1414整式的乘法

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八年级数学上册141整式的乘法1414整式的乘法4教案新人教版

课题：14.1.4整式的乘法（4）——同底数幂的除法教学目标：理解同底数幂的除法法则．并能运用同底数幂的除法法则解决一些实际问题.重点：正确理解同底数幂的除法法则．难点：确理解和应用同底数幂的除法法则解决实际问题．教学流程：一、知识回顾1.说一说同底数幂的乘法法则？答案：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．(,m n m n a a a m n +=都是正整数）2.填空58712392(1)()22;(2)10()10(3)(4)().m m a a x x +⋅=⋅=⨯=⋅= ；（）；答案：23；105；a 6；x 2二、探究探究：587123923562(1)()22;(2)10()10(3)(4210)().m m a a x a x x +⋅=⋅=⨯=⋅=　；（）；请根据上面的式子填空：85()127()93()2()(1)22()2;(2)1010()10;(3)();(4)().m m a a a x x x +÷==÷==÷==÷==答案：（1）23；8-5；（2）105；12-7；（3）a 6；9-6；（4）x 2；m+2-m追问1：你能得出m n a a ÷（a≠0）的结果吗？答案：m n a -追问2：为什么强调a≠0呢？归纳：同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减.m n m n a a a -÷=（a ≠0， m ，n 为正整数，m ＞n ）想一想：(0)m m a a a ÷≠的结果是多少呢？答案：01(0)a a =≠归纳：任何不等于0的数的0次幂都等于1.练习：1.计算；8252(1)(2)()().x x ab ab ÷÷；解：82826(1)x x x x -÷==5252333(2)()()()()ab ab ab ab a b -÷===2.下面的计算对不对？若不对，应当怎样改正？842(1)x x x ÷=； 33(2)a a a ÷=；523(3)y y y ÷=； 422(4).c c c -÷-=-（）（）　答案：（1）；×；84844x x x x -÷==（2）；×；3312a a a a -÷==（3）；√；（4）×；4222()()()c c c c -÷-=-=3．下列各式的计算中一定正确的是( )A ．(3x －2)0＝1B ．π0＝0C ．(a 2－1)0＝1D ．(x 2＋2)0＝1 答案：D三、应用提高已知5m ＝6，5n ＝3，求5m －n 的值.解：5m －n＝5m ÷5n＝6÷3＝2.逆用公式：a m －n ＝a m ÷ a n （a≠0， m ，n 为正整数，m ＞n ）四、体验收获今天我们学习了哪些知识？1.说一说同底数幂相除的运算法则？2.在计算中应注意哪些问题？五、达标测评1．下列运算正确的是( )A ．a ＋2a ＝3a 2B ．3a 3·2a 2＝6a 6C ．a 8÷a 2＝a 4D ．(2a)3＝8a 3答案：D2．若a 6m ÷a x ＝a 2m ，则x 的值是( )A．4m B．3m C．3 D．2m 答案：A3．若(－5)3m＋9＝1，则m＝_______；当x______时，(x－4)0＝1.答案：－3；≠44．若(x－5)x＝1，则整数x的值可能是____________.答案：0或4或65.计算：(1)(－a)6÷(－a)2； (2)(－ab)5÷(－ab)3；(3)(x－y)5÷(y－x)2.解: (1)原式＝(－a)4＝a4.(2)原式＝(－ab)2＝a2b2.(3)原式＝(x－y)5÷(x－y)2＝(x－y)3.六、布置作业教材104页练习题第1题．2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．若分式33x x -+的值为0，则x 的值为( ) A ．3B ．3-C ．3或3-D ．0 2．若分式12x +在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是（） A ．x ＞﹣2B ．x ＜﹣2C ．x=﹣2D ．x≠﹣2 3．如果关于x 的一次函数y ＝（a+1）x+（a ﹣4）的图象不经过第二象限，且关于x 的分式方程11222ax x x-+=--有整数解，那么整数a 值不可能是（） A ．0 B ．1 C ．3 D ．44．若2019个数1a 、2a 、3a 、…、2019a 满足下列条件：12a =，215a a =-+，325a a =-+，…，201920185a a =-+，则1232019...a a a a ++++（）A ．-5047B ．-5045C ．-5040D ．-50515．一个正n 边形的每一个外角都是45°，则n ＝（）A ．7B ．8C ．9D ．106．与5可以合并的二次根式是（）A ．10B ．15C ．20D ．257．已知正比例函数()0y kx k =≠的函数值y 随x 的增大而减小，则一次函数y x k =+的图象大致是（）A ．B ．C ．D ． 8．下列二次概式中，最简二次根式是（）A 8B 0.5C 3D 129．已知点（-2，y 1），（-1，y 2），（1，y 3）都在直线y=－3x ＋b 上，则y 1，y 2，y 3的值的大小关系是（）A ．123y y y <<B ．123y y y >>C ．312y y y >>D ．312y y y <<10．已知菱形的边长和一条对角线的长均为2 cm ，则菱形的面积为( )A ．3cm 2B ．4 cm 2C ．cm 2D ．2cm 2二、填空题11．直线y=x+1与y=-x+7分别与x 轴交于A 、B 两点，两直线相交于点C ，则△ABC 的面积为___． 12．如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝70°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，E 为垂足，连接DF ．则∠CDF 等于_____．13．在平面直角坐标系中，直线l ：1y x =-与x 轴交于点1A ，如图所示依次作正方形111A B C O 、正方形2221A B C C 、…、正方形1n n n n A B C C -，使得点123A A A 、、、 …在直线l 上，点123C C C 、、、…在y 轴正半轴上，则点n B 的横坐标是__________________。

人教版数学八年级上《1414整式的乘法》(第1课时)课件(23张PPT)

约是5×102秒，你知道地球与太阳之间的距离约是多少千米吗？
分析：距离=速度×时间，即（3×105）×（5×102）.
怎样计算（3×105）×（5×102）?
地球与太阳之间的距离约是：
（3×105）×（5×102）=(3 ×5)×(105×102)
=15×10７=1.5×108（千米）
注意：最终答
案要书写规范
(B)-3+ •4-=-
(C)2 • =8
(D)(--12)•(-)2=+2
=(--12)•() =-+1+2
2.判断
×)
( + + + )= + + + (
1
1 3 1 2
2
)
a (a a 2) a a 1 (×
3
2
2
1
a 2b3 a 2b2
3
4
2
（2）原式 2 x 9 x x 9 x 9 x
9
3
2
18x 6x 4x
3
2
（3）原式 x (-6x 2 ) 3y (-6x 2 )
3
2
(

18
x
y)
-6x
-6x3 18 x 2 y
注意：(1)多项式每一项要包括前面的符号；
只在一个单项式里含有的
字母连同它的指数作为积
的一个因式
单项式与单项式的乘法法则
一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同
底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，
则连同它的指数作为积的一个因式
步骤：（1）应先确定积的符号，再计算积的绝对值；（2）相同字

人教版数学八年级上册《14.1.4 整式的乘法》优质课件

6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月2021/11/72021/11/72021/11/711/7/2021
•7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观察是思考和识记之母。”2021/11/72021/11/7November 7, 2021
• 学习重点：多项式与多项式相乘的法则的概括与运用．
解决实际问题
问题1 已知某街心花园有一块长方形绿地，长为 a m，宽为p m．则它的面积是多少？
p
a
b
若将这块长方形绿地的长增加b m，则扩大后的绿地面积是多少？
探索法则
问题2 若将原长方形绿地的长增加b m、宽增加 q m，你能用几种方法求出扩大后的长方形绿地的面积呢？
解：（1）原式=3x2+6x+x+2=3x2+7x+2. （2）原式=x2-xy-8xy+8y2=x2-9xy+8y2. （3）原式=x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3=x3+y3.
巩固法则
练习计算：（1）（ 2 x1 ）（ x3 ）； 2x2+7x+3. （2）（ m 2 n ）（ 3 n m ）； -m2+mn+6n2 （3）（a 1）2；a2-2a+1. （4）（ a 3 b ）（ a 3 b ）； a2-9a2. （5）（ 2 x 2 1 ）（ x4 ）； 2x3-8x2-x+4. （6）（ x 2 2 x 3 ）（ 2 x 5 ） . 2x3-2x2-4x-15.
课堂小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）在运用多项式与多项式相乘的法则时，你认为

人教版八年级数学上册1414整式的乘法时

(3) (-a)10÷(-a)7; -a3
(4) (xy)5÷(xy)3. x2y2
3.下面的计算对不对?如果不对,应当怎样改正?
(1) x6÷x2=x3; x4 (2) 64÷64=6; 1
(3)a3÷a=a3; a2 (4)(-c)4÷(-c)2=-c2. (-c)2=c2
练习:
(1) a5÷a4.a2 (2) (- x)7÷x2
(4) b2m+2÷b2 = b2m+2 – 2 = b2m .
注意最后结果中幂的形式应是最简的.
① 幂的指数、底数都应是最简的；②底数中系数不能为负；
② 幂的底数是积的形式时，要再用一次(ab)n=an bn.
例2计算（1）a5÷a4·a2
（2）（－x）7÷x2 （3）（ab）5÷（ab）2 （4）（a＋b）6÷（a＋b）4
(1) 713 77 ; (2) (ab)2 (ab)4; (3) (x)3 (x)0 (x)2 (4).(ax2 ) (ax2 )2 (ax2 )4
实践与创新
am÷an=am-n, 则am-n=am÷an
❖思维延伸
已知:xa=4，xb=9，求(1)x a-b；(2)x 3a-2b
解: 当xa=4，xb=9时， (1)xa-b=xa÷xb=4÷9= 4
9
(2)x3a-2b=x3a÷x2b=(xa)3÷(xb)2
这种思维叫做逆向
思维！
=43÷92= 64
81
练习
1.填空:
(1)a5•( a2)=a7;
(2) m3•( m5) =m8;
(3) x3•x5•( x4) =x12 ; 2.计算:
(1) x7÷x5; x2
(4) (-6)3( (-6)2 ) = (-6)5. (2) m8÷m8; 1

1414整式的乘法---多项式

＝6x2y4 - 15x3y3 + 21x4y2
单项式与多项式相乘时，分两个阶段： ①按乘法分配律把乘积写成单项式与单项式乘积的代数和的形式；
②单项式的乘法运算。
几点注意： 1.单项式乘多项式的结果仍是多项式，
积的项数与原多项式的项数相同。 2.单项式分别与多项式的每一项相乘时，
要注意积的各项符号的确定：
1 2
x
Hale Waihona Puke (4x2y)
2x3
y
[5(x y)2 ][2(x y)3] 10(x y)5
你在计算这些小题时，分别用到了学过的哪些知识、法则或运算律？
问题: 怎样算简便？
6(1 1 1) 236
=6×
1 2
+6× 1 3
-
6×
1 6
=3+2-1
=4
我们来回顾引言中提出的问题：为了扩大绿地的面积，要把街心花园的一块长m 米，宽b 米的长方形绿地，向两边分别加宽a 米和c 米，你能用几种方法表示扩大后的绿地的面积？
（2）(- 2a) • (2a 2 - 3a + 1)
= (- 2a) • 2a 2 +(- 2a) •( - 3a)+(- 2a) • 1
（乘法分配律）
= - 4a3+6a2 - 2a （单项式乘法）
(2)(2xy2 5x2 y 7 x3 )(3xy2 )
解:原式＝-2xy2 ×-3xy2 + 5x2y×-3xy2 +-7x3 ×-3xy2
几点注意： 1、单项式分别与多项式的每一项相乘时，要注意积
的各项符号的确定：同号相乘得正，异号相乘得负
2.不要出现漏乘现象
3、运算要有顺序：先乘方，再乘除，最后加减。有括号一般先去括号（小→大）

八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解141整式的乘法1414整式的乘法14142单项式与多项式相乘教案新版

八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解141整式的乘法1414整式的乘法14142单项式与多项式相乘教案新版新人教版
◇教学目标◇
【知识与技能】
掌握单项式与多项式的乘法运算法则,会进行简单的整式乘法运算.
【过程与方法】
经历探索单项式与多项式相乘的运算过程,体会乘法分配律的作用和转化思想,发展有条理地思考及语言表达能力.
【情感、态度与价值观】
培养良好的探究意识与合作交流的能力,体会整式运算的应用价值.
◇教学重难点◇
【教学重点】
单项式与多项式相乘的法则.
【教学难点】
整式乘法法则的推导与应用.
◇教学过程◇
一、情境导入
有3家超市以相同价格n(单位:元/台)销售A牌电视机,它们在一年内的销售量(单位:台)分别是x,y,z,请你采用不同的方法计算它们在这一年内销售这种电视机的总收入.小明的答案是n(x+y+z),小芳的答案是nx+ny+nz,各说各有理,你能给他们评判一下吗?
二、合作探究
探究点1单项式乘多项式
典例1计算:(x-3y)(-6x)=.
[解析]根据单项式与多项式相乘,先用单项式乘多项式的每一项,再把所得的积相加计算即可.
[答案] -6x2+18xy
[解析]原式=x4y4-2x3y3.
探究点2求未知系数的值
典例2已知a(x2+x-c)+b(2x2-x-2)=7x2+4x+3,求a,b,c的值.
[解析]∵a(x2+x-c)+b(2x2-x-2)=7x2+4x+3,
∴(a+2b)x2+(a-b)x-(ac+2b)=7x2+4x+3,
∴
解得a=5,b=1,c=-1.。

数学人教版八年级上册《14.1.4整式的乘法(4)》教学设计

《14.1.4整式的乘法（4）》教学设计一、内容和内容解析本节选自义务教育课程标准实验教科书《数学》（人教版）八年级上册，是第14章“整式的乘法与因式分解”第1节“整式的乘法”第4课时的内容.整式的除法是整式四则运算的重要组成部分，是整式加法、减法、乘法的拓展和延伸，也是今后学习（因式分解、整数指数幂、分式运算等）必须的内容.根据教材内容和学生情况，本节学习的主要内容是让学生经历同底数幂的除法和单项式除以单项式等法则的探究过程，在理解运算法则的基础上，准确运用法则进行计算.在此之前，学生已经学过同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘等，对于关注法则准确运用的条件以及运算程序化的思想有了较好的认识.不仅如此，之前在探究有理数除法法则时，运用除法与乘法互为逆运算的关系进行转化，对于学生在本节法则的探究过程有正向迁移启发的作用.学习整式的乘法过程中通过面积进行生活的合理化解释，对于本节课零指数幂源于生活的合理化解释也有一定的启发，这样，就在运算需求之下，实现了指数从正整数指数幂到非负整数指数幂的扩充，为后续负整数指数幂的学习作下铺垫.在本节的教学中，通过数与数量、运算条件的观察等方面进一步培养学生的数感；学生用符号表示数、数量关系和变化规律，用符号进行运算并得到一般性的结果，进一步提高了符号意识.在探究法则的教学中渗透了类比与转化的思想方法.本节的重点是探究同底数幂除法、单项式除以单项式的法则，并会用它们进行运算．难点是对零指数幂合理性的理解以及在运算条件较复杂的情况下准确运用法则进行计算.二、教学目标1. 知识与技能：（1）了解同底数幂的除法运算的意义；（2）能用符号语言解释同底数幂的除法、单项式除以单项式等运算法则；（3）能归纳法则的操作步骤，熟练准确地进行运算.2. 过程与方法：学生经历同底数幂的除法、单项式除以单项式等法则的探究过程，体会知识间逻辑关系、类比探究在研究除法问题时的价值；体会转化思想在单项式除法中的作用．3. 情感态度与价值观：在数学法则中渗透简洁美、和谐美.学生在探究法则的过程中感受数学充满着探索与创造，在师生、生生的交流活动中，学会合作学习，学会倾听、欣赏和感悟.三、教学过程设计。

1414整式的乘法4精品PPT课件 (2)

You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
演讲人：XXXXXX 时间：XX年XX月XX日
探究新知
(1) 28x4y2÷ 7x3y ； (2) -5a5b3c÷ 15a4b； (3)（2 x2 y）3 ·（-7 xy2 )÷ 14x4y3 ； (4) 5(2a+b)4÷ (2a+b)2.
探究新知
(2)
-5a5b3c÷
15a4b
=(-5
÷15)
a5-4b3-1c
=
-
1 3
ab2c
(3) （2 x2 y）3 ·（-7 xy2 )÷ 14x4y3
解：原式 = (1.90÷5.97 ) × (1024 ÷ 1021 )
≈ 0.318 × 103 ≈ 3.18 × 102
说说你计算的根据是什么？
创设情境
8a3 ÷ 2a ； 6x3y ÷ 3xy ； 12a3b2x3 ÷ 3ab2 （3）你能根据（2）说说单项式除以单项式的运算法则吗？
1.观察讨论：(2)中的三个式子是什么样的运算？都是单项式除以单项式的运算. 2.思考一下可不可以用自己现有的知识和数学
所以： 6x3y ÷ 3xy = 2x2; 12a3b2x3 ÷ 3ab2 = 4a2 x3
探究新知
(1) (1.90 1024 ) (5.97 1021)
1.90 1024 5.97 1021
1.90 1024 5.97 1021
0.318103
3.18102
探究新知
(2) 8a3 ÷ 2a = 8a3 8 a3 = 4a2 2a 2 a

八年级数学上册141整式的乘法1414整式的乘法3教案新人教版

课题：14.1.4整式的乘法（3）——多项式乘以多项式教学目标：理解多项式乘法法则，灵活运用多项式乘以多项式的运算法则．重点：多项式乘法的运算．难点：探索多项式乘法的法则，注意多项式乘法的运算中“漏项”、“负号”的问题．教学流程：一、知识回顾1.说一说单项式乘以多项式的计算法则？答案：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 2.计算：22221(1)(2)(62);(2)(3)(2)9x x ab a b ab --⋅-+解：22232(1)(2)(62)(2)6(2)(2)124x x x x x x x --=-⋅+-⨯-=-+ 222222243341(2)(3)(2)919(2)918ab a b ab a b a b ab a b a b ⋅-+=⋅-+=-+二、探究问题：为了扩大绿地面积,要把街心花园的一块长am,宽pm 的长方形绿地,加长了bm,加宽了qm. 你能用几种方法表示扩大后的绿地面积？答案：方法一：q a p b ++（）（）方法一：p q q a a b b p +++追问：你能通过计算说明它们相等吗？答案：即：追问2：如何计算：()(2)3x x y y +⋅+呢？解：222223232(323235)2(3)x x y x x y y x xy xy y x xy y x y y y x +⋅+⋅+⋅+⋅+⋅==+++=++追问3：你能得到多项式乘以多项式的方法吗？归纳：多项式乘以多项式的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 练习：1．下列计算错误的是( )A ．(x ＋1)(x ＋4)＝x 2＋5x ＋4B ．(y ＋4)(y －5)＝y 2＋9y －20C ．(m －2)(m ＋3)＝m 2＋m －6 D ．(x －3)(x －6)＝x 2－9x ＋18 答案：B2．若(x ＋2)(x －1)＝x 2＋mx ＋n ，则m ＋n ＝( ) A ．1 B ．－2 C ．－1 D ．2 答案：C 3.计算22(1)(31)(2)(2)(-8)(-);(3)()(-).x x x y x y x y x xy y ++++；　解：22(1)(31)(2)332112362372x x x x x x x x x x x ++=⋅+⨯+⋅+⨯=+++=++2222(2)(8)()8898x y x y x xy xy y x xy y --=--+=-+ 2232222333(3)()()x y x xy y x x y xy x y xy y x y +-+=-++-+=+ 三、应用提高若多项式(x 2＋mx ＋n)(x 2－3x ＋4)展开后不含x 3项和x 2项，试求m+2n 的值．解：(x 2+mx+n)(x 2－3x+4)＝x 4－3x 3+4x 2+mx 3－3mx 2＋4mx+ nx 2－3nx+4n ＝x 4＋(m －3)x 3＋(n －3m ＋4)x 2＋(4m －3n)x ＋4n. ∵展开后不含x 3和x 2项， ∴所以m －3＝0且n －3m ＋4＝0，解得m ＝3，n ＝5 ∴m+2n ＝3+2×5＝13. 四、体验收获今天我们学习了哪些知识？1.说一说多项式与多项式相乘的运算法则？2.在计算中应注意哪些问题？五、达标测评1．下列计算结果是x 2－5x －6的是( ) A ．(x ＋6)(x －1) B ．(x －6)(x ＋1) C ．(x －2)(x ＋3) D ．(x －3)(x ＋2) 答案：B2．如图，长方形的长为a ，宽为b ，横、纵向阴影部分均为长方形，它们的宽都为c ，则空白部分的面积是( )A ．ab －bc ＋ac －c 2B ．ab －bc －ac ＋c 2C ．ab －ac －bcD ．ab －ac －bc －c 2答案：B 3.计算:(1).(5)(7)x x +-；2(2).(23)a b +；(3).(5)(7)x y x y +-：(4).(23)(23)m n m n +-答案：（1）2235x x -- （2）224129a ab b ++ （3）22235x xy y -- （4）2249m n -4．先化简，再求值： (3x ＋1)(2x －3)－(6x －5)(x －4)，其中x ＝－2；2222(31)(23)(65)(4)(6923)(652420)69236524202223222(2)2367.x x x x x x x x x x x x x x x x x x =-+----+=-+--++-=-⨯--=-解：＋-----当＝时，原式＝六、布置作业教材105页习题14.1第5(1)、(3)、(5)题．2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．下列事件：①上海明天是晴天，②铅球浮在水面上，③平面中，多边形的外角和都等于360度，属于确定事件的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个2．下列汽车标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．下列图案中，既是中心对称又是轴对称的图案是（）A．B．C．D．4．为了解游客对恭王府、北京大观园、北京动物园和景山公园四个旅游景区的满意率情况，某班实践活动小组的同学给出了以下几种调查方案：方案一：在多家旅游公司随机调查400名导游；方案二：在恭王府景区随机调查400名游客；方案三：在北京动物园景区随机调查400名游客；方案四：在上述四个景区各随机调查400名游客．在这四种调查方案中，最合理的是（）A．方案一B．方案二C．方案三D．方案四5．如图，y1，y2分别表示燃油汽车和纯电动汽车行驶路程S（单位：千米）与所需费用y（单位：元）的关系，已知纯电动汽车每千米所需的费用比燃油汽车每千米所需费用少0.54元，设纯电动汽车每千米所需费用为x元，可列方程为（）A．3690.54x x=-B．3690.54x x=-C．3690.54x x=+D．3690.54x x=+6．某通讯公司就上宽带网推出A，B，C三种月收费方式．这三种收费方式每月所需的费用y（元)与上网时间x(h)的函数关系如图所示，则下列判断错误的是( )A ．每月上网时间不足25h 时，选择A 方式最省钱B ．每月上网费用为60元时，B 方式可上网的时间比A 方式多C ．每月上网时间为35h 时，选择B 方式最省钱D ．每月上网时间超过70h 时，选择C 方式最省钱7．在 △ABC 中， AC = 9 ， BC = 12 ， AB = 15 ，则 AB 边上的高是（） A ．B ．C ．D ．882（） A 2B ．2C 6D ．19．以下运算错误的是（） A 3535⨯=B 169169+= C ．2222⨯=D 2342a b b =10．若正比例函数的图象经过(1，-2)，则这个图象必经过点( ) A ．(-1，-2) B ．(-1，2)C ．(2，-1)D ．(-2，-1)二、填空题 11．化简：21x x +＋11x x -+＝___. 12．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 、E 、F 分别是三边的中点，CF ＝8cm ，则线段DE ＝________cm ．13．如图，AD 是△ABC 的角平分线，若AB=8，AC=6，则:ABD ACD S S ∆∆ =_____．14．请写出一个过点（0，1），且y 随着x 的增大而减小的一次函数解析式_____．15．2019年中国北京世界园艺博览会（以下简称“世园会”）于4月29日至10月7日在北京延庆区举行世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是：A ．“解密世园会”、B ．“爱我家，爱园艺”、C ．“园艺小清新之旅”和D ．“快速车览之旅”李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择条线路游览，每条线路被选择的可能性相同．李欣和张帆恰好选择同线路游览的概率为_______． 16．计算2a ·8a (a≥0)的结果是_________. 17．|1﹣3|＝_____．三、解答题18．如图，在平行四边形ABCD 中，BE 平分∠ABC ，且与AD 边交于点E ，∠AEB ＝45°，证明：四边形ABCD 是矩形．19．（6分）计算：（181223 （2）(37)(37)2(22)++-20．（6分）如图所示，已知平行四边形ABCD ，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠OBC ＝∠OCB ．（1）求证：平行四边形ABCD 是矩形；（2）请添加一个条件使矩形ABCD 为正方形．21．（6分）如图，在△ABC 中，A 30∠=︒，3tan 4B =，AC 63=，求AB 的长．22．（8分）某学校打算招聘英语教师。

八年级数学上册141整式的乘法1414整式的乘法4教案新人教

14.1.4 整式的乘法课题14.1.4 整式的乘法授课类型新授课标依据会进行单项式除以单项式以及多项式除以单项式运算，理解整式除法运算的算理。

教学目标知识与技能会进行单项式除以单项式以及多项式除以单项式运算，理解整式除法运算的算理。

过程与方法通过整式乘法的逆运算或约分的思想推理出单项式除以单项式的运算法则的过程，掌握整式除法运算。

情感态度与价值观培养学生探索的勇气和信念，增强挑战困难的勇气和信心。

教学重点难点教学重点单项式除以单项式以及多项式除以单项式运算法则。

教学难点理解单项式除以单项式以及多项式除以单项式的法则并应用其法则计算。

教学师生活动设计意图过程设计【激趣引入】问题提出：林宁今年刚刚3岁，是幼儿园里最聪明的孩子，李老师教他做算术，告诉他5×6=30后，他马就知道30÷5=6，你说他是怎样计算的呢？【学生活动】回答上述问题：林宁利用了除法是乘法的逆运算得出的结果．【教师活动】提出话题：我们前几天学习了整式的乘法，现在，不用老师讲解，你们能开始解决整式的除法运算吗？谁可以告诉我单项式与单项式相除的法则？【学生活动】思考回答：把它们的系数先相除，然后再把相同字母的幂相除，其他的字母连同它的指数不变，作为商的因式．【教师活动】引入课题，引导学生运用单项式除以单项式的法则计算下列几道题目．【课堂演练】计算：（1）8a3÷2a ；（2）5x3y÷3xy ；（3）12a3b2x3÷3ab2【学生活动】开始计算，然后总结归纳，上台演示，引入课题．【归纳法则】单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．二、范例学习，应用所学【例】计算：（1）28x4y2÷7x3y ;（2）-5a5b3c ÷15a4b．【教师活动】强调对法则的运用【学生活动】完成练习计算：(1)10ab3÷(- 5ab ) (2)–8a2b3÷ 6ab2(3) -21 x2y4÷ (- 3x2 y3)(4) (6×10 8) ÷ (3×10 5)【探究】(1)(am+bm)÷m (2)(a2+ab)÷a (3)(4x2y+2xy2)÷2xy以上是什么运算？你准备怎样进行？【学生活小组探讨，教师引导归纳】举例从学生已有的知识和经验出发，引出新课，并引导学生探索发现单项式除以单项式的法则。

1414整式的乘法(夏远松)

年级学科八年级数学中心备课教师：夏远松教学内容14.1.4 整式的乘法教学目标经历探索单项式与单项式、多项式；多项式与多项式相乘的运算法则的过程，会进行整式相乘的运算．在探索运算法则的过程中体会乘法交换律和结合律的作用和转化的思想．使学生从中获得成就感，培养学习数学的兴趣，建立学习数学的信心和勇气．重难点重点是单项式与单项式、多项式相乘的运算法则的探索难点是灵活运用法则进行计算和化简．教学准备课时数:教学步骤教学过程个人研修一创设问题情境，激发学生兴趣光的速度约为3×105千米／秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗？学生独立思考得出问题的答案（1）怎样计算（3×105）×（5×102）?计算过程中用到哪些运算律及运算性质？（2）如果将上式中的数字改为字母，比如ac5•bc2怎样计算这个式子？最后归纳：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．二例题计算：（1）（－5a2b）（－3a）；（2）（2x）3（－5xy2）．教师引导学生运用单项式与单项式相乘的法则运算。

巩固训练：教材P99第1、2题。

教学步骤教学过程个人研修三问题引申，探究单项式与多项式相乘的法则解决本章引言中的问题学生独立思考，然后讨论交流．得出：m（a＋b＋c）＝ma＋mb＋mc．单项式与多项式相乘的方法．学生归纳：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．四例题计算：（1）（－4x2）（3x+1）；（2）ababab21)232(2⋅-教师示范解题过程。

五应用提高、拓展创新1．计算（1）（2xy2）·（31xy）；（2）（－2a2b3）·（－3a）；（3）（－3a2b3）2·（－a3b2）5；（4）（－32a2bc3）·（－43c5）·（31ab2c）．2．教材P100第1题、第2题。

八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解141整式的乘法1414整式的乘法14143多项式与多项式相乘教案新版

八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解141整式的乘法1414整式的乘法14143多项式与多项式相乘教案新版新人教版
◇教学目标◇
【知识与技能】
理解多项式乘以多项式的运算法则,能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算.
【过程与方法】
经历探索多项式与多项式相乘的运算法则的推理过程,体会数学的转化思想.【情感、态度与价值观】
通过推理,培养学生计算能力,发展有条理的思考,逐步形成主动探索的习惯.
◇教学重难点◇
【教学重点】
多项式与多项式的乘法法则的理解及应用.
【教学难点】
多项式与多项式的乘法法则的应用.
◇教学过程◇
一、情境导入
试着用不同方式计算下图的面积,探讨你能得到什么结论.
二、合作探究
探究点1多项式乘多项式
典例1计算(2m-3)(m+2).
[解析](2m-3)(m+2)
=2m×m+2m×2+(-3)×m+(-3)×2
=2m2+4m-3m-6
=2m2+m-6.
探究点2求未知系数的值
典例2若(x+m)(x-8)中不含x的一次项,则m的值为()
A.8
B.-8
C.0D.8或-8
[解析]∵(x+m)(x-8)=x2-8x+mx-8m=x2+(m-8)x-8m,又结果中不含x的一次项,∴m-8=0,∴m=8.
[答案]A。

1414整式的乘法第1课时课件

单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
【例题】
【例1】计算
（1）3x2y·（-2xy3）
(2) (-5a2b3)·（-4b2c）（3）（-3ab）(-a2c)2·6ab
同学们思考一下第（3）小题怎么做？
【解析】（1）3x2y·（-2xy3）
【规律方法】运算过程中必须注意符号，以及整体的数学思想的运用.
单项式与单项式相乘的法则. 1.单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2.运算过程中必须注意符号，以及整体代换的数学思想的运用.
作业：课本P104第3题练习册P79-81 同步P75-76达标测试前
同步P74应用新知例1 同步P74应用新知例2
同步P74课堂过关
1.当m为偶数时，(a-b)m·（b-a）n与（b-a）m+n的关系
是（ A ）
A.相等 B.互为相反数 C.不相等 D.不确定
2.若（8×106）×（5×102）×（2×10）=m×10n
(1≤m<10),则m，n的值分别为（ C ）
知识给人重量，成就给人光彩，大多数人只是看到了光彩，而不去称重量。
——培根
a9 28
9 x2y4 4
1
同步P73课前预习1,2
光的速度约为3×105 km/s，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102 s，你知道地球与太阳的距离约是多少 km吗？分析：距离=速度×时间；即（3×105）×（5×102）；怎样计算（3×105）×（5×102）?
【解析】地球与太阳的距离约是：（3×105）×（5×102） =(3 ×5) ×(105 ×102) =15 ×10７ =1.5 ×108（km）

八年级数学上册141整式的乘法1414整式的乘法2教案新人教

14.1.4 整式的乘法课题14.1.4 整式的乘法（2）授课类型新授课标依据掌握多项式乘以多项式的运算法则。

教学目标知识与技能掌握多项式乘以多项式的运算法则,能熟练应用法则进行运算。

过程与方法理解多项式乘以多项式的算理，发展有条理的思考及表达能力。

情感态度与价值观提倡多样化的算法，培养学生的创新精神与能力。

教学重点难点教学重点多项式与多项式相乘的运算法则的探索。

教学难点灵活运用法则进行计算和化简。

教学师生活动设计意图过程设计一、旧知回顾计算：-2x（3x2-x-5）与同桌说一说单项式与多项式相乘的法则。

二、探究新知活动一：问题情境为了扩大校园绿地面积，把一块长a米，宽p米的长方形绿地加长了b米，加宽了q米。

你能用几种方法求出扩大后绿地的面积？活动二：小组讨论，合作探究方法1：把扩大后的绿地看做一个整体如何列式？方法2：把扩大后的绿地看做4个部分如何列式？思考：所列的两个式子有什么关系？由这个式子你能知道多项式乘以多项式的计算方法吗？（学生小组讨论后教师提问，针对学生的疑惑进行讲解）归纳：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

活动三：自学课本101例题，说说计算多项式乘多项式时，应注意哪些问题？三、巩固练习课本102练习1、2四、课堂小结复习旧知为探究新知识做好准备。

用生活中的问题引出新知，激发学生的学习兴趣。

通过看图列式，再比较两个式子的特征，总结多项式乘多项式的运算法则。

培养学生的观察，分析，归纳能力。

八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．计算211aa a a ---的结果是 A ．1a a + B ．1a a+-C ．1a a- D ．1a a--【答案】B【分析】首先通分，然后进行同分母分式的减法运算即可．【详解】2211(1)(1)1=1(1)(1)a a a a aa a a a a a a a-+-+-==-----．故选：B ．【点睛】此题考查了分式的加减法．分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减． 2．若216y y m ++是完全平方式，则m 的值为（） A ．16 B ．25 C ．36 D ．64【答案】D【解析】根据完全平方公式进行计算即可．【详解】解：22162y 8+m ++=+⨯⨯y y m y , ∴m=28 ∴m=64 故选：D 【点睛】本题是完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号．3．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（） A ．10x 2－5x=5x(2x －1) B ．a(x+y) =ax+ayC ．x 2－4x+4=x(x －4)+4D ．x 2－16+3x=(x －4)(x+4)+3x【答案】A【分析】根据分解因式的定义逐项判断即得答案．【详解】解：A 、10x 2－5x=5x(2x －1)，由左边到右边的变形是分解因式，故本选项符合题意； B 、a(x+y) =ax+ay ，由左边到右边的变形不是分解因式，故本选项不符合题意；C、x2－4x+4=x(x－4)+4，由左边到右边的变形不是分解因式，故本选项不符合题意；D、x2－16+3x=(x－4)(x+4)+3x，由左边到右边的变形不是分解因式，故本选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了分解因式的定义，属于基础概念题型，熟知概念是关键．4．如果一元一次不等式组3xx a>⎧⎨>⎩的解集为x＞3，则a的取值范围是( )A．a＞3 B．a≥3C．a≤3D．a＜3【答案】C【分析】由题意不等式组中的不等式分别解出来为x＞1，x＞a，已知不等式解集为x＞1，再根据不等式组解集的口诀：同大取大，得到a的范围．【详解】由题意x＞1，x＞a，∵一元一次不等式组3xx a>⎧⎨>⎩的解集为x＞1，∴a≤1．故选：C．【点睛】主要考查了一元一次不等式组解集的求法，将不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）逆用，已知不等式解集反过来求a的范围．5．如图所示，已知点A(﹣1，2)是一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象上的一点，则下列判断中正确的是（）A．y随x的增大而减小B．k＞0，b＜0C．当x＜0时，y＜0 D．方程kx+b＝2的解是x＝﹣1【答案】D【分析】根据一次函数的性质判断即可．【详解】由图象可得：A、y随x的增大而增大；B、k＞0，b＞0；C、当x＜0时，y＞0或y＜0；D 、方程kx+b ＝2的解是x ＝﹣1，故选：D ．【点睛】考查了一次函数与一元一次方程的关系，一次函数图象与系数的关系，正确的识别图象是解题的关键． 6．如图，点D 是BAC ∠的外角平分线上一点，且满足BD CD =，过点D 作DE AC ⊥于点E ，DF AB ⊥交BA 的延长线于点F ，则下列结论：①DEDF =；②CDE BDF ∆≅∆；③CE AB AE =+；④BDC BAC ∠=∠．其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】证明Rt △BFD ≌Rt △CED （HL ），Rt △ADF ≌Rt △ADE （HL ）利用全等三角形的性质即可解决问题．【详解】解：如图，设AC 交BD 于点O ．∵DF ⊥BF ，DE ⊥AC ， ∴∠BFD ＝∠DEC ＝90°， ∵DA 平分∠FAC ， ∴DF ＝DE ，故①正确， ∵BD ＝DC ，∴Rt △BFD ≌Rt △CED （HL ），故②正确， ∴EC ＝BF ，∵AD ＝AD ，DF ＝DE ， ∴Rt △ADF ≌Rt △ADE （HL ）， ∵AF ＝AE ，∴EC ＝AB ＋AF ＝AB ＋AE ，故③正确， ∵∠DBF ＝∠DCE ，∠AOB ＝∠DOC ， ∴∠BAC ＝∠BDC ，故④正确．故选：D ．本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．7．对一组数据：2，1，3，2，3分析错误．．的是（）A．平均数是2.2 B．方差是4 C．众数是3和2 D．中位数是2【答案】B【分析】根据平均数、方差、众数、中位数的定义以及计算公式分别进行解答即可．【详解】解：A、这组数据的平均数是：（2＋1＋3＋2＋3）÷5＝2.2，故正确；B、这组数据的方差是：15[（2−2.2）2＋（1−2.2）2＋（3−2.2）2＋（2−2.2）2＋（3−2.2）2]＝0.56，故错误；C、3和2都出现了2次，出现的次数最多，则众数是3和2，故正确；D、把这组数据从小到大排列为：1，2，2，3，3，中位数是2，故正确．故选：B．【点睛】此题主要考查了平均数、方差、众数、中位数的含义和求法，熟练掌握定义和求法是解题的关键，是一道基础题8．如果正多边形的一个内角是140°，则这个多边形是（）A．正十边形B．正九边形C．正八边形D．正七边形【答案】B【解析】360°÷（180°-140°）=360°÷40°=1．故选B．9．如图，已知棋子“车”的坐标为（﹣2，﹣1），棋子“马”的坐标为（1，﹣1），则棋子“炮”的坐标为（）A．（3，2）B．（﹣3，2）C．（3，﹣2）D．（﹣3，﹣2）【答案】C【分析】先根据棋子“车”的坐标画出直角坐标系，然后写出棋子“炮”的坐标．【详解】解：如图，棋子“炮”的坐标为（3，﹣2）．10．如图，在数轴上，点A 表示的数是13-，点B ，C 表示的数是两个连续的整数，则这两个整数为( )A ．-5和-4B ．-4和-3C ．3和4D ．4和5【答案】B【分析】先估算13的大小，再求出﹣13的大小即可判断．【详解】∵9＜13＜16， ∴3＜13＜4， ∴﹣4＜﹣13＜﹣3，故选：B ．【点睛】本题考查了实数与数轴，解题关键是会估算二次根式的大小．二、填空题11．己知点(01)P ，，4(5)Q ，，点M 在x 轴上运动，当MP MQ +的值最小时，点M 的坐标为___________．【答案】（1,0）【分析】作P 点关于x 轴对称点P ₁，根据轴对称的性质PM ＝P ₁M ，MP ＋MQ 的最小值可以转化为QP ₁的最小值，再求出QP ₁所在的直线的解析式，即可求出直线与x 轴的交点，即为M 点．【详解】如图所示，作P 点关于x 轴对称点P ₁，∵P 点坐标为（0,1）∴P ₁点坐标（0，﹣1），PM ＝P ₁M连接P ₁Q ，则P ₁Q 与x 轴的交点应满足QM ＋PM 的最小值，即为点M 设P ₁Q 所在的直线的解析式为y ＝kx ＋b 把P ₁（0，﹣1），Q （5,4）代入解析式得：145bk b ⎧⎨+⎩－＝＝解得： 11k b ⎧⎨⎩＝＝－∴y ＝x －1 当y ＝0时，x ＝1 ∴点M 坐标是（1,0）故答案为（1,0）【点睛】本题主要考查轴对称-最短路线问题，关键是运用轴对称变换将处于同侧的点转换为直线异侧的点，从而把两条线段的位置关系转换，再根据两点之间线段最短或垂线段最短来确定方案，使两条线段之和转化为一条线段．12．在2113311222xy x x x y mπ+++、、、、、中是分式的有_____个．【答案】1【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【详解】解：分母中有未知数的有：1312x x y m++、、，共有1个．故答案为：1．【点睛】本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．13．在平面直角坐标系中，点A(3，-2)关于y 轴对称的点坐标为________．【答案】(3,2)--【分析】根据关于y 轴对称的点的特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数即可得出答案．【详解】点A(3，-2)关于y 轴对称的点坐标为(3,2)--故答案为：(3,2)--．【点睛】本题主要考查关于y 轴对称的点的特点，掌握关于y 轴对称的点的特点是解题的关键．14．关于x 的不等式2x ﹣a ≤﹣1的解集如图所示，则a 的取值范围是___．【答案】1．【解析】首先计算出不等式的解集x≤12a -，再结合数轴可得不等式的解集为x≤1，进而得到方程12a -=1，解方程可得答案．【详解】2x ﹣a≤﹣1， x≤12a -， ∵解集是x≤1， ∴12a -＝1，解得：a ＝1，故答案为1．【点睛】此题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，关键是正确解不等式．15．已知21x x -=，则代数式3222020x x -+=______.【答案】1【分析】x 2-1=x ，则x 2-x=1，x 3-x 2=x ，x 3-2x 2+2020=x 3-x 2-x 2+2020，即可求解．【详解】x 2-1=x ，则x 2-x=1，x 3-x 2=x ，x 3-2x 2+2020=x 3-x 2-x 2+2020=x-x 2+2020=-1+2020=1，故答案为1．【点睛】此题考查分解因式的实际运用，解题的关键是由x 2-x=1推出x 3-x 2=x ．16．在平面直角坐标系中，直线l 1∥l 2，直线l 1对应的函数表达式为12y x =，直线l 2分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，OA=4，则OB=_____．【答案】1【详解】∵直线1l ∥2l ，直线1l 对应的函数表达式为12y x =， ∴可以假设直线2l 的解析式为12y x b =+， ∵4OA =， ∴()40A ，代入12y x b =+，得到2b =-， ∴()0,2B -，∴2OB =，故答案为1． 17．现在美国麻省理工大学攻读博士学位的96后中国“天才少年”曹源经过潜心研究，发现将两层石墨烯，旋转到特定的“魔法角度”（1.1︒）叠加时，它们可以在零阻力的情况下传导电子，成为超导体，他因此荣登世界顶级科学期刊《自然》，2018年度十大科学家之首！石墨烯目前是世界上最薄却也是最坚硬的纳米材料，其理论厚度仅0.000000000034米，将这个数用科学记数法表示为_____________米.【答案】113.410-⨯【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：-110.000000000034=3.410⨯故答案为：113.410-⨯．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．三、解答题18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A(0，1)，B(3，2)，C(2，3)均在正方形网格的格点上．（1）画出△ABC 关于x 轴对称的图形△A 1B 1C 1并写出顶点A 1，B 1，C 1的坐标；（2）求△A 1B 1C 1的面积．【答案】（1）见解析，A 1(0，-1)，B 1(3，-1)，C 1(1，-3)；（1）1【分析】（1）根据关于x 轴对称的点的坐标特征写出顶点A 1，B 1，C 1的坐标，然后描点即可；（1）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积去计算△A 1B 1C 1的面积．【详解】（1）如图，△A 1B 1C 1为所作；A 1（0，-1），B 1（3，-1），C 1（1，-3）；（1）△A 1B 1C 1的面积=1×3-12×1×1-12×3×1-12×1×1=1．【点睛】本题考查了轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的.19．命题证明.求证：等腰三角形两底角的角平分线相等．已知：________________求证：___________________证明：____________________．【答案】见解析【分析】根据等腰三角形的性质，角平分线的定义，求出,ABC ACB ECB DBC ∠=∠∠=∠，利用全等三角形的判定，证明BCE CBD ∆≅∆,由全等三角形的性质即可证明．【详解】已知：在ABC ∆中，AB AC =，BD 、CE 分别是ABC ∠和ACB ∠的角平分线，求证：BD CE =.证明：AB AC =,ABC ACB ∴∠=∠,BD 、CE 分别是ABC ∠和ACB ∠的角平分线,11,22CBD ABC BCE ACB ∴∠=∠∠=∠, CBD BCE ∴∠=∠,在BCD ∆和BCE ∆中BCD CBE BC CBCBD BCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()BCE CBD ASA ∴∆≅∆，BD CE ∴=，即等腰三角形两底角的角平分线相等．【点睛】考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质和判定定理是解题的关键．20．（1）分解因式：m(x －y)－x ＋y（2）计算：5(1)(1)x x x +-【答案】（1）(x-y)(m-1)；（2）5x 3-5x【分析】（1）根据提公因式进行因式分解即可；（2）根据平方差公式进行整式的乘法运算即可．【详解】解：（1）原式=()()()()1m x y x y x y m ---=--；（2）原式=()235155x x x x -=-．【点睛】本题主要考查整式的乘除与因式分解，熟练掌握平方差公式及因式分解的方法是解题的关键． 21．已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，点D 是斜边AB 的中点，DE ∥BC ，且CE=CD ．（1）求证：∠B=∠DEC ；（2）求证：四边形ADCE 是菱形．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到DB=DC ，从而∠B=∠DCB ，由DE ∥BC ，得到∠DCB=∠CDE ，由CE=CD ，得到∠CDE=∠DEC ，利用等量代换，得到∠B=∠DEC ；(2)先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明四边形ADCE是平行四边形，再由CD=CE，证明平行四边形ADCE是菱形.【详解】（1）证明：在△ABC中，∵∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点，∴CD=DB，∴∠B=∠DCB，∵DE∥BC，∴∠DCB=∠CDE，∵CD=CE，∴∠CDE=∠CED，∴∠B=∠CED．（2）证明：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∵∠B=∠DEC，∴∠ADE=∠DEC，∴AD∥EC，∵EC=CD=AD，∴四边形ADCE是平行四边形，∵CD=CE，∴四边形ADCE是菱形．故答案为：（1）证明见解析；（2）证明见解析.【点睛】本题考查了直角三角形的性质，菱形的判定.22．为了在学生中倡导扶危救困的良好社会风尚，营造和谐文明进步的校园环境，某校举行了“爱心永恒，情暖校园”慈善一日捐活动，在本次活动中，某同学对甲．乙两班捐款的情况进行统计，得到如下三条信息：信息一甲班共捐款120元，乙班共捐款88元；信息二乙班平均每人捐款数比甲班平均每人捐款数的0.8倍；信息三甲班比乙班多5人．请你根据以上三条信息，求出甲班平均每人捐款多少元？【答案】甲班平均每人捐款２元【分析】设甲班平均每人捐款为x元，根据题目信息列出分式方程，并且检验即可．【详解】设甲班平均每人捐款为x元，由题意知：1208850.8x x=+整理得：48x=解得：2x=经检验：2x=是原分式方程的解答：加班平均每人捐款为2元．【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，根据题目条件熟练的提取信息，并列式是解题的关键，其中“检验”是易忘记点，应该注意．23．对下列代数式分解因式（1）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）；（2）（x﹣1）（x﹣3）+1．【答案】（1）n（m﹣2）（n+1）；（2）（x﹣2）2．【分析】（1）提取公因式n（m﹣2）即可；（2）根据多项式的乘法把（x﹣1）（x﹣3）展开，再利用完全平方公式进行因式分解.【详解】（1）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m），＝n2（m﹣2）+n（m﹣2），＝n（m﹣2）（n+1）；（2）（x﹣1）（x﹣3）+1，＝x2﹣4x+4，＝（x﹣2）2.【点睛】此题考查提公因式法和公式法进行因式分解，（1）整理出公因式的形式是解题的关键；（2）先利用多项式的乘法整理成一般多项式的形式是利用公式的关键，也是难点．24．如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”，(1)如图△ABC中，AB=AC=5，BC=2，求证：△ABC是“美丽三角形”；(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=23，若△ABC是“美丽三角形”，求BC的长．【答案】（1）见解析；（2）BC=3或BC=4.【分析】（1）由“美丽三角形”的定义知，要求出△ABC的中线长，再作比较，由AB=AC=5，可知△ABC 是等腰三角形，由“三线合一”，可作BC的中线AD,则AD即为BC的高线，由勾股定理求AD的长即可证明；（2）Rt△ABC中有三条中线，由斜边上的中线是斜边的一半，排除斜边的中线；则有两种可能：AC边的中线等于AC或BC边的中线等于BC.结合中线的定义及勾股定理即可解答.【详解】（1）证明：如图，作BC的中线AD，如图，∵AB=AC= ，AD是BC的中线，∴AD⊥BC, BD=CD= ,在Rt△ABD中，由勾股定理得AD= ,∴AD=BC，∴△ABC是美丽三角形.（2）解：①如图1，作AC的中线BD，△ABC是“美丽三角形”，当BD=AC= 时，则CD= ,由勾股定理得.②如图2，作BC的中线AD，△ABC是“美丽三角形”，当BC=AD时，则CD= ,在Rt△ACD中，由勾股定理得，则，解得CD=2，∴BC=2CD=4.故BC=3或BC=4.【点睛】本题考查了信息迁移，等腰三角形的性质，勾股定理及分类讨论的数学思想，明确“美丽三角形”的定义是解答本题的关键.25．如图，已知：AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA．求证：EF平分∠BED．(证明注明理由)【答案】见解析【分析】要证明EF平分∠BED，即证∠4=∠5，由平行线的性质，∠4=∠3=∠1，∠5=∠2，只需证明∠1=∠2，而这是已知条件，故问题得证．【详解】解：证明：∵AC∥DE，∴∠BCA=∠BED，即∠1+∠2=∠4+∠5，∵AC∥DE，∴∠1=∠3；∵DC∥EF，∴∠3=∠4；∴∠1=∠4，∴∠2=∠5；∵CD平分∠BCA，∴∠1=∠2，∴∠4=∠5，∴EF平分∠BED．【点睛】本题考查了角平分线的定义及平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD 是AB 边上的高，30A ∠=︒，1DB cm =，则CB 的长为( )A ．2cmB ．4cmC ．6cmD ．8cm【答案】A 【解析】由题意根据含30度角的直角三角形的性质即在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，进行分析即可解答.【详解】解：∵90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，∴903060B ︒︒︒∠=-=，∵CD 是AB 边上的高，即90CDB ︒∠=，∴30BCD ︒∠=，即CDB △为含30度角的直角三角形，∵1DB cm =，∴2CB cm =.故选：A.【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，关键是掌握含30度角的直角三角形的性质即在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半进行分析解题．2．下列运算不正确的是（）A ．235a a a ⋅=B ．()4312y y =C ．33(2)8x x -=-D ．3362x x x += 【答案】D【分析】结合选项分别进行同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方的运算，然后选择正确选项．【详解】解：A. 235a a a ⋅=，计算正确，故本选项错误；B. ()4312y y =，计算正确，故本选项错误；C. ()3328x x -=-，原式计算正确，故本选项错误；D. 3336=22x x x x +≠，计算错误，故本选项正确.故选：D ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方等知识，掌握运算法则是解答本题的关键． 3．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产800台机器所需时间与原计划生产600台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产x 台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（）A ．80060050x x =+B ．80060050x x =- C ．80060050x x =+ D ．80060050x x =- 【答案】A 【解析】分析：根据题意可知现在每天生产(x+50)台机器，而现在生产800台所需时间和原计划生产600台机器所用时间相等，从而列出方程即可．详解：依题意，原计划平均每天生产x 台机器，则现在平均每天生产(x+50)台机器，由现在生产800台机器所需时间与原计划生产600台机器所需时间相同得：80060050x x=+.故选A. 点睛：本题考查了列分式方程应用，利用本题中“现在平均每天比原计划每天多生产50台机器”这一条件，继而列出方程是解本题的关键.4．如图，ABE ∆与CDE ∆是两个全等的等边三角形，EA ED ⊥，下列结论不正确的是（）A ．25EBC ∠=︒B ．直线EB 垂直平分CDC ．//AD BCD ．四边形ABCD 是轴对称图形【答案】A 【分析】根据ABE ∆与CDE ∆是两个全等的等边三角形，可得到AE ED =，BE CE =，60BAE ABE AEB EDC DCE DEC ︒∠==∠=∠=∠=∠=，然后结合EA ED ⊥，先计算出EBC ∠的大小，便可计算出EBC ∠的大小，从而判定出AD 与BC 的位置关系及BE 与DC 的关系，同时也由于AED 与BEC △是等腰三角形，也容易确定四边形ABCD 的对称性．【详解】（1）∵ABE ∆与CDE ∆是两个全等的等边三角形∴AE ED =，BE CE =， 60BAE ABE AEB EDC DCE DEC ︒∠=∠=∠=∠=∠=∠=∴EBC ECB ∠=∵EA ED ⊥∴90AED ︒=∠∴36090602150BEC ︒︒︒︒∠=--⨯=，45EAD EDA ︒∠=∠=∴()1180152EBC ECB BEC ︒︒∠=∠=-∠=，所以选项A 错误；（2）由（1）得：=60+15=75ABC ABE EBC ︒︒︒∠=∠+∠6045105BAD BAE DAE ︒︒︒∠=∠+∠=+=∴75105180ABC BAD ︒︒︒∠+∠=+=∴//AD BC ，所以选项C 正确；（3）延长BE 交CD 于点F ，连接BD ．∵15EBC ECB ∠=∠=︒，60ECD ︒∠=∴75BCD ︒∠=∴180751590BFC ︒︒︒︒∠=--=∴BF CD ⊥即BE CD ⊥18036060150150BED CED BEC BEC ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--==∠在EBC 与EBD △中BE BE BEC BED CE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴EBC EBD ≅∴BC BD =∴DF CF =，综上，BE 垂直平分CD,所以答案B 正确；（4）过E 作MN AD ⊥，由//AD BC 得MN BC ⊥而ADE ∆和BEC ∆是等腰三角形，则MN 垂直平分AD 、BC ，所以四边形ABCD 是軕对称图形，所以选项Ｂ正确．故选：Ａ【点睛】本题考查的知识点主要是等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的判定及其轴对称图形的定义，添加辅助线构造全等三角形是本题的难点．5．等式(x+4)0=1成立的条件是( )A ．x 为有理数B ．x ≠0C ．x ≠4D ．x ≠－4【答案】D【解析】试题分析：0指数次幂的性质：. 由题意得，x≠－4，故选D. 考点：0指数次幂的性质点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握0指数次幂的性质，即可完成.6．已知分式方程312(1)(2)x k x x x +=++-+的解为非负数，求k 的取值范围（） A ．5k ≥B ．1k ≥-C ．5k ≥且6k ≠D ．1k ≥-且0k ≠【答案】D【分析】先把分式方程转化为整式方程求出用含有k 的代数式表示的x ，根据x 的取值求k 的范围．【详解】解：分式方程转化为整式方程得，(3)(1)k (1)(2)x x x x +-=+-+解得：k 1x =+解为非负数，则k+10≥，∴k -1≥又∵x≠1且x≠-2，∴k+11k+1-2≠≠，∴k -1≥ ，且k 0≠故选D【点睛】本题考查了分式方程的解，解答本题的关键是先把分式方程转化为整式方程，求出方程的解，再按要求列不等式，解不等式．7．如图，若△ABC ≌△DEF ，∠A=45°，∠F=35°，则∠E 等于（）A ．35°B ．45°C ．60°D ．100° 【答案】D【分析】要求∠E 的大小，先要求出△DFE 中∠D 的大小，根据全等三角形的性质可知∠D=∠A=45°，然后利用三角形的内角和可得答案．【详解】解：∵△ABC ≌△DEF ，∠A=45°，∠F=35°∴∠D=∠A=45°∴∠E=180°-∠D-∠F=100°．故选D ．8．如图，已知S △ABC ＝12，AD 平分∠BAC，且AD⊥BD 于点D ，则S △ADC 的值是( )A ．10B ．8C ．6D ．4【答案】C 【解析】延长BD 交AC 于点E ，则可知△ABE 为等腰三角形，则S △ABD =S △ADE ，S △BDC =S △CDE ，可得出S △ADC=12S △ABC ．【详解】解：如图，延长BD 交AC 于点E ，∵AD 平分∠BAE ，AD ⊥BD ，∴∠BAD=∠EAD ，∠ADB=∠ADE ，在△ABD 和△AED 中，BAD EAD AD AD BDA EDA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴△ABD ≌△AED （ASA ），∴BD=DE ，∴S △ABD =S △ADE ，S △BDC =S △CDE ，∴S △ABD +S △BDC =S △ADE +S △CDE =S △ADC ，∴S △ADC =12S △ABC =12×12=6（m 2），故答案选C ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，由BD=DE 得到S △ABD =S △ADE ，S △BDC =S △CDE 是解题的关键． 9．世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G 基站布设，“孔夫子家”自此有了5G 网络．5G 网络峰值速率为4G 网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G 网络比4G 网络快45秒，求这两种网络的峰值速率．设4G 网络的峰值速率为每秒传输x 兆数据，依题意，可列方程是（）A ．5005004510x x-= B ．5005004510x x -= C ．500050045x x -= D ．500500045x x -= 【答案】A 【分析】直接利用在峰值速率下传输500兆数据， 5G 网络比4G 网络快45秒得出等式进而得出答案．【详解】解：设4G 网络的峰值速率为每秒传输x 兆数据，依题意，可列方程是：5005004510x x-=．故选A ．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确等量关系得出等式是解题关键．10．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价几何？设有x 人，物品价值y 元，则所列方程组正确的是( )A ．8374y x y x +=⎧⎨-=⎩B ．8374x y x y+=⎧⎨-=⎩ C ．8374x y x y -=⎧⎨+=⎩D ．8374y x y x -=⎧⎨+=⎩【答案】C 【解析】根据题意相等关系：①8×人数-3=物品价值，②7×人数+4=物品价值，可列方程组：8374x y x y-=⎧⎨+=⎩，故选C. 点睛：本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系.二、填空题11．如图，平面直角坐标系中有点())0,1,A B ．连接AB ，以A 为圆心，以AB 为半径画弧，交y 轴于点P ，连接BP ，以B 为圆心，以1BP 为半径画弧，交x 轴于点2BP ，连接12PP ，以1P 为圆心，以12PP 为半径画弧，交y 轴于点3P ，按照这样的方式不断在坐标轴上确定点6P 的位置，那么点6P 的坐标是__________．【答案】()6273,0P【分析】利用勾股定理和坐标轴上点的坐标的特征和变化规律,逐步求出1P 至6P 的坐标.【详解】解: ())0,1,3,0A B∴1,3OA OB ==∴()22221132AB AP OA OB ==+=+,∴()10,3P ,∴()2222121333BP BP OP OB ==+=+=∴()233,0P ,∴()22221312123336PP PP OP OP ==+=+=∴()30,9P ,……根据变化规律可得()493,0P ,()50,27P ,∴()6273,0P .【点睛】本题主要考查勾股定理与平面直角坐标系里点的坐标的规律变化,理解题意,找到变化规律是解答关键.12．分解因式：2288a a -+=_______【答案】22(2)a -【解析】22a 8a 8-+=2（2a 4a 4-+）=()22a 2-.故答案为()22a 2-.13．函数y __________．【答案】23x ≤ 【分析】根据二次根式的意义及性质，被开方数大于或等于0，据此作答．【详解】根据二次根式的意义，被开方数230x -≥，解得23x ≤．故函数y 23x ≤．故答案为：23x ≤．【点睛】a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．掌握二次根式的概念和性质是关键．14．若多项式241x mx ++是一个完全平方式，则m 的值为______．【答案】±1【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m 的值．【详解】∵1x 2+mx+1=（2x ）2+mx+12，∴mx=±2×2x×1，解得m=±1．故答案为：±1．【点睛】考查了完全平方式，解题的关键是熟记完全平方公式，并根据平方项确定出这两个数．15．如果一个多边形的内角和为1260°，那么从这个多边形的一个顶点出发共有________条对角线．【答案】1【分析】设此多边形的边数为x ，根据多边形内角和公式求出x 的值，再计算对角线的条数即可.【详解】设此多边形的边数为x ，由题意得：(x-2)×180=1210，解得；x=9，从这个多边形的一个顶点出发所画的对角线条数：9-3=1，故答案为1．【点睛】本题考查了多边形内角和公式，多边形的对角线，关键是掌握多边形的内角和公式180(n-2)，n 边形的一个顶点有(n-3)条对角线.16．化简：222(1)169x x x x x --•--+的结果是_______．【答案】3-x x 【分析】根据分式混合运算的法则计算即可【详解】解：()()222123(1)==169133----•--+---x x x x x x x x x x x x 故答案为：3-x x 【点睛】本题考查了分式混合运算，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键17．如果正比例函数y kx =的图像经过点(2-，6)，那么y 随x 的增大而______．【答案】减小【分析】求出k 的值，根据k 的符号确定正比例函数的增减性．【详解】解：∵正比例函数y kx =的图像经过点(2-，6)，∴-2k=6，∴k=-3，∴y 随x 的增大而减小．故答案为：减小【点睛】本题考查了求正比例函数和正比例函数的性质，求出正比例系数k 的值是解题关键．三、解答题18．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠CAB ，N 点是AB 上的一定点，M 是AD 上一动点，要使MB ＋MN 最小，请找点M 的位置．【答案】作图见解析.【解析】试题分析：因为AD 垂直平分BC ，所以点C 是点B 关于AD 的对称点，连接CN 交AD 于点M.试题解析：如图，连接NC 与AD 的交点为M 点．点M 即为所求．19．如图所示，在平面直角坐标系中，Rt ABC ∆的三个顶点坐标为(3,0)A -，(3,3)B --，(1,3)--C ．在图中作出ABC ∆先向右平移4个单位再向下平移1个单位长的图形111A B C ∆，再作出111A B C ∆关于x 轴对称的图形222A B C ∆，并写出点1A 、2C 的坐标．【答案】见解析，1(1,1)A -，2(3,4)C【分析】先找出ABC ∆先向右平移4个单位对应的图形111A B C ∆，再作出111A B C ∆关于x 轴对称的图形222A B C ∆，然后顺次连接各点后直接写出1A 、2C 的坐标即可；【详解】解：如图所示，1(1,1)A -、2(3,4)C ；【点睛】本题主要考查了作图-轴对称图形，掌握作图-轴对称图形是解题的关键.20．如图1，点P 、Q 分别是边长为4cm 的等边三角形ABC 的边AB 、BC 上的动点，点P 从顶点A ，点Q 从顶点B 同时出发，且它们的速度都为1cm/s ．（1）连接AQ 、CP 交于点M ，则在P ，Q 运动的过程中，证明ABQ ∆≌CAP ∆；（2）CMQ ∠会发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（3）P 、Q 运动几秒时，PBQ ∆是直角三角形？（4）如图2，若点P 、Q 在运动到终点后继续在射线AB 、BC 上运动，直线AQ 、CP 交点为M ，则CMQ ∠变化吗？若变化说明理由，若不变，则求出它的度数。