p a Mx =* （b ）答：将得到的每种商品的马歇尔需求带入到原效用函数中得到间接效用函数()M p v ,。

()()∏==ni ii np a M A M p v 11, （c ）根据间接效用函数与支出函数的关系，对于任何一个价格水平p ，总存在一个()u p ,e 使得下式成立：()()()()∏∏====ni ii nni i i np a u p e A p a M A M p v 111,1,因此，支出函数()u p ,e 为()u p ,e =()nni ii p a A M p v 11),(∏=（d ）根据谢泼特引理，对得到的支出函数关于价格i p 求偏导数得到商品的希克斯需求函数为()i n i i i ni i i i h i a p a A M p v p a Ap M n x 21111))(,()(1-=-=∏∏=1.62 在价格为（8，p ）处，效用最大化消费者的需求方程组的替代矩阵是：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212ab求出a,b 与p 。

答：若上述矩阵为消费者希克斯需求的替代矩阵则有2=b由于()∑==∂∂n10,j j jh i p p u p x ，所以有下式成立 8a+2p=02p-4=0解得P=2a=-21-第二章2.3.如果消费者的间接效用函数具有()βα21,v p yp y p =，推出他的直接效用函数？答：根据间接效用函数与马歇尔需求函数之间关系有：1*1yp x α=2*2p yx β=则该消费者的直接效用函数()βα2121,x u x x x =2.6一个消费者的支出函数为()()2121/,e p p p up u p +=，找出直接效用函数，它合理化了该消费者的行为。

答：根据谢博特引理，可以根据支出函数求出消费者的希克斯需求函数，()22121212*1p -)p (p p p p p ux ++=()22121211*2p -)p (p p p p p ux ++=则该消费者的直接效用函数为()()ρρρ12121x ,x u x x +=第三章3.8列昂希夫生产函数有如下形式：{}21,x min y x βα=刻画该种技术的等产量线，并证明这里的替代弹性σ=0。

答：根据列昂希夫生产函数的形式，当21x x βα>时，2y x β=，而当21x x βα<时，有1y x α=成立，当y x ==21x βα，根据这些条件我们画出两种要素投入下的列昂希夫生产函数的等产量线的图形。

替代弹性描述的是两种生产要素之间的替代程度的描述，公式为()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=x f x f d x x d j ii j ln ln ij δ 根据该公式对两种生产要素的替代弹性进行计算得到0ij =δ3.9计算柯布道格拉斯生产函数βα21y x Ax =的替代弹性δ。

答：根据替代弹性的公式()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=x f x f d x x d j i i j ln ln ij δ得到，()()1122121211ln ln ln d dx x dx x x d x d x x -=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ ()βαα2111x x A x f -=，()`1212-=βαβx x A x f11221221ln ln d dx x dx x x x d f f βαβα-==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 则替代弹性ij δ为=ij δβα 3.28 厂商1有成本函数()y w c ,1，厂商2有如下成本函数。

在如下条件下，两个厂商的投入需求和供给行为将会是相同的。

()()？y w c y w ,221,c 12= ()()？y w c y w 2,,c 12=答：厂商1供给行为由下面条件决定P=()y,c 1∂∂y w根据谢博特引理有，厂商的要素需求行为：()y w x ,1=()w,c 1∂∂y w 对于厂商2来说，如果其成本函数为()()y w c y w ,221,c 12=，则厂商2供给行为： P=()y,c 211∂∂y w ()y w x ,2=()w,c 1∂∂y w因此，厂商1和厂商2的供给行为不同，但两个厂商要素需求行为相同。

如果厂商2的成本函数为()()y w c y w 2,,c 12=，厂商2的供给行为为P=()y2,c 21∂∂y w()y w x ,2=()w,c 1∂∂y w 则厂商1与厂商2的要素需求行为相同，但供给行为不同。