力的平移定理

第四章平面一般力系
第一节力得平移定理
上面两章已经研究了平面汇交力系与平面力偶系得合成与平衡。

为了将平面一般力系简化为这两种力系,首先必须解决力得作用线如何平行移动得问题。

设刚体得A点作用着一个力Ｆ(图4－３(a)）,在此刚体上任取一点O。

现在来讨论怎样才能把力F平移到O点,而不改变其原来得作用效应？为此,可在O点加上两个大小相等、方向相反,与F平行得力F′与F〞,且F′=F〞=F(图4－3(b)）根据加减平衡力系公理,F、F′与F〞与图4－3(a)得F对刚体得作用效应相同。

显然F〞与Ｆ组成一个力偶,其力偶矩为
这三个力可转换为作用在O点得一个力与一个力偶（图4-3（ｃ））。

由此可得力得平移定理:
作用在刚体上得力F，可以平移到同一刚体上得任一点O，但必须附加一个力偶,其力偶矩等于力F对新作用点O之矩。

顺便指出，根据上述力得平移得逆过程,共面得一个力与一个力偶总可以合成为一个力,该力得大小与方向与原力相同,作用线间得垂直距离为:
力得平移定理就是一般力系向一点简化得理论依据,
也就是分析力对物体作用效应得一个重要方法。

例如,图4
－4ａ所示得厂房柱子受到吊车梁传来得荷载F得作用,为
分析F得作用效应,可将力F平移到柱得轴线上得O点上，
根据力得平移定理得一个力Ｆ′，同时还必须附加一个力
偶（图4-4(b）)．力F经平移后,它对柱子得变形效果就可
以很明显得瞧出,力F′使柱子轴向受压，力偶使柱弯曲。

第二节平面一般力系向作用面内任一点简化
一、简化方法与结果
设在物体上作用有平面一般力系F1,F2，…,F n，如图
４-5(ａ）所示。

为将这力系简化，首先在该力系得作用面内任选一点O作为简化中心,根据力得平移定理,将各力全部平移到Ｏ点（图４-5(b）),得到一个平面汇交力系Ｆ１′,Ｆ２′,…，F n′与一个附加得平面力偶系.
其中平面汇交力系中各力得大小与方向分别与原力系中对应得各力相同,即
Ｆ１′=Ｆ1，F2′＝F2，…，F n′=F n
各附加得力偶矩分别等于原力系中各力对简化中心O点之矩,即
由平面汇交力系合成得理论可知,Ｆ１′,Ｆ2′,…，F n′可合成为一个作用于O点得力Rˊ，并称为原力系得主矢（图４－5(ｃ)),即
R′＝F1′+F2′+…＋F n′＝Ｆ１+F2+…+F n=∑Fｉ（4-1）求主矢R′得大小与方向,可应用解析法。

过O点取直角坐标系ｏxｙ，如图4-5所示。

主矢R′在x轴与y轴上得投影为
Ｒx′= x1′＋x2′+…+x n′=ｘ１+x2+…＋x n=∑Ｘ
Ｒy′= y１′+y2′＋…＋yｎ′=ｙ1+ｙ2＋…+y n＝∑Y 式中：x i′、y i′与xｉ、y i分别就是力Fｉ′与F i在坐标轴ｘ与ｙ轴上得投影。

由于Ｆｉ′与F i大小相等、方向相同，所以它们在同一轴上得投影相等。

主矢Ｒ′得大小与方向为
(4-2）
（4-３）为Ｒ′与ｘ轴所夹得锐角，Ｒ′得指向由∑X与∑Y得正负号确定。

由力偶系合成得理论知,m1，m２,…，m n可合成为一个力偶(如图4－５(c））,并称为原力系对简化中心O得主矩,即
（4－4)
综上所述,得到如下结论:平面一般力系向作用面内任一点简化得结果,就是一个力与一个力偶。

这个力作用在简化中心,它得矢量称为原力系得主矢,并等于原力系中各力得矢量与；这个力偶得力偶矩称为原力系对简化中心得主矩，并等于原力系各力对简化中心得力矩得代数与。

应当注意,作用于简化中心得力Ｒ′一般并不就是原力系得合力，力偶矩为
ＭO′也不就是原力系得合力偶，只有Ｒ′与M O′两者相结合才与原力系等效。

由于主矢等于原力系各力得矢量与，因此主矢R得大小与方向与简化中心得位置无关。

而主矩等于原力系各力对简化中心得力矩得代数与,取不同得点作为简化中心，各力得力臂都要发生变化，则各力对简化中心得力矩也会改变,因而，主矩一般随着简化中心得位置不同而改变。

二、平面一般力系简化结果得讨论
平面力系向一点简化,一般可得到一力与一个力偶，但这并不就是最后简化结果。

根据主矢与主矩就是否存在,可能出现下列几种情况:
(1)若Ｒ′=0,M O′≠0,说明原力系与一个力偶等效，而这个力偶得力偶矩就就是主矩。

由于力偶对平面内任意一点之矩都相同，因此当力系简化为一力偶时,主矩与简化中心得位置无关,无论向哪一点简化，所得得主矩相同。

（2)若R′≠0，M O′=０，则作用于简化中心得力Ｒ′就就是原力系得合力,作用线通过简化中心。

（3）若R′≠0,MＯ′≠0，这时根据力得平移定理得逆过程，可以进一步合成为合力R,如图4-６所示。

将力偶矩为ＭO′得力偶用两个反向平行力R、Ｒ〞表示,并使R′与R〞等值、共线，使它们构成一平衡力图4-６(b）,为保持M O′不变,只要取力臂d为
将R〞与Ｒ′这一平衡力系去掉,这样就只剩下R力与原力系等效(图4－6(c)）．合力Ｒ在O点得哪一侧,由R对O点得矩得转向应与主矩ＭO′得转向相一致来确定。

（4)R′=0，M O′=0,此时力系处于平衡状态。

三、平面一般力系得合力矩定理
由上面分析可知,当R′≠0，ＭO′≠0时，还可进一步简化为一合力R,见图4-6,合力对O点得矩就是
而
所以
由于简化中心O就是任意选取得,故上式有普遍得意义。

于就是可得到平面力系得合力矩定理.平面一般力系得合力对作用面内任一点之矩等于力系中各力对同一点之矩得代数与。

例４－1如图4-7(ａ)所示,梁AB得A端就是固定端支座，试用力系向某点简化得方法说明固定端支座得反力情况。

解：梁得A端嵌入墙内成为固定端,固定端约束得特点就是使梁得端部既不能移动也不能转动。

在主动力作用下，梁插入部分与墙接触得各点都受到大小与方向都不同得约束反力作用(图4-7(b)),这些约束反力就构成一个平面一般力系，将该力系向梁上A点简化就得到一个力ＲA与一个力偶矩为MＡ得力偶(图4－7（c）),为了便于计算,一般可将约束反力RＡ,用它得水平分力X A与垂直分力Y A来代替。

因此，在平面力系情况下,固定端支座得约束反力包括三个;即阻止梁端向任何方向移动得水平反力XＡ与竖向反力Y A,以及阻止物体转动得反力偶ＭA。

它们得指向都就是假定得(图4－7(d))。

例4-2已知素混凝土水坝自重,,水压力在最低点得荷载集度,各力得方向及作用线位置如图4－8（a)所示。

试将这三个力向底面Ａ点简化，并求简化得最后结果。

解:以底面A为简化中心,取坐标系如图4－8(a)所示,由式（4-２)与式(４－３)可求得主
矢R′得大小与方向。

由于
所以
因为∑Ｘ为正值,∑Y为正值,故Ｒ′指向第一象限与x轴夹角为,再由式(4－4）可求得主矩为
计算结果为负值表示M A′就是顺时针转向。

因为主矢R′≠0，主矩M A′≠0,如图4－8(b）所示，所以还可进一步合成为一个合力R。

Ｒ得大小、方向与R′相同，它得作用线与A点得距离为
因M A′为负,故M A（Ｒ)也应为负,即合力Ｒ应在Ａ点右侧，如图4-8(c）所示。

第三节平面一般力系平衡条件及其应用
一、平面一般力系得平衡条件
平面一般力系向任一点简化时，当主矢、主矩同时等于零,则该力系为平衡力系。

因此，平面一般力系处在平衡状态得必要与充分条件就是力系得主矢与力系对于任一点得主矩都等于零，即：
R′=0ＭＯ′=0
根据式(4－2）及式（4－４),可得到平面一般力系得平衡条件为
（4-5）式（4-５）说明,力系中所有各力在两个坐标轴上得投影得代数与均等于零,所有各力对任一点之矩得代数与等于零。

式(4-5)中包含两个投影方程与一个力矩方程，就是平面一般力系平衡方程得基本形式.这三个方程就是彼此独立得(即其中得一个不能由另外两个得出)，因此可求解三个未知量.
例4-3 梁AB 一端为固定端支座,另一端无约束,这样得梁称为悬臂梁.它承受均布荷载q 与一集中力P 得作用，如图４－９(a ）所示。

已知P =１0kN, q =２k Ｎ／ｍ,l ＝４m ，，梁得自重不计，求支座A 得反力。

解:取梁A Ｂ为研究对象,其受力图如图４－9(b ）所示。

支座反力得指向就是假定得，梁上所受得荷载与支座反力组成平面一般力系。

在计算中可将线荷载ｑ用作用其中心得集中力来代替。

选取坐标系，列平衡方程。

)(kN 07.11707.010242sin 2 0sin
2 0A A ↑=⨯+⨯=+==--=∑ααP ql Y P ql Y Y ) ( m kN 28.404707.0108423sin 8
3 0sin 422ql 02
2A A ⋅=⨯⨯+⨯⨯=⋅+==⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-
=∑l P ql m l P l l m M A αα
力系既然平衡，则力系中各力在任一轴上得投影代数与必然等于零，力系中各力对任一点之矩得代数与也必然为零．因此,我们可以列出其它得平衡方程，用来校核计算有无错误。

校核 028.40407.114
424242A A B =+⨯-⨯⨯=+⋅-⨯=∑m l Y l ql M 可见,Y A 与ｍA 计算无误。

例4－4 图4-10（ａ)所示一伸臂梁。

受到荷载，三角形分布荷载作用.如果不计梁重，求支座Ａ与B 得反力。

解:取C Ｄ梁为研究对象,受力图如图４－10(b)所示,列平衡方程。

)(kN 75.3)25.0(123223 0321 0B A B A ↑=--⨯+=-+==⨯⨯-
-+=∑Y q P Y q P Y Y Y 得数为正值,说明实际得反力方向与假设得方向一致,得数为负值，说明实际得反力方向与假设得方向相反。

例4－5 一水平托架承受重得重物，如图4-11（ａ）所示,Ａ、B 、C 各处均为铰链连接。

各杆得自重不计,试求托架Ａ、B 两处得约束反力。

解: 取托架水平杆ＡＤ作为研究对象,其受力图如图4－１１（ｂ)所示．由于杆BC 为二力杆，它对托架水平杆得约束反力沿杆BC 轴线作用,A 处为固定铰支座,其约束反力可用相互垂直得一对反力与来代替。

取坐标系如图,列出三个平衡方程.
kN 1020707.043.4245sin 0
45sin 0B A B A =-⨯=-︒==-︒+-=∑G S Y G S Y Y
校核
说明计算无误
例4-6 钢筋混凝土刚架，所受荷载及支承情况如图４－12（ａ)所示。

已知,试求支座处得反力.
解:取刚架为研究对象,画其受力图如图4-12（b)所示，图中各支座反力指向都就是假设得。

本题有一个力偶荷载，由于力偶在任一轴上投影为零,故写投影方程时不必考虑力偶，由于力偶对平面内任一点得矩都等于力偶矩，故写力矩方程时，可直接将力偶矩列入。

设坐标系如图４-12（ｂ)所示，列三个平衡方程
)(kN 296
418220310461834 0
36346 0B B A ↑=⨯++⨯+⨯=+++==⨯--⨯-⨯-⨯=∑q m Q P Y q m Q P Y M
校核
说明计算无误。

从上述几个例题可以瞧出,平面一般力系平衡问题得解题步骤为：
1． 选取研究对象,作出研究对象得受力图。

2． 对所选取得研究对象，列出平衡方程。

3． 由平衡方程解出未知量。

4． 将计算结果代入不独立得平衡方程,以校核解题过程有无错误。

二、平面一般力系平衡方程得其她形式 前面我们通过平面一般力系得平衡条件导出了平面一般力系平衡方程得基本形式,除了这种形式外,还可将平衡方程表示为二力矩形式及三力矩形式。

1.二力矩形式得平衡方程
在力系作用面内任取两点A 、B 及Ｘ轴，如图4－13所示,可以证明平面一般力系得平衡方程可改写成两个力矩方程与一个投影方程得形式,即:
（4－6)
式中X 轴不与A 、Ｂ两点得连线垂直。

证明：首先将平面一般力系向A 点简化，一般可得到过A 点得一个力与一个力偶.若成立，则力系只能简化为通过A 点得合力R 或成平衡状态.如果又成立,说明R 必通过B 。

可见合力R 得作用线必为ＡB 连线.又因成立,则,即合力Ｒ在X 轴上得投影为零，因A Ｂ连线不垂直Ｘ轴,合力R 亦不垂直于X 轴，由可推得．可见满足方程(4－6）得平面一般力系，若将其向Ａ点简化,其主矩与主矢都等于零,从而力系必为平衡力系
.
2.三力矩形式得平衡方程
在力系作用面内任意取三个不在一直线上得点A 、B 、C,如图4－1４所示,则力系得平衡方程可写为三个力矩方程形式,即
（４－7）
式中，A 、B 、Ｃ三点不在同一直线上。

同上面讨论一样,若与成立,则力系合成结果只能就是通过Ａ、Ｂ两点得一个力（图4－
14)或者平衡。

如果也成立，则合力必然通过C 点,而一个力不可能同时通过不在一直线上得三点，除非合力为零,才能成立。

因此,力系必然就是平衡力系。

综上所述,平面一般力系共有三种不同形式得平衡方程，即式(４－5)、式(４－6)、式（4－7),在解题时可以根据具体情况选取某一种形式。

无论采用哪种形式,都只能写出三个独立得平衡方程，求解三个未知数。

任何第四个方程都不就是独立得,但可以利用这个方程来校核计算得结果。

例４－7 某屋架如图４-１5（a ）所示,设左屋架及盖瓦共重,右屋架受到风力及荷载作用，其合力，与BC 夹角为,试求Ａ、Ｂ支座得反力。

解:取整个屋架为研究对象，画其受力图,并选取坐标轴X 轴与Y 轴,如图4－15(b)所示，列出三个平衡方程
030tan 470cos 1270sin 416 0221B A =︒⨯⨯︒+⨯︒-⨯-⨯=∑P P P Y M
030tan 470cos 470sin 12 16 0221A B =︒⨯⨯︒+⨯︒++-=∑P P P Y M
校核
说明计算无误。

例4-8 梁AC 用三根支座链杆连接，受一力作用，如图4-1６(a)所示。

不计梁及链杆得
自重,试求每根支座链杆得反力。

解: 取A Ｃ梁为研究对象，画其受力图，如图4－16(b)所示。

列平衡方程时,为避免解联立方程组，最好所列得方程中只有一个未知力,因此,取与得交点O １为矩心列平衡方程
kN 2.376
866.05045.0502660sin 460cos 2 0
460sin 260cos 6 0C C O 1=⨯⨯+⨯⨯=︒+︒=
=⨯︒-⨯︒-⨯=∑P P R P P R M 取与得交点O 2为矩心列平衡方程
0260sin 460cos 45cos 6 0A O 2=⨯︒-⨯︒+︒
⨯
-=∑P P R M kN
99.216707.0)866.05025.0504(6)60sin 260cos 4(A =⨯⨯⨯+⨯⨯=︒+︒=
P P R 取 kN 37.13707.05.050707.099.2145cos 60cos 45cos A B -=⨯-⨯=︒︒-︒=
P R R 校核
说明计算无误.
3.平面力系得特殊情况
平面一般力系就是平面力系得一般情况。

除前面讲得平面汇交力系,平面力偶系外，还有平面平行力系都可以瞧为平面一般力系得特殊情况，它们得平衡方程都可以从平面一般力系得平衡方程得到,现讨论如下。

(1)平面汇交力系
对于平面汇交力系,可取力系得汇交点作为坐标得原点,图4-17（a)所示,因各力得作用线均通过坐标原点O,各力对O 点得矩必为零，即恒有。

因此，只剩下两个投影方程:
即为平面汇交力系得平衡方程.
（2)平面力偶系
平面力偶系如图4－17(ｂ)所示，因构成力偶得两个力在任何轴上得投影必为零，则恒有与,只剩下第三个力矩方程,但因为力偶对某点得矩等于力偶矩，则力矩方程可改写为
即平面力偶系得平衡方程.
（3)平面平行力系
平面平行力系就是指其各力作用线在同一平面上并相互平行得力系,如图4－１7(C)所示,选ＯY轴与力系中得各力平行，则各力在Ｘ轴上得投影恒为零，则平衡方程只剩下两个独立得方程
（4－8) 若采用二力矩式(4-6)，可得
（4－9）式中Ａ、B两点得连线不与各力作用线平行。

平面平行力系只有两个独立得平衡方程，只能求解两个未知量。

例4－9图4-１8所示为塔式起重机。

已知轨距,机身重,其作用线到右轨得距离,起重机平衡重,其作用线到左轨得距离，荷载P得作用线到右轨得距离,(1)试证明空载时（时)起重机时否会向左倾倒？(2）求出起重机不向右倾倒得最大荷载P。

解:以起重机为研究对象,作用于起重机上得力有主动力G、Ｐ、Q及约束力与，它们组成一个平行力系（图4-1８)。

(１)使起重机不向左倒得条件就是,当空载时，取,列平衡方程
所以起重机不会向左倾倒
(2)使起重机不向右倾倒得条件就是,列平衡方程
欲使,则需
当荷载时,起重机就是稳定得。

三、物体系统得平衡
前面研究了平面力系单个物体得平衡问题。

但就是在工程结构中往往就是由若干个物
体通过一定得约束来组成一个系统。

这种系统称为物体系统。

例如,图示4－１9(a)所示得组合梁，就就是由梁AC与梁CD通过铰C连接,并支承在A、B、D支座而组成得一个物体系统。

在一个物体系统中,一个物体得受力与其她物体就是紧密相关得;整体受力又与局部紧密相关得。

物体系统得平衡就是指组成系统得每一个物体及系统得整体都处于平衡状态.
在研究物体系统得平衡问题时,不仅要知道外界物体对这个系统得作用力,同时还应分析系统内部物体之间得相互作用力。

通常将系统以外得物体对这个系统得作用力称为外力,系统内各物体之间得相互作用力称为内力。

例如图４－19（b)得组合梁得受力图，荷载及A、B、D支座得反力就就是外力，而在铰C处左右两段梁之间得互相作用得力就就是内力。

应当注意，外力与内力就是相对得概念,就是对一定得考察对象而言得，例如图４－19组合梁在铰Ｃ处两段梁得相互作用力，对组合梁得整体来说,就就是内力，而对左段梁或右段梁来说，就成为外力了。

当物体系统平衡时,组成该系统得每个物体都处于平衡状态,因而，对于每一个物体一般可写出三个独立得平衡方程.如果该物体系统有个物体,而每个物体又都在平面一般力系作用下，则就有个独立得平衡方程，可以求出个未知量。

但就是，如果系统中得物体受平面汇交力系或平面平行力系得作用,则独立得平衡方程将相应减少，而所能求得未知量数目也相应减少.当整个系统中未知量得数目不超过独立得平衡方程数目,则未知量可由平衡方程全部求出，这样得问题称为静定问题。

当未知量得数目超过了独立平衡方程数目,则未知量由平衡方程就不能全部求出,这样得问题,则称为超静定问题,在静力学中，我们不考虑超静定问题。

在解答物体系统得平衡问题时，可以选取整个物体系统作为研究对象,也可以选取物体系统中某部分物体(一个物体或几个物体组合)作为研究对象，以建立平衡方程。

由于物体系统得未知量较多，应尽量避免从总体得联立方程组中解出,通常可选取整个系统为研究对象，瞧能否从中解出一或两个未知量,然后再分析每个物体得受力情况,判断选取哪个物体为研究对象，使之建立得平衡方程中包含得未知量少，以简化计算。

下面举例说明求解物体系统平衡问题得方法。

例4-１0 组合梁受荷载如图4－20(a）所示。

已
知,，梁自重不计,求支座A、C得反力.
解：组合梁由两段梁AB与ＢＣ组成,作用于每一
个物体得力系都就是平面一般力系,共有6个独立得平
衡方程；而约束力得未知数也就是6(A处有三个,B处
有两个，C处有1个)．首先取整个梁为研究对象，受
力图如图4-20(b)所示.
其余三个未知数、与,无论怎样选取投影轴与矩心,
都无法求出其中任何一个，因此,必须将ＡB梁与BC
梁分开考虑,现取BC梁为研究对象,受力图如图4－
20(ｃ)所示.
再回到受图4－20（ｂ)
校核：对整个组合梁，列出
8
66
.8
2
866
.0
20
1
1
16
66
.
24
3
98
.
65
2
60
sin
1
1
3-
C
2
1
A
A B
=
-
⨯
+
⨯
⨯
-
⨯
+
⨯
-
=
-
+
︒
⨯
-
⨯
+
=
∑m
R
P
P
Y
m
M
可见计算无误。

例4-11 钢筋混凝土三铰刚架受荷载如图４－2１(a)所示,已知，，求支座A、Ｂ与铰C 得约束反力。

解:三铰刚架由左右两半刚架组成,受到平面一般力系得作用，可以列出六个独立得平衡方程。

分析整个三铰刚架与左、右两半刚架得受力,画出受力图，如图（ｂ）、(ｃ)、(d)所示,可见,系统得未知量总计为六个,可用六个平衡方程求解出六个未知量。

（1)取整个三铰刚架为研究对象,受力图如图4-２1(b）所示
(２）取左半刚架为研究对象,受力图如图4-21(c)所示
将值代入(ａ),可得
校核：考虑右半刚架得平衡，受力图如图4－2１(d)所示
可见计算无误。

例４－1２图4－22（a）所示,在支架上悬挂着重得重物,Ｂ、E、D为铰接，A为固定端支座，滑轮直径为３00ｍm，轴承C就是光滑得，其余尺寸如图示。

各杆与滑轮、绳子重量不计,求A、B、C、D、Ｅ各处得反力.
解:本结构中,DE为二力杆,因此Ｄ、E处铰链反力有1个未知量；Ａ为固定端支座有3个未知得约束反力；Ｂ、C处铰链反力各有2个未知量;滑轮两边得绳子拉力各有1个未知量；共10个未知量。

考虑到AB、ＢＣ与滑轮三个构件处于平衡，其可写9个平衡方程；再加上重物在二力作用下处于平衡，可有1个平衡方程.平衡方程得数目恰好等于未知量得数目。

取整个结构为研究对象，(图4-22(ｂ）)列平衡方程
考虑重物得平衡（图４-２２(ｅ))根据二力平衡公理知
考虑滑轮得平衡(图4－２2（d））,列平衡方程
可见,在不计轴承摩擦得情况下,滑轮处于平衡时,其两边绳子得拉力相等。

再考虑BＣ杆得平衡(图4－22(ｃ)),列平衡方程
校核：取ＢC杆平衡（图４－22（ｃ）),由于
可见计算无误。