最优控制理论第二次作业.doc

4题任选2题

1.一质点沿曲线()y f x =从点（0 ,8）运动到（4 ,0） ,设质点运动速度为x ,问曲线取什么样的形状 ,质点运动的时间最短？ 解答：取两点之间的连线直线为质点运动时间最短曲线。

2.设有一阶系统x x u •

=-+ ,()03x = ,试确定控制函数()u t ,在t=2时 ,把系统转移到零状态 ,并使泛函

()2

20

1J u dt

=+⎰

取极小值 ,如果把系统转移到零态的时间不固定 ,那该如何求解？ 解答：t=2时的系统转移到零时刻 ,

2112H 020

1112201(t)(t)(t )e 2

3

(0)3,(2)0(t 32

t t

u x u H

x H

x x x u

H

u u

u x x x x d dx C

C e x C x x x λλλλ

λ

λλ

λλλλλ--=∂=-→=-∂∂=-→=-+∂∂=→+=∂→

⎧⎛

⎫=-+---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⇒=⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪-=-⎝⎭⎩

=→=+==⇒=+做汉密尔顿函数：（1+）+(-+)

欧拉方程：状态方程：控制方程：消除代入边界条件：

)e 3(t)2

t t

u e --⇒=-

222111(t )0(1)()0

t 21230

33(t 3)e e 22C 31e C t +6+C 22f f f f f

t

t f t f H u x u u ux u x u θ

θλλ---∂=-=→++-+=∂=-→+-==+=-=移动到零态的时间不固定则还要符合条件

由于则将和代入

（）

无法继续。。。。。。

3.已知线性二阶系统的微分方程及初始条件为

12x x •

= ,()101x = 2x u •= ,()201x =

求最优控制()u t ,使下列性能指标分别为最小 （a ）1

20J u dt =⎰ ,()111x =

（b ）20

f t J u dt =⎰ ,()()21f f f x t c t t ==-（f t 可变）

（c ）20

f t J u dt =⎰ ,()()()212,0f f f f x t c t t x t ==-=

解答：（a ）

2122122111

212112H ,0,(t)C (t)C C H

0202

f u x u H

x x x x u H

x

t u u t u λλλλλλλλλλ=++∂=

→==∂∂=-→==∂=→=∂=→+=→=-∂本题为t =1，终端固定的最优解问题正则方程：

控制方程：

211222

231112123

231

113122(t)24

(t)412

(0)11,1

(1)11111212

(t)t 1(t)3t 1C C

x t x t C C C

x t C x t C t C x C C C x C x t x =-

→=-+=-+→=-++=→===→-++=⇒=⇒=-++=-+边界条件 （b ）

232

1111C =1,C =1(t )t (t )(

)(t )(t )

1

f f T

f f f x M v x v C λ=-∂=→∂==同理可以得到

4.设受控系统为12x x •= ,23x x •= ,3x u •

= ,试写出在约束()1u t ≤条件下 ,系统由初始条件()()()1230000x x x ===转移到目标集

()21f

f x t t = ,()()2

23f f x t x t = ,且使性能指标()220

f

t f f J t x t u dt =+⎰为

最小的最优控制必要条件 ,其中f t 未定。