垂直关系的性质(最新课件)
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高中数学必修课件第一章垂直关系的性质

02
证明过程
03
首先,连接AC交BD于点O,连接EO。由于ABCD是正方 形,因此AC⊥BD。
04
由于PD⊥底面ABCD,所以PD⊥AC。因此,AC⊥平面 PDB。
05
由于E是PC的中点,O是AC的中点,所以EO∥PA。因此 ,EO⊥平面PDB。
06
由于EF⊥PB且EO∩EF=E,所以PB⊥平面EFD。
01
02
03
垂直线定义
两条直线相交成90度角时 ,这两条直线互相垂直。
垂直符号
用符号"⊥"表示两条直线 垂直,如直线AB垂直于直 线CD,记作AB⊥CD。
垂直线段的性质
连接直线外一点与直线上 各点的所有线段中,垂线 段最短。
垂直角概念与性质
垂直角定义
两条相交线中的任一个角 与它的邻补角互为垂直角 。
垂直线段最短的性质
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。
典型例题解题思路梳理
例题1
证明两条直线垂直。解题思路:根据垂直的定义,证明两条直线相交成90度角,或者利 用平面内两直线垂直的判定定理进行证明。
例题2
求点到直线的距离。解题思路:首先作点到直线的垂线,然后利用垂线段最短的性质,求 出点到直线的距离。
系。
注意事项
在应用垂直线段比例定理时,需 要注意直角三角形的斜边和直角 边的对应关系,避免出现错误。
垂直平分线性质
垂直平分线定义
经过某一条线段的中点,并且垂 直于这条线段的直线,叫做这条
线段的垂直平分线。
垂直平分线性质
垂直平分线上的点到线段两端的距 离相等。
垂直平分线的判定
到一条线段两个端点距离相等的点 ,在这条线段的垂直平分线上。
证明过程
03
首先,连接AC交BD于点O,连接EO。由于ABCD是正方 形,因此AC⊥BD。
04
由于PD⊥底面ABCD,所以PD⊥AC。因此,AC⊥平面 PDB。
05
由于E是PC的中点,O是AC的中点,所以EO∥PA。因此 ,EO⊥平面PDB。
06
由于EF⊥PB且EO∩EF=E,所以PB⊥平面EFD。
01
02
03
垂直线定义
两条直线相交成90度角时 ,这两条直线互相垂直。
垂直符号
用符号"⊥"表示两条直线 垂直,如直线AB垂直于直 线CD,记作AB⊥CD。
垂直线段的性质
连接直线外一点与直线上 各点的所有线段中,垂线 段最短。
垂直角概念与性质
垂直角定义
两条相交线中的任一个角 与它的邻补角互为垂直角 。
垂直线段最短的性质
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。
典型例题解题思路梳理
例题1
证明两条直线垂直。解题思路:根据垂直的定义,证明两条直线相交成90度角,或者利 用平面内两直线垂直的判定定理进行证明。
例题2
求点到直线的距离。解题思路:首先作点到直线的垂线,然后利用垂线段最短的性质,求 出点到直线的距离。
系。
注意事项
在应用垂直线段比例定理时,需 要注意直角三角形的斜边和直角 边的对应关系,避免出现错误。
垂直平分线性质
垂直平分线定义
经过某一条线段的中点,并且垂 直于这条线段的直线,叫做这条
线段的垂直平分线。
垂直平分线性质
垂直平分线上的点到线段两端的距 离相等。
垂直平分线的判定
到一条线段两个端点距离相等的点 ,在这条线段的垂直平分线上。
垂直关系课件

C.①④
D.②③
解析: 很明显①错,故排除A、C,②正确,排除B.
答案: D
工具
第七章
立体几何
栏目导引
4.已知平面α、β和直线m,给出条件:
①m∥α;②m⊥α;③mα;④α⊥β;⑤α∥β.
(1)当满足条件________时,有m∥β;(填所选条件的序号,下同) (2)当满足条件________时,有m⊥β. 解析: 先画出①②③④⑤的图形.
工具
第七章
立体几何
栏目导引
解析: (1)证明:在△ABD中,
∵AD=4,BD=8,AB=4, ∴AD2+BD2=AB2.∴AD⊥BD. 又∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD, BD平面ABCD, ∴BD⊥平面PAD. 又BD平面BDM,∴平面MBD⊥平面PAD.
工具
第七章
a α,b α a∩b=A ⇒l⊥α. l⊥a,l⊥b
工具
第七章
立体几何
栏目导引
(3)直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线 用符号表示为 平行. .
a⊥α,b⊥α⇒a∥b
2.平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
两个平面相交,如果它们所成二面角是 直角 , 就 说 这 两 个 平 面
答案: (1)③⑤ (2)②⑤
工具
第七章
立体几何
栏目导引
5.△ABC,∠ABC=90°,PA⊥平面 则图中直角三角形的个数是________. 解析: BC⊥平面PAB, 故△PBC是直角三角形,
ABC ,
从而图中直角三角形的个数共有4个.
答案: 4
工具
第七章
立体几何
栏目导引
工具
线面垂直、面面垂直的性质与判定定理ppt课件

a⊥β α
b
a
B
γ
证明:过a作平面γ交于b, 因为直线a//,所以a//b
β 又因为a⊥AB,所以b⊥AB
A
又⊥β,∩β=AB
辅助线(面):
所以b⊥β
发展条件的使解题过 程获得突破的
进而a⊥β
【课后自测】4、如图,已知SA⊥平面ABC,
平面SAB⊥平面SBC,求证:AB⊥BC
证明:过点A作AD⊥SB于D, ∵平面SAB⊥平面SBC,
直线l在平面α内,那么直线l与平面β
的位置关系有哪几种可能?
α l
β
平行
α
l
β
相交
α
l β
线在面内
知识探究:
思考2:黑板所在平面与地面所在平面垂 直,在黑板上是否存在直线与地面垂直? 若存在,怎样画线?
α
β
证明问题:
已知: , A , C B , 且 D C A . 求D 证:B CD
β
a
l
A α
a
l
a
a l
作用: 面面垂直线面垂直
垂直体系
判定
判定
线线垂直
线面垂直 面面垂直
定义
性质
问题2 , a , a , 判 断 a 与 位 置 关 系
α
a
a //
l
问题3: β
思考:已 , , 知直 平 a,且 线 面 ,A,B
a/ /,aA,B 试判断 a与直 平 的 线 面 位置关
符号语言:
ab
a ,b a //b
α
线面垂直关 系
最新版整理ppt
线线平行关 系
3
平面与平面垂直的性质
温故知新
高中数学必修2课件:第一章 6 垂直关系的性质

6.2 垂直关系的性质
预习课本P39~41,思考并完成以下问题
(1)线面垂直的性质定理的内容是什么?有什么作用?
(2)面面垂直的性质定理的内容是什么?有什么作用?
(3)应用面面垂直性质定理时应注意什么?
1.直线与平面垂直的性质定理 (1)文字语言:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直 线 平行 . (2)图形语言:
[活学活用] 如图,已知平面α∩平面β=l,EA⊥α,垂足 为A,EB⊥β,垂足为B,直线a β,a⊥AB. 求证:a∥l.
证明:因为EA⊥α,α∩β=l,即l α,所以l⊥EA.同理l⊥EB. 又EA∩EB=E,所以l⊥平面EAB. 因为EB⊥β,a β,所以EB⊥a, 又a⊥AB,EB∩AB=B, 所以a⊥平面EAB. 由线面垂直的性质定理,得a∥l.
(1)如图,在菱形ABCD中, 连接BD, 由已知∠DAB=60°, ∴△ABD为正三角形,
∵G是AD的中点,∴BG⊥AD. ∵平面PAD⊥平面ABCD, 且平面PAD∩平面ABCD=AD, ∴BG⊥平面PAD. (2)如图,连接PG. ∵△PAD是正三角形,G是AD的中点, ∴PG⊥AD,由(1)知BG⊥AD. 又∵PG∩BG=G.∴AD⊥平面PBG. 而PB 平面PBG,∴AD⊥PB.
面面垂直性质定理的应用
[典例] 已知P是△ABC所在平面外的一点,且PA⊥平 面ABC,平面PAC⊥平面PBC,求证:BC⊥AC.
[证明]
如图,在平面PAC内作AD⊥PC于点D,
∵平面PAC⊥平面PBC,AD 平面PAC,且AD⊥PC, ∴AD⊥平面PBC, 又BC 平面PBC,∴AD⊥BC. ∵PA⊥平面ABC.BC 平面ABC, ∴PA⊥BC, ∵AD∩PA=A,∴BC⊥平面PAC, 又AC 平面PAC,∴BC⊥AC.
预习课本P39~41,思考并完成以下问题
(1)线面垂直的性质定理的内容是什么?有什么作用?
(2)面面垂直的性质定理的内容是什么?有什么作用?
(3)应用面面垂直性质定理时应注意什么?
1.直线与平面垂直的性质定理 (1)文字语言:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直 线 平行 . (2)图形语言:
[活学活用] 如图,已知平面α∩平面β=l,EA⊥α,垂足 为A,EB⊥β,垂足为B,直线a β,a⊥AB. 求证:a∥l.
证明:因为EA⊥α,α∩β=l,即l α,所以l⊥EA.同理l⊥EB. 又EA∩EB=E,所以l⊥平面EAB. 因为EB⊥β,a β,所以EB⊥a, 又a⊥AB,EB∩AB=B, 所以a⊥平面EAB. 由线面垂直的性质定理,得a∥l.
(1)如图,在菱形ABCD中, 连接BD, 由已知∠DAB=60°, ∴△ABD为正三角形,
∵G是AD的中点,∴BG⊥AD. ∵平面PAD⊥平面ABCD, 且平面PAD∩平面ABCD=AD, ∴BG⊥平面PAD. (2)如图,连接PG. ∵△PAD是正三角形,G是AD的中点, ∴PG⊥AD,由(1)知BG⊥AD. 又∵PG∩BG=G.∴AD⊥平面PBG. 而PB 平面PBG,∴AD⊥PB.
面面垂直性质定理的应用
[典例] 已知P是△ABC所在平面外的一点,且PA⊥平 面ABC,平面PAC⊥平面PBC,求证:BC⊥AC.
[证明]
如图,在平面PAC内作AD⊥PC于点D,
∵平面PAC⊥平面PBC,AD 平面PAC,且AD⊥PC, ∴AD⊥平面PBC, 又BC 平面PBC,∴AD⊥BC. ∵PA⊥平面ABC.BC 平面ABC, ∴PA⊥BC, ∵AD∩PA=A,∴BC⊥平面PAC, 又AC 平面PAC,∴BC⊥AC.
垂直关系的性质PPT教学课件

β N α
是垂直。因为平面α⊥平面β,所以 M
∠ABC=900,即AB ⊥BC,又AB
β
⊥MN,而MN∩BC=B,且MN⊆α, A N
BC⊆α,所以AB ⊥平面α。
α
平面与平面垂直的性质:
BC M
定理6.4 如果两个平面互相垂直,那么在一个平
面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
即“面面垂直⇒线面垂直”
①l1∥l2 A1B2-A2B1=0 且 B1C2-B2C1≠0
②l1⊥l2 A1A2+B1B2=0
③l1与l2相交 A1B2-A2B1≠0
④l1与l2重合 A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1=0。
到角与夹角:
两条直线l1,l2相交构成四个角,它们是两对对顶角,把l1 依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角,叫做l1到l2的 角,l1到l2的角的范围是(0,π).l1与l2所成的角是指不大
§6.2 垂直关系的性质
一、直线与平面垂直的性质 二、平面与平面垂直的性质
一、直线 与平面垂直的性质
问题1、直线 与平面垂直的定义是什么?
问题2、若直线a⊥平面α,b⊆α,则直线a与b有什
么位置关系? (a⊥b)
问题3、在平面 内,同垂直于同一直线 的两条直线有 什么位置关系?(平行)
问题4、若两条直线a、b都垂直平面α,那么直线a、
面,那么这两条直线平行。 例1、如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,
PA⊥平面ABC,A在PB,PC上的射影分别为E,F。
求分证析::P(B1⊥)B平C面与A平F面E。PAC垂直吗P? E
为什么?
(2)直线BC与直线AF有何位置
关系?为什么?
α
两个平面垂直的判定和性质(一)课件

两个平面垂直的判定和性 质(一)ppt课件
CATALOGUE
目 录
• 两个平面垂直的判定定理 • 两个平面垂直的性质 • 两个平面垂直的判定和性质的关联 • 两个平面垂直的判定和性质的实例
分析
01
CATALOGUE
两个平面垂直的判定定理
判定定理的内容
两个平面垂直的判定定理
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面垂直,则这两 个平面垂直。
证明过程
首先,设$a perp beta$,$b perp beta$。由于$a$、$b$是平面$alpha$内的两条相交直线,根据直线与平面 垂直的性质,我们可以得出$a perp alpha$和$b perp alpha$。因此,平面$alpha$内的任意直线都与平面 $beta$垂直。所以,我们证明了如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面垂直,则这两个平面垂直。
实例的分析和解答
分析1
高楼大厦的垂直关系 - 通过几何定理 和三角函数,分析高楼大厦的垂直关 系。
分析2
桌子的平面和地面 - 利用直角三角形 的性质,证明桌子平面与地面的垂直 关系。
实例的总结和反思
总结
通过以上两个实例,我们了解到两个平面垂直的判定和性质在实际生活中的应用。在分 析过程中,我们运用了多种数学工具和方法,如几何定理、三角函数和直角三角形的性
THANKS
感谢观看
质等。这些工具和方法为我们提供了解决问题的有效途径。
反思
在实例分析中,我们发现两个平面垂直的判定和性质在实际应用中具有广泛性。这不仅 限于高楼大厦和桌子,还可以应用于其他许多场景,如建筑、机械、工程等。因此,深 入学习和掌握这一知识点对于拓宽我们的数学应用能力和解决实际问题具有重要意义。
CATALOGUE
目 录
• 两个平面垂直的判定定理 • 两个平面垂直的性质 • 两个平面垂直的判定和性质的关联 • 两个平面垂直的判定和性质的实例
分析
01
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两个平面垂直的判定定理
判定定理的内容
两个平面垂直的判定定理
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面垂直,则这两 个平面垂直。
证明过程
首先,设$a perp beta$,$b perp beta$。由于$a$、$b$是平面$alpha$内的两条相交直线,根据直线与平面 垂直的性质,我们可以得出$a perp alpha$和$b perp alpha$。因此,平面$alpha$内的任意直线都与平面 $beta$垂直。所以,我们证明了如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面垂直,则这两个平面垂直。
实例的分析和解答
分析1
高楼大厦的垂直关系 - 通过几何定理 和三角函数,分析高楼大厦的垂直关 系。
分析2
桌子的平面和地面 - 利用直角三角形 的性质,证明桌子平面与地面的垂直 关系。
实例的总结和反思
总结
通过以上两个实例,我们了解到两个平面垂直的判定和性质在实际生活中的应用。在分 析过程中,我们运用了多种数学工具和方法,如几何定理、三角函数和直角三角形的性
THANKS
感谢观看
质等。这些工具和方法为我们提供了解决问题的有效途径。
反思
在实例分析中,我们发现两个平面垂直的判定和性质在实际应用中具有广泛性。这不仅 限于高楼大厦和桌子,还可以应用于其他许多场景,如建筑、机械、工程等。因此,深 入学习和掌握这一知识点对于拓宽我们的数学应用能力和解决实际问题具有重要意义。
平行与垂直ppt课件

平行线和垂线的判定方法
利用平行线的性质和垂线的性质进行判定。例如,在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一 条直线,那么这两条直线平行;或者如果一条直线与另外两条平行线中的一条垂直,那么它与 另外一条平行线也垂直。
02
平行四边形中平行与垂直
平行四边形中平行线性质
01 对边平行
平行四边形两组对边分别 平行。
03 对边相等
平行四边形的对边相等。
02 对角相等
平行四边形的对角相等。
04 邻角互补
平行四边形邻角互补。
平行四边形中垂直线性质
高与底垂直
从平行四边形一个顶点向对边作垂线,这条垂线 段就是高,高与底互相垂直。
高长度相等
任意一条高都将平行四边形分为两个面积相等的 三角形,因此,同底的高长度相等。
平行四边形对角线性质
平行于直径的弦是圆的另一条直径,且这两条直 径互相平分。
03 平行弦与圆心距
在同一圆内,两平行弦到圆心的距离相等。
圆中垂直弦性质
垂直弦性质
从圆心到弦的垂线平分该弦,并且平 分该弦所对的两条弧。
垂径定理
在圆内,垂直于弦的直径平分该弦, 并且平分该弦所对的两条弧。若过圆 内一点引两条互相垂直的弦,则它们 的中点连线段必过圆心。
在绘制工程图纸时,需要使用平 行线和垂直线来表示物体的轮廓 、尺寸和位置关系,以确保图纸 的准确性和可读性。
建筑设计
在建筑设计中,平行和垂直关系 对于确定建筑物的结构、立面和 平面布局至关重要,有助于实现 稳定、美观的建筑效果。
地理信息系统中平行和垂直线用于绘制等高线、道路、河流等地理 要素,以展示地形地貌、交通网络等空间信息。
对角线互相平分
平行四边形的对角线互相平分。
利用平行线的性质和垂线的性质进行判定。例如,在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一 条直线,那么这两条直线平行;或者如果一条直线与另外两条平行线中的一条垂直,那么它与 另外一条平行线也垂直。
02
平行四边形中平行与垂直
平行四边形中平行线性质
01 对边平行
平行四边形两组对边分别 平行。
03 对边相等
平行四边形的对边相等。
02 对角相等
平行四边形的对角相等。
04 邻角互补
平行四边形邻角互补。
平行四边形中垂直线性质
高与底垂直
从平行四边形一个顶点向对边作垂线,这条垂线 段就是高,高与底互相垂直。
高长度相等
任意一条高都将平行四边形分为两个面积相等的 三角形,因此,同底的高长度相等。
平行四边形对角线性质
平行于直径的弦是圆的另一条直径,且这两条直 径互相平分。
03 平行弦与圆心距
在同一圆内,两平行弦到圆心的距离相等。
圆中垂直弦性质
垂直弦性质
从圆心到弦的垂线平分该弦,并且平 分该弦所对的两条弧。
垂径定理
在圆内,垂直于弦的直径平分该弦, 并且平分该弦所对的两条弧。若过圆 内一点引两条互相垂直的弦,则它们 的中点连线段必过圆心。
在绘制工程图纸时,需要使用平 行线和垂直线来表示物体的轮廓 、尺寸和位置关系,以确保图纸 的准确性和可读性。
建筑设计
在建筑设计中,平行和垂直关系 对于确定建筑物的结构、立面和 平面布局至关重要,有助于实现 稳定、美观的建筑效果。
地理信息系统中平行和垂直线用于绘制等高线、道路、河流等地理 要素,以展示地形地貌、交通网络等空间信息。
对角线互相平分
平行四边形的对角线互相平分。
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1.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是 棱DD1的中点,则过M且与直线AB和B1C1 都垂直的直线有( )条
A.1
B.2
C.3
D.无数条
解析:显然DD1是满足条件的一条,如果还有一条l满 足条件,则l⊥B1C1,l⊥AB,又AB∥C1D1,则 l⊥C1D1, B1C1∩C1D1=C1,∴l⊥平面B1C1D1. 同理DD1⊥平面B1C1D1,则l∥DD1.又l与DD1都过M.这 是不可能的,因此只有DD1一条满足条件. 答案:A
3.(2011·郓城高一模块测试)如图,已知PA⊥平面ABC, 平面APB⊥平面BPC. 求证:AB⊥BC. 证明:平面PAB⊥平面CPB,且PB为交线. 如图,在平面PAB内,过A点作AD⊥PB,D为垂 足,则AD⊥平面CPB,又BC 平面CPB, 所以AD⊥BC. 因为PA⊥平面ABC,BC 平面ABC,所以 PA⊥BC,又PA∩AD=A,所以BC⊥平面PAB, 又AB 平面PAB,所以AB⊥BC.
[一点通] 线面平行和线面垂直是立体几何中经常 考查的位置关系之一,当已知线面、面面垂直(平行)时 可考虑性质定理,要证明线面、面面垂直(平行)时考虑 判定定理.
5.(2011·南昌第一次模拟)已知α、β是平面,m、n
是直线,给出下列命题:
①若m⊥α,m β,则α⊥β;
②若m α,n α,m∥β,n∥β,则α∥β;
(2)当△ADB以AB为轴转动时,总有AB⊥CD. 证明:①当D在平面ABC内时, 因为AC=BC,AD=BD, 所以C,D都在线段AB的垂直平分线上,即 AB⊥CD. ②当D不在平面ABC内时,由(1)知AB⊥DE. 又因AC=BC,所以AB⊥CE. 又DE∩CE=E,所以AB⊥平面CDE. 又CD 平面CDE,得AB⊥CD. 综上所述,总有AB⊥CD.
4.已知平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC, AE⊥平面PBC,E为垂足. (1)求证:PA⊥平面ABC; (2)当E为△PBC的垂心时,求证:△ABC是直角三角
形. 证明:(1)如图,在平面ABC内取一点D,作DF⊥AC 于点F,∵平面PAC⊥平面ABC,且交线为AC, ∴DF⊥平面PAC. 又PA 平面PAC,∴DF⊥AP. 作DG⊥AB于点G, 同理可证DG⊥AP,DG、DF都在平面ABC内且交点 为D,∴PA⊥平面ABC.
提示:AA′与平面ABCD垂直;AD′与平面ABCD不垂 直.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ面A′ADD′内的直线与AD垂直时才与平面ABCD垂 直.
平面与平面垂直的性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
如果两个平面互 相垂直,那么在 一个平面内垂直 于它们交线直垂 直于另一个平面
α⊥β α∩β=l aα a⊥l
1.线面垂直的性质定理提供了证明线线平行的重 要依据,也是由垂直转化为平行的重要方法.
[精解详析] (1)如右图,取 AB 的中点 E, 连接 DE,CE.因为△ADB 是等边三角形,所 以 DE⊥AB.
当平面 ADB⊥平面 ABC 时,因为平面 ADB∩平面 ABC=AB,所以 DE⊥平面 ABC,可知 DE⊥CE.由已知可 得 DE= 3,EC=1.
在 Rt△DEC 中,CD= DE2+EC2=2,
(2)连接A1B,交AB1于点O,连接MO, 在△A1BN中,O,M分别为A1B,BN的中点, 所以OM∥A1N. 又OM 平面AB1M,A1N 平面AB1M, 所以A1N∥平面AB1M.
1.空间中直线与直线、直线与平面、平面与平 面之间的垂直关系可以相互转化,其转化关系如下
2.运用两个平面垂直的性质时,一般是在一个 面内作(或找)它们交线的垂线,得到线面垂直,再利 用线面垂直的定义得线线垂直.
③若m α,n α,m、n是异面直线,那么n与α相交;
④若α∩β=m,n∥m,且n α,n β,则n∥α且n∥β.
其中正确命题的个数是
()
A.1
B.2
C.3
D.4
解:①由面面垂直的判定可知①正确;②中没有说明 m与n的关系,故②不正确;③中n与α有可能平行, 故③不正确;④由线面平行的判定定理可知④正确. 答案:B
[例2] 如图,A,B,C,D为空间四点,在 △ABC中,AB=2,AC=BC= 2.等边三角形 ADB以AB为轴转动.
(1)当平面ADB⊥平面ABC时,求CD; (2)当△ADB转动时,是否总有AB⊥CD?证明你的结论. [思路点拨] (1)取AB的中点E,连接DE,CE,由于平 面ADB⊥平面ABC,故由面面垂直的性质定理得DE⊥CE, 从而在Rt△DCE中,可求CD. (2)分D是否在平面ABC内进行讨论.
[思路点拨] (1)要证明EF⊥平面BCE,只须EF⊥BE, EF⊥BC 即可,由面面垂直的性质定理和∠FEA+∠AEB= 90°很容易证明. (2)要证明PM∥平面BCE,只须证明PM平行于平 面BCE内的一条直线,取BE的中点N,易知PM∥CN.
[精解详析] (1)因为平面ABEF⊥平面 ABCD,BC 平面ABCD,BC⊥AB, 平面ABEF∩平面ABCD=AB,所以BC⊥ 平面ABEF.所以BC⊥EF.因为△ABE为等腰直角三角形, AB=AE,所以∠AEB=45°.又因为∠AEF=45°,所 以∠FEB=90°,即EF⊥BE. 因为BC 平面BCE,BE 平面BCE, BC∩BE=B,所以EF⊥平面BCE.
问题3:垂直于同一平面的两条直线是否平行呢? 提示:平行. 问题4:垂直于同一直线的两直线是否平行呢? 提示:不一定,若在同一平面内,则平行,若在 空间中,可能平行,相交,也有可能异面.
直线与平面垂直的性质定理
文字语言
图形语言
如果两条直线同
垂直于一个平面,那
么这两条直线平行
符号语言
a⊥α b⊥α
理解教材新知
知识点一
立
垂
知识点二
体
直
几
垂直
关
考点一
何
关系
系
把握热点考向
考点二
初
的
考点三
步
性
质
应用创新演练
问题1:在大路的两侧有许多树木,这些树木垂直于 地面,那么这些树木所在直线是怎样的位置关系呢?
提示:平行. 问题2:在长方体ABCD-A1B1C1D1中,棱AA1、BB1、 CC1、DD1都垂直于平面ABCD,它们之间有什么位置关系 呢? 提示:平行.
2.面面垂直的性质定理可简记为“面面垂直,则线 面垂直”.但“线”必须同时满足两个条件,即在其中一个 平面内且垂直于交线,“在平面内”不能舍去.
[例1] 如图,已知AD⊥AB,AD⊥AC, AE⊥BC交BC于E,D是FG的中点,AF=AG, EF=EG.
求证:BC∥FG. [思路点拨] 证明BC⊥平面ADE,FG⊥平面ADE, 可得BC∥FG.
⇒a∥b
问题1:黑板所在平面与地面所在平面垂直,能 否在黑板上画一条直线与地面垂直?
提示:能,画一条直线垂直于交线.
问题2:如图长方体ABCD-A′B′C′ D′中,平面A′ADD′与平面ABCD垂直, 平面A′ADD′内的直线AD′、A′A与平面ABCD垂直吗?平面 A′ADD′内的直线满足什么条件时才与平面ABCD垂直?
6.在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ACC1A1 ⊥平面ABC,∠ACB=90°.
(1)求证:BC⊥AA1; (2)若M,N是棱BC上的两个三等分点,求证:A1N∥ 平面AB1M. 证明:(1)因为∠ACB=90°,所以AC⊥CB,
又侧面ACC1A1⊥平面ABC, 且平面ACC1A1∩平面ABC=AC, BC 平面ABC,所以BC⊥平面ACC1A1, 又AA1 平面ACC1A1,所以BC⊥AA1.
[一点通] 1.面面垂直的性质定理,为线面垂直的判定提供 了依据和方法.所以当已知两个平面垂直的时候,经常 找交线的垂线这样就可利用面面垂直证明线面垂直. 2.证明线面垂直主要有两种方法,一种是利用线 面垂直的判定定理,另一种是利用面面垂直的性质定理, 应用此定理时要注意以下三点:①两个平面垂直;②直 线在一个平面内;③直线垂直于交线,缺一不可.
[精解详析] 连接DE. ∵AD⊥AB,AD⊥AC, ∴AD⊥平面ABC.又BC 平面ABC, ∴AD⊥BC,又AE⊥BC. ∴BC⊥平面ADE. ∵AF=AG,D为FG的中点, ∴AD⊥FG. 同理ED⊥FG,AD∩ED=D. ∴FG⊥平面ADE. ∴BC∥FG.
[一点通] 1.线面垂直的性质给我们提供了证明线线平行的方法. 2.证明线线平行的方法 (1)a∥c,b∥c⇒a∥b. (2)a∥α,a β,β∩α=b⇒a∥b. (3)α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b. (4)a⊥α,b⊥α⇒a∥b.
(2)连接BE并延长,交PC于点H. ∵E点是△PBC的垂心,∴PC⊥BE. 又已知AE是平面PBC的垂线, ∴PC⊥AE.又∵BE∩AE=E, ∴PC⊥面ABE.∴PC⊥AB. 又∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥AB. ∵PA∩PC=P,∴AB⊥平面PAC. ∴AB⊥AC,即△ABC是直角三角形.
[例3] 如图,正方形ABCD所在平面与平面四 边形ABEF所在平面互相垂直,△ABE是等腰直 角三角形,AB=AE,FA=FE,∠AEF=45°. (1)求证:EF⊥平面BCE; (2)设线段CD、AE的中点分别为P,M,求证: PM∥平面BCE.
2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E、 F分别在A1D、AC上,且EF⊥A1D,EF⊥AC.
求证:EF∥BD1.
证明:如图所示,连接AB1、B1C、BD. ∵DD1⊥平面ABCD,AC 平面ABCD, ∴DD1⊥AC. 又∵AC⊥BD,且BD∩DD1=D,
∴AC⊥平面BDD1B1. ∵BD1 平面BDD1B1,∴BD1⊥AC. 同理可证BD1⊥B1C,又AC∩B1C=C, ∴BD1⊥平面AB1C. ∵EF⊥A1D,A1D∥B1C, ∴EF⊥B1C.又EF⊥AC,且AC∩B1C=C, ∴EF⊥平面AB1C,∴EF∥BD1.