2019年河北省中考数学试卷以及解析版

2019年河北省中考数学试卷以及逐题解析一、选择题（本大题有16个小题，共42分，1-10小题各3分，11-16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）下列图形为正多边形的是( )A ．B ．C ．D ．2．（3分）规定：(2)→表示向右移动2记作2+，则(3)←表示向左移动3记作( ) A ．3+B ．3-C ．13-D ．13+3．（3分）如图，从点C 观测点D 的仰角是( )A ．DAB ∠B ．DCE ∠C ．DCA ∠D ．ADC ∠4．（3分）语句“x 的18与x 的和不超过5”可以表示为( )A ．58xx +… B ．58xx +… C ．855x +… D ．58xx += 5．（3分）如图，菱形ABCD 中，150D ∠=︒，则1(∠= )A ．30︒B ．25︒C ．20︒D ．15︒6．（3分）小明总结了以下结论： ①()a b c ab ac +=+； ②()a b c ab ac -=-；③()(0)b c a b a c a a -÷=÷-÷≠； ④()(0)a b c a b a c a ÷+=÷+÷≠ 其中一定成立的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．47．（3分）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容则回答正确的是( ) A ．◎代表FEC ∠B ．@代表同位角C ．▲代表EFC ∠D ．※代表AB8．（3分）一次抽奖活动特等奖的中奖率为150000，把150000用科学记数法表示为( ) A ．4510-⨯B ．5510-⨯C ．4210-⨯D ．5210-⨯9．（3分）如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n 个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n 的最小值为( )A ．10B ．6C ．3D ．210．（3分）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是( )A ．B ．C ．D ．11．（2分）某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤： ①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类 ②去图书馆收集学生借阅图书的记录③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比 ④整理借阅图书记录并绘制频数分布表 正确统计步骤的顺序是( ) A ．②→③→①→④ B ．③→④→①→② C ．①→②一④→③D ．②→④→③→①12．（2分）如图，函数1(0),1(0)x xy x x⎧>⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩的图象所在坐标系的原点是( )A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q13．（2分）如图，若x 为正整数，则表示22(2)1441x x x x +-+++的值的点落在( )A ．段①B ．段②C ．段③D ．段④14．（2分）图2是图1中长方体的三视图，若用S 表示面积，22S x x =+主，2S x x =+左，则(S =俯 )A ．232x x ++B ．22x +C ．221x x ++D ．223x x +15．（2分）小刚在解关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠时，只抄对了1a =，4b =，解出其中一个根是1x =-．他核对时发现所抄的c 比原方程的c 值小2．则原方程的根的情况是()A ．不存在实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有一个根是1x =-D ．有两个相等的实数根16．（2分）对于题目：“如图1，平面上，正方形内有一长为12、宽为6的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数n ．”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长x ，再取最小整数n ．甲：如图2，思路是当x 为矩形对角线长时就可移转过去；结果取13n =． 乙：如图3，思路是当x 为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取14n =．丙：如图4，思路是当x 倍时就可移转过去；结果取13n =． 下列正确的是( )A ．甲的思路错，他的n 值对B ．乙的思路和他的n 值都对C ．甲和丙的n 值都对D ．甲、乙的思路都错，而丙的思路对二、填空题（本大题有3个小题，共11分，17小题3分：18～19小题各有2个空，每空2分，把答案写在题中横线上）17．（3分）若2107777p --⨯⨯=，则p 的值为 ．18．（4分）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．示例：即437+=则（1）用含x 的式子表示m = ； （2）当2y =-时，n 的值为 ．19．（4分）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A ，B ，C 三地的坐标，数据如图（单位：)km ．笔直铁路经过A ，B 两地． （1）A ，B 间的距离为 km ；（2）计划修一条从C 到铁路AB 的最短公路l ，并在l 上建一个维修站D ，使D 到A ，C 的距离相等，则C ，D 间的距离为 km ．三、解答题（本大题有7个小题，共67分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20．（8分）有个填写运算符号的游戏：在“1□2□6□9”中的每个□内，填入+，-，⨯，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果．（1）计算：1269+--；（2）若126÷⨯□96=-，请推算□内的符号；（3）在“1□2□69-”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数． 21．（9分）已知：整式222(1)(2)A n n =-+，整式0B >． 尝试 化简整式A ． 发现2A B =，求整式B ．联想 由上可知，2222(1)(2)B n n =-+，当1n >时，21n -，2n ，B 为直角三角形的三边长，如图．填写下表中B 的值：22．（9分）某球室有三种品牌的4个乒乓球，价格是7，8，9（单位：元）三种．从中随机拿出一个球，已知P （一次拿到8元球）12=． （1）求这4个球价格的众数；（2）若甲组已拿走一个7元球训练，乙组准备从剩余3个球中随机拿一个训练． ①所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数是否相同？并简要说明理由； ②乙组先随机拿出一个球后放回，之后又随机拿一个，用列表法（如图）求乙组两次都拿到8元球的概率．23．（9分）如图，ABC ∆和ADE ∆中，6AB AD ==，BC DE =，30B D ∠=∠=︒，边AD 与边BC 交于点P （不与点B ，C 重合），点B ，E 在AD 异侧，I 为APC ∆的内心． （1）求证：BAD CAE ∠=∠；（2）设AP x =，请用含x 的式子表示PD ，并求PD 的最大值；（3）当AB AC ⊥时，AIC ∠的取值范围为m AIC n ︒<∠<︒，分别直接写出m ，n 的值．24．（10分）长为300m 的春游队伍，以(/)v m s 的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置O 时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2(/)v m s ，当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置O 开始行进的时间为()t s ，排头与O 的距离为()S m 头．（1）当2v =时，解答：①求S 头与t 的函数关系式（不写t 的取值范围）；②当甲赶到排头位置时，求S 的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O 的距离为()S m 甲，求S 甲与t 的函数关系式（不写t 的取值范围）（2）设甲这次往返队伍的总时间为()T s ，求T 与v 的函数关系式（不写v 的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程．25．（10分）如图1和2，ABCD 中，3AB =，15BC =，4tan 3DAB ∠=．点P 为AB 延长线上一点，过点A 作O 切CP 于点P ，设BP x =．（1）如图1，x 为何值时，圆心O 落在AP 上？若此时O 交AD 于点E ，直接指出PE 与BC 的位置关系；（2）当4x =时，如图2，O 与AC 交于点Q ，求CAP ∠的度数，并通过计算比较弦AP 与劣弧PQ 长度的大小；（3）当O 与线段AD 只有一个公共点时，直接写出x 的取值范围．26．（12分）如图，若b 是正数，直线:l y b =与y 轴交于点A ；直线:a y x b =-与y 轴交于点B ；抛物线2:L y x bx =-+的顶点为C ，且L 与x 轴右交点为D ． （1）若8AB =，求b 的值，并求此时L 的对称轴与a 的交点坐标； （2）当点C 在l 下方时，求点C 与l 距离的最大值；（3）设00x ≠，点0(x ，1)y ，0(x ，2)y ，0(x ，3)y 分别在l ，a 和L 上，且3y 是1y ，2y 的平均数，求点0(x ，0)与点D 间的距离；（4）在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出2019b=时“美点”的个数．b=和2019.52019年河北省中考数学试卷答案与解析一、选择题（本大题有16个小题，共42分，1-10小题各3分，11-16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）【分析】根据正多边形的定义；各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形可得答案．【解答】解：正五边形五个角相等，五条边都相等， 故选：D ．【点评】此题主要考查了正多边形，关键是掌握正多边形的定义． 2．（3分）【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．“正”和“负”相对，所以，如果(2)→表示向右移动2记作2+，则(3)←表示向左移动3记作3-． 【解答】解：“正”和“负”相对，所以，如果(2)→表示向右移动2记作2+，则(3)←表示向左移动3记作3-． 故选：B ．【点评】此题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 3．（3分）【分析】根据仰角的定义进行解答便可．【解答】解：从点C 观测点D 的视线是CD ，水平线是CE ，∴从点C 观测点D 的仰角是DCE ∠，故选：B ．【点评】本题主要考查了仰角的识别，熟记仰角的定义是解题的关键．仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． 4．（3分）【分析】x 的18即18x ，不超过5是小于或等于5的数，按语言叙述列出式子即可．【解答】解：“x 的18与x 的和不超过5”用不等式表示为158x x +…．故选：A ．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式． 5．（3分）【分析】由菱形的性质得出//AB CD ，21BAD ∠=∠，求出30BAD ∠=︒，即可得出115∠=︒． 【解答】解：四边形ABCD 是菱形，150D ∠=︒， //AB CD ∴，21BAD ∠=∠， 180BAD D ∴∠+∠=︒， 18015030BAD ∴∠=︒-︒=︒， 115∴∠=︒；故选：D ．【点评】此题考查了菱形的性质，以及平行线的性质，熟练掌握菱形的性质是解本题的关键． 6．（3分）【分析】直接利用单项式乘以多项式以及多项式除以单项式运算法则计算得出答案． 【解答】解：①()a b c ab ac +=+，正确； ②()a b c ab ac -=-，正确；③()(0)b c a b a c a a -÷=÷-÷≠，正确；④()(0)a b c a b a c a ÷+=÷+÷≠，错误，无法分解计算． 故选：C ．【点评】此题主要考查了单项式乘以多项式以及多项式除以单项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 7．（3分）【分析】根据图形可知※代表CD ，即可判断D ；根据三角形外角的性质可得◎代表EFC ∠，即可判断A ；利用等量代换得出▲代表EFC ∠，即可判断C ；根据图形已经内错角定义可知@代表内错角．【解答】证明：延长BE 交CD 于点F ，则BEC EFC C ∠=∠+∠（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）． 又BEC B C ∠=∠+∠，得B EFC ∠=∠． 故//AB CD （内错角相等，两直线平行）． 故选：C ．【点评】本题考查了平行线的判定，三角形外角的性质，比较简单． 8．（3分）【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：510.0000221050000-==⨯． 故选：D ．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为10n a -⨯，其中1||10a <…，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．9．（3分）【分析】由等边三角形有三条对称轴可得答案．【解答】解：如图所示，n 的最小值为3，故选：C ．【点评】本题主要考查利用轴对称设计图案，解题的关键是掌握常见图形的性质和轴对称图形的性质．10．（3分）【分析】根据三角形外心的定义，三角形外心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图格选项进行判断．【解答】解：三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C 选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．故选：C ．【点评】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形的外心．11．（2分）【分析】根据题意和频数分布表、扇形统计图制作的步骤，可以解答本题．【解答】解：由题意可得，正确统计步骤的顺序是：②去图书馆收集学生借阅图书的记录→④整理借阅图书记录并绘制频数分布表→③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比→①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类，故选：D ．【点评】本题考查扇形统计图、频数分布表，解答本题的关键是明确制作频数分布表和扇形统计图的制作步骤．12．（2分）【分析】由函数解析式可知函数关于y 轴对称，即可求解；【解答】解：由已知可知函数1(0),1(0)x x y x x⎧>⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩关于y 轴对称， 所以点M 是原点；故选：A ．【点评】本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握函数的解析式与函数图象的关系是解题的关键．13．（2分）【分析】将所给分式的分母配方化简，再利用分式加减法化简，根据x 为正整数，从所给图中可得正确答案．【解答】解2222(2)1(2)111441(2)111x x x x x x x x x x ++-=-=-=+++++++ 又x 为正整数， ∴112x <… 故表示22(2)1441x x x x +-+++的值的点落在② 故选：B ．【点评】本题考查了分式的化简及分式加减运算，同时考查了分式值的估算，总体难度中等．14．（2分）【分析】由主视图和左视图的宽为x ，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案．【解答】解：()222S x x x x =+=+主，()21S x x x x =+=+左，∴俯视图的长为2x +，宽为1x +，则俯视图的面积()()22132S x x x x =++=++俯，故选：A ．【点评】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高．15．（2分）【分析】直接把已知数据代入进而得出c 的值，再解方程求出答案．【解答】解：小刚在解关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠时，只抄对了1a =，4b =，解出其中一个根是1x =-，2(1)40c ∴--+=，解得：3c =，故原方程中5c =，则241641340b ac -=-⨯⨯=>，则原方程的根的情况是有两个不相等的实数根．故选：B ．【点评】此题主要考查了根的判别式，正确得出c 的值是解题关键．16．（2分）【分析】平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．【解答】解：甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，但是计算错误，应为14n =；乙的思路与计算都正确；乙的思路与计算都错误，图示情况不是最长；故选：B ．【点评】本题考查了矩形的性质与旋转的性质，熟练运用矩形的性质是解题的关键．二、填空题（本大题有3个小题，共11分，17小题3分：18～19小题各有2个空，每空2分，把答案写在题中横线上）17．（3分）若2107777p --⨯⨯=，则p 的值为 3- ．【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则进而得出答案．【解答】解：2107777p --⨯⨯=，210p ∴--+=，解得：3p =-．故答案为：3-．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．18．（4分）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数． 示例：即437+=则（1）用含x 的式子表示m = 3x ；（2）当2y =-时，n 的值为 ．【分析】（1）根据约定的方法即可求出m ；（2）根据约定的方法即可求出n ．【解答】解：（1）根据约定的方法可得：23m x x x =+=；故答案为：3x ；（2）根据约定的方法即可求出n223x x x m n y +++=+=．当2y =-时，532x +=-．解得1x =-．23231n x ∴=+=-+=．故答案为：1．【点评】本题考查了列代数式和代数式求值，解题的关键是掌握列代数式的约定方法．19．（4分）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A ，B ，C 三地的坐标，数据如图（单位：)km ．笔直铁路经过A ，B 两地．（1）A ，B 间的距离为 20 km ；（2）计划修一条从C 到铁路AB 的最短公路l ，并在l 上建一个维修站D ，使D 到A ，C 的距离相等，则C ，D 间的距离为 km ．【分析】（1）由垂线段最短以及根据两点的纵坐标相同即可求出AB 的长度；（2）根据A 、B 、C 三点的坐标可求出CE 与AE 的长度，设CD x =，根据勾股定理即可求出x 的值．【解答】解：（1）由A 、B 两点的纵坐标相同可知：//AB x 轴，12(8)20AB ∴=--；（2）过点C 作l AB ⊥于点E ，连接AC ，作AC 的垂直平分线交直线l 于点D ，由（1）可知：1(17)18CE =--=，12AE =，设CD x =，AD CD x ∴==，由勾股定理可知：222(18)12x x =-+，∴解得：13x =，13CD ∴=，故答案为：（1）20；（2）13；【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是根据A 、B 、C 三点的坐标求出相关线段的长度，本题属于中等题型．三、解答题（本大题有7个小题，共67分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．（8分）有个填写运算符号的游戏：在“1□2□6□9”中的每个□内，填入+，-，⨯，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果．（1）计算：1269+--；（2）若126÷⨯□96=-，请推算□内的符号；（3）在“1□2□69-”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数．【分析】（1）根据有理数的加减法可以解答本题；（2）根据题目中式子的结果，可以得到□内的符号；（3）先写出结果，然后说明理由即可．【解答】解：（1）1269+--369=--39=--12=-；（2）126÷⨯□96=-，1162∴⨯⨯□96=-， 3∴□96=-，∴□内的符号是“-”；（3）这个最小数是20-， 理由：在“1□2□69-”的□内填入符号后，使计算所得数最小，1∴□2□6的结果是负数即可，1∴□2□6的最小值是12611-⨯=-，1∴□2□69-的最小值是11920--=-，∴这个最小数是20-．【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题得关键是明确有理数混合运算的计算方法．21．（9分）已知：整式222(1)(2)A n n =-+，整式0B >．尝试 化简整式A ．发现2A B =，求整式B ．联想 由上可知，2222(1)(2)B n n =-+，当1n >时，21n -，2n ，B 为直角三角形的三边长，如图．填写下表中B 的值：【分析】先根据整式的混合运算法则求出A ，进而求出B ，再把n 的值代入即可解答．【解答】解：2224224222(1)(2)21421(1)A n n n n n n n n =-+=-++=++=+，2A B =，0B >，21B n ∴=+，当28n =时，4n =，2214115n ∴+=+=；当2135n -=时，2137n +=．故答案为：15；37 【点评】本题考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知ABC ∆的三边满足222a b c +=，则ABC ∆是直角三角形．22．（9分）某球室有三种品牌的4个乒乓球，价格是7，8，9（单位：元）三种．从中随机拿出一个球，已知P （一次拿到8元球）12=． （1）求这4个球价格的众数；（2）若甲组已拿走一个7元球训练，乙组准备从剩余3个球中随机拿一个训练．①所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数是否相同？并简要说明理由； ②乙组先随机拿出一个球后放回，之后又随机拿一个，用列表法（如图）求乙组两次都拿到8元球的概率．【分析】（1）由概率公式求出8元球的个数，由众数的定义即可得出答案；（2）①由中位数的定义即可得出答案；②用列表法得出所有结果，乙组两次都拿到8元球的结果有4个，由概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）P （一次拿到8元球）12=， 8∴元球的个数为1422⨯=（个)，按照从小到大的顺序排列为7，8，8，9， ∴这4个球价格的众数为8元；（2）①所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数相同；理由如下： 原来4个球的价格按照从小到大的顺序排列为7，8，8，9，∴原来4个球价格的中位数为8882+=（元)， 所剩的3个球价格为8，8，9，∴所剩的3个球价格的中位数为8元，∴所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数相同；②列表如图所示：共有9个等可能的结果，乙组两次都拿到8元球的结果有4个， ∴乙组两次都拿到8元球的概率为49．【点评】本题考查了众数、中位数以及列表法求概率；熟练掌握众数、中位数的定义，列表得出所有结果是解题的关键．23．（9分）如图，ABC ∆和ADE ∆中，6AB AD ==，BC DE =，30B D ∠=∠=︒，边AD 与边BC 交于点P （不与点B ，C 重合），点B ，E 在AD 异侧，I 为APC ∆的内心．（1）求证：BAD CAE ∠=∠；（2）设AP x =，请用含x 的式子表示PD ，并求PD 的最大值；（3）当AB AC ⊥时，AIC ∠的取值范围为m AIC n ︒<∠<︒，分别直接写出m ，n 的值．【分析】（1）由条件易证ABC ADE ∆≅∆，得BAC DAE ∠=∠，BAD CAE ∴∠=∠．（2）6PD AD AP x =-=-，点P 在线段BC 上且不与B 、C 重合，AP ∴的最小值即AP BC ⊥时AP 的长度，此时PD 可得最大值．（3）I 为APC ∆的内心，即I 为APC ∆角平分线的交点，应用“三角形内角和等于180︒ “及角平分线定义即可表示出AIC ∠，从而得到m ，n 的值．【解答】解：（1）在ABC ∆和ADE ∆中，（如图1)AB AD B D BC DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABC ADE SAS ∴∆≅∆BAC DAE ∴∠=∠即BAD DAC DAC CAE ∠+∠=∠+∠BAD CAE ∴∠=∠．（2）6AD =，AP x =，6PD x ∴=-当AD BC ⊥时，132AP AB ==最小，即633PD =-=为PD 的最大值． （3）如图2，设BAP α∠=，则30APC α∠=+︒，AB AC ⊥90BAC ∴∠=︒，60PCA ∠=︒，90PAC α∠=︒-， I 为APC ∆的内心AI ∴、CI 分别平分PAC ∠，PCA ∠，12IAC PAC ∴∠=∠，12ICA PCA ∠=∠ 180()AIC IAC ICA ∴∠=︒-∠+∠1180()2PAC PCA =︒-∠+∠1180(9060)2α=︒-︒-+︒ 11052α=+︒ 090α<<︒，11051051502α∴︒<+︒<︒，即105150AIC ︒<∠<︒， 105m ∴=，150n =．【点评】本题是一道几何综合题，考查了点到直线的距离垂线段最短，30︒的角所对的直角边等于斜边的一半，全等三角形的判定和性质，三角形内心概念及角平分线定义等，解题关键是将PD 最大值转化为PA 的最小值．24．（10分）长为300m 的春游队伍，以(/)v m s 的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置O 时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2(/)v m s ，当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置O 开始行进的时间为()t s ，排头与O 的距离为()S m 头．（1）当2v =时，解答：①求S 头与t 的函数关系式（不写t 的取值范围）；②当甲赶到排头位置时，求S 的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O 的距离为()S m 甲，求S 甲与t 的函数关系式（不写t 的取值范围）（2）设甲这次往返队伍的总时间为()T s ，求T 与v 的函数关系式（不写v 的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程．【分析】（1）①排头与O 的距离为()S m 头．等于排头行走的路程+队伍的长300，而排头行进的时间也是()t s ，速度是2/m s ，可以求出S 头与t 的函数关系式；②甲赶到排头位置的时间可以根据追及问题的数量关系得出，代入求S 即可；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O 的距离为()S m 甲是在S 的基础上减少甲返回的路程，而甲返回的时间（总时间t 减去甲从排尾赶到排头的时间），于是可以求S 甲与t 的函数关系式； （2）甲这次往返队伍的总时间为()T s ，是甲从排尾追到排头用的时间与从排头返回排尾用时的和，可以根据追及问题和相遇问题的数量关系得出结果；在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程=队伍速度⨯返回时间．【解答】解：（1）①排尾从位置O 开始行进的时间为()t s ，则排头也离开原排头()t s ，2300S t ∴=+头②甲从排尾赶到排头的时间为300(2)3003002150v v v ÷-=÷=÷=s ，此时2300600S t =+=头m 甲返回时间为：(150)t s -()2150300415041200S S S t t ∴=-=⨯+--=-+甲甲回头；因此，S 头与t 的函数关系式为2300S t =+头，当甲赶到排头位置时，求S 的值为600m ，在甲从排头返回到排尾过程中，S 甲与t 的函数关系式为41200S t =-+甲．（2）30030040022T t t v v v v v=+=+=-+返回追及， 在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为：400(150)(150)400150v T v v v⨯-=⨯--=-；因此T 与v 的函数关系式为：400T v=，此时队伍在此过程中行进的路程为(400150)v m -．【点评】考查行程问题中相遇、追及问题的数量关系的理解和应用，同时函数思想方法的应用，切实理解变量之间的变化关系，由于时间有重合的部分，容易出现错误． 25．（10分）如图1和2，ABCD 中，3AB =，15BC =，4tan 3DAB ∠=．点P 为AB 延长线上一点，过点A 作O 切CP 于点P ，设BP x =．（1）如图1，x 为何值时，圆心O 落在AP 上？若此时O 交AD 于点E ，直接指出PE 与BC 的位置关系；（2）当4x =时，如图2，O 与AC 交于点Q ，求CAP ∠的度数，并通过计算比较弦AP 与劣弧PQ 长度的大小；（3）当O 与线段AD 只有一个公共点时，直接写出x 的取值范围．【分析】（1）由三角函数定义知：Rt PBC ∆中，4tan tan 3CP PBC DAB BP =∠=∠=，设4C P k =，3BP k =，由勾股定理可求得BP ，根据“直径所对的圆周角是直角”可得PE AD ⊥，由此可得PE BC ⊥；（2）作CG AB ⊥，运用勾股定理和三角函数可求CG 和AG ，再应用三角函数求CAP ∠，应用弧长公式求劣弧PQ 长度，再比较它与AP 长度的大小；（3）当O 与线段AD 只有一个公共点时，O 与AD 相切于点A ，或O 与线段DA 的延长线相交于另一点，此时，BP 只有最小值，即18x …．【解答】解：（1）如图1，AP 经过圆心O ，CP 与O 相切于P ， 90APC ∴∠=︒，ABCD ， //AD BC ∴， PBC DAB ∴∠=∠∴4tan tan 3CP PBC DAB BP =∠=∠=，设4CP k =，3BP k =，由222CP BP BC +=， 得222(4)(3)15k k +=，解得13k =-（舍去），23k =，339x BP ∴==⨯=，故当9x =时，圆心O 落在AP 上；AP 是O 的直径，90AEP ∴∠=︒，PE AD ∴⊥，ABCD ， //BC AD ∴ PE BC ∴⊥（2）如图2，过点C 作CG AP ⊥于G ，ABCD ， //BC AD ∴， CBG DAB ∴∠=∠∴4tan tan 3CG CBG DAB BG =∠=∠=， 设4CG m =，3BG m =，由勾股定理得：222(4)(3)15m m +=，解得3m =，4312CG ∴=⨯=，339BG =⨯=，945PG BG BP =-=-=，347AP AB BP =+=+=， 3912AG AB BG ∴=+=+=12tan 112CG CAP AG ∴∠===， 45CAP ∴∠=︒；连接OP ，OQ ，过点O 作OH AP ⊥于H ，则224590P O Q C A P ∠=∠=⨯︒=︒，1722PH AP ==，在Rt CPG ∆中，13CP =， CP 是O 的切线，90OPC OHP ∴∠=∠=︒，90OPH CPG ∠+∠=︒，90PCG CPG ∠+∠=︒ OPH PCG ∴∠=∠ OPH PCG ∴∆∆∽∴PH CGOP CP=，即PH CP CG OP ⨯=⨯，713122OP ⨯=， 9124OP ∴=∴劣弧PQ 长度9190912418048ππ⨯==， 912748ππ<< ∴弦AP 的长度>劣弧PQ 长度．（3）如图3，O 与线段AD 只有一个公共点，即圆心O 位于直线AB 下方，且90OAD ∠︒…， 当90OAD ∠=︒，CPM DAB ∠=∠时，此时BP 取得最小值，过点C 作CM AB ⊥于M ， DAB CBP ∠=∠， CPM CBP ∴∠=∠CB CP ∴=， CM AB ⊥22918BP BM ∴==⨯=，18x ∴…【点评】本题是一道几何综合题，考查了圆的切线性质，相似三角形性质，三角函数解直角三角形，勾股定理，弧长计算等；综合性较强，学生解题时要灵活运用所学数学知识解决问题．26．（12分）如图，若b 是正数，直线:l y b =与y 轴交于点A ；直线:a y x b =-与y 轴交于点B ；抛物线2:L y x bx =-+的顶点为C ，且L 与x 轴右交点为D ． （1）若8AB =，求b 的值，并求此时L 的对称轴与a 的交点坐标； （2）当点C 在l 下方时，求点C 与l 距离的最大值；（3）设00x ≠，点0(x ，1)y ，0(x ，2)y ，0(x ，3)y 分别在l ，a 和L 上，且3y 是1y ，2y 的平均数，求点0(x ，0)与点D 间的距离；（4）在L 和a 所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出2019b =和2019.5b =时“美点”的个数．【分析】（1）当0x =吋，y x b b =-=-，所以B (0,)b -，而8AB =，而(0,)A b ，则()8b b --=，4b =．所以2:4L y x x =-+，对称轴2x =，当2x =吋，42y x =-=-，于是L 的对称轴与a 的交点为(2，2- )；（2）22()24b b y x =--+，顶点2(,)24b b C 因为点C 在l 下方，则C 与l 的距离221(2)1144b b b -=--+…，所以点C 与1距离的最大值为1；（3）由題意得1232y y y +=，即1232y y y +=，得20002()b x b x b x +-=-+解得00x =或012x b =-．但0#0x ，取012x b =-，对于L ，当0y =吋，20x bx =-+，即0()x x b =--，解得10x =，2x b =，右交点(,0)D b ．因此点0(x ，0)与点D 间的距离11()22b b --=（4）①当2019b =时，抛物线解析式2:2019L y x x =-+直线解析式:2019a y x =-，美点”总计4040个点，②当2019.5b =时，抛物线解析式2:2019.5L y x x =-+，直线解析式:2019.5a y x =-，“美点”共有1010个．【解答】解：（1）当0x =吋，y x b b =-=-，B ∴ (0,)b -，8AB =，而(0,)A b ，()8b b ∴--=， 4b ∴=．2:4L y x x ∴=-+，L ∴的对称轴2x =，当2x =吋，42y x =-=-，L ∴的对称轴与a 的交点为(2，2- )； （2）22()24b b y x =--+，L ∴的顶点2(,)24b b C点C 在l 下方，C ∴与l 的距离221(2)1144b b b -=--+…，∴点C 与1距离的最大值为1；（3）由題意得1232y y y +=，即1232y y y +=， 得20002()b x b x bx +-=-+ 解得00x =或012x b =-．但0#0x ，取012x b =-，对于L ，当0y =吋，20x bx =-+，即0()x x b =--， 解得10x =，2x b =， 0b >，∴右交点(,0)D b ．∴点0(x ，0)与点D 间的距离11()22b b --=（4）①当2019b =时，抛物线解析式2:2019L y x x =-+直线解析式:2019a y x =-联立上述两个解析式可得：11x =-，22019x =，∴可知每一个整数x 的值 都对应的一个整数y 值，且1-和2019之间（包括1-和2019)-共有2021个整数；另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，∴线段和抛物线上各有2021个整数点 ∴总计4042个点，这两段图象交点有2个点重复重复，∴美点”的个数：404224040-=（个)；②当2019.5b =时，抛物线解析式2:2019.5L y x x =-+，直线解析式:2019.5a y x =-，联立上述两个解析式可得：11x =-，22019.5x =，∴当x 取整数时，在一次函数2019.5y x =-上，y 取不到整数值，因此在该图象上“美点”为0，在二次函数2019.5y x x =+图象上，当x 为偶数时，函数值y 可取整数，可知1-到2019.5之 间有1009个偶数，并且在1-和2019.5之间还有整数0，验证后可知0也符合条件，因此“美点”共有1010个．故2019b =时“美点”的个数为4040个，2019.5b =时“美点”的个数为1010个． 【点评】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式是解题的关键．。