非线性有限元读书报告

非线性有限元读书报告

1 对张量分析及其在结构非线性力学和有限元中应用的认识。

张量分析将张量中的每一项的计算过程（这些计算过程可能是相似的）用张量之间的计算方法代替，并统一，提供了一种更加方便的计算方法。张量标记中，指标不出现，因此张量标记的表示是独立于坐标系统的，并且可以用于笛卡尔坐标系，柱坐标系，曲线坐标等。如同矩阵一般，或者说张量就是矩阵的更一般的形式，而矩阵是二维的张量。此外，在张量标记中的方程非常容易记忆。

2 对各种应变、应力张量和材料本构关系的认识。

本段回答除本课程讲义外大部分参考文献[1] 2.1 应变张量

为了使刚体运动时，特别是刚体转动时，应变度量为0，工程应变张量被抛弃了。根据采用连续介质力学中的欧拉（Eulerian ）方法或拉格朗日方法（Lagrangian ），得到的应变分别为阿尔曼西（Almansi ）应变（或称欧拉应变）

张量（E ij ε）与格林（Green ）应变（或称拉格朗日应变）张量（G ij ε），它们与工

程应变（或称柯西小应变张量）（此处记为ij ε）均不相同。

三者的几何方程表达式为：

阿尔曼西（Almansi ）应变（或欧拉应变）张量：

()11,,,,11

()22E ij ij ki kj i j j i k i k j F F u u u u εδ--=

-=+-； 格林（Green ）应变（或拉格朗日应变）张量：

(),,,,11

()22G ij ki kj ij i j j i k i k j F F u u u u εδ=

-=++； 工程应变（柯西小应变）张量：

,,1()2

ij i j j i u u ε=+。

其中u 为位移，ij F 为变形梯度矩阵，即i ij j x F X ∂⎡⎤

=⎢⎥∂⎣⎦

另外，阿尔曼西（Almansi ）应变（或欧拉应变）张量（E

ij ε）和格林（Green ）应变（或拉格朗日应变）张量（G

ij ε）之间的转换关系为：

1122G E

kl ik jl ij

F F εε--= 其中i ij j x F X ∂⎡⎤

=⎢⎥∂⎣⎦

，x 为欧拉坐标，X 为拉格朗日坐标。

2.2 应力张量

当平衡方程建立在当前构型时，由柯西假定得到的应力张量为柯西应力（Cauchy ）张量（ij σ，在本课程讲义中称为欧拉应力张量）。这种应力张量是真

实的应力张量，存在 T ij ij σσ=。但是在大变形几何非线性问题中，当前构型的边

界尚未确定。因此在初始构型上定义另外两种应力以避免这种困难。

将柯西应力（Cauchy ）张量（在本课程讲义中称欧拉应力张量）中平衡方程的面积和法线的形式直接变为参考构型，则得到了拉格朗日（Lagrange ）应力张

量（N ij σ，或称名义应力张量）。它不是对称的，转置被称为第一Piola-Kirchhoff

应力。

将拉格朗日（Lagrange ）应力张量中的外力项乘以1ij F -便得到了第二

Piola-Kirchhoff 应力张量（K ij σ，在本课程讲义中称为克希荷夫（Kirchhoff ）应力

张量），这种变换使得第二Piola-Kirchhoff （PK2）应力张量变为对称的，并且，它与格林（Green ）应变张量共轭。

三者的平衡方程表达式分别为：

柯西（Cauchy ）应力张量（ij σ，本课程讲义中称为欧拉应力张量，也是真实应力）：

i i ij dT tdA n dA σ==；

拉格朗日（Lagrange ）应力张量（N

ij σ，或称名义应力张量）： 0000N

i i ij dT t dA n dA σ==；

第二Piola-Kirchhoff 应力张量（PK2），在本课程讲义中称为克希荷夫

（Kirchhoff ）应力张量（N ij σ）： 1100000K i i ij F dT F t dA n dA σ--==；

其中i dT 为外力的微分，dA 为面积的微分，i n 为方向向量，ij F 为变形梯度矩阵，下标中带0的为建立在参考构型上的方程，不带0的为建立在当前构型上的方程。

三个应力张量之间转换关系如下：

1

1

N

K

ij ij

ik kj ij

ik kl jl F F F F F σσσ--==；

1N K

kj ij ik kj ik jk F F F σσσ-==； 111K N kl ij ik kl jl kj jl F F F F σσσ---==；

2.3 本构关系

本构关系即为物理方程，对于各项同性材料，在线弹性假定中，得到了名义

应力张量（拉格朗日（Lagrange ）应力张量，N ij σ）和名义应变张量（柯西小应

变张量，ij ε）之间的三个关系，它们是等价的，即：

N ij ijkl kl E σε=

1

,2N ij ijkl ij kl ij U U E σεεε∂=

=∂ N ij

ij ijkl

E t

t

σε∂∂=∂∂

式中，ijkl E 即为广义胡克定律规定得到的本构关系。讨论有限应变时的本构关系也是从这三个形式向外推广的。 2.3.1对于弹性介质

弹性介质是对过去的历史没有记忆的材料，仅考虑等温过程。对于Cauchy

（Euler ）应力张量（ij σ）与Almansi （Euler ）应变张量（E

ij ε），存在以下本构关

系：

E

ij ijkl kl

C σε= 仅当小应变时，基于当前构型的本构关系ijkl C 才退化为广义胡克定律。

根据Cauchy （Euler ）应力张量（ij σ）和第二Piola-Kirchhoff 应力张量（K

ij σ）