切比雪夫不等式及切比雪夫大数定律

| x E(X) |2
ε2
fX (x)dx
{x:|xE( X )|ε}
1
ε2
[x
源自文库
E(X)]2
fX
(
x)dx
D( X) ε2
小结：
切比雪夫大数定律
切比雪夫不等式 描述的是方差存在的随机变量落在以数学期望为中 心的对称区间内的概率的粗略估计。
切比雪夫不等式 可用于概率计算及大数定律的证明 大数定律的概率意义：{Xk}，k=1,2…的前n 项算术平均将紧密地聚
频率稳定于概率
1061
1048
1017
1039
2048
6019
12012
14994
? 1 n
n i1 X i
1n
1
E( n i1
Xi )
2
n/m
0.5181 0.5117 0.4966 0.5073 0.5069 0.5016 0.5005 0.4998
切比雪夫大数定律
二、依概率收敛 定义5.1.1 设Xn, n=1,2…是一个随机变量序列, X 是一个随机
D(X ) ε2
或者
P{| X
E(X )|
ε}
1
D(X ε2
).
注：1）估计值是粗略的；
2 适用于方差存在的任何随机变量
3 进一步说明了方差的意义
切比雪夫大数定律 切比雪夫不等式的证明
设随机变量 X的概率密度为fX(x),则
P{| X E(X)| ε } fX (x)dx
{x:|xE( X )|ε}
D( Xk ) < C, k = 1,2,…
则随机变量序列{Xk}, k=1,2…服从大数定律.
切比雪夫大数定律
证明
E[1
n
n i1
Xi]
1 n
n i1
E(Xi )
1
D[ n
n i1
Xi]
1 n2
n i1
D(Xi)
nC n2
C n
根据切比雪夫不等式，对于任意的＞ 0，有
P{| 1 n
n
X
i 1
n
i
1 n
i 1
E( Xi
)
| ε}
1 n
1
D( n i1 ε2
Xi )
1
C nε2
1,
(as n ).
切比雪夫大数定律 五、切比雪夫(Chebyshev)不等式
设随机变量 X 的数学期望 E(X ) 和方差D(X )都存在, 则对于
任意的 > 0, 有
P{| X E(X ) | ε}
“独立”可否换成“不相关”？
切比雪夫大数定律 思考：
（3）试用切比雪夫不等式证明下列不等式
e 1
2π
a a
x2
2
dx
(1
1 a2
)
注2 随机变量序列依概率收敛不同于微积分中数列或函数列的 收敛性.
结论 随机变量序列{Xn}依概率收敛于X，指当 n 足够大时, 有
足够大的概率保证Xn 任意接近于X , 但Xn仍然有可能与X相差很大.
三、大数定律
切比雪夫大数定律
设Xn，n=1,2…是随机变量序列，其数学期望都存在，若对于
任意的＞ 0，有
集在其数学期望的附近.（依概率收敛）
切比雪夫大数定律：前提条件 （独立，方差一致有界）
切比雪夫大数定律 思考：
1 利用切比雪夫大数定律证明：泊松大数定律 设Xk，k=1,2…是相互独立的随机变量序列,
P{Xn 1} pn, P{Xn 0} 1 pn qn.
则随机变量序列{Xk}, k=1,2…服从大数定律. 2 切比雪夫大数定律的成立前提
变量, 若对于任意的＞ 0, 有
lim
n
P {| X n
X
| ε }
0
或
lim P{| X n X | ε} 1
n
称随机变量序列{Xn}依概率收敛于X，记为
X n P X
或者
lim
n
Xn
X,
( P)
切比雪夫大数定律
注1 在定义中, 随机变量 X也可以是常数 a, 称随机变量序列 {Xn} 依概率收敛于常数 a .
lim P{|
n
1 n
n i 1
Xi
1 n
n i 1
E ( X i ) |
ε} 1
称随机变量序列{Xn}服从大数定律.
大数定律的概率意义：{Xk}，k=1,2…的前n 项算术平均将紧 密地聚集在其数学期望的附近.
切比雪夫大数定律 四、切比雪夫大数定律
定理5.1.1（切比雪夫大数定律）
设Xk，k=1,2…是相互独立的随机变量序列,其数学期望和 方差都存在，且存在常数C, 使得
电子科技大学概率论与数理统计MOOC
第5 章
知识点名称：切比雪夫不等式及切比雪夫大数定律 主讲人：秦旭
切比雪夫大数定律
一、回顾
实验者
抛掷次数n
出现正面次数m
德·摩根 德·摩根 德·摩根 德·摩根 蒲丰 皮尔逊 皮尔逊 维尼
2048 2048 2048 2048 4040 12000 24000 30000