第五章 电磁辐射

用不同的规范条件，矢量位A和标量位 的解也不相同，但最终
得到的电磁场矢量是相同的。

问题 若应用库仑条件，位函数满足什么样的方程? 具有什么特点?
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采用库伦规范：
A 0
2 A 2 A 2 J t t
0
用类比方法求解：标量位φ是由足够小的体积 V 的电荷元 q V 产生的，因此在 V 之外不存在电荷，上式变为齐次波
动方程
2 2 2 0 t
1 2 2 r 2 0 2 r r r t
设
1 (r , t ) U (r , t ) r
r r
y
V
x
17
O
r
dV
1 (r , t r r ) 1 v ( r , t ) dV V 4 π r r 1 J ( r , t r r ) A(r , t ) v dV V 4π r r
则上式为
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2U 1 2U 2 0 2 2 r v t r r 上式的解为 U ( r , t ) f ( t ) g( t ) v v
v
1

1 1 r (r , t ) U (r , t ) f (t ) 对于 f r r v V 而静止电荷 q V 的电位 ( r ) 4 r
r ( t )V v 比较上两式，时变场的标量位： ( r , t ) 4 r
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证明标量位的解
当
r 0 时，满足达朗贝尔方程 r (t ) v (r , t ) 4 0 r
2 2 2 0 t
当 r 0 时， (r , t ) 为奇点。因此只能在 r 奇异性质，作一半径为 的小球包围原点， 对式在小球体积内积分
电磁辐射系统最简单的形式是电偶极子和磁偶极子
电偶极子为长度远小于波长的载流线元，也称元天线
电偶极子辐射是天线工程中最基本的问题 电偶极子：长度为l(<< λ)的直线电流元,线上电流均匀,相位相同 电偶极子为基本的辐射单元：线天线由一系列电偶极子组成
即：某一定时刻 t 的位场 φ 或 A并不是由时刻t的的电流和电荷
分布决定，而是由略早的时间 ( t r / v ) 的源所决定；观测点的位
r / v 就是电磁波传播距离r所需的时 场变化滞后于源的变化时间，
间(电磁波从源点传到场点所需的时间)。
电磁波的滞后效应: t 时刻的响应是时刻 ( t r / v ) 的激励所产生的
A 0 t
除了利用洛仑兹条件外，另一种常用的是库仑条件，即
A 0
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位函数的微分方程
D E H
B
H B A
A A J ( ) t t A ( A) 2 A 2 A 2 A 2 J ( A ) t t A 0 t 2 A 2 A 2 J t 9
D J t A E t
E B J t

同样
D
A ( ) t
A D E、E t
2 2 2 t
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业、
辐射的主要参数
本章内容 电磁场的失势和标势
推迟势（滞后位）
电偶极辐射 电磁波的动量
建议习题 1, 2, 4, 5, 7
4
5.1
电磁场的位函数
讨论内容
位函数的定义 位函数的性质 位函数的规范条件 位函数的微分方程
5
引入位函数的意义
引入位函数来描述时变电磁场，使一些问题的分析得到简化。
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5.2
动态矢量位和动态标量位：
推迟势（滞后位）
A E 2 t A 2 A 2 J t 2 2 2 t
其解为：
B A
在洛仑兹条件下，其方程为
z P
r
滞后位

描述库伦作用，可以直接由电荷分布密度
求出。它的失势只有横向分量，刚好足够描述辐射电磁波的两种独立偏振。而在采用洛
伦兹规范时，A的纵向部分和标势

的选择还可以有任意性，存在多余的自由度。
而洛伦兹规范的最大优点是它使矢势和标势的方程具有对称性，在相对论中显示出协变 性，因而对于理论探讨和实际计算都提供很大的方便。
g( t r / v ) 为超前位：数学解，无实际意义。
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例如：日光是一种电磁波，在某处某时刻见 到的日光并不是该时刻太阳所发出的，而是在大 约8分20秒前太阳发出的，8分20秒内光传播的距
离正好是太阳到地球的平均距离。
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电荷密度和电流密度用复数表示为
r r ( t ) cos ( t ) cost kr Re e jt e jkr v v
即
A A 为任意可微函数 t A ( A ) A A A ( ) ( A ) t t t t
2
特点：标势所满足的方程与静电场情况相同，其解是库伦势
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例：求平面电磁波的势
平面电磁波在无源空间传播，势的方程变为波动方程
A 2 A 2 J t
2 2 2 2 t
A 2 A 2 0 t
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(r , t )
4 V
1
(t )
r
r v dV
类似地
A( r , t ) 4

V
r J (t ) v dV r
滞后位（推迟位）观测点的位场φ 或 A 随时间的变化总是滞后
于源随时间的变化,滞后的时间是波从源所在位置传到观察点所
需的时间。


r r r r J ( t ) e x J x cos ( t ) e y J y cos ( t ) e z J z cos ( t ) v v v v 位函数之间的上述变换称为规范变换。
也就是说，对一给定的电磁场可用不同的位函数来描述。
原因：未规定 A的散度。
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位函数的规范条件
造成位函数的不确定性的原因就是没有规定 A的散度。利用位函数的不确定性，可 通过规定A 的散度使位函数满足的方程得以简化。
在电磁理论中，通常采用洛仑兹条件，即
2
2 0
当全空间没有电荷分布时，库伦场的标势为零，带入 上面A的方程中可得到平面波的解为：
i (k A A0e x t )
由于
k A0 E i A
？
B ik A
与洛伦兹规范结果一致
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说明 应用库伦规范条件的特点：它的标势
A0
就可以确定平面电磁波
B A ik A
A E ik i A t ic 2 2 k k A k A ic 2 k kA c2 k B= ek B
只有对分母因子求二阶导数时才得到不为零的积分，因此令
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r Q t Q t c
则
Q t Q t Q t 2 1 dV 4 v 4 0 r 4 0 0
因此，由

函数的定义得
r Q ( t ) 2 1 c 1 Q(t ) x ( 2 2 2 ) c t 4 0 r 0




平面波电磁场只依赖于失势A的横向分布，对A加任意纵向部分不影响电磁 场值。取A只有横向分量，即
0
k A0 B ik A E i A
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采用库伦规范 A 0 ，势方程在自由空间中变为：
A 2 A 2 0 t t
A 0 t
得到达朗贝尔方程：
A 2 A 2 J t
2
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2 2 2 t
说明
A 2 A 2 J t
2
2 2 t
位函数的定义
B 0
B Ε t
B A
A (Ε ) 0 t
A E t
A E t
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位函数的不确定性
满足下列变换关系的两组位函数 和 能描述同一个电磁场问题。 （A、） （A、 ）
2
应用洛仑兹条件的特点：① 位函数满足的方程在形式上是对称 的，且比较简单，易求解；② 解的物理意义非常清楚，明确地 反映出电磁场具有有限的传递速度；③ 矢量位只决定于J，标
量位只决定于ρ，这对求解方程特别有利。只需解出A，无需
解出 就可得到待求的电场和磁场。
电磁位函数只是简化时变电磁场分析求解的一种辅助函数，应
2 2 2 2 0 t
其平面波的解为：
i (k A A0e x t )
0e
i ( k x t )
考虑洛伦兹规范条件： A 0 t 2 c 可得到： 0 k A0

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因此，只要给定矢量


(r )
滞后位用复数表示为