第六章 几种特殊的图

第六章几种特殊的图

§1.欧拉图和中国邮路问题

一、欧拉图：

1、哥比斯堡问题：

把城市的每一部分用点表示，而每座桥用边表示，该市成为一个七条边的图，

七桥问题就转为在图中求一条回路，此回路经过每条边一次且仅有一次。

2、欧拉图：

定义1：在无向连通图中，经过图中每条边一次且仅有一次并且经过每个结点的一条通路（回路），称为欧拉通路（欧拉回路）存在欧拉回路的图称为欧拉图。

一笔画问题：笔不离开纸，每边只能画一次，不允许重复，将图画出，称该图能一笔画。（1）如终点回到起点，则等价于该图存在欧拉回路

（2）如终点不是起点，则等价于该图仅存在欧拉通路

（3）如该图不能一笔画，则等价于该图不存在欧拉通路和欧拉回路。

3、欧拉图的充要条件：

定理1：无向连通图G是欧拉图的充分必要条件是G不含奇数度结点。

（换言之：G是Euler图 连通且每个点度数均为偶数）

证明：必要性设G是Euler图，则必存在一条包含每条边的回路，而且每边恰一次。经过某点时，必沿一条边进，另一条边出，故每个结点相关联的边是偶数，故每个结点均为偶数度，且该Euler回路经过每个点，故G是连通的。

充分性：设G的每点均是偶数度且连通，设C是一条包含G中边数最多的一个回路，且边是不重复的，若C包含了G中的所有边，则C就是Euler回路，G是Euler图。如果C不包括G中的所有边，则删边子集G-E（C）不是空图，而且G-E（C）中的点的度数仍均为偶数。因G是连通图则C中必存在一个点v，使其在G-E（c）中似有边与v相关联，因G-E（c）均为偶数度，则过v必在G-E（c）中存在一个回路c′，将c和c′两个回路合起来，又构成一个新的回路C∪C′：

v→v1→v→v2→v边数必比C的边数多，与假设矛盾。故G的PEuler图。

推论：非平凡图G含有欧拉通路的充分必要条件是G最多有两个奇数度点。

（1）如均是偶数度点，则G存在欧拉回路，则该图是起终点相同的一笔画。

（2）如两个点度数为奇数其它均为偶数，则存在Euler通路该图是起终点不同的一笔画，

两个奇数度点分别作起终点，它不存在欧拉回路，不是Euler图。

（3）如只有一个点是奇数度点，其它均为偶数度点，这种图是不存在的。由此可见七桥问题无解的。

二、中国邮路问题：

1、问题：一个邮递员从邮局出发，走遍所有街道，把邮件送到每个收件人手中，最后回

到邮局，要怎样走，使全程路线最短。

2、转化为图论问题：以街道为边，以街道交叉点为结点，以街道的长度为边上的权，在

权图G=上，找出一个经过所有边至少一次的回路，并使得该回路的权和达到最小。

说明：1、该回路未必是Euler回路，边允许重复。

2、管梅谷提出了这个问题，并指出如果图G有m条边，则所求回路至少是m条边，最多不超过2m条边，并且每边在回路中至多出现两次。

3、算法：

①若图G不含奇数度点，则该图的一条Euler回路就是问题的解，权和就是各边的权和。

②若图G只有两个奇数度点u,v，则G中存在Euler通路C，u,v分别是起终点。再用狄克特算法求出u到v的最短路，将Euler通路再接上u到v的最短路，成为一个回路，此回路在u到v最短路上的边经过二次，因此该回路的权和等于G的各边权之和再加上u到v的最短路的权和。

c个）③若图G含有2k（k>0）个奇数度点，先求出这2k个点的任意两点间的最短路，（共有2

2k

然后在这些通路中找出k条通路P1,…,P k，满足两条<1>任何P i,P j没有相同的起终点，（正好接住这2k个点）<2>使找出的k条通路在满足<1>的条件下权和最小。（这是后面最优生成树的算法）

④根据③求出的k条通路在原G图上复制出来k条通路上的边（即一条边平行地再画一条边）得到图为G

⑤该图G′的所有点的度数成为偶数，因而求出G′的Euler回路就是问题的解。

路就是能求的路。

§6.2哈密尔顿图和货郎担问题

一、哈密尔顿图

定义2：经过每个结点一次且仅一次的通路（回路）称为哈密尔顿通路（回路），存在哈密

尔顿回路的图称为哈密尔顿图。

定理3：设无向图G=是哈密顿图，V1是V的任意非空子集，则有P（G-V1）≤|V1|

其中P（G-V1）是从G中删去点子集V1及所有与V1的点相关联的边后的连通分支数。

证明：省略，见书上

注：①此定理是必要条件而不是充分条件

②必要条件可以证明一个图不是哈密尔顿图。

定理4：设G=,为无向简单图,如G中任意两个结点的度数之和大于等于|V|，则G是哈密尔顿图。

说明：该定理是充分条件但不是必要的。

定理5：设有向图D=,|V|=n≥2

如果所有的有向边均用无向边代替,所得无向图中含有生成子图k n则该无向图中存在哈密尔顿通路,

推论:|V|≥3的有向完全图为哈密尔顿图。

二、货郎担问题：

1.问题的提出：今有n个城市，任意两个城市之间均有路，今有一个售货员从某个城市出

发要经过其它n-1个城市恰一次，最后回到出发城市，问如何走使得经过的总路程最短。

2.转化为图论问题：以城市为结点，两城市之间的路为边，路程长度为边上的权，则问题

转化为在带权无向图G=中找一个权和最小的哈密尔顿回路。

3.最邻近法：此法不是一个最有效的方法，是一种近似算法。设G=是带权无向图,

共有n个结点,

1)任取一点纪为v1,在其余n-1个点中,找出最邻近v1的点,记为v2形成初级通路v1v2

2)在其余n-2个点中,找出最邻近v2的点,记作v3,形成初级通路v1v2v3,如此一直下去直到找到一条哈密尔顿回路为止

此算法与初始点的选取有关,误差往往很大。

§6.3平面图与图的着色

一、平面图：

1、定义3：设无向图G=，如果能把G的所有结点和边画在平面上，使任何两边除

公共结点外没有其它交叉点，则称G为可嵌入平面图，或称G是可平面图，可平面图在平面上的一个嵌入称为平面图，如果G不是可平面图，则称G为非平面图。

2、面的次数