第二章 图像变换技术
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将二维离散傅里叶变换的频谱的平方定义为f(x,y)的 功率谱,记为:
P(u, v) | F (u, v) | R (u, v) I (u, v)
2 2 2
反映了二维离散信号的能量在空间频率域上的分布情况。
2013-6-5
9
二维离散傅里叶变换
2-D图像函 数
2013-6-5
灰度图
2-D图像函数 傅里叶频谱幅度
30
卷积定理是研究两个函数的傅立叶变换之间的 关系,这构成了空间域和频域之间的基本关系 对于两个二维连续函数f(x,y)和g(x,y)的卷积定义为
dd f ( x, y) g ( x, y) f (α, β ) g ( x α, y β )dααd
其二维卷积定理可由下面关系表示 设 则
当u=2时: F (2,0) | F (M 2, N ) | ┆ ┆ 当u=M/2时:F (M / 2,0) F (M / 2, N ) 由此可得: 频谱图A区与D区和B区与C区 关于坐标(M/2,N/2)对称。
2013-6-5
0 A M/2 M C
N/2 B D
(M/2,N/2)
N
v
(M/2,N)
f ( x, y) F (u, v) g ( x, y) G(u, v)
f ( x, y ) g ( x, y ) F (u , v) G (u , v ) f ( x, y ) g ( x, y ) F (u , v) G (u , v )
2013-6-5
31
2.2 傅里叶变换的性质
第2章
图像变换技术
2.1 傅里叶变换 2.2 傅里叶变换的性质 2.3 离散余弦变换 2.4 盖伯变换 2.5 小波变换基础 2.6 离散小波变换
2013-6-5 1
2.1 傅里叶变换
一维离散傅里叶变换
设f(x)是在时域上等距离采样得到的N点离散序列, x是离散实变量
f (x ) 75 50 10 15 0
(u=0,1,…,M-1;v=0,1,…,N-1)
1 M 1 N 1 ux vy f ( x, y) F (u, v) exp[j 2 ( M N )] MN u 0 v0
(x=0,1,…,M-1;y=0,1,…,N-1)
2013-6-5 6
二维离散傅里叶变换
在图像处理中,有时为了讨论上的方便,取M=N,并 考虑到正变换与反变换的对称性,就将二维离散傅里叶 变换对定义为:
卷积定理
指出傅立叶变换一个主要好处:与其在一个域中作不 直观的和难懂的卷积,不如在另外一个域中作乘法, 可以达到相同的效果
2013-6-5
32
避免卷积后产生交叠误差
利用一维函数来说明函数定义域的扩展,设 f(x)(x=0,1…. A-1)和g(x)(x=0,1,….C-1)是两个有 限的离散函数,也就是说f(x)定义域为0≤x≤A-1, g(x)的定义域为0≤x≤C-1。则其线性卷积为
| F (u, v) || F (u,v) |
Biblioteka Baidu就可得:
2013-6-5
| F (u, v) | F (M u, N v)
(1)
20
图像傅里叶频谱关于(M/2,N/2)的对称性
根据(1),对于u=0:
当v=0时: F (0,0) | F (M , N ) | 当v=1时: F (0,1) | F (M , N 1) | 当v=2时: F (0,2) | F (M , N 2) | ┆ ┆ 当v=N/2时:F (0, N / 2) F (M , N / 2)
2013-6-5
16
2.2 傅里叶变换的性质
平移性质
2013-6-5
17
2.2 傅里叶变换的性质
周期性
F ( u, v ) F ( u k1 M , v k 2 N ) u 0,1,2,, M 1 v 0,1,2,, N 1
2013-6-5 18
2.2 傅里叶变换的性质
2.2 傅里叶变换的性质
旋转性质
借助极坐标变换
x=rcosθ
y=rsinθ u=wcosφ
v=wsinφ
2013-6-5
24
(a)原始图像
(b) DFT变换
(c) 原始图像旋转45º(d) 旋转之后DFT变换结果
2013-6-5 25
2.2 傅里叶变换的性质
•分配律(加法原理)
空域或时域中的加法,在频域中也是加法
z ( x) f ( x) * g ( x) f (m) g ( x m)
m 0 N 1
N A C 1
2013-6-5
33
一个周期
求得结果将不是需要的z(x),而是周期循环的
N 1
z e ( x) f e ( x) * g e ( x) f e (m) g e ( x m)
m 0
2013-6-5
34
避免卷积后产生交叠误差
为了避免循环卷积,可以对原被卷积函数补零。 由于卷积结果的长度为N=A+C-1,因此,可以 把两个被卷积的函数的长度扩展到N,并在原函 数定义区间外的部分补零
f ( x) f e ( x) 0 g ( x) g e ( x) 0 0 x A 1 A x N 1 0 x C 1 C x N 1
一种可分离、正交、对称的变换
1-D离散余弦变换(DCT)
(2 x 1)u C (u ) a (u ) f ( x ) cos 2N x 0
f ( x) (2 x 1)u a(u )C (u ) cos 2N u 0
N 1
M A C 1, N B D 1
2013-6-5
37
二维傅立叶变换(幅值及相位)意义
2013-6-5
38
左边一列:
图像的说明
上方为原始图像,下方为本图的相关说 明说明;
中间一列:
上图幅值谱,下图为根据幅值谱的傅立 叶逆变换(忽略相位信息,设相位为0);
右边一列:
上图相位谱,下图为根据相位谱的傅立叶 逆变换(忽略幅值信息,设幅值为某一常数);
2013-6-5
26
2.2 傅里叶变换的性质
尺度变换(缩放)
2013-6-5
27
2.2 傅里叶变换的性质
平均值
如果将u=v=0代入式
2013-6-5
28
2.2 傅里叶变换的性质
卷积定理
2个1-D函数的卷积
卷积定理
2013-6-5
29
2.2 傅里叶变换的性质
卷积定理
2013-6-5
1 F (u, v) N
x 0 y 0
N 1 N 1
j 2 ( xu yv) f ( x, y) exp[ ] N
1 f ( x, y) N
j 2 (ux vy) ] F (u, v) exp[ N u 0 v 0
N 1 N 1
其中, x,y,u,v=0,1,…,N-1;
(M,N/2) (M,N)
u
22
图像傅里叶频谱关于(M/2,N/2)的对称性
图1和图2是原点坐标位于(0,0)的图像的傅里叶 变换频谱关于(M/2,N/2)对称的两个例子。
(a) 图像
(b)图像的原频谱图
(a) 图像
(b)图像的原频谱图
图1 / 图1 关于(M/2,N/2)对称示例1 / 示例2
2013-6-5 23
所以,F(u)一般是复数,并可以写成
e
ix
cos x i sin x
有:
2013-6-5
4
一维离散傅里叶变换
变换表达
F (u) R(u) jI (u) F (u) exp j (u)
频谱(幅度)
F (u) R2 (u) I 2 (u)
1 2
相位角
(u) arctan[I (u) R(u)]
2013-6-5
11
2.2 傅里叶变换的性质
分离性
平移性质 周期性和共扼对称性 旋转性质 分配律
2013-6-5
尺度变换(缩放)
平均值 卷积定理
12
2.2 傅里叶变换的性质
分离性
一个2-D傅里叶变换可由连续两次运用1-D傅 里叶变换来实现
2013-6-5 13
2.2 傅里叶变换的性质
分离性
沿y轴方向进行一维的(列)变换而求得:
再对F(x,v)沿x方向进行一维的(行)变换而得到
2013-6-5
14
2.2 傅里叶变换的性质
分离性
2013-6-5
15
2.2 傅里叶变换的性质
平移性质
给函数乘以一个指数项,就相当于把其变 换后的傅里叶频谱在频率域进行平移
给傅里叶频谱乘以一个指数项,就相当于把其 反变换后得到的函数在空间域进行平移
共扼对称性
2013-6-5
19
图像傅里叶频谱关于(M/2,N/2)的对称性
设f(x,y)是一幅大小为M×N的图像,根据离散傅立 叶变换的周期性公式: F (u, v) F (u mM, v nN) 有:
| F (u, v) | F (u M , v N )
再根据离散傅立叶变换的共轭对称性式:
2013-6-5
5
二维离散傅里叶变换
设f(x,y)是在空间域上等间隔采样得到的M×N的二维离 散信号,x和y是离散实变量,u和v为离散频率变量,则二维 离散傅里叶变换对一般地定义为:
1 M 1 N 1 xu yv F (u, v) f ( x, y) exp[ j 2 ( M N )] MN x0 y 0
N 1
u 0, 1, , N 1
x 0, 1, , N 1
1N a(u ) 2 N
当 u0 当 u 1, 2, , N 1
2013-6-5
41
2-D离散余弦变换(DCT)
0 A M/2 C
N/2
B D
(M/2,N/2)
N
v
(M/2,N)
M
(M,N/2) (M,N)
u
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图像傅里叶频谱关于(M/2,N/2)的对称性
同理,对于v=0: 当u=0时: F (0,0) | F (M , N ) |
当u=1时: F (1,0) | F (M 1, N ) |
2.3 离散余弦变换
余弦变换是傅里叶变换的一种特殊情况。 在傅里叶级数展开式中,如果被展开的函数是 实偶函数,那么,其傅里叶级数中只包含余弦 项,再将其离散化由此可导出余弦变换,或称 之为离散余弦变换(Discrete Cosine Transform,DCT)。
2013-6-5
40
2.3 离散余弦变换
2013-6-5 7
二维离散傅里叶变换
与一维时的情况类似,可将二维离散傅里叶变换 的频谱和相位角定义为:
| F (u , v) |
R 2 (u , v ) I 2 (u , v)
(u, v) arctan[ (u, v) / R(u, v)] I
2013-6-5
8
二维离散傅里叶变换
ze ( x, y) f e ( x, y) * g e ( x, y)
2013-6-5 36
避免卷积后产生交叠误差
同样地,二维离散卷积计算时,也必须对被卷积函数 进行延拓和补零,如果被卷积函数f(x,y)和g(x,y)地大 小分别为A×B和C×D,则延拓后地函数为:
f ( x, y ) f e ( x, y ) 0 g ( x, y ) g e ( x, y ) 0 0 x A 1,0 y B 1 A x M 1, B y N 1 0 x C 1,0 y D 1 C x M 1, D y N 1
2013-6-5
85 90
25 x
1 2 3 4 5 6 7
2
一维离散傅里叶变换
u为离散频率变量,则离散傅里叶变换对定义为:
其中,F(u)为正变换,f(x)=F-1{F(u)}为反变换;
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3
一维离散傅里叶变换
根据欧拉公式
exp( j 2xu) cos 2ux j sin 2ux
10
图像傅里叶变换的意义
(1)简化计算,也即傅里叶变换可将空间域中复杂的卷积运算转化
为频率域中简单的乘积运算。 (2)简化处理和分析,
空间域中较复杂的问题,空间域表示的图像←→频率域 (3)某些只能在频率域处理的特定应用需求,比如在频率域进行图 像特征提取、数据压缩、纹理分析、水印嵌入等。
典型的应用有:去除图像噪声、图像数据压缩、图像识 别、图像重构和图像描述等。
P(u, v) | F (u, v) | R (u, v) I (u, v)
2 2 2
反映了二维离散信号的能量在空间频率域上的分布情况。
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二维离散傅里叶变换
2-D图像函 数
2013-6-5
灰度图
2-D图像函数 傅里叶频谱幅度
30
卷积定理是研究两个函数的傅立叶变换之间的 关系,这构成了空间域和频域之间的基本关系 对于两个二维连续函数f(x,y)和g(x,y)的卷积定义为
dd f ( x, y) g ( x, y) f (α, β ) g ( x α, y β )dααd
其二维卷积定理可由下面关系表示 设 则
当u=2时: F (2,0) | F (M 2, N ) | ┆ ┆ 当u=M/2时:F (M / 2,0) F (M / 2, N ) 由此可得: 频谱图A区与D区和B区与C区 关于坐标(M/2,N/2)对称。
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0 A M/2 M C
N/2 B D
(M/2,N/2)
N
v
(M/2,N)
f ( x, y) F (u, v) g ( x, y) G(u, v)
f ( x, y ) g ( x, y ) F (u , v) G (u , v ) f ( x, y ) g ( x, y ) F (u , v) G (u , v )
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2.2 傅里叶变换的性质
第2章
图像变换技术
2.1 傅里叶变换 2.2 傅里叶变换的性质 2.3 离散余弦变换 2.4 盖伯变换 2.5 小波变换基础 2.6 离散小波变换
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2.1 傅里叶变换
一维离散傅里叶变换
设f(x)是在时域上等距离采样得到的N点离散序列, x是离散实变量
f (x ) 75 50 10 15 0
(u=0,1,…,M-1;v=0,1,…,N-1)
1 M 1 N 1 ux vy f ( x, y) F (u, v) exp[j 2 ( M N )] MN u 0 v0
(x=0,1,…,M-1;y=0,1,…,N-1)
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二维离散傅里叶变换
在图像处理中,有时为了讨论上的方便,取M=N,并 考虑到正变换与反变换的对称性,就将二维离散傅里叶 变换对定义为:
卷积定理
指出傅立叶变换一个主要好处:与其在一个域中作不 直观的和难懂的卷积,不如在另外一个域中作乘法, 可以达到相同的效果
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32
避免卷积后产生交叠误差
利用一维函数来说明函数定义域的扩展,设 f(x)(x=0,1…. A-1)和g(x)(x=0,1,….C-1)是两个有 限的离散函数,也就是说f(x)定义域为0≤x≤A-1, g(x)的定义域为0≤x≤C-1。则其线性卷积为
| F (u, v) || F (u,v) |
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| F (u, v) | F (M u, N v)
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图像傅里叶频谱关于(M/2,N/2)的对称性
根据(1),对于u=0:
当v=0时: F (0,0) | F (M , N ) | 当v=1时: F (0,1) | F (M , N 1) | 当v=2时: F (0,2) | F (M , N 2) | ┆ ┆ 当v=N/2时:F (0, N / 2) F (M , N / 2)
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2.2 傅里叶变换的性质
平移性质
2013-6-5
17
2.2 傅里叶变换的性质
周期性
F ( u, v ) F ( u k1 M , v k 2 N ) u 0,1,2,, M 1 v 0,1,2,, N 1
2013-6-5 18
2.2 傅里叶变换的性质
2.2 傅里叶变换的性质
旋转性质
借助极坐标变换
x=rcosθ
y=rsinθ u=wcosφ
v=wsinφ
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24
(a)原始图像
(b) DFT变换
(c) 原始图像旋转45º(d) 旋转之后DFT变换结果
2013-6-5 25
2.2 傅里叶变换的性质
•分配律(加法原理)
空域或时域中的加法,在频域中也是加法
z ( x) f ( x) * g ( x) f (m) g ( x m)
m 0 N 1
N A C 1
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一个周期
求得结果将不是需要的z(x),而是周期循环的
N 1
z e ( x) f e ( x) * g e ( x) f e (m) g e ( x m)
m 0
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34
避免卷积后产生交叠误差
为了避免循环卷积,可以对原被卷积函数补零。 由于卷积结果的长度为N=A+C-1,因此,可以 把两个被卷积的函数的长度扩展到N,并在原函 数定义区间外的部分补零
f ( x) f e ( x) 0 g ( x) g e ( x) 0 0 x A 1 A x N 1 0 x C 1 C x N 1
一种可分离、正交、对称的变换
1-D离散余弦变换(DCT)
(2 x 1)u C (u ) a (u ) f ( x ) cos 2N x 0
f ( x) (2 x 1)u a(u )C (u ) cos 2N u 0
N 1
M A C 1, N B D 1
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二维傅立叶变换(幅值及相位)意义
2013-6-5
38
左边一列:
图像的说明
上方为原始图像,下方为本图的相关说 明说明;
中间一列:
上图幅值谱,下图为根据幅值谱的傅立 叶逆变换(忽略相位信息,设相位为0);
右边一列:
上图相位谱,下图为根据相位谱的傅立叶 逆变换(忽略幅值信息,设幅值为某一常数);
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2.2 傅里叶变换的性质
尺度变换(缩放)
2013-6-5
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2.2 傅里叶变换的性质
平均值
如果将u=v=0代入式
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2.2 傅里叶变换的性质
卷积定理
2个1-D函数的卷积
卷积定理
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2.2 傅里叶变换的性质
卷积定理
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1 F (u, v) N
x 0 y 0
N 1 N 1
j 2 ( xu yv) f ( x, y) exp[ ] N
1 f ( x, y) N
j 2 (ux vy) ] F (u, v) exp[ N u 0 v 0
N 1 N 1
其中, x,y,u,v=0,1,…,N-1;
(M,N/2) (M,N)
u
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图像傅里叶频谱关于(M/2,N/2)的对称性
图1和图2是原点坐标位于(0,0)的图像的傅里叶 变换频谱关于(M/2,N/2)对称的两个例子。
(a) 图像
(b)图像的原频谱图
(a) 图像
(b)图像的原频谱图
图1 / 图1 关于(M/2,N/2)对称示例1 / 示例2
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所以,F(u)一般是复数,并可以写成
e
ix
cos x i sin x
有:
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4
一维离散傅里叶变换
变换表达
F (u) R(u) jI (u) F (u) exp j (u)
频谱(幅度)
F (u) R2 (u) I 2 (u)
1 2
相位角
(u) arctan[I (u) R(u)]
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11
2.2 傅里叶变换的性质
分离性
平移性质 周期性和共扼对称性 旋转性质 分配律
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尺度变换(缩放)
平均值 卷积定理
12
2.2 傅里叶变换的性质
分离性
一个2-D傅里叶变换可由连续两次运用1-D傅 里叶变换来实现
2013-6-5 13
2.2 傅里叶变换的性质
分离性
沿y轴方向进行一维的(列)变换而求得:
再对F(x,v)沿x方向进行一维的(行)变换而得到
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14
2.2 傅里叶变换的性质
分离性
2013-6-5
15
2.2 傅里叶变换的性质
平移性质
给函数乘以一个指数项,就相当于把其变 换后的傅里叶频谱在频率域进行平移
给傅里叶频谱乘以一个指数项,就相当于把其 反变换后得到的函数在空间域进行平移
共扼对称性
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图像傅里叶频谱关于(M/2,N/2)的对称性
设f(x,y)是一幅大小为M×N的图像,根据离散傅立 叶变换的周期性公式: F (u, v) F (u mM, v nN) 有:
| F (u, v) | F (u M , v N )
再根据离散傅立叶变换的共轭对称性式:
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二维离散傅里叶变换
设f(x,y)是在空间域上等间隔采样得到的M×N的二维离 散信号,x和y是离散实变量,u和v为离散频率变量,则二维 离散傅里叶变换对一般地定义为:
1 M 1 N 1 xu yv F (u, v) f ( x, y) exp[ j 2 ( M N )] MN x0 y 0
N 1
u 0, 1, , N 1
x 0, 1, , N 1
1N a(u ) 2 N
当 u0 当 u 1, 2, , N 1
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2-D离散余弦变换(DCT)
0 A M/2 C
N/2
B D
(M/2,N/2)
N
v
(M/2,N)
M
(M,N/2) (M,N)
u
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图像傅里叶频谱关于(M/2,N/2)的对称性
同理,对于v=0: 当u=0时: F (0,0) | F (M , N ) |
当u=1时: F (1,0) | F (M 1, N ) |
2.3 离散余弦变换
余弦变换是傅里叶变换的一种特殊情况。 在傅里叶级数展开式中,如果被展开的函数是 实偶函数,那么,其傅里叶级数中只包含余弦 项,再将其离散化由此可导出余弦变换,或称 之为离散余弦变换(Discrete Cosine Transform,DCT)。
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40
2.3 离散余弦变换
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二维离散傅里叶变换
与一维时的情况类似,可将二维离散傅里叶变换 的频谱和相位角定义为:
| F (u , v) |
R 2 (u , v ) I 2 (u , v)
(u, v) arctan[ (u, v) / R(u, v)] I
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8
二维离散傅里叶变换
ze ( x, y) f e ( x, y) * g e ( x, y)
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避免卷积后产生交叠误差
同样地,二维离散卷积计算时,也必须对被卷积函数 进行延拓和补零,如果被卷积函数f(x,y)和g(x,y)地大 小分别为A×B和C×D,则延拓后地函数为:
f ( x, y ) f e ( x, y ) 0 g ( x, y ) g e ( x, y ) 0 0 x A 1,0 y B 1 A x M 1, B y N 1 0 x C 1,0 y D 1 C x M 1, D y N 1
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85 90
25 x
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一维离散傅里叶变换
u为离散频率变量,则离散傅里叶变换对定义为:
其中,F(u)为正变换,f(x)=F-1{F(u)}为反变换;
2013-6-5
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一维离散傅里叶变换
根据欧拉公式
exp( j 2xu) cos 2ux j sin 2ux
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图像傅里叶变换的意义
(1)简化计算,也即傅里叶变换可将空间域中复杂的卷积运算转化
为频率域中简单的乘积运算。 (2)简化处理和分析,
空间域中较复杂的问题,空间域表示的图像←→频率域 (3)某些只能在频率域处理的特定应用需求,比如在频率域进行图 像特征提取、数据压缩、纹理分析、水印嵌入等。
典型的应用有:去除图像噪声、图像数据压缩、图像识 别、图像重构和图像描述等。