力的平移定理
关于力的平移定理
关于力的平移定理力的平移定理: 将力从物体上的一个作用点,移动到另外一点上,额外加上一个力偶矩,其大小等于这个力乘以2点距离,方向为移动后的力与移动前力的反向力形成的力偶的反方向刚体受力是不会发生形变的，而变形体就不一样了。
力的概念形成简史推拉物体时，可以直觉意识到“力”的模糊概念。
被推拉的物体发生运动以及物体滑行时，由于摩擦而逐渐变慢，最后停止下来，都反映了力的作用。
中国古代文献《墨经》就把这个概念总结为“力，形之所由奋也。
”就是说，力是使物体奋起运动的原因。
所以，力是那样自然地反映到人的意识中来的。
但是人们从直觉意识到“力”的概念到获得“力”的严格科学定义，却经历了长期的斗争。
力的概念在牛顿力学中占有最根本的位置。
牛顿在1664年就提出了力的定义是动量的时间变率(动量等于质量乘速度)。
牛顿第一定律(惯性定律)是力的定性的定义，它给出力在什么条件下存在和什么条件下不存在的定性条件。
牛顿第二定律给出了力的定量的定义，即力等于动量的时间变率，如果质量不变，力也等于质量乘加速度。
牛顿第三定律指出，对于每一个力而言，必有一大小相等方向相反的反作用力存在。
它指出所有的力都是成对的，只在两个物体相互作用时才能实现(见牛顿运动定律)。
牛顿的万有引力理论的惊人成就，使超距作用力的概念推广到物理学的其他分支中去。
但是，牛顿并不能从物理上说清超距作用的实质，所以长期受到各方的严厉批评，直到A，爱因斯坦于1905年提出狭义相对论，指出一切物理作用传播的最大速度是光速以后，人们才认识到牛顿有关超距作用力的概念有极大的局限性。
爱因斯坦1915年在他的广义相对论里明确指出，万有引力的传播速度不可能大于光速。
掌握力的平移定理
主矢、主矩共同作用等效于原力系
结论：平面一般力系向其作用平面内任一点简化，得 到一个力和一个力偶。这个力称为原力系的主矢，作用于 简化中心,等于原力系各力的矢量和；这个力偶的力偶矩称 为原力系对简化中心的主矩。等于原力系中各力对简化中 心之矩之和. 注意：主矢与简化中心位置无关，主矩则有关。因此说 到力系的主矩时，必须指出是力系对于哪一点的主矩。
2、对简化结果进行讨论 （1）平面任意力系简化结果是一个力偶的情形 R′=0， M0≠0 此时原力系只与一个力偶等效，这个力偶就是原力系的 合力偶 （2）平面住意力系简化结果是一个力的情形 R′≠0， M0=0 此时原力系只与一个力等效，这个力就是原力系的合力 R′≠0 ， M0≠0 由力的等效平移的逆过程可知，这个力和力偶可以合成 为一个合力
= O
Mo
R/
x
F3
F3/
M 1 M o F1 M 2 M o F2 M 3 M o F3
平面汇交力系 R′=∑F′=∑F 平面任意力系 平面力偶系 M0=∑M0=∑M0(F)
1、平面任意力系向O点简化的结果：
y
Mo O
R
合力 R ′ —
原力系的主矢，通过O点。
x
合力偶矩 M0 — 原力系对于O点的主矩
将F平移到B点，梁的变形 发生了改变。
力的平移定理的逆过程
—共面的一个力和一个力偶可以合成为一个力
d=
M F
/
至于力F在F′的哪一侧，可由力F对点0的 矩的转向与力偶矩Mo的转向一致的原则来判定。
二. 平面任意力系向作用面内一点简化
y F1 O F2 F1/ M1 = O y
M2 F2/ M3 x
二、平面任意力系的简化 1、简化过程及结果
力线平移定理
l
C h d1
A d
Fy
F
D Fx
B FBx
FBy
FB何关系较复杂不
宜确定，用合力矩定理。
M A (F ) M A (F x ) M A (F y) F co h F n si ln F (co h s nil n )
2.求B点约束力对A点的力矩MA(FB)
F' M=Fd dA
F MM
A
B
B
F A
A F
B
B
A
M
M
F' F'
F
作用于刚体上的力，可以平移到刚体上的任一点，得到 一平移力和一附加力偶，其附加力偶矩等于原力对平移点的 力矩。此即为力线平移定理 。
任务实施
【例1】 图示刚架ABCD, 在D点作用F力,已知力F的方向角为。 求:1.F力对A点的力矩, 2.B点约束力对A点的力矩。
M A
l
B 解：1）取AB为研究对象,分析并画受力图
2）列平衡方程求解约束力
M
A
B
d
FB
FA
M 0: FBdM0 F BM d lc o M n 2 1 0 3 0 /2 5 7 .7N
FA57.7N
小结
力的平移定理
作用于刚体上的力，可以平移到刚体上的任一点，得到一平移力 和一附加力偶，其附加力偶矩等于原力对平移点的力矩。
情境二 构件受力计算 任务一：构件受平面汇交力系作用的受力计算
力的投影、力的合成计算 平面汇交力系平衡问题1 平面汇交力系平衡问题2 力矩 平面力偶及合成 力的平移定理
知识准备： 力的平移定理
一、力的平移定理
F' F
Bd A
工程力学6 力的平移定理
M F d
F
F′
d F′
A
F
O d
A
三、力的平移定理的应用
假设在一块钢板上O点钉一个钉子， 用四根绳子用力拉，钢板将会如何 运动呢？钉子将如何受力？
F1
F2 O
F4 F3
Y
F1
Y
F2
X
O
F3 图① F4 Y R′ Mo
O 图③
根据力的平移定理 F2
M1 F1
M2 X
O
M2 M3
F4
F3 图②
根据平面汇交力系和
d
OM
F′
d
FA
A
M F，F F d M O F
因此：作用于刚体上的力，可平移到刚体上的任意一点， 但必须附加一力偶，其附加力偶矩等于原力对平移点的 力矩。图中O称为简化中心。
1.力的平移定理
F1
F2
F3
O
F4
例题1：如图所示，假设每个方格是边长为1m的 正方形，F1=10KN、F2=10KN、F3=30KN、 F4=30KN，试求：将四个力平移至O点的结果。
B Od
b
A
F=
M B
F
O d M MO F F d
A B
O b
A
逆时针为正
M M O F F b
M 顺时针为负 F
2.力的平移定理性质
（2）力的平移定理只适用于刚体，对变形体不适用， 并且力的作用线只能在同一刚体内平移，不能平移到另 一刚体。
（3）力的平移定理的逆定理也成立。
OM
X
平面力偶系的合成
R′=F1+F2+F3+F4（矢量和） MO=M1+M2+M3+M4 （代数和）
力线平移
L 4L L FE sin60 F2 sin60 0 2 5 2
联立求解，可得横杆DE的拉力及铰C处的反力为
FCx 0.218kN，FCy 0.093kN，FE 0.182kN
17
【例3-4】物体重量为Q=1200N，由三杆AB、BC和CE所组成的构架以 及滑轮E支持，如图所示。已知AD = DB = 2m，CD = DE =1.5m，不计 各杆及滑轮重量。求支座A和B处的约束反力以及杆BC所受的力。
4．当 FR′=0 ，MO = 0 主矢和主矩都等于零。此时，原力系是平衡力系，物体在该力系的作用下 处于平衡状态。
8
3.2.3
合力矩定理
平面任意力系的合力对作用平面内任一点之矩等于原力系各分力 对同一点之矩的代数和。
3.3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
Fx 0 Fy 0 M O ( Fi ) 0
F1
C y
L/2
F1
C
C
ห้องสมุดไป่ตู้
FCx
FCy
2L / 3
D E
F2
B D E B
F2
F2
60
A
60
FE
x
E
B
L
FAx FAy
A
FBy
FBy
解：先取整体为研究对象 ，其受力分析如图所示，列出平衡方程
F 0 F F 0 F 0 F F F 0
x
Ax
2
y
Ay
By
1
L 2L F M A (F ) 0 FBy L F2 sin60 cos60 0 1 2 3
FR' F1' F2' Fn' Fi'
力的等效平移定理
力的等效平移定理力的等效平移定理，又称牛顿第二定律的平移形式定理，是牛顿力学中非常重要的定理之一。
它揭示了力的运动规律与参考系的关系，具有深刻的物理意义和重大的应用价值。
力的等效平移定理表明，在相同的力的作用下，质点的运动规律与参考系的选择无关，而只与物体的质量和所受的力的大小和方向有关。
这个定理非常重要，因为它为我们研究物体的运动提供了一个方便而简单的理论框架。
首先，我们需要了解什么是平移。
平移是指在空间中移动一个物体或系统，使其整体位置的改变与其他物体或系统相对位置的不变而产生的移动。
以小汽车沿一条直线驶入一个隧道为例，汽车和驾驶员相对地面保持不动，但是汽车整体沿着一条直线移动了。
现在，我们来证明力的等效平移定理。
假设一个物体上有一个恒定的力F作用，根据牛顿第二定律，该物体的加速度a=F/m。
假设我们在物体相对参考系上观察运动，该物体的速度为v0，加速度为a0，则此时，物体所受到的“净力”是F0=F-ma0。
在惯性参考系中观察该物体，该物体所受到的力是F，因此，根据牛顿第二定律，此时该物体的加速度为a=F/m。
因此，在两个不同的参考系中，物体的加速度不同，但物体所受的净力相等。
这就是力的等效平移定理。
该定理具有广泛的应用，例如舰船导航、炮弹轨迹计算、火箭发射等等。
在这些应用中，我们总是需要相对参考系和绝对参考系相互转换。
通过力的等效平移定理，我们可以很容易地将问题转化为惯性参考系的问题，从而简化了计算和分析的难度。
在实际应用中，我们经常需要对物体所受的复合力进行运动分析。
例如，一架飞机在受到多个力的作用下飞行，需要对各个力的大小和方向进行处理。
通过力的等效平移定理，我们可以将各个力转化为沿惯性参考系的力，从而方便地进行运动分析和设计。
总之，力的等效平移定理是牛顿力学中一项非常重要的基本定理。
它揭示了力的运动规律与参考系之间的关系，为我们研究物体的运动提供了一个便捷的理论框架。
在实际应用中，它也给我们提供了一个简单而有效的工具，用于进行复杂的运动分析和设计。
力的平移定理解释钉钉子
力的平移定理解释钉钉子
力的平移定理是一个物理学原理，它说明了在没有外力作用下，合力为零的物体将保持静止或匀速直线运动的状态。
该定理描述了力对物体运动状态的影响。
简单来说，力的平移定理表明，当一个物体受到多个力的作用时，这些力可以被视为一个等效的单一力，其大小和方向与原始力相同，且该力作用于物体质心上。
这个单一力被称为合力，也就是所有力的矢量和。
钉钉子时，可以通过力的平移定理来解释其原理。
假设我们用锤子敲击钉子，施加在钉子上的力可以分为两个部分：重力和锤击力。
重力是指地球对钉子的吸引力，作用于钉子的质心上；而锤击力则是由锤子对钉子的冲击产生的，作用于钉子的头部。
根据力的平移定理，这两个力可以合并为一个等效的力，作用于钉子的质心。
如果这个等效力的大小和方向不为零，则钉子将会受到推力，开始移动。
当钉子被推入物体中时，它会产生反作用力，阻止钉子继续移动。
这种反作用力来自于物体对钉子施加的压力，也是符合力的平移定理的。
总而言之，力的平移定理解释了钉钉子的原理：当施加在钉子上的各个力合成为一个等效力时，钉子会受到推力，开始移动；同时，钉子进入物体后会产生反作用力，阻止其进一步移动。
这个定理帮助我们理解和描述力的合成以及它们对物体运动状态的影响，而在钉钉子的情境中具体应用了这一原理。
第一节力的平移定理
第四章 平面一般力系第一节 力的平移定理上面两章已经研究了平面汇交力系与平面力偶系的合成与平衡。
为了将平面一般力系简化为这两种力系，首先必须解决力的作用线如何平行移动的问题。
设刚体的A 点作用着一个力F （图4－3（a ）），在此刚体上任取一点O 。
现在来讨论怎样才能把力F 平移到O 点，而不改变其原来的作用效应？为此，可在O 点加上两个大小相等、方向相反，与F 平行的力F ′和F 〞，且F ′=F 〞=F （图4－3（b ）） 根据加减平衡力系公理，F 、F ′和F 〞与图4－3（a ）的F 对刚体的作用效应相同。
显然F 〞和F 组成一个力偶，其力偶矩为)(O F M Fd m == 这三个力可转换为作用在O 点的一个力和一个力偶（图4－3（c ））。
由此可得力的平移定理：作用在刚体上的力F ，可以平移到同一刚体上的任一点O ，但必须附加一个力偶，其力偶矩等于力F 对新作用点O 之矩。
顺便指出，根据上述力的平移的逆过程，共面的一个力和一个力偶总可以合成为一个力，该力的大小和方向与原力相同，作用线间的垂直距离为：Fm d '= 力的平移定理是一般力系向一点简化的理论依据，也是分析力对物体作用效应的一个重要方法。
例如，图4－4a 所示的厂房柱子受到吊车梁传来的荷载F 的作用，为分析F 的作用效应，可将力F 平移到柱的轴线上的O 点上，根据力的平移定理得一个力F ′，同时还必须附加一个力偶（图4－４（b ））。
力F 经平移后，它对柱子的变形效果就可以很明显的看出，力F ′使柱子轴向受压，力偶使柱弯曲。
第二节 平面一般力系向作用面内任一点简化一、简化方法和结果设在物体上作用有平面一般力系F 1，F 2，…，F n ，如图4－5（a ）所示。
为将这力系简化，首先在该力系的作用面内任选一点O 作为简化中心，根据力的平移定理，将各力全部平移到O 点（图4－5（b ）），得到一个平面汇交力系F 1′，F 2′，…，F n ′和一个附加的平面力偶系n 21,,,m m m Λ。
力的平移1
M=?
M=（F,F’）=±Fd= MA（F）
四、力的平移定理
力平移定理的简单应用 攻丝时，必须两手握住扳手，而且用力应该相等。其 原因就是F的作用等效于F´和MO的作用效果。这个力偶的 作用是使丝锥转动，而力的作用使丝锥变形或折断。 M O O A F A A F F F o M O M B B O A A F 用力的平移定理同样可以很好地解释用乒乓球拍削 乒乓球时，乒乓球既有旋转又有一定的前冲力等现象。为一个力和力偶的过程叫做“力向一点平移”。 应用加减平衡力系原理，可以证明：作用于刚体上的已知力 F可 以向同一刚体上的任意一点平行移动，平移时需要附加一力偶， 附加力偶的力偶矩 M等于已知力 F对平移点之矩。
力向一点平移的结果说明：作用刚体上 A点的力 F与作用另一点 B的力 F及力偶 M 等效。这也证明了力偶与力是不能等效的。 利用力向一点平移的结果不仅可以解决力系简化和平衡问题，而且在 材料力学中讨论到平衡问题时，还可以将变形体视为刚体，从而可以应用 上述结果，使问题简化。
理论力学L2-5力平移
F C
目的：作用在刚体上一点的力平行移动到刚体 内的任一点上。 在B点施加一对与F平行 的平衡力，由加减平衡 F 力系定律，不改变原力 系的作用效应。 F m B 红色的一对力可视为力 d 偶，用力偶表示，该力 C 偶的矩 m=+F· d 。 A F 力F平移到了另一点。 若需要平移到C点？ 再用力滑移定理则可。
1) 力偶可任意平行移动；而力不能简单地进 行平行移动，若平移必须附加一个力偶。 2) 实例：丝攻加工及丝攻模型*。 若单手操作可能出现什么结果？
3) 实例: 小船及小船动作*。
4) 赛艇: 双人双浆赛艇 双人双浆皮划艇
单人单浆皮划艇
F FR
§2－5
力的平移定理
对于平面任意力系，各力的作用线并不交于一 点，因而无ห้องสมุดไป่ตู้象汇交力系那样，直接使用力的 平行四边形法则进行力系合成以简化力系。 必须寻找新的研究方法，考虑将一般平面力系 变换成汇交力系。 借助的即是力平移方法。
力滑移回顾 力的平移定理：作用在刚体上的力F 可以平行 移动到同一刚体上任意一点C，但须附加一个 力偶，该附加力偶的矩等于原力 F 对新作用点 直观印象*。 C的力矩。
工程力学教学课件：4-1 力的平移
O
F
加力F与F F
O
F
d
d
P F F F F
P
F
Od
M
P
•平面内一力和一力偶的合成
M Fd MO (F )
F
O
M
加力F与F F
O
F
d
F F F
F
P
M d
F
O
F
d
P
结论：平面内的一力和一力偶可合成为作用线偏离距离 d 的一个力。
若M>0，则顺 F 的方向右偏距离 d;
4
若M<0，则顺 F 的方向左偏距离 d。
B
F
20
21
22
PC
2a M D
解法2
a
FAy
FB
A FAx
Fx 0,
Fy 0,
M A(F ) 0,
B
FAx P 0 FAy FB 0 FB 2a P a M 0
解上述方程，得
FAx P FAy P FB P
解上述方程，得
FAx P FAy P FB P
结果：RA=100N ， MA =200 N·m 。并在图
上标出各量的方向（d =5m）。
MA
RA
Ad
RO
O MO
2 直角构件受力F=150N，力偶M=Fa作用。a=50cm，
=30º。试求平面力系向A点简化的结果及最后简化结果。并
示于图上。
FA 150N.m
M A M A F
MA FA
F sin a F cos 2a M
MC (F ) 0,
3
a
2 a FB M P 2 0
解上述方程，得
工程力学力的平移定理
机构分析中的应用
01
总结词
在机构分析中，力的平移定理有助于理解机构中力的传递和分布情况。
02 03
详细描述
在机构分析中，力的平移定理可以用来分析机构中各个构件之间的相互 作用力。通过将力平移到某一固定点，我们可以更好地理解力的传递路 径和分布情况，从而优化机构的设计。
应用示例
在机械臂的设计中，工程师可以使用力的平移定理来分析关节处的力矩 和力的大小。通过将力平移到机械臂的基座，可以更好地了解机械臂的 运动特性和受力情况，从而优化机械臂的设计。
05
实例分析
刚体平衡问题的实例分析
总结词
刚体平衡问题中，力的平移定理的应用可以帮助简化问题，通过将力平移至某 一点，可以消除力矩的影响，使问题得到简化。
详细描述
在刚体平衡问题中，力的平移定理允许我们将一个力从一个点平移到另一个点， 而不改变该力和其他力的平衡状态。通过将力平移到支点或刚体的质心，可以 消除力矩的影响，从而简化问题。
力的平移定理的重要性
01
理解力的平移定理有助于深入理解力矩的概念和计算方法，从 而更好地解决工程实际问题。
02
掌握力的平移定理有助于在设计过程中优化结构，提高工程安
全性和稳定性。
力的平移定理是工程力学中的基础理论之一，对于培养工程师
03
的力学素养和解决实际问题的能力具有重要意义。
02
力的平移定理的基本概念
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
04
力的平移定理的推论
二力杆中的力的平移定理
总结词
在二力杆中，力的平移定理指出，当一个力作用在杆的一端时，无论力的作用点如何移动，只要保持力的方向和 大小不变，杆的平衡状态不会改变。
详细描述
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第四章平面一般力系第一节力得平移定理上面两章已经研究了平面汇交力系与平面力偶系得合成与平衡。
为了将平面一般力系简化为这两种力系,首先必须解决力得作用线如何平行移动得问题。
设刚体得A点作用着一个力Ｆ(图4－３(a)）,在此刚体上任取一点O。
现在来讨论怎样才能把力F平移到O点,而不改变其原来得作用效应？为此,可在O点加上两个大小相等、方向相反,与F平行得力F′与F〞,且F′=F〞=F(图4－3(b)）根据加减平衡力系公理,F、F′与F〞与图4－3(a)得F对刚体得作用效应相同。
显然F〞与Ｆ组成一个力偶,其力偶矩为这三个力可转换为作用在O点得一个力与一个力偶（图4-3（ｃ））。
由此可得力得平移定理:作用在刚体上得力F，可以平移到同一刚体上得任一点O，但必须附加一个力偶,其力偶矩等于力F对新作用点O之矩。
顺便指出，根据上述力得平移得逆过程,共面得一个力与一个力偶总可以合成为一个力,该力得大小与方向与原力相同,作用线间得垂直距离为:力得平移定理就是一般力系向一点简化得理论依据,也就是分析力对物体作用效应得一个重要方法。
例如,图4－4ａ所示得厂房柱子受到吊车梁传来得荷载F得作用,为分析F得作用效应,可将力F平移到柱得轴线上得O点上，根据力得平移定理得一个力Ｆ′，同时还必须附加一个力偶（图4-4(b）)．力F经平移后,它对柱子得变形效果就可以很明显得瞧出,力F′使柱子轴向受压，力偶使柱弯曲。
第二节平面一般力系向作用面内任一点简化一、简化方法与结果设在物体上作用有平面一般力系F1,F2，…,F n，如图４-5(ａ）所示。
为将这力系简化，首先在该力系得作用面内任选一点O作为简化中心,根据力得平移定理,将各力全部平移到Ｏ点（图４-5(b）),得到一个平面汇交力系Ｆ１′,Ｆ２′,…，F n′与一个附加得平面力偶系.其中平面汇交力系中各力得大小与方向分别与原力系中对应得各力相同,即Ｆ１′=Ｆ1，F2′＝F2，…，F n′=F n各附加得力偶矩分别等于原力系中各力对简化中心O点之矩,即由平面汇交力系合成得理论可知,Ｆ１′,Ｆ2′,…，F n′可合成为一个作用于O点得力Rˊ，并称为原力系得主矢（图４－5(ｃ)),即R′＝F1′+F2′+…＋F n′＝Ｆ１+F2+…+F n=∑Fｉ（4-1）求主矢R′得大小与方向,可应用解析法。
过O点取直角坐标系ｏxｙ，如图4-5所示。
主矢R′在x轴与y轴上得投影为Ｒx′= x1′＋x2′+…+x n′=ｘ１+x2+…＋x n=∑ＸＲy′= y１′+y2′＋…＋yｎ′=ｙ1+ｙ2＋…+y n＝∑Y 式中：x i′、y i′与xｉ、y i分别就是力Fｉ′与F i在坐标轴ｘ与ｙ轴上得投影。
由于Ｆｉ′与F i大小相等、方向相同，所以它们在同一轴上得投影相等。
主矢Ｒ′得大小与方向为(4-2）（4-３）为Ｒ′与ｘ轴所夹得锐角，Ｒ′得指向由∑X与∑Y得正负号确定。
由力偶系合成得理论知,m1，m２,…，m n可合成为一个力偶(如图4－５(c））,并称为原力系对简化中心O得主矩,即（4－4)综上所述,得到如下结论:平面一般力系向作用面内任一点简化得结果,就是一个力与一个力偶。
这个力作用在简化中心,它得矢量称为原力系得主矢,并等于原力系中各力得矢量与；这个力偶得力偶矩称为原力系对简化中心得主矩，并等于原力系各力对简化中心得力矩得代数与。
应当注意,作用于简化中心得力Ｒ′一般并不就是原力系得合力，力偶矩为ＭO′也不就是原力系得合力偶，只有Ｒ′与M O′两者相结合才与原力系等效。
由于主矢等于原力系各力得矢量与，因此主矢R得大小与方向与简化中心得位置无关。
而主矩等于原力系各力对简化中心得力矩得代数与,取不同得点作为简化中心，各力得力臂都要发生变化，则各力对简化中心得力矩也会改变,因而，主矩一般随着简化中心得位置不同而改变。
二、平面一般力系简化结果得讨论平面力系向一点简化,一般可得到一力与一个力偶，但这并不就是最后简化结果。
根据主矢与主矩就是否存在,可能出现下列几种情况:(1)若Ｒ′=0,M O′≠0,说明原力系与一个力偶等效，而这个力偶得力偶矩就就是主矩。
由于力偶对平面内任意一点之矩都相同，因此当力系简化为一力偶时,主矩与简化中心得位置无关,无论向哪一点简化，所得得主矩相同。
（2)若R′≠0，M O′=０，则作用于简化中心得力Ｒ′就就是原力系得合力,作用线通过简化中心。
（3）若R′≠0,MＯ′≠0，这时根据力得平移定理得逆过程，可以进一步合成为合力R,如图4-６所示。
将力偶矩为ＭO′得力偶用两个反向平行力R、Ｒ〞表示,并使R′与R〞等值、共线，使它们构成一平衡力图4-６(b）,为保持M O′不变,只要取力臂d为将R〞与Ｒ′这一平衡力系去掉,这样就只剩下R力与原力系等效(图4－6(c)）．合力Ｒ在O点得哪一侧,由R对O点得矩得转向应与主矩ＭO′得转向相一致来确定。
（4)R′=0，M O′=0,此时力系处于平衡状态。
三、平面一般力系得合力矩定理由上面分析可知,当R′≠0，ＭO′≠0时，还可进一步简化为一合力R,见图4-6,合力对O点得矩就是而所以由于简化中心O就是任意选取得,故上式有普遍得意义。
于就是可得到平面力系得合力矩定理.平面一般力系得合力对作用面内任一点之矩等于力系中各力对同一点之矩得代数与。
例４－1如图4-7(ａ)所示,梁AB得A端就是固定端支座，试用力系向某点简化得方法说明固定端支座得反力情况。
解：梁得A端嵌入墙内成为固定端,固定端约束得特点就是使梁得端部既不能移动也不能转动。
在主动力作用下，梁插入部分与墙接触得各点都受到大小与方向都不同得约束反力作用(图4-7(b)),这些约束反力就构成一个平面一般力系，将该力系向梁上A点简化就得到一个力ＲA与一个力偶矩为MＡ得力偶(图4－7（c）),为了便于计算,一般可将约束反力RＡ,用它得水平分力X A与垂直分力Y A来代替。
因此，在平面力系情况下,固定端支座得约束反力包括三个;即阻止梁端向任何方向移动得水平反力XＡ与竖向反力Y A,以及阻止物体转动得反力偶ＭA。
它们得指向都就是假定得(图4－7(d))。
例4-2已知素混凝土水坝自重,,水压力在最低点得荷载集度,各力得方向及作用线位置如图4－8（a)所示。
试将这三个力向底面Ａ点简化，并求简化得最后结果。
解:以底面A为简化中心,取坐标系如图4－8(a)所示,由式（4-２)与式(４－３)可求得主矢R′得大小与方向。
由于所以因为∑Ｘ为正值,∑Y为正值,故Ｒ′指向第一象限与x轴夹角为,再由式(4－4）可求得主矩为计算结果为负值表示M A′就是顺时针转向。
因为主矢R′≠0，主矩M A′≠0,如图4－8(b）所示，所以还可进一步合成为一个合力R。
Ｒ得大小、方向与R′相同，它得作用线与A点得距离为因M A′为负,故M A（Ｒ)也应为负,即合力Ｒ应在Ａ点右侧，如图4-8(c）所示。
第三节平面一般力系平衡条件及其应用一、平面一般力系得平衡条件平面一般力系向任一点简化时，当主矢、主矩同时等于零,则该力系为平衡力系。
因此，平面一般力系处在平衡状态得必要与充分条件就是力系得主矢与力系对于任一点得主矩都等于零，即：R′=0ＭＯ′=0根据式(4－2）及式（4－４),可得到平面一般力系得平衡条件为（4-5）式（4-５）说明,力系中所有各力在两个坐标轴上得投影得代数与均等于零,所有各力对任一点之矩得代数与等于零。
式(4-5)中包含两个投影方程与一个力矩方程，就是平面一般力系平衡方程得基本形式.这三个方程就是彼此独立得(即其中得一个不能由另外两个得出)，因此可求解三个未知量.例4-3 梁AB 一端为固定端支座,另一端无约束,这样得梁称为悬臂梁.它承受均布荷载q 与一集中力P 得作用，如图４－９(a ）所示。
已知P =１0kN, q =２k Ｎ／ｍ,l ＝４m ，，梁得自重不计，求支座A 得反力。
解:取梁A Ｂ为研究对象,其受力图如图４－9(b ）所示。
支座反力得指向就是假定得，梁上所受得荷载与支座反力组成平面一般力系。
在计算中可将线荷载ｑ用作用其中心得集中力来代替。
选取坐标系，列平衡方程。
)(kN 07.11707.010242sin 2 0sin2 0A A ↑=⨯+⨯=+==--=∑ααP ql Y P ql Y Y ) ( m kN 28.404707.0108423sin 83 0sin 422ql 022A A ⋅=⨯⨯+⨯⨯=⋅+==⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∑l P ql m l P l l m M A αα力系既然平衡，则力系中各力在任一轴上得投影代数与必然等于零，力系中各力对任一点之矩得代数与也必然为零．因此,我们可以列出其它得平衡方程，用来校核计算有无错误。
校核 028.40407.114424242A A B =+⨯-⨯⨯=+⋅-⨯=∑m l Y l ql M 可见,Y A 与ｍA 计算无误。
例4－4 图4-10（ａ)所示一伸臂梁。
受到荷载，三角形分布荷载作用.如果不计梁重，求支座Ａ与B 得反力。
解:取C Ｄ梁为研究对象,受力图如图４－10(b)所示,列平衡方程。
)(kN 75.3)25.0(123223 0321 0B A B A ↑=--⨯+=-+==⨯⨯--+=∑Y q P Y q P Y Y Y 得数为正值,说明实际得反力方向与假设得方向一致,得数为负值，说明实际得反力方向与假设得方向相反。
例4－5 一水平托架承受重得重物，如图4-11（ａ）所示,Ａ、B 、C 各处均为铰链连接。
各杆得自重不计,试求托架Ａ、B 两处得约束反力。
解: 取托架水平杆ＡＤ作为研究对象,其受力图如图4－１１（ｂ)所示．由于杆BC 为二力杆，它对托架水平杆得约束反力沿杆BC 轴线作用,A 处为固定铰支座,其约束反力可用相互垂直得一对反力与来代替。
取坐标系如图,列出三个平衡方程.kN 1020707.043.4245sin 045sin 0B A B A =-⨯=-︒==-︒+-=∑G S Y G S Y Y校核说明计算无误例4-6 钢筋混凝土刚架，所受荷载及支承情况如图４－12（ａ)所示。
已知,试求支座处得反力.解:取刚架为研究对象,画其受力图如图4-12（b)所示，图中各支座反力指向都就是假设得。
本题有一个力偶荷载，由于力偶在任一轴上投影为零,故写投影方程时不必考虑力偶，由于力偶对平面内任一点得矩都等于力偶矩，故写力矩方程时，可直接将力偶矩列入。
设坐标系如图４-12（ｂ)所示，列三个平衡方程)(kN 296418220310461834 036346 0B B A ↑=⨯++⨯+⨯=+++==⨯--⨯-⨯-⨯=∑q m Q P Y q m Q P Y M校核说明计算无误。
从上述几个例题可以瞧出,平面一般力系平衡问题得解题步骤为：1． 选取研究对象,作出研究对象得受力图。