2018年高中数学北师大版选修4-4课件:平面直角坐标系中的伸缩变换
选修4-4 平面直角坐标系中的伸缩变换

选修4-4 §1.2平面直角坐标系中的伸缩变换〖知识网络建构〗1.一般地,由⎩⎨⎧kx = x',y = y'所确定的伸缩变换,是伸缩系数为k 向着y 轴的伸缩变换。
当k > 1时,表示伸长;当 k < 1时,表示压缩,即曲线上所有的点的纵坐标不变,横坐标变为原来的 k 倍。
这里P (x ,y)是变换前的点,P'(x',y')是变换后的点。
2.同样由 ⎩⎨⎧x = x',ky = y'所确定的伸缩变换是伸缩系数为k 向着x 轴的伸缩变换。
〖典例剖析〗【例1】:求下列点经过横坐标变为原来的2倍,纵坐标变为原来的3倍后的点的坐标: (1) (1,2); (2) (-2,-1). 【例1】解:(1)(2,6);(2)(-4,-3).【变式与拓展1】.点(2,-3)经过伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 31'21'后的点的坐标是 ;解:变式1.(1,-1);【变式与拓展2】.点),(y x 经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧==yy x x 3'21'后的点的坐标是(-2,6),则=x ,=y ;解:变式2.2,4=-=y x【例2】:在平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧==yy xx 3'2'后的图形:(1)032=+y x ;(2)122=+y x .【例2】解:(1)0''=+y x ;(2)19'4'22=+y x 〖能力训练〗1.点)1,2(π经过伸缩变换⎩⎨⎧==yy xx 3'2'后的点的坐标是 )3,(π; ; 2.点),(y x 经过伸缩变换⎩⎨⎧==yy xx 2'3'后的点的坐标是)4,3(-π,则=x x π=,=y 2y =-.3.曲线364922=+y x 经过伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 31'21'后的曲线方程是 1''22=+y x .4.曲线C 经过伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 21'31'后的曲线方程是36'9'422=-y x ,则曲线C 的方程是1''22=-y x .5.将点(2,3)变成点(3,2)的伸缩变换是(B )A.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 23'32' B.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 32'23' C.⎩⎨⎧==x y y x '' D.⎩⎨⎧-=+=1'1'y y x x6.将直线22=-y x 变成直线4''2=-y x 的伸缩变换是 ⎩⎨⎧==y y xx 4'' .7.在伸缩变换⎩⎨⎧==y y x x '2'与伸缩变换⎩⎨⎧==yy x x 2'2'的作用下,单位圆122=+y x 分别变成什么图形?解:在⎩⎨⎧==y y x x '2'的作用下,单位圆变成椭圆1'4'22=+y x ;在⎩⎨⎧==yy x x 2'2'的作用下,单位圆变成圆4''22=+y x ;8.为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像,只需将函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点(C )A.向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍(纵坐标不变) B.向右平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍(纵坐标不变)C.向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变) D.向右平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)9.曲线)6sin(π+=x y 经过伸缩变换⎩⎨⎧==y y x x 2'3'后的曲线方程是 )63'sin(2'π+=x y ;10.将曲线0222=+-x y x 变成曲线0'4'16'22=+-x y x 的伸缩变换是 ⎪⎩⎪⎨⎧==y y x x 21'2' .11.函数()f x 的图像是将函数2log (1)x +的图像上各点的横坐标变为原来的13,纵坐标变为原来的12而得到的,则与()f x 的图像关于原点对称的图像的解析式是 。
平面直角坐标系伸缩变换课件

伸缩变换的矩阵表示
伸缩变换
将平面中的点按照某个方向进行缩放,通常称为放缩变换。
伸缩变换矩阵
放缩变换可以通过一个二阶实对称矩阵来实现,该矩阵称为伸缩变 换矩阵。
伸缩变换矩阵的性质
具有正定的对角线元素,并且其特征值分别对应于放缩变换的两个 方向上的缩放因子。
平面直角坐标系伸 缩变换的优缺点及 展望
平面直角坐标系伸缩变换的优点
便于解决几何问题
通过伸缩变换,可以将复杂的几 何问题转化为简单的代数问题,
从而更便于解决。
丰富数学内容
伸缩变换是一种新的数学方法,可 以丰富数学的教学内容,提高学生 的学习兴趣。
应用广泛
伸缩变换在物理学、工程学等领域 都有广泛的应用,可以帮助学生更 好地理解这些领域的基础知识。
平面直角坐标系伸缩 变换课件
目录
CONTENTS
• 平面直角坐标系基础 • 伸缩变换的基本原理 • 伸缩变换的应用 • 伸缩变换的数学模型 • 伸缩变换的实现方法 • 平面直角坐标系伸缩变换的优缺
点及展望
01
平面直角坐标系基 础
定义与性质
定义
平面直角坐标系是一个二维的数 轴系统,它由两个互相垂直的坐 标轴构成。
伸缩变换的逆变换与等价变换
01
02
03
04
逆变换
如果一个变换可以通过逆变换 还原到原始状态,那么这个变
换就称为可逆的。
等价变换
两个变换可以相互转换,并且 它们对所有点的作用相同,那
么它们称为等价的。
伸缩变换的逆变换
通过伸缩变换矩阵的逆矩阵可 以获得逆变换矩阵。
等价变换的证明
高二数学(理)《平面直角坐标系中的伸缩变换》(课件)

x' y'
2 3
x y
后的图形
(1)2x 3 y 0;
(2)x2 y2 1
例2. 在同一平面直角坐标系中, 经
过伸缩变换:
x'
y'
3x y
后,
曲线C变为曲
线x'2+9y'2=9, 求曲线C的方程。
例3. 思考:在同一平面直角坐标下
(1)你如何将椭圆方程
x2 a2
y2 b2
1
变成圆的方程?
y 1 cos 1 x ? 23
伸缩变换:
设点P(x, y)是平面直角坐标系中的
任意一点9;
x( y(
0) 0)
的作用下, 点P(x, y)对应到点P'(x', y'),
称
为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,
简称伸缩变换。
例1.在平面直角坐标系中, 求下列方
程所对应的图形经过伸缩变换
平面直角坐标系中的伸缩变换
1.回顾必修4中的三角函数: (1)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线
y=sin2x? (2)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线
y=3sinx? (3)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线
y=3sin2x?
2.研读教材P4-P6: (1)在平面直角坐标系中, 如何理解
坐标伸缩变换? (2)如何利用伸缩变换由y=cosx得到
(2)你如何将双曲线方程
x2 a2
y2 b2
1
变成等轴双曲线方程?
(3)你如何将抛物线方程y2=2px变换 成抛物线方程y'2=x'?
训练1: 在同一平面直角坐标系 中, 求满足下列图形变换的伸缩变换:
北师大版高中数学选修4-4课件高二理科同步课件:1.1.2平面直角坐标轴中的伸缩变换随堂验收(共16张PPT)

1, 4.
4.在同一直角坐标系中函数y=cos2x的图像经过伸缩变换φ 后,得到函数 y 2cosx 的图像,则伸缩变换φ是( )
A.x
2 x, 2
y 2 y
C.
x
1 2
x,
y
2y 2
x 2x,
B.
y
2y
A. 2 Y X 5 3
C. 3 Y 1 X 5 22
B. 3 Y X 5 2
D. 3 Y 2X 5 2
答案:B
解析
:
x
y
X 2
,
代入直线方程为
3Y
3Y
2
2
X
5.
7.若点P(x,y)经过平面伸缩变换
X
Y
1 2 1 2
D.
x
y
2x, 2x
答案:B
解析
:
设伸缩变换为
:
x x(
y uy(u
00)),, 则
x y
1
1 u
x, y.
1 y cos 2 x,即y ucos 2 x.由题意可知,
u
u 2, 2 1. 2, u 2.
将
x y
5x, 直接代入2x2 3y,
8y2
1,
得25x2 83y2 1,
即50x2 72y2 1为所求曲线C的方程.
X 2x,
高中数学北师大版选修4-4配套课件:1-1《平面直角坐标系》

已知某荒漠上有两个定点 A、B,它们相距 2 km,现准 备在荒漠上开垦一片以 AB 为一条对角线的平行四边形区域 建成农艺园,按照规划,围墙总长为 8 km. (1)问农艺园的最大面积能达到多少? (2)该荒漠上有一条水沟 l 恰好经过点 A,且与 AB 成 30° 的角,现要对整条水沟进行加固改造,但考虑到今后农艺园 的水沟要重新改造,所以对水沟可能被农艺园围进的部分暂 不加固,问:暂不加固的部分有多长?
【思路探究】 本题求解的关键在于确定商船相对于甲 舰的相对位置,因此不妨用点 A、B、C 表示甲舰、乙舰、丙 舰,建立适当坐标系,求出商船与甲舰的坐标,问题可解.
【自主解答】 设 A, B, C, P 分别表示甲舰、 乙舰、 丙舰和商船.如图所示,
以直线 AB 为 x 轴, 线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立直 角坐标系,则 A(3,0),B(-3,0),C(-5,2 3).
联立①②,解得 P 点坐标为(8,5 3). 5 3 ∴kPA= = 3. 8-3 因此甲舰行进的方位角为北偏东 30° .
1.由于 A、B、C 的相对位置一定,解决问题的关键是: 如何建系,将几何位置量化,根据直线与双曲线方程求解. 2.运用坐标法解决实际问题的步骤:建系→设点→列 关系式(或方程)→求解数学结果→回答实际问题.
实数对(x,y)
与之对应;反之,对于任意的 一个有序实
数对(x,y) ,都有唯一的点与之对应.即在平面直角坐标
系中, 点 和
有序实数对
是一一对应的.
2.平面直角坐标系与曲线方程 曲线可看作是 满足某些条件 的点的集合或轨迹,由
此我们可借助平面直角坐标系,研究曲线与方程间的关系. 在平面直角坐标系中,如果某曲线 C 上的 点 与一个二 元方程 f(x,y)=0 的 实数解 建立了如下的关系: (1)曲线 C 上的 点的坐标 都是方程 f(x,y)=0 的 解 ;
高中数学(北师大版)选修4-4 :1.1.2平面直角坐标轴中的伸缩变换含解析

1.2 平面直角坐标轴中的伸缩变换课后篇巩固探究A组1.在平面直角坐标系中,将x轴上的单位长度变为y轴上单位长度的6倍,则圆x2+y2=36进行伸缩变换后的图形是( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线2.已知一椭圆的方程为=1,如果x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍,那么该椭圆的形状为( )x轴上的单位长度保持不变,y轴上的单位长度缩小为原来的,那么该椭圆的形状为选项D中所示.3.在平面直角坐标系中,如果x轴上的单位长度变为y轴上单位长度的倍,那么一条线段经过变换后的图形是( )A.直线B.射线C.与原来长度相同的线段D.比原来长度短的线段4.在同一平面直角坐标系中,将曲线y=cos 2x经过伸缩变换后为( )A.y=cos xB.y=3cos xC.y=2cos xD.y=cos 3x代入y=cos 2x,得cos x'.∴y'=cos x',即曲线y=cos x.5.导学号73144005若点P(-2 016,2 017)经过伸缩变换后所得的点在曲线y'=上,则k=( )A.1B.-1C.2 016D.-2 016P(-2 016,2 017),∴x=-2 016,y=2 017,∴代入y'=,得k=x'y'=-1.6.将圆x2+y2=1经过伸缩变换后所得的曲线方程为.代入x2+y2=1中,得=1.所以变换后所得的曲线方程为=1.=17.x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍的平面直角坐标系中,以原点为圆心,4为半径的圆的图形变为.x轴的单位长度不变,y轴的单位长度缩小为原来的,圆x2+y2=16的图形变为中心在原点,焦点在x轴上的一个椭圆.8.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换后,曲线C变为曲线+4y'2=1,求曲线C的方程并画出图像.代入+4y'2=1中,得+4×y2=1,即x2+y2=4.其图像如图所示.。
北师大版高中数学选修4-4课件第1讲 第1节平面直角坐标系精选ppt版本

缩后仍为直线,双曲线伸缩后仍为双曲线,抛物线伸缩后仍为
抛物线,而椭圆伸缩后可能是椭圆或圆.
[变式训练] 2.在平面直角坐标系中,求下列方程所对应 的图形经过伸缩变换yx′′==42yx 后的图形,
(1)2x+4y=a; (2)x2+y2=r2(r≠0).
解析:
(1)由伸缩变换yx′′==42yx ,得到yx==1214xy′ ′
D.yx′′==22yx
解析: 设伸缩变换公式为
x′=λxλ>0, y′=μyμ>0,
由题意,得1-=62=μ,-2λ,
λ=3, 解得μ=12,
• 答案: C
x′=3x, ∴y′=12y
故选C.
2.将正弦曲线y=sin x的纵坐标保持不变,横坐标缩短为
即3λ2x2+μ22y2=1.与x2+y2=1比较系数,
得3μ2λ22==11,,
故λμ==32,,
所以伸缩变换为yx′′==23yx,,
即先使圆x2+y2=1上的点的纵坐标不变,将圆上的点的横
坐标伸长到原来的3倍,得到椭圆
[思路点拨] 逆向运用坐标的伸缩变换公式
区分原方程和 变换后的方程
系―待数 ―定→法
设伸缩 变换公式
―→
代入变换后 的曲线方程
与原曲线方 ―→ 程比较系数
[解题过程] y′4 2=1,
将变换后的椭圆的方程x92+y42=1改写为x′9 2+
设伸缩变换为yx′′==μλxyλμ>>00,, 代入上式得λ29x2+μ24y2=1,
x1+x2
y1+y2
____2______,y=_____2_____.
2.平面直角坐标系中的伸缩变换
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换
人教B数学选修4-4课件:第1章1.1直角坐标系平面上的伸缩变换

第一章坐标系1.1 直芹坐标系,平面上的伸缩变换1.1.1 直芹坐标系1. 1. 2 平面上的伸缩变换1^嘗L知匚新知初探TJ1.直角坐标系⑴直线上点的坐标①点0,长度单位和选定的方向三者就构成了直线上的坐标系, 简称数轴.②直线上的点与全体实数之间就建立了一一对应关系.1.直角坐标系(2)平面直角坐标系①取定两条互相垂直的且有方向的直线和长度单位构成平面上的一个直角坐标系,记为xOy,有序数组上丿—为点M的坐标.②在平面上建立了直角坐标系后,平面上的点就与全体有顺序的实数对之间建立了一一对应关系.1.直角坐标系(3)空间直角坐标系①过空间中一个定点0,作三条互相垂直且有相同长度单位的数轴,就构成了空间直角坐标系.②在建立了空间直角坐标系后,空间中的点和有序数组(” % N) 之间建立了一一对应关系.2.平面上的伸缩变换把点P(x, y)变为平而上新的点Q(x宀,伸缩变换的坐标X=cix表达式为:其中〃>0, feO.y=by特别提醒:(1)在坐标伸缩变换的作用下,可以实现平面图形的伸缩,因此,平面图形的伸缩变换可以用坐标的伸缩变换来表示.(2)在使用时,要注意点的对应性,即分清新旧:Q(X,厂是变换后的点的坐标,P(x, y)是变换前的点的坐标.思考1:如何根据几何图形的几何特征建立恰当的坐标系?[提示]①如果图形有对称中心,可以选对称中心为坐标原点;②如果图形有对称轴,可以选对称轴为坐标轴;③若题目有己知长度的线段,以线段所在的直线为兀轴,以端点或中点为原点.建系原则:使几何图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上.思考2:如何理解点的坐标的伸缩变换?[提示]在平面直角坐标系中,点P(x, y)变换到点Q(X, K)・当。
>1时,是横向拉伸变换,当时,是横向压缩变换;当b>l 时,是纵向拉伸变换,当0动<1时,是纵向压缩变换.1.点P(—1,2)关于点A(l, —2)的对称点坐标为(A.(3,6)B. (3, -6)C. (2, -4)D. (—2,4) [解析]设对称点的坐标为a,y),则x—1=2,且『+2=-4,・:兀=3,且y=~6.嗒案]B2•为了得到曲线y=3shu,只需把曲线)-2sinx怎样变换(A.纵坐标不变,横坐标变为原来的扌倍B.横坐标不变,纵坐标变为原来的扌倍2 C.纵坐标不变,横坐标变为原来的寸咅2 D.横坐标不变,纵坐标变为原来的[倍[答案]B3.将点P(—2,2)变换为点2(-64)的伸缩变换公式为([ _6二〃・(_2), [x~cix '有[1M2, 嗒案]cA \Y=by 中B.1 X=i xX~3xD.X =3xF=2y\X=~6 Y=\代入到公式a=3. V=1xY >,=3-•»,Y 2+g=l.2 2= 1经过伸[I:[解析】由 后的曲线方; 为 1Y=3y.彳[代入到x 2+y 2=l,[・:变换后的曲线方程为盒+^=L1 [答案1話+$F严严护运用坐标法解决平面几何问题【例1】已知MBCD,求证:L4CP+IBD卩=2(IAB卩+肋|2).[思路探究]从要证的结论,联想到两点间的距离公式(或向量模的平方),因此首先建立坐标系,设岀A, B, C, D点的坐标,通过计算,证明几何结论.[解]法一(坐标法)以A为坐标原点0,AB所在的直线为x 轴,建立平面直角坐标系xOy,则A(0,0), 设B(o,0),C(b, c), 则AC的中点E(f, *),由对称性知D(b~a, c),所以IAB|2=『,L4D|2=(方一O)2+C2,\AC\2=b2 c2,\BD\2=(b~2d)2-\~c2,L4C卩+IBD卩二仿+2『+2『—4处=2(2^?+肚+『一2nb), IABI2+L4PI2=2fl2+/?2+c2—・・・14倂+ |劝|2二2(仙|2 + |俎)|2).法二(向量法)在口ABCD 中,AC=AB+AZ),两边平方=L4C12 = AB2+AD2+2A5-AI), 同理得丽$二应)|2二臥2十就2*2麻就,以上两式相加,得L4CI2+I5DI2=2(L4BI2+麻)F)+2 肚.(血+BA)=2(励F+麻)|2),即IACP+|BD|2=2(IAB卩+L4DF).规律方ii7、— _ _ a 'X%—_一一塞v- * 匚・ 2 J ・■ ■/1.本例实际上为平行四边形的一个重要定理:平行四边形的两条对角线的平方和等于其四边的平方和.2.证法一是运用代数方法即解析法实现几何结论的证明的.这种“以算代证”的解题策略就是坐标方法的表现形式之一•证法二运用了向量的数量积运算,更显言简意赅,给人以简捷明快之感.1.己知正三角形ABC 的边长为a,在平面上求一点P,使刚卩 +IPB P+IPC F 最小,并求岀此最小值.[解]如图,以BC所在直线为龙轴,BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,则4(0, £), B(-* 0), C§, 0).设P* y).A则曲+昭阳2*旷歸+(卄卅2+(工_卅2心. =3x2+3j2—3x2+3(y— oF+oOoS当且仅当x=o, y二春时,等号成立,・・・所求最小值为『,此时P点坐标为P(0,于。
高中数学 北师大选修4-4 1.2平面直角坐标系中的伸缩变换

在平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图 形经过伸缩变换
x’=2x
y’=3y 后的图形。
(1)2x+3y=0; (2)x2+y2=1
随堂练习
பைடு நூலகம்
x' 2x
1、在伸缩变换
y'
1 2
下,写出下列曲线 y
变换后的方程
1)2x 3 y 1 0
2) y2 4x
y y
(2)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?
y 2
y=3sinx
1
y=sinx
2
O
x
1
2
纵坐标伸长为原来的3倍,纵坐标不变。
两者的对应关系:
x y
x 3y
②
通常把 ② 叫做
平面直角坐标系中的 一个坐标伸长变换。
(3)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲y=3sin2x? 写出其坐标变换.
x2 y2 3) 1
21
典型例题2
已知伸缩变换及变换后曲线方程,求原曲线方程
例2.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换
x'
y
'
3x, y
后,曲线C变为曲线
x '2
9 y '2
9,
求曲线C的方程并画出图象.
随堂练习
x' x
2、经过伸缩变换
y'
1 9
后,曲线变为 y
x2 - 9 y2 1,求原方程
典型例题3
已知原曲线方程及变换后曲线方程,求伸缩变换
例3.在同一平面直角坐标系中,求满足下列 图形变换的伸缩变换: (1)直线x-2y=2变成直线2x′ - y′=4. (2)曲线x2-y2-2x=0变成曲线 x '2 16 y '2 4x 0.
高二数学北师大版选修4-4课件:1.1.2 平面直角坐标轴中的伸缩变换

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Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
1234
2.已知一椭圆的方程为���6���42
+
������ 2 16
=1,如果
x
轴上的单位长度为
y
轴上单
位长度的12,则该椭圆的形状为(
)
解析:如果 y 轴上的单位长度保持不变,x 轴上的单位长度缩小为原 来的12,则该椭圆的形状为选项 B 中所示. 答案:B
y
轴的单位长度,导致了椭圆���9���2
+
������ 2 4
=1
的图形的变化,改
变了哪个轴的单位长度及改变了多少一定要清楚,不然画出的伸缩
变换后的图形就不符合题目要求了.
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的12,得到点
P'(x',y'),坐标对应为
������′
=
1 2
������,通常叫作平面直角坐标系
������′ = ������,
中的一个压缩变换.
若 P(x,y),保持纵坐标不变,将横坐标伸长为原来的 2 倍,得到 P″
(x″,y″).坐标对应为 ������″ = 2������,通常叫作平面直角坐标系中的一个
����导学 INZHI DAOXUE
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探究一
探究二
(2)如果 x 轴上的单位长度保持不变,y 轴上的单位长度缩小为原来的
高二数学选修4-4平面直角坐标系中的伸缩变换与极坐标系上课用-公开课课件ppt.ppt

在整堂课的教学中,刘教师总是让学 生带着 问题来 学习, 而问题 的设置 具有一 定的梯 度,由 浅入深 ,所提 出的问 题也很 明确
探索
•已知一点, 与它关于极轴所在直线对称的点如何表示?
Ø若M的坐标为 ( , ) ,则M’的坐标可以是 (,).
M(,)
O
x
M (,)
20
在整堂课的教学中,刘教师总是让学 生带着 问题来 学习, 而问题 的设置 具有一 定的梯 度,由 浅入深 ,所提 出的问 题也很 明确
x’=x 2
y’=3y
通常把 2 叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变 换。
3
(3)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x? 写 出其坐标变换。
设点P(x,y)经变换得到点为P’(x’,y’)
x’=
1 2
x
y’=3y
通常把这样的变换叫做平面直角坐标系中的一个坐标 伸缩变换。
4
定义:设P(x,y)是平面直角坐标系中任意 一点,在变换
x=ρcosθ, y=ρsinθ
26
在整堂课的教学中,刘教师总是让学 生带着 问题来 学习, 而问题 的设置 具有一 定的梯 度,由 浅入深 ,所提 出的问 题也很 明确
互化公式的三个前提条件:
1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
与直角坐标系的联系与区别
•极坐标系与直角坐标系的异同是什么? Ø都是用有序实数对来表示平面上的点. Ø其中的有序实数对意义不同. Ø直角系的坐标与平面上点是一一对应的;
极坐标系的坐标与平面上点多对一的; •有没有办法使极坐标与点之间一一对应?
选修4-4第一讲-1平面直角坐标系及其伸缩变换习题课

5.在同一直角坐标标系中,经过伸缩换xy
3x后, y
曲线C变为曲线x2 9 y2 9,求曲线C的方程。
x2 y2 1
课本第8页
x x
(1)
y
4
y
(2)xy
2x 1y 2
小结:
建系时,根据几何特点选择适当的直角坐标系: (1)如果图形有对称中心,可以选对称中心为坐标原点; (2)如果图形有对称轴,可以选择对称轴为坐标轴; (3)使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
即|AB|-|AC|=
1 2
a(定值)
(-
a ,B0) 2
A(x,y)
y
(a ,0) 2
Cx
由双曲线的定义,实轴
2a 1 a得a 1 a,半焦距c 1 a,
2
4
2
得b2 c2 a2 3 a2 16
轨迹方程为
例2:已知直线L1⊥直线L2,垂足为M,点N ∈L2,(如图)以A,B为端点 的曲线段C上任意一点到L1的距离与到N的距离相等.若ΔAMN为 锐角三角形,且|AM|=√17,|AN|=3,|BN|=6.建立适当的坐标系,求曲 线段C的方程.
[思路分析]:坐标系的建立是本题的
突破口,由于L1⊥L2,故可选择它们 为坐标轴;也可以以线段MN的垂直
L1
y B
A
平分线为y轴.(哪一种更好呢?)由 M 题设可知曲线段C为抛物线的一部
N L2 x
分,L1为准线,N为焦点,很显然选择 标准方程y2=2px(p>0).下面的关键
是求出p的值,而ΔAMN为锐角三角
形及|BN|=6又起什么作用呢?请大
家认真思考.
例3:已知ΔABC底边BC的长为2a(a>0),又知tanBtanC=t(t≠0).(a,t均为
高中数学课件:平面直角坐标系中的伸缩变换

由上所述可以发现,在伸缩变换(4)下, 直线仍然变成直线,而圆可以变成椭圆。
思考: 在伸缩变换(4)下,椭圆是否可以变成圆? 抛物线、双曲线变成什么曲线?
第十四页,编辑于星期一:点 二十八分。
练习:
1.在直角坐标系中,求下列方程所对应 的图形经过伸缩变换
x’=x
y’=3y
后的图形。 (1)2x+3y=0; (2)x2+y2=1
x’=x 2
y’=3y
通常把 2 叫做平面直角坐标系中的 一个坐标伸长变换。
第六页,编辑于星期一:点 二十八分。
(3)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线 y=3sin2x? 写出其坐标变换。
第七页,编辑于星期一:点 二十八分。
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y), 保持纵坐标不变,将横坐标x缩为原来 的 1 ,在此基础上,将纵坐标变为原来 的3倍2 ,就得到正弦曲线y=3sin2x.
设点P(x,y)经变换得到点为P’(x’,y’)
x’=12 x 3 y’=3y
通常把 3 叫做平面直角坐标系中的
一个坐标伸缩变换。
第八页,编辑于星期一:点 二十八分。
定义:设P(x,y)是平面直角坐标系中任 意一点,在变换
:
x y
' '
x y
( 0) ( 0)
4
的作用下,点P(x,y)对应P’(x’,y’).称
2x 3y 0变成直线x y 0
第十二页,编辑于星期一:点 二十八分。
(2)、将(5)代入x2 y2 1,得到经过伸缩变换后的 图形的方程是 x2 y2 1
49 所以,经过伸缩变换{x 2x 后,圆x2 y2 1
y 3y 变成椭圆 x2 y2 1
直角坐标系中的伸缩变换课件PPT

03 伸缩变换的矩阵表示
二维伸缩变换的矩阵表示
总结词
描述二维平面上的点通过伸缩变换后的坐标变化。
详细描述
在二维直角坐标系中,伸缩变换可以通过一个矩阵来表示。假设原点为 $(x, y)$, 经过伸缩变换后变为 $(x', y')$,则变换矩阵可以表示为
二维伸缩变换的矩阵表示
• $\begin{pmatrix}
02
在直角坐标系中,设原点为 $O(0,0)$,点$P(x,y)$经过伸缩变 换后变为点$P'(x',y')$,则变换公 式为:$x' = kx, y' = ky$,其中 $k$为伸缩系数。
伸缩变换的性质
伸缩变换保持点之间 的距离不变,即 $|OP| = |OP'|$。
伸缩变换可以同时对 x和y进行放大或缩小, 但比例系数必须相同。
伸缩变换的理论研究
01
02
03
理论框架
深入探讨伸缩变换的基本 原理、数学表达和推导过 程,建立完善的理论框架。
性质研究
研究伸缩变换的性质,如 线性、可逆性、连续性和 可微性等,并探讨其在不 同坐标系下的表现。
几何意义
从几何角度解释伸缩变换, 探究其在图形、曲线和曲 面等几何对象上的应用和 表现。
伸缩变换的应用研究
02 伸缩变换在直角坐标系中 的应用
横向伸缩变换
总结词
在直角坐标系中,横向伸缩变换 是指沿x轴方向的伸长或缩短。
详细描述
横向伸缩变换通过乘以一个大于1 的系数来增加x轴上的长度,或者 乘以一个小于1的系数来减小x轴 上的长度。这种变换不会改变点 在y轴上的坐标。
纵向伸缩变换
总结词
纵向伸缩变换是指沿y轴方向的伸长或缩短。
2018-2019学年高二数学人教B版选修4-4课件:第1章 1.1 直角坐标系 平面上的伸缩变换

类型一
运用坐标法解决平面几何问题 已知▱ABCD,求证:|AC|2+|BD|2=2(|AB|2+|AD|2).
【精彩点拨】 从要证的结论, 联想到两点间的距离公式(或向量模的平方), 因此首先建立坐标系,设出 A,B,C,D 点的坐标,通过计算,证明几何结论.
【尝试解答】
法一
(坐标法)
以 A 为坐标原点 O,AB 所在的直线为 x 轴,建立平 面直角坐标系 xOy,则 A(0,0), 设 B(a,0),C(b,c), b c 则 AC 的中点 E(2,2), 由对称性知 D(b-a,c),
[思考· 探究] 1.如何根据几何图形的几何特征建立恰当的坐标系?
【提示】
①如果图形有对称中心,可以选对称中心为坐标原点; ②如果
图形有对称轴,可以选对称轴为坐标轴;③若题目有已知长度的线段,以线段 所在的直线为 x 轴,以端点或中点为原点. 建系原则:使几何图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上.
2.如何理解点的坐标的伸缩变换?
2.平面上的伸缩变换
X=ax 把点 P(x, y)变为平面上新的点Q(X,Y) , 伸缩变换的坐标表达式为: Y=by
,
其中 a>0,b>0.
特别提醒:(1)在坐标伸缩变换的作用下,可以实现平面图形的伸缩,因此, 平面图形的伸缩变换可以用坐标的伸缩变换来表示. (2)在使用时,要注意点的对应性,即分清新旧:Q(X,Y)是变换后的点的坐 标,P(x,y)是变换前的点的坐标.
)
【答案】 B
3.将点 P(-2,2)变换为点 Q(-6,1)的伸缩变换公式为( 1 X= x 3 A. Y=2y X=3x C. 1 Y= y 2 1 X= x 2 B. Y=3y
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y 伸长为原来的
3 倍,
y sin x 得到曲线
y 3 sin 2 x
归纳总结:
坐标伸缩变换
请同学们用自己的语言来 归纳一下平面直角坐标系 的伸缩变换!
归纳总结:
例题分析:
例 2 、在平面直角坐标系中 对应的图形经过伸缩变 ( 1 )、 2x 3y 0 ( 2 )、 x
归纳总结:
坐标伸长变换
问题分析:
( 3 ) 怎样由正弦曲线 y sin x 得到曲线 y 3 sin 2 x ?
4
2
-5
5
10
-2
-4
问题分析:
设 P ( x , y )是 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 纵坐标 y 不变,将横坐标 任意一点,先保持 1 2 , x 缩为原来的
在此基础上再将纵坐标
平面直角坐标系中的伸缩变换
课前思考:
(1)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线 y=sin2x?
( 2 ) 怎样由正弦曲线 y sin x 得到曲线 y 3 sin x ?
( 3 ) 怎样由正弦曲线
y sin x 得到曲线
y 3 sin 2 x ?
问题分析:
怎样由正弦曲线 y sin x 得到曲线 y sin 2 x ?
2
,求下列方程所 换{ x 2 x y 3 y 后的图形。
y
2
1
例题分析:
例题分析:
结论分析:
由上所述可以发现,在伸缩变换下,直线仍 然变成直线,而圆可以变成椭圆。
思考: 在伸缩变换下,椭圆是否可以变成圆?抛物线、 双曲线变成什么曲线?
巩固练习:
巩固练习:
课堂小结
1、坐标伸缩的定义;
2、有关题型; 作业:完成习题;
2
-5
5
-2
-4
引发思考:
从平面直角坐标系中的点的对应关系出发,你认
为“保持纵坐标y不变,将横坐标x缩为原来的1/2”
的实质是什么?
归纳总结:
坐标压缩变换:
பைடு நூலகம்
问题分析:
( 2 ) 怎样由正弦曲线 y sin x 得到曲线 y 3 sin x ?
6
4
2
-10
-5
5
10
-2
-4
-6
引发思考: 从平面直角坐标系中的点的对应关系出发,你 认为“保持横坐标x不变,将纵坐标y伸长为 原来的3倍”的实质是什么?