两个平面垂直的判定和性质
【数学课件】两个平面垂直的判定和性质
面面垂直
线面垂直
两个平面平行的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条
垂线，那么这两个平面相互垂直。
β A
B
α
a
？ 思考题
已知：ABCD为正方形，SD⊥平面AC， 问：图中所示的7个平面中，共有多少个平面互相平行？
1.平面SAD⊥平面ABCD 2.平面SBD⊥平面ABCD 3.平面SCD⊥平面ABCD 4.平面SAD⊥平面SCD 5.平面SBC⊥平面SCD 6.平面SAB⊥平面SAD 7.平面SAC⊥平面SBD
S
D O
A
C B
两个平面垂直的性质定理：
如果两个平面垂直，那么在第一个平 面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个 平面的直线。
β
A
B
α
a
例1已知： α⊥β，P∈α，P∈a, a⊥β.
求证：a α. 证明：设α ∩ β= c，过点P在平面α内 作直线b⊥ c，根据上面的定理有b⊥β.
因为经过一点只能有
一条直线与平面β垂直，
所以直线a应与b直线
重合.
β
所以a α.
α
P
a
b
c
例1已知： α⊥β，P∈α，P∈a, a⊥β.
求证：a α.
如果两个平面垂直，那么经过 第一个平面内的一点垂直于第二 个平面的直线，再第一个平面 。
α
P
a
β
例2 求证：垂直于同一平面的两平面 的交线垂直于这个平面。 已知：α⊥γ，β ⊥γ,α ∩ β= а, 求证： a⊥γ.
证法三：
设α⊥γ于b，β ⊥γ于c.
在α内作 b′ ⊥ b, 所以 b′ ⊥ γ.
同理在β内作c′ ⊥ c,有c ′ ⊥ γ,
两个平面垂直的性质
1、两个平面垂直的定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的 二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
2、两个平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线， 那么这两个平面互相垂直。
3、练习： 已知ABCD是正方形， PA⊥平面ABCD， 写出图中与面PAB垂直的所有平面：
练习：
若平面α ⊥β ，直线CD β ，CD∥交线AB， 且CD与AB的距离为5，点P∈α ，P到AB的距离 为12，则P到CD的距离为
小结：
两个平面垂直的性质（2个）
；粉象生活： ；
了,关门铃电源不影响你屋里用电吧？”“不影响,线路是分开の.”陆羽摇摇头.“那就好.”周叔心中略安,“丫头啊,以后那边の新馆子建成恐怕会更吵,你要有心理准备,毕竟人家开门做生意の.当然,以后遇到麻烦事你跟周叔讲.虽然我老了不大中用,好歹是一村之长,说话还有些分量.”“周 叔,您别这么说,邻里之间难免有些摩擦,互相迁就一下就好...”陆羽笑了笑,心里明白老人の意思.无非是为何玲开脱,为了让她有心理准备,以后有矛盾解决不了只能互相迁就.恶意是没有,小心思有一些,不难理解.正事说完了,目送周叔去工地找人聊天,陆羽利索地把凳子啥の全部搬回屋里,轻 轻地关上院门.第46部分尝到了甜头,何玲の心思转得快要飞起,乘胜追击,到处张贴派发云岭村の彩页广告.有如诗如画の山水景致,有极个别收拾整齐の土坯房,当然包括白姨家の休闲田屋,正在施工热火朝天の工地,藏于树林の陆宅更加少不了.没问过陆羽,因为她只是租客,不是屋主.何玲打电 筒问过正主周定邦,对方说只要租客不介意就随便搞.带动村里の经济发展,人人有责.何玲觉得,陆羽以后敢反对,她有の是办法对付一个外来の自私小姑娘.如今村里只有周家一户,爱怎么搞怎么搞.像余文凤当年那样,等村子搞起来了,人人有钱领,谁敢顶撞她？连镇长
两个平面垂直的判定和性质
两个平面垂直的判定和性质
α
l
所以 BD⊥α，BD⊥BC， 所以△CBD是 ⊥ ， ⊥ ， 所以△ 是 直角三角形， 直角三角形， 在直角△ 在直角△BAC中，BC= 3 + 4 = 5 中
2 2
在直角△CBD中，CD= 52 + 122 = 13 在直角△ 中 所以CD的长为 所以 的长为13cm. 的长为
β β α α
2． 平面与平面垂直的判定定理： ． 平面与平面垂直的判定定理： ①文字语言：如果一个平面过另一个平面 文字语言： 的一条垂线，则这两个平面互相垂直； 的一条垂线，则这两个平面互相垂直； ②图形语言： 图形语言：
α
A B
β
③符号语言：AB⊥β，AB∩β=B， 符号语言： ⊥ ， ， AB
ALeabharlann 平面ACD⊥平面BDC； ⊥平面 平面 ；
D B C
（2）在原图中，直角△BAC，因为 ）在原图中，直角△ ， AB=AC=a，所以 ，所以BC= 2 a， ， 所以 BD=DC=
2 2
a， ，
△BDC是等腰直角三角形。 是等腰直角三角形。 是等腰直角三角形 所以BC= 所以BC= 2 BD= a A 是等腰直角三角形。 △BDC是等腰直角三角形。 是等腰直角三角形 所以AB=AC=BC， ， 所以 因此∠ 因此∠BAC=60°. °
B D C
练习题 1． 下列命题中正确的是（ C ） ． 下列命题中正确的是（ 分别过两条互相垂直的直线， （A）平面 和β分别过两条互相垂直的直线， ）平面α和 分别过两条互相垂直的直线 则α⊥β ⊥ 内的一条直线垂直于平面β内 （B）若平面 内的一条直线垂直于平面 内 ）若平面α内的一条直线垂直于平面 的两条平行直线， 的两条平行直线，则α⊥β ⊥ 内的一条直线垂直于平面β内 （C）若平面 内的一条直线垂直于平面 内 ）若平面α内的一条直线垂直于平面 的两条相交直线， 的两条相交直线，则α⊥β ⊥ 内的一条直线垂直于平面β内 （D）若平面 内的一条直线垂直于平面 内 ）若平面α内的一条直线垂直于平面 的无数条直线， 的无数条直线，则α⊥β ⊥
高中数学 第九章 两个平面垂直的判定和性质(二)教学案 苏教版
高中数学第九章两个平面垂直的判定和性质（二）教学案苏教版一、素质教育目标(一)知识教学点1．两个平面垂直的性质定理．2．异面直线上两点间的距离公式．(二)能力训练点1．弄清反证法与同一法之间的关系，并会应用同一法证题，进一步培养学生的逻辑思维能力．2．掌握两个平面垂直的性质定理，理解面面垂直问题可能化为线面垂直的问题．3．异面直线上任意两点间的距离公式不仅可用于求其值，还可以证明两条异面直线的距离是异面直线上两点的距离中最小的．另外，还可解决分别在二面角的面内两点的距离问题．二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：掌握两个平面垂直的性质；会运用异面直线上两点间的距离公式．2．教学难点：异面直线上两点间距离公式的应用．3．教学疑点：(1)弄清反证法与同一法的联系与区别．(2)正确理解、应用异面直线上两点间的距离公式：EF＝三、课时安排本课题安排2课时．本节课为第二课时，主要讲解两个平面垂直的性质及异面直线上两点间的距离公式．四、教与学的过程设计(一)复习两个平面垂直的定义，判定师：什么是两个平面互相垂直？生：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．师：如何判定两个平面互相垂直？生：第一种方法根据定义，判定两个平面所成的二面角是直二面角；第二种方法是根据判定定理，判定其中一个平面内有一条直线垂直于另一个平面．(二)两个平面垂直的性质师：今天我们接着研究两个平面垂直的性质．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．已知：平面α⊥β，α∩β=CD，AB α且AB⊥CD于B．求证：AB⊥β．证明：在平面β内引直线BE⊥CD，则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角．∵α⊥β，∴AB⊥BE．又∵AB⊥CD，∴AB⊥β．师：从性质定理可以得出，把面面垂直的问题转化为线面垂直的问题．例1 如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．已知：α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β．求证：a α．师提示：要证明a α，一般用反证法，即否定结论→推出矛盾→肯定结论．下面请同学们写出它的证明过程．其中c为α与β的交线．∵α⊥β，∴b⊥β．又∵P∈α，P∈a，a⊥β，这与“过一点P有且只有一条直线与已知平面垂直”矛盾．∴a α．师：现在我们来看课本P．44的证明，这种方法叫同一法．什么是同一法呢？(幻灯显示)一个命题，如果它的题设和结论所指的事物都是唯一的，那么原命题和它的逆命题中，只要有一个成立，另一个就一定成立，这个道理叫做同一法则．在符合同一法则的前提下，代替证明原命题而证明它的逆命题成立的一种方法叫做同一法．同一法的一般步骤是什么？(幻灯显示)1．不从已知条件入手，而另作图形使它具有求证的结论中所提的特性；2．证明所作的图形的特性，与已知条件符合；3．因为已知条件和求证的结论所指的事物都是唯一的，从而推出所作的图形与已知条件要求的是一个东西，由此断定原命题成立．证明(同一法)：设α∩β＝c，过点P在平面α内作直线b⊥c，根据上面的定理有b⊥β．因为经过一点只能有一条直线与平面β垂直，所以直线a应与直线b重合．即a α．师：比较反证法与同一法，我们可以知道：凡可用同一法证明的命题也可用反证法来证；反证法可适用于各种命题，同一法只适用于符合同一法则的命题．另外，例1的结论也可作为两个平面垂直的另一个性质，可直接应用．下面请同学们一齐完成例2．(三)异面直线上两点间的距离例2 已知两条异面直线a、b所成的角为θ，它们的公垂线段AA'的长度为d．在直线a、b上分别取点E、F，设，A'E＝m，AF＝n，求EF．解：设经过b与a平行的平面为α，经过a和AA'的平面为β，α∩β＝c，则c∥a，因而b、c所成的角等于θ，且AA'⊥C．又∵AA'⊥b，∴AA'⊥α．根据两个平面垂直的判定定理，β⊥α，在平面β内作EG⊥C，则EG＝AA'．并且根据两个平面垂直的性质定理，EG⊥α．连结FG，则EG⊥FG．在Rt△FEG中．EF2＝EG2+FG2∵AG＝m，∴在△AFG中．FG2＝m2+n2-2mncosθ．又∵EG2=d2∴EF2=dw+m2+n2-2mncosθ．如果点F(或E)在点A(或A')的另一侧，则EF2＝d2+m2+n2+2mncosθ．师：例2不仅求出两条异面直线上任意两点间的距离公式，还解决了下面的三个问题：(1)证明了两条异面直线公垂线的存在性．(2)证明两条异面直线的距离是异面直线上两点的距离最小的．∵AA'＝EG，且AA'，EG是平面α的垂线，而EF是斜线，∴AA'＜EF．如在实际中，两条交叉的高压电线如果放电时，火花正是通过它们的最短距离．(3)也可以解决分别在二面角的面内两点的距离问题，请看下面练习．(四)练习在60°二面角的枝上，有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB的线段．已知：AB＝4cm，AC=6cm，BD＝8cm，利用异面直线上两点距离公式求CD．(P．45中练习3)∴AC与BD是异面直线．∵AB⊥AC交于点A，AB⊥BD交于点B，∴AB是AC、BD的公垂线，AC、BC所成角是60°．已知AB＝4cm，AC＝6cm，BD＝8cm．师点评：根据二面角的平面角来求异面直线上两点间的距离时，应用异面直线上两点间的距离公式一定要注意cosθ前正负号的选择(当θ≤90°时取“-”号)．(五)总结本节课我们学习了两个平面垂直的性质及异面直线上两点间距离的求法．正确理解、掌握异面直线上两点间的距离公式及其应用是本节课学习的关键．五、作业P．46中习题六9、10(2)、11、12．。
平面和平面垂直的判定与性质
例1、已知直线PA垂直于O所在的平面，A为垂足， AB为O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。 求证：平面PAC平面PBC；
P
判定定理： 要证两个平面垂直，
C
A
只要在其中一个平面内找到
O
B
另一个平面的一条垂线。
ห้องสมุดไป่ตู้
例2、空间四边形ABCD中，已知AB=3，AC=AD=2，∠DAC= ∠BAC= ∠BAD=600 求证：平面BCD⊥平面ADC 证明：设DC中点为O，连结AO、BO， ∵AC=AD=2 ∠DAC=600 ∴AO⊥DC AO=√3 DC=2 又∠BAC= ∠BAD=600 AB=3 ∴⊿ABD≌⊿ABC DB=CB=√7 ∴BO⊥CD BO=√6 ∠AOB是二面角ADCB的平面角 ∴AB2=AO2+BO2 ∠AOB=900 ∴平面BCD⊥平面ADC 定义法： 找二面角的平面角 D A
3、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。 求证：平面PAC平面PBD。
P
A
D
O
B C
［总结提炼］
☆ 定义面面垂直是在建立在二面角的平面角的基础上的 ☆ 理解面面垂直的判定要依赖面面垂直的定义 ☆ 证明面面垂直要从寻找面的垂线入手
面面垂直的判定方法： 1、定义法：
2、判定定理法： 3、线面平行法： 如果一个平面与另一个平面的一条垂线平行，那么这 两个平面互相垂直
4、法向量垂直法
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敢咯 那 那时候别早咯 奴婢那就服侍您歇息吧 ”菊香の前半句话王爷还没什么在意 壹听到她那那后半句话 气得差点儿上去给她壹巴掌！自从他决定回怡然居之后 壹直在 搜肠刮肚地选择用啥啊样の委婉词语来与淑清告别 既别能太伤她の心 又能够安然脱身 结果还别等他想出法子来呢 那各可恶の菊香 竟然是哪壶别开提哪壶 直接就要来服侍 他歇息！真是要将他活生生气死！第壹卷 第899章 清白既然菊香已经红口白牙地提出来服侍他安歇就寝事宜 被逼到绝境之中没处躲没处藏の王爷只好硬着头皮开口道： “爷那壹遭被吵醒 也睡别着咯 打算回去看看书 您家主子还病着 爷看书会影响她养病 那 爷那就走咯 服侍您家主子好好休息 ”菊香唱咯壹晚上の独角戏 最终还是没能将 他留下 淑清本就是在病中 再见他竟是那般绝情 别禁悲从心来 壹晚上都没什么开口の她终于忍别住喊咯壹声：“爷！”然后她就再也说别出来壹句话 只是用壹双眼睛泪汪 汪地望向他 见病中の淑清如此楚楚可怜の样子 就那么走开实在是太过残忍 于是 狠别下心来の他只好又坐回床侧 替她掖咯掖被角 好言相劝道：“别哭咯 那还病着呢 又得 哭坏咯身子！就是有些风寒 没什么啥啊大碍 好好养着 按时喝药 另外 现在天凉咯 别总去院子里 有啥啊事情让菊香去做 爷要是过来 自会让秦顺儿传话 您那么去等 能等 来啥啊？还别是把身体弄坏咯？”“爷 妾身就是忍别住想去看看 都快壹各月没什么见到您咯 那心里实在是别踏实 ”“您の心思 爷自然晓得 只是……”只是啥啊呢？他别 想让淑清更伤心 没什么说出口 于是他就那么靠在床边 陪着淑清 而淑清因为本身就在病中 又喝咯药 经过壹晚上の折腾 终于体力渐渐别支 耗咯将近壹各时辰 也就渐渐地 睡咯下去 见淑清终于睡安稳咯 他才如释重负般地悄悄起身 出咯烟雨园 他犹豫咯壹下 回朗吟阁还是怡然居？回怡然居肯定是要搅咯水清の睡眠 她の睡眠壹直很差 睡眠别 好就导致精神差 所以身子才会那么赢弱 形成咯壹各恶性循环の老大难问题 可是回朗吟阁の话 他是跳进黄河也洗别清咯 他可以指天发誓 秦顺儿可以亲口作证 但是水清完 全可以别相信！她又没什么亲眼见到他在朗吟阁 她凭啥啊相信？他跟她打咯九年の交道 她有の时候极明事理 以壹各知书达礼大家闺秀の形象卓而别群 可是有些时候 她竟 然也会蛮别讲理 与壹般妇人别无两样 特别是对待他の那些诸人们の时候 在他用“燕子诗”向她真情告白时候 她竟然用“小檐日日燕飞来”嘲讽奚落他 让他陷入百口莫辩 の被动局面 虽然事后他别停地向她解释 啥啊“秋来只为壹人长” 啥啊“壹汀烟雨杏花寒” 水清统统壹概别予理会 最后将她逼急咯 竟然给他来咯壹各“息燕归檐静 飞花 落院闲” 彻底逃跑咯！任他再教上悠思上百句燕子诗 终是没什么挽回她の心 那各时候她还只是凭空想象他那些莫须有の“朝憎莺百啭、夜妒燕双栖”の罪名 就敢蛮别讲理 胡搅蛮缠 而现在 已经有咯菊香那各确凿の人证物证 他还怎么可能抵赖得掉？第壹卷 第900章 温暖 在打扰水清睡眠和证明自己清白那壹对矛盾问题の反复权衡之下 他终 于选择咯回怡然居 他怕她又从他の掌心逃跑咯 以前她の每壹次逃跑 都是他姑息纵容の结果 也是担心将她逼得太紧咯 原本他在水清心目中の形象就别佳 若是追她追得太紧 再在她印象中留下壹各无耻好色之徒の恶名 更是要弄巧成拙 导致两各人关系更加恶化 无可奈何之下 每壹次他都眼睁睁地看着她从他の掌心中溜走 任由她绝决地离去 却是 壹丁点儿都别敢对她用强 当然 除咯在香山 那壹次 他是真真地被她气着咯 第壹次对她动用咯武力 而现在 当他品尝到如此甜美の爱情之后 再也别想将风筝の线放得太长 他怕自己手中の那根线 禁别住狂风暴雨の袭击而折断 徒留追悔莫及 虽然只是短短の十三天 却让他有壹种前二十多年都白活咯の感觉 从前 诸人对他而言只是诸人 而现在 他既将水清当作自己の诸人 更将
两个平面垂直的判定和性质
两个平面垂直的判定和性质知识要点1．二面角是立体几何中一个重要概念．同时也是一个难点，求二面角的大小可以转化为求二面角的平面角的大小、平面角的确定与求法通常有直接法和公式法等，其中直接法包括定义法、垂面法和三垂线定理等．公式法是运用异面直线上任两点距离公式和面积射影公式等．对于二面角的平面角的画法，在解题时应当根据具体情况适当选用．2.异面直线上任意两点间的距离公式，不仅可用于求值，还可用于证明两条异面直线问的距离是异面直线上两点距离中最小的．在公式的推导过程中还解决了如下问题：(1)两条异面直线公垂线的存在性；(2)证明了两条异面直线间的距离是异面直线上任意两点的距离中的最小值；(3)两条异面直线总分别存在于两个互相垂直的平面内．同时应用这个公式，也可以解决分别在二面角的两平面内两点的距离间题，以及求二面角的大小问题．典型题目分析例1．正方体中，E、F、G是A1A、CD、BC的中点。
求证：平面BEF⊥平面DGC1。
分析：确定EF在平面D1DCC1和ABCD上的射影，通过射影与DC1和DG的垂直，证明EF分别与DC1和DG垂直，从而推证EF⊥平面DGC1，即可证明平面DEF⊥平面DGC1。
证明：取D1D中点H，连结EH、HF。
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，∵E、H、F是A1A、D1D、DC中点，∴EH⊥平面D1DCC1，HF⊥DC1。
∵HF是EF在面D1DCC1上的射影，∴EF⊥DC1。
连结AF，在ΔADF和ΔDCG中AD=DC，∠ADF=∠DCG=90°，∵G是BC中点，∴DF=GC，∴ΔADF≌ΔDCG，∴∠DAF=∠GDC。
∵∠ADG+∠GDC=90°，∴∠DAF+∠ADG=90°，∴ AF⊥DG。
∵EA⊥平面ABCD，AF是EF在平面ABCD上的射影，∴ EF⊥DG。
∵ DC1∩DG=D，∴ EF⊥平面DGC1。
∵EF面BEF，∴平面BEF⊥平面DGC1。
两个平面垂直的判定与性质
• 两个平面垂直的判定定理 • 两个平面垂直的性质 • 两个平面垂直的判定与性质的关
系 • 两个平面垂直在实际生活中的应
用 • 两个平面垂直的典型例题解析
目录
01
两个平面垂直的判定定理
判定定理的内容
01
02
03
判定定理
如果一个平面内的两条相 交直线与另一个平面垂直， 则这两个平面垂直。
线来证明。
性质的应用
01
在几何学中，两个平面垂直的性 质可以用于证明空间几何中的一 些定理和性质，例如空间几何中 的勾股定理等。
02
在物理学中，两个平面垂直的性 质可以用于研究物体的运动和力 的作用，例如物体在重力作用下 的运动轨迹等。
03
两个平面垂直的判定与性质
的关系
判定与性质的联系
判定是性质的依据
两条相交直线
在给定平面内选择两条不 平行的直线，这两条直线 必须相交。
垂直关系
这两条相交直线必须与另 一个平面垂直。
判定定理的证明
证明思路
通过反证法证明，假设两个平面不垂直，则它们必然存在一个公共点，由此可以确定一条过该点的直线。由于这 条直线同时位于两个平面内，因此它必然与两个平面都垂直。这与题目中给定的条件矛盾，因此假设不成立，所 以两个平面垂直。
家装设计
在家装设计中，需要确保墙面、 地面和天花板之间的垂直度，以
提高家居的美观度和舒适度。
家具摆放
在家具摆放时，需要确保家具与 地面垂直，以提高家具的稳定性
和安全性。
悬挂物品
在悬挂物品时，需要确保物品与 墙面垂直，以提高物品的稳定性
和安全性。
05
两个平面垂直的典型例题解
析
例题一解析
两平面垂直的判定与性质
05
两平面垂直的实例分析
实例一：简单的几何图形
总结词
通过观察几何图形，可以直观地判断两平面是否垂直。
详细描述
在平面几何中，常见的图形如矩形、正方形和正六面体等，它们的相对面都是垂直的。通过观察这些图形的角和 边，可以直观地判断两平面是否垂直。
பைடு நூலகம்
实例二：建筑模型的分析
总结词
建筑模型中的墙面和地面通常都是垂直的。
判定定理的应用
应用场景
判定两平面是否垂直，特别是在几何、工程和物理学等领域中，两平面垂直的判 定定理具有广泛的应用价值。
实际应用
在建筑学中，为了确保结构的稳定性和安全性，需要判定各个平面是否垂直；在 机械工程中，判定两平面是否垂直对于零件的设计和制造至关重要；在物理学中 ，两平面垂直的判定定理可用于研究物体的运动轨迹和力的分布。
判定定理的证明
• 证明过程：设两平面分别为α和β，且α内的两条相交直线a和b 分别与β垂直。在直线a上任取一点A，由于a与β垂直，作直线c 平行于a且在β内，使得A落在c上。同理，在直线b上任取一点B， 作直线d平行于b且在β内，使得B落在d上。由于a和b相交，所 以点A和B确定了一个平面γ。由于c和d都在β内，且c与d相交， 所以β包含在γ内。又因为α与γ内的两条相交直线a和b都垂直， 所以α与γ垂直。由此可知，α与β垂直。
详细描述
在建筑领域，墙面和地面通常都是垂直的。这是因为垂直的 平面能够提供更好的支撑和稳定性。通过观察建筑物的结构 和设计，可以分析出两平面是否垂直。
实例三：物理实验的现象分析
总结词
物理实验中经常涉及到两平面垂直的情 况，如重力的方向与地面垂直。
VS
详细描述
在物理实验中，很多现象都涉及到两平面 垂直的情况。例如，在研究重力时，重力 的方向总是垂直于地面向下。通过分析这 些实验的现象和结果，可以深入理解两平 面垂直的性质和应用。
面面垂直性质
面面垂直性质
性质定理：如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交
线的直线垂直于另一个平面。
如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平
面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内等。
面面垂直
定义
若两个平面的二面角为直二面角（平面角是直角的二面角），则这两
个平面互相垂直。
性质定理
1、如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直
线垂直于另一个平面。
2、如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于
第二个平面的直线在第一个平面内。
3、如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于
第三个平面。
4、如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。
（判定定理推论1的逆定理）
线面垂直
定义
如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，就说这条直线与
此平面互相垂直。
是将“三维”问题转化为“二维”解决是一种重要的立
体几何数学思想方法。
在处理实际问题过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所要证明的重要垂直关系，从而架起已知与未知的“桥梁”。
判定定理
直线与平面垂直的判定定理（线面垂直定理）：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
推论1：如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。
推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
面面垂直的判定定理及性质定理
面面垂直的判定定理及性质定理
性质定理：如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内等。
定义：
若两个平面的二面角为的直二面角(平面角就是直角的二面角)，则这两个平面互相横向。
1、如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的.直线垂直于另一个平面。
2、如果两个平面相互横向，那么经过第一个平面内的一点并作旋转轴第二个平面的直线在第一个平面内。
3、如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。
4、如果两个平面互相横向，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。
(认定定理推断1的逆定理)。
两平面垂直的判定方法
两平面垂直的判定方法在几何学中，平面是一个重要的概念。
平面可以被定义为一个无限大的、无限薄的、无边界的二维空间。
平面可以通过一个点和一个法向量来表示。
两个平面的关系也是几何学中的一个重要概念，特别是两平面是否垂直的关系。
本文将介绍两平面垂直的判定方法。
一、两平面垂直的定义两平面垂直是指它们的法向量互相垂直。
法向量是一个垂直于平面的向量，它的长度等于平面的面积，方向指向平面的外侧。
如果两个平面的法向量互相垂直，那么这两个平面就是垂直的。
二、两平面垂直的判定方法1. 向量法向量法是判定两平面垂直的最常用方法之一。
假设两个平面分别为P1和P2，它们的法向量分别为n1和n2。
那么，如果n1和n2的点积等于0，那么P1和P2就是垂直的。
点积可以通过以下公式计算：n1·n2 = |n1| × |n2| × cosθ其中，θ是n1和n2之间的夹角。
如果n1和n2垂直，那么cos θ等于0，n1·n2等于0。
2. 坐标法坐标法是另一种用于判定两平面垂直的方法。
假设两个平面分别为P1和P2，它们的一般式方程分别为ax + by + cz + d1 = 0和ax + by + cz + d2 = 0。
那么，如果a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0，那么P1和P2就是垂直的。
这个公式的推导非常简单。
假设n1和n2分别是P1和P2的法向量，那么有：n1 = (a1, b1, c1)n2 = (a2, b2, c2)n1·n2 = a1a2 + b1b2 + c1c2如果n1·n2等于0，那么P1和P2就是垂直的。
三、实例分析下面通过一个实例来说明如何使用向量法和坐标法判定两平面是否垂直。
例：判定平面P1：3x + 2y - z = 0和平面P2：2x - y + 4z = 0是否垂直。
1. 向量法首先，我们需要计算P1和P2的法向量。
由于P1和P2的一般式方程已知，我们可以直接读出它们的法向量：n1 = (3, 2, -1)n2 = (2, -1, 4)接下来，我们计算n1和n2的点积：n1·n2 = 3×2 + 2×(-1) + (-1)×4 = 0由于n1·n2等于0，所以P1和P2是垂直的。
平面和平面垂直的判定与性质
学习目标
1 熟练掌握面面垂直定义 2 熟练掌握面面垂直的判定定理及其证明过程 3 掌握证明面面垂直的常用方法
1 直二面角定义 2 互相垂直的平面
平面与平面垂直的定义
α A D B C E
β
记作：
l
画法：
问题：如果你是一个质检员，你怎样去检测、判断建筑中的 一面墙和地面是否垂直呢？ 建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌 的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线和墙面紧贴，
例1、已知直线PA垂直于O所在的平面，A为垂足， AB为O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。 求证：平面PAC平面PBC；
P
判定定理： 要证两个平面垂直，
一个平面的一条垂线。
例2、空间四边形ABCD中，已知AB=3，AC=AD=2，∠DAC= ∠BAC= ∠BAD=600 求证：平面BCD⊥平面ADC 证明：设DC中点为O，连结AO、BO， ∵AC=AD=2 ∠DAC=600 ∴AO⊥DC AO=√3 DC=2 又∠BAC= ∠BAD=600 AB=3 ∴⊿ABD≌⊿ABC DB=CB=√7 ∴BO⊥CD BO=√6 ∠AOB是二面角ADCB的平面角 ∴AB2=AO2+BO2 ∠AOB=900 ∴平面BCD⊥平面ADC 定义法： 找二面角的平面角 D A
3、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。 求证：平面PAC平面PBD。
P
A
D
O
B C
［总结提炼］
☆ 定义面面垂直是在建立在二面角的平面角的基础上的 ☆ 理解面面垂直的判定要依赖面面垂直的定义 ☆ 证明面面垂直要从寻找面的垂线入手
面面垂直的判定方法： 1、定义法：
平面和平面垂直的判定与性质
那么所砌的墙面与地面垂直。
大家知道其中的理论根据吗？
二、两个平面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平 面互相垂直． 已知：AB⊥β，AB⊂α（图1）． 求证：α⊥β。 [证明]：设α∩β=CD， ∵AB⊥β，CD⊂β，∴AB⊥CD． 在平面 β 内过点 B 作直线BE⊥CD，则 ∠ABE是二面角α-CD-β的平面角， 而AB⊥BE，故α-CD-β是直二面角． ∴α⊥β。
学习目标
1 熟练掌握面面垂直定义 2 熟练掌握面面垂直的判定定理及其证明过程 3 掌握证明面面垂直的常用方法
1 直二面角定义 2 互相垂直的平面
平面与平面垂直的定义
α A D B C E
β
记作：l来自画法：
问题：如果你是一个质检员，你怎样去检测、判断建筑中的 一面墙和地面是否垂直呢？ 建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌 的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线和墙面紧贴，
例1、已知直线PA垂直于O所在的平面，A为垂足， AB为O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。 求证：平面PAC平面PBC；
P
判定定理： 要证两个平面垂直，
C
A
只要在其中一个平面内找到
O
B
另一个平面的一条垂线。
例2、空间四边形ABCD中，已知AB=3，AC=AD=2，∠DAC= ∠BAC= ∠BAD=600 求证：平面BCD⊥平面ADC 证明：设DC中点为O，连结AO、BO， ∵AC=AD=2 ∠DAC=600 ∴AO⊥DC AO=√3 DC=2 又∠BAC= ∠BAD=600 AB=3 ∴⊿ABD≌⊿ABC DB=CB=√7 ∴BO⊥CD BO=√6 ∠AOB是二面角ADCB的平面角 ∴AB2=AO2+BO2 ∠AOB=900 ∴平面BCD⊥平面ADC 定义法： 找二面角的平面角 D A
平面和平面垂直的判定与性质
例1、已知直线PA垂直于O所在的平面，A为垂足， AB为O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。 求证：平面PAC平面PBC；
P
判定定理： 要证两个平面垂直，
C
A
只要在其中一个平面内找到
O
B
另一个平面的一条垂线。
例2、空间四边形ABCD中，已知AB=3，AC=AD=2，∠DAC= ∠BAC= ∠BAD=600 求证：平面BCD⊥平面ADC 证明：设DC中点为O，连结AO、BO， ∵AC=AD=2 ∠DAC=600 ∴AO⊥DC AO=√3 DC=2 又∠BAC= ∠BAD=600 AB=3 ∴⊿ABD≌⊿ABC DB=CB=√7 ∴BO⊥CD BO=√6 ∠AOB是二面角ADCB的平面角 ∴AB2=AO2+BO2 ∠AOB=900 ∴平面BCD⊥平面ADC 定义法： 找二面角的平面角 D A
学习目标
1 熟练掌握面面垂直定义 2 熟练掌握面面垂直的判定定理及其证明过程 3 掌握证明面面垂直的常用方法
1 直二面角定义 2 互相垂直的平面
平面与平面垂直的定义
α A D B C E
β
记作：
l
画法：
问题：如果你是一个质检员，你怎样去检测、判断建筑中的 一面墙和地面是否垂直呢？ 建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌 的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线和墙面紧贴，
3、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。 求证：平面PAC平面PBD。
P
A
D
O
B C
［总结提炼］
☆ 定义面面垂直是在建立在二面角的平面角的基础上的 ☆ 理解面面垂直的判定要依赖面面垂直的定义 ☆ 证明面面垂直要从寻找面的垂线入手
两个平面垂直的判定和性质教案
两个平面垂直的判定和性质教案教学目的(1)使学生掌握两个平面垂直的判定定理、性质定理及它们的证明，并学会加以初步运用．(2)通过本节内容的引入与命题的构造、完善、论证过程，对学生进行观察、实践、猜测、联想、分析、论证等思维能力的培养．教具制作用两个矩形铁丝框架焊制成两个互相垂直的平面的模型(如图1)，并在两个平面的交线CD上取点B，在点B处焊上两个用铁皮卷成的插孔BM、BN；再备两个可以插入插孔的粗铁丝段，使插入以后可以表示二面角α－CD－β的平面角．教学过程一、引入新课师：前一节课，我们学习了二面角、直二面角、两个平面垂直等概念(为了本节课“引入”的需要，特地把“α⊥β”的概念移至上节课)，今天我们学习“两个平面垂直的判定和性质”．(板书课题后，随即出示小黑板，引入命题．)意取其中两个作前提，另一个作结论构造命题，能构成几个命题，并判断其真假．”[提出问题，引起思维．][学生画图形，搭模型——用课本、桌面作平面，铅笔作直线，积极思考，相互议论；教师巡视，及时给予以个别启发、指导．估计学生能构成三个不同的命题：教师可鼓励学生大胆猜想与判断．对于学生回答不完善时，教师给予及时引导，点拨．]二、证明定理(教师针对学生的回答先板书，再演示教具，印证“猜测”．)师：对于命题(1)．欲证α⊥β，须判断二面角α－CD－β为直二面角，为此须作出其平面角(图2)．(在教具模型上，再插入线段EM，即在β内作BE⊥CD．)这样，得到二面角α－CD－β的平面角∠ABE，从而由∠ABE=90°证明了α⊥β．[把问题交给学生，让学生在对模型进行观察、分析后提出猜想，并在议论和印证中发现了两个平面垂直的判定定理(暂且还未揭示)的内容及其证明方法，从而增强学生学习中的发现因素和探索机会，有利于培养学生的思维能力和探索精神．][接着，在学生思考探究的基础上，让学生通过模型，考察命题(2)．]师：(指着模型)现在让我们来考察、探究命题(2)的真假(图3)．(学生摆弄手中自搭的模型，观察思考着“由α⊥β，α内的直线a能与平面β垂直吗？”)生甲：“不能！”生乙：“不一定能！”[教师肯定了后者，a不一定垂直于β，如图3中直线a'，故命题(2)不真．接着，激励学生进一步探究．]的结论成立呢？(学生在各自的桌面上用书本、铅笔构造模型，摆弄a在α内的各种位置后，进行讨论并提出猜想．)生：增加a⊥CD的限制条件后，即能判定a⊥β．即师：现在，我们给出命题(2的证明．[师生共同活动完成证明过程．再次结合教具，插入线段AN(图2)，表示a⊥CD，为利用α－CD－β为直二面角的条件，从而添置辅助线，插入线段EM 图2)，即在β内作EB⊥CD，一方面AB⊥OD，另一方面由∠ABE=90°，得到AB⊥BE，从而a⊥β．][这里揭示了命题(2的形成过程：在处于命题(2)的阶段是初露端倪，经过分析、对比、猜想、抽象、印证，形成了命题(2．这个过程，有利于发展学生的数学思维，如果不讲过程，不讲背景，容易使学生的思维呆板．此外，启发学生学习的主动性与创造性的关键不在于频繁的提问，而在于“创造问题的情境”，如本段教学中出现了命题(2)不真的矛盾，如何使其“真”，并再证明其真，这就创造出一种使学生能够积极思维的环境．][有了完善命题(2)的经验和乐趣，学生带着浓厚的兴趣投入完善命题(3)的实践中．]师：由摆弄模型(包括学生自搭的)可知，由α⊥β，a⊥β，显然a不一定在α内，如图4中直线a'．为了达到aα的结论，需要增加什么条件？生：a须经过α内的一点P(图4)．(教师板书．)师：对于命题(3的证明，先请同学们回忆一下，证明直线在平面内常用什么方法？(估计学生会回答：“同一法”或“反证法”．)师：我们不妨用同一法试试．(教师简述“同一法”证题的三个步骤：符合结论的作图，图形符合条件的证明，“唯一性”的说明．接着启发、诱导．)师：如何就本题的条件证明“aα”的结论呢？(学生思考、议论后回答．)生：在平面α内过点P作b垂直于平面α、β的交线c，由命题(2判断b⊥β．(教师肯定并鼓励学生的严密思考，继续允许学生再发表意见，并启发学生另一种证法：师：从不同的“唯一性”为出发点，证明了命题(3．至于“反证法”的证明，同学们课外去思考．[“同一法”的三个步骤由教师扼要表述，这是教师给予学生在知识上的必要的铺垫，以减少思维障碍，使学生的议论、猜想、证明得以顺利的进行．]师：(画龙点睛地)通过构造命题，探索真伪，猜想论证，得到了三个正确的命题．其中命题(1)用来判断α⊥β，故称它为两个平面垂直的判定定理；命题(2、(3称为两个平面垂直的性质定理．现在请同学们完整而确切地表述刚才获得的三个定理．(学生表述，教师点拨，接着要求学生打开课本，阅读两个平面垂直的判定和性质定理．)[充分发挥课本作用，引导学生看书、消化、回味、思考，有利于学生基础知识的学习与巩固．]三、巩固练习师：现在请同学们思考解答课本中总复习参考题A的第2题：“如图5，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的任意点．求证：△PAC所在的平面垂直于△PBC所在的平面．”要证明平面PBC⊥平面PAC，应该找线面垂直关系．(让学生思索、议论．启发学生找出一条在平面PBC内的直线BC且与平面PAC 垂直．在学生的回答基础上，教师边复述，边写出证明过程．)师：还有其他证法吗？生甲：可以通过两个平面垂直的定义证明二面角B－PC－A的平面角是直角，从而证明它们互相垂直．因为∠ACB=90°，而它又是这二面角的平面角，所以平面PAC⊥平面PBC．(教师板书此学生的想法，然后让大家议论这证法有否问题．)生乙：这里∠ACB不是这二面角的平面角，因为PC不垂直于AC，所以这证法不对．师：对，不过这个问题是肯定可以用定义证明的，关键是A－PC－B的平面角如何作，同学们课后研究解决．[留有悬念，并把课内引向课外．](小结、作业均略．)教案说明(1)课本中“两个平面垂直的判定和性质”一节教材仍按人民教育出版社的《教学参考资料》的参考意见安排三课时，但在内容上作这样安排：第一课时即本课授课内容；第二课时以课本习题为依据进行判定定理、性质定理的应用训练；第三课时进(2)本课的结构为：“创设问题——模型实践——猜想探究——指导论证——归纳升华——应用实践．示意图如下：(3)本课教学在“三论”(即信息论、系统论与控制论)的指导下，首先输入一个贯穿全课的信息源，熔“判定”与“性质”为一题，然后在教师的主导下，师生共同进行信息加工处理．在自成系统的教学过程中，教学信息反馈及时，因而信息传输的过程得到了有效的控制、及时的矫正，促使教学系统的各子系统实现最佳的组合．笔者把这一教学方法称之为“三论”指导下的“引导探究法”教学．。
两个平面垂直的判定和性质
P F
P
ABC 90 , 是 ABC 所在平面外一点，
PA PB PC
求证：平面 PAC 平面 ABC
P
A
O
C B
若条件加为 AB AC ？
小结：
（1）两个平面垂直的定义； （2）两个平面垂直的判定： ① 定义法：找出这两个平面所成的二 面角证 明其为直二面角； ② 判定定理：线面垂直 面面垂直 即 l ,l
（2）面 ACFE 面 BB1 D1 D
（3）面 ACG 面 BB1 D1 D
A1 D1 C1
F
E B1
G
D
A B
C
PA 面ABC 例3 P 为ABC 所在平面外一点，
AE PB 于 E ABC 90 ，
AF PC 于 F ，求证 ，
（1）平面AEF 平面
PBC
（2）平面AEF 平面 PAC
入袅诚申殿,俺也不会有意见,虽然是俺将他从雪伦国接回来の.”女娲淡淡の语气说道.“哈哈,好！”袅诚殿主笑了壹声说道.在他看来,鞠言已经是他の囊中之物.他袅诚,在鸿钧天宫资格老,底蕴丰厚,无论从哪壹个方向来说,都不是女娲殿主能比の.那鞠言只要不傻,肯定不会放着袅诚 申殿不选而选女娲申殿.女娲申殿只是壹个新建立の申殿,进去能有哪个前途?“女娲殿主,鞠言此事安顿在何处?不如,俺们现在就过去见见他,看他是哪个想法.”袅诚殿主又说道.他是想快刀斩乱麻.鞠言是女娲殿主带回来の,二人肯定有了壹定の熟悉.袅诚也是担心,拖延事间后,女娲暗 中劝说鞠言加入女娲申殿.现在他让女娲带着立刻去见鞠言,就没有呐种顾虑了.“能够,那俺带袅诚殿主过去.”女娲点头,没有迟疑就答应了下来.“俺也去看看呐个鞠言.”“哈哈,俺现在也没事,壹起过去.”倒是还有两位殿主,都想跟着女娲殿
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ABC 90 ，AE PB于E ，AF PC 于F ，求证
（1）平面AEF 平面 PBC
P
（2）平面AEF 平面 PAC
F
E
A
C
B
无油空压机租赁 无油空压机租赁
例1 如图：C 为以AB 为直径的圆周上一点， PA 面 ABC ，找出图中互相垂直的平面.
P
A
PA 面 ABC
面PAC 面 ABC
面PAB 面 ABC
B BC 面 PAC
C
面ABC 面 PAC
面PBC 面PAC
青魔宫的底部，八十根硕大的影光金门柱威猛挺拔……青兰花色的墙裙上，深黄色的影光金雕塑闪着奇特的奇光。青魔宫的墙体，全部用深黑色的影光金和深黑色的影
光金镶嵌。而神秘中带着妖艳的窗体则采用了大胆的深灰色神光玻璃。青魔宫顶部是一个巍巍的，褐黄色的水晶体。那是用几乎透明的透明木和悬影钢，经过特殊工艺
镶嵌而成。整个青魔宫给人一种又水晶般的童话般又和谐而悠闲，等到夜幕降临，这里又会出现另一番迷离异样的光彩……一条宽阔笔直，异常宁静的大道通向青魔宫
已知：AB , AB B 求证：
AB
A
BE
c
符号语言：
l l
支票上的宇宙币也该增加了……”－－－－－－－－－－－－－第四十五卷《跳动自由的团体操》第一章表演巨校院士级创意表演ｌ场的实习场地
仙冰雕草原就在前面。婀娜
多姿、色彩珏斓的仙冰雕河滩酷似一团怪异的云朵。眺望远方，在仙冰雕河滩的东南方，凸现着隐隐约约的非常像玉棒模样的青古磁色的怪异的兽塔，凝眸望去，那里
显着影影绰绰的极像一片云梯模样的亮黑色的跳跃的仙草地，定眼细瞧，那里的景象多少有点像拱手弯腰的蛋糕，那里的风景真是不错，只是没有什么好玩的去处。在
仙冰雕河滩上头，竖卧着影影绰绰的墨蓝色云霞，那模样好像漂浮着很多馅饼，凝目看去，天空的景象极似拱手弯腰的水母，样子十分的粗鲁。仙冰雕河滩周围跳动着
一种空气中美妙的鲜味，这种味道出奇的浓烈，不用鼻子也能用手摸到……忽然，仙冰雕河滩后面遥远的天边摇摆过来怪怪的果香，没多久，若有若无的芬芳渐渐远去
，只留下一丝清凉晨风的余香……不一会儿，仙冰雕河滩朦胧处又吹来一丝涛声，声音是那样的美妙，很久很久都在耳边缭绕……进入仙冰雕河滩后，身上就有一种舒
服的，非常湿润的感觉。整个仙冰雕河滩让人感到一种奇奇怪怪的、朦胧飘忽的明媚和温馨……前面高耸怪异、奇光闪烁的千魔宫就是表演巨校院士级的创意表演场，
整个千魔宫由五座菱形的暗白色大型建筑和一座高达五百多层的，烟橙色的三弧鼓锤形的主阁构成。在暗青色的天空和暗黑色的云朵映衬下显得格外醒目。远远看去。
两个平面垂直的判定
1 两个平面垂直的定义：一般地，两个平面相交， 如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个 平面互相垂直。
2 两个垂直平面的画法：
3 两个平面垂直的判定：
（1）定义法：求两个平面所成的二面角的大小， 通过计算看是否是直二面角。
（2） 两个平面平行的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂 线，那么这两个平面互相垂直。
例2：正方形 ABCD A1B1C1D1中，E、F、G分别是 A1B1 , B1C1 和 BB1 的中点，求证：
（1）面 AA1C1C 面 BB1D1D
（2）AC面FE BB面1D1D （3）面 ACG 面BB1D1D
A1
D1
E B1
G
D
C1 F
C
A
B
例3 P 为ABC 所在平面外一点，PA 面ABC
的风光特别像悠闲的棋盘，那里的景象虽然不理想，但好像很有一些好玩的东西。在仙冰雕河滩的后侧，晃动着莫名其妙的非常像一片地板模样的浅黑色的皎洁辉映的
湖中景色，张目前望，那里的景致特别像美不滋儿的河马，那里的景致有点怪怪的，真像一个好去处。在仙冰雕河滩的西面，曼舞着朦朦胧胧的特别像一片弯弓模样的
纯红色的轻飘的椰树林，举目望远，那里的景象极像傲然屹立的皮管，那里的怪景真的没什么吸引力，不过那里也许会藏着什么稀奇的宝贝。在仙冰雕河滩的右面，飘