二分法求解单变量方程matlab

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【精品】浅析二分法及其Matlab和C程序实现

【精品】浅析二分法及其Matlab和C程序实现

浅析二分法及其Matlab和C程序实现第一部分:二分法浅析用二分法求方程的近似解是紧跟在“函数的零点”之后的教学内容。

从联系的角度看,前面一节,学生已经学习了方程的根与函数的零点之间存在着对立统一的关系,这一节则是介绍一种具体的方法来运用这一关系解决问题。

从整个教材来分析,这一部分的内容是在“函数的应用”这一大章节之下。

新课程标准中强调函数的应用性,这里包括两个方面:一方面是函数在生活实践中的应用,函数建模等内容属于这个范畴;另一方面则是函数在数学自身范围内的应用,“二分法”即是其中的代表。

基于以上的分析,笔者给出了以下的一些教学建议,与读者朋友们分享。

一、为什么要用二分法就通过试验缩小搜索区间来讲,试验点不一定取中点,取其他的点也可以,那么为什么取中点呢?下面以搜索区间为[0,1]的情况作讨论。

一种对所有搜索区间为[0,1]的方程f(x)=0都适用的方法,即对集合G={f(x)=0,f (x)连续,且f(0)·f(1)<0}中的所有方程都适用的方法.一个合理的假设是:G中所有方程f(x)=0的根在[0,1]上均匀分布.设试验点是c,那么c将[0,1]分成[0,c]和[c,1]两部分,它们的长度分别是c和1-c.由假设,通过试验保留的搜索区间是[0,c](即方程f(x)=0的根在[0,c]中)的概率是c,通过试验保留的搜索区间是[c,1]的概率是1-c.因此,通过一次试验保留的搜索区间的期望长度为c2+(1-c)2=2c2-2c+1=2(c-)2+,容易看出,当c=的时候,通过一次试验保留的搜索区间的期望长度最小。

这就是取中点作为试验点的原因。

二、引入方法方法1:已知商店里一件商品的利润y与它的价格x之间满足函数关系y=x2-4x+3,请画出这个函数的图像,并思考当价格为多少元的时候商店不盈也不亏.方法2:创设问题情景:蹦极运动.设下落的时间t秒.人离开参照点“礁石尖端”的位移为S(S=0表示人在礁石点处,向下取负,向上取正),开始下落时,时间t=0,在t ∈[4,6]时的变化如下表:问:这段时间内人有几次通过礁石尖端处?方法3:使用“幸运52”猜测商品价格的游戏作情景.方法4:(1)请同学们思考下面的问题:能否解下列的方程①x2-2x-1=0②lg x=3-x③x4-3x-1=0(2)特殊入手:不解方程求方程x2-2x-1=0的近似解(精确到0.01).方法1、2、3都是以“实际问题”为情境引入.方法4以学生已有的认知水平:会求一元二次方程的实数解,对应二次函数的图像与二轴的交点坐标.让学生探究具体的一元二次方程的根与其对应的一元二次函数的图像与二轴的交点的横坐标的关系,再探究一般的一元二次方程的根与其对应的一元二次函数的图像与x轴的交点的横坐标的关系.三、函数零点的处理用二分法求方程近似解的理论基础是零点存在定理.下面我们来看看教材上描述的零点存在定理.如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间[a,b]内有零点即存在c∈(a,b),使f(c)=0.由此可见,定理的题设部分有两个条件:(1)y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线;(2)f(a)f(b)<0.学生在运用这个定理时往往会存在以下疑问:①我怎样去判断某一函数的图像在某一区间是连续不断的呢?②y=f(x)满足条件(1)(2)就一定存在零点,那么是否只存在一个零点呢?③若把条件(2)改为f(a)f(b)>0,则y=f(x)在(a,b)是否就不存在零点呢?对于问题①,我们可以告诉学生我们前面所学的一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数在它们各自的定义域内图像都是连续的.这些函数经过加减乘除或经过复合而成的新的函数在各自的定义域内图像仍然是连续的.对于问题②,主要通过观察函数图像来总结.(1)对全部零点为单重零点既对应方程无重根的情况.y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线且f(a)f(b)<0,则y=f(x)在(a,b)上有奇数个零点.若y=f(x)在区间[a,b]上单调则y=f(x)在(a,b)上有唯一零点.y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线且f(a)f(b)>0,则y=f(x)在(a,b)上有偶数个零点.若y=f(x)在区间[a,b]上单调则y=f(x)在(a,b)上有无零点.可以看出连续函数的零点具有一个很重要的性质:函数的图象如果是连续的,当它通过零点时,函数的值变号,也就是图象要经过该点要穿越x轴.(2)对多重零点的情况从图7、图8可以看出偶数重零点不穿过x轴;奇数重零点穿过x轴.函数若有一零点为多重零点,当该零点为偶重零点时,图象通过该零点时,函数值不变号,也就是图象经过该零点而不穿越x轴.当该零点为奇重零点时,图象经过该点时函数值要变号,也就是图象经过该零点且穿越x轴.处理好这个问题是本节课的关键.四、精度精确度的说明是一个无法避免的问题,而且需要和初中学习的“精确到”有所区分.教学中不可能让学生掌握严格的、形式化的定义,而且教科书对此也作了简化处理:对于达到精确度ε的界定是只要精确值所在区间的长度小于ε,那么这个区间的所有的值就都是满足精确度ε的近似值.那么,如何让学生明白这个含义呢?一个可行的方法就是通过简单例子来说明问题.最后,在学生思考、讨论及进一步分析的基础上给出精确度的含义:“一般地,对于数值x,如果要获得它的满足精确度0.01的近似值,就是找到一个包含x的区间[a,b],只要|a-b|<0.01即可.”五、二分法的定义与步骤利用二分法求方程的近似解时,学生用二分法求方程的近似解最大的困难就是第一步.第一步确定初始区间不好把握.要引导学生先研究函数的性质,画出函数大致图象,再确定初始区间.如果我们对函数的性质不了解,不能画出大致图象,问题比较麻烦,只能采用尝试的办法去搜索它的初始区间.六、信息技术的使用有意识借助计算器和几何画板帮助学生探究得到零点个数,下面以E xc el为例引导学生求y=ln(2x+6)+3-3x的零点.先用画函数图象工具画出函数图象.确定初始区间为[1,2],然后确定第一次迭代时每个单元格的公式,最后填充即可:x1(x1+x2)/2x2f(x1)f((x1+x2)/2)f(x2)f(x1)f(x2)f((x1+x2)/2)f(x1)f((x1+x2)/2)f(x2)精度迭代次数11.522.0794420.001072-3.69741-7.6885581540.002229483-0.00396111.51.7520.001072-1.58723-3.69741-0.003964201-0.0017017555.8686460.521.51.6251.750.001072-0.73642-1.58723-0.001701755-0.0007895521.1688620.2531.51.56251.6250.001072-0.35445-0.73642-0.000789552-0.0003800290.2610250.12541.51.531251.56250.001072-0.1735-0.35445-0.000380029-0.0001860160.0614970.062551.51.5156251.531250.001072-0.08543-0.1735-0.000186016-9.15918E-050.0148220.0312561.51.5078131.5156250.001072-0.04198-0.08543-9.15918E-05-4.50126E-050.0035870.01562571.51.5039061.5078130.001072-0.02041-0.04198-4.50126E-05-2.18796E-050.0008570.81.51.5019531.5039060.001072-0.00966-0.02041-2.18796E-05-1.03521E-050.0001970.91.51.5009771.5019530.001072-0.00429-0.00966-1.03521E-05-4.59805E-064.14E-050.001953125101.51.5004881.5009770.001072-0.00161-0.00429-4.59805E-06-1.72346E-066.89E-060.000976563111.51.5002441.5004880.001072-0.00027-0.00161-1.72346E-06-2.8677E-074.3E-070.000488281121.51.5001221.5002440.0010720.000402-0.00027-2.8677E-074.31423E-07-1.1E-070.000244141131.5001221.5001831.5002440.0004026.75E-05-0.00027-1.07627E-072.71495E-08-1.8E-080.141.5001831.5002141.5002446.75E-05-1E-04-0.00027-1.80465E-08-6.74688E-092.67E-086.10352E-05151.5001831.5001981.5002146.75E-05-1.6E-05-1E-04-6.74688E-09-1.09724E-091.63E-093.05176E-05161.5001831.5001911.5001986.75E-052.56E-05-1.6E-05-1.09724E-091.72755E-09-4.2E-101.52588E-05171.5001911.5001951.5001982.56E-054.67E-06-1.6E-05-4.16389E-101.19598E-10-7.6E-117.62939E-06181.5001951.5001961.5001984.67E-06-5.8E-06-1.6E-05-7.59619E-11-2.70718E-119.43E-113.8147E-06191.5001951.5001961.5001964.67E-06-5.6E-07-5.8E-06-2.70718E-11-2.62675E-123.26E-121.90735E-06201.5001951.5001951.5001964.67E-062.05E-06-5.6E-07-2.62675E-129.59574E-12 -1.2E-129.53674E-07211.5001951.5001951.5001962.05E-067.46E-07-5.6E-07-1.15526E-121.53249E-12-4.2E-134.76837E-0722七、二分法思想的应用注意用二分法的思想解决其他问题.(2006浙江16题)设f(x)=3ax,f(0)>0,f(1)>0,求证:(Ⅰ)a>0且-2<<-1;(Ⅱ)方程f(x)=0在(0,1)内有两个实根.证明:(I)(略)(II)解法1:抛物线的顶点坐标为,利用二分法思想在的两边乘以,得.又因为而所以方程在区间与内分别有一实根。

matlab方程求解实例

matlab方程求解实例

方程求根一、二分法1.用二分法求方程[]5.1,1013在区间=--x x 内的一个实根,要求两次近似值之间的误差不超过0.001。

解:用MA TLAB 求解:function rtn=bisection(fx,xa,xb,n,delta)x=xa;fa=eval(fx);x=xb;fb=eval(fx);disp(' [ n xaxb xc fc ]'); for i=1:nxc=(xa+xb)/2;x=xc;fc=eval(fx);X=[i,xa,xb,xc,fc];disp(X),if fc*fa<0xb=xc;else xa=xc;endif (xb-xa)<delta,break,endend输入:f='x^3-x-1';bisection(f,1,1.5,20,10^(-3))运行得:x0 =144 169 225y0 =12 13 15y =13.2302[ n xa xbxc fc ] 1.0000 1.0000 1.50001.2500 -0.29692.0000 1.2500 1.50001.3750 0.22463.0000 1.2500 1.37501.3125 -0.05154.0000 1.3125 1.37501.3438 0.08265.0000 1.3125 1.34381.3281 0.01466.0000 1.3125 1.3281 1.3203 -0.01877.0000 1.3203 1.3281 1.3242 -0.00218.0000 1.3242 1.3281 1.3262 0.00629.0000 1.3242 1.3262 1.3252 0.00202.求方程01)(3=--=x x x f 在区间[1,2]内的根,取精度510-=ε。

解:MATBLE 编程:function [x_star,it]=bisect(fun,a,b,ep)%%fun 为求根函数%%ep 为精度要求%%a ,b 为初始区间端点if nargin<4 ep=1e-5;endfa=feval(fun,a);fb=feval(fun,b);if fa*fb>0errorendk=0while abs(b-a)/2>=epx=(a+b)/2;fx=feval(fun,x);if fx==0breakendif fx*fa<0b=x;fb=fxelsea=x;fa=fxendk=k+1endx_star=(a+b)/2it=k输入:fun =@(x)(x^3-x-1);[x_star,it]=bisect(fun,1,2)运行得:x_star=1.3274It=16二、迭代法1.一般迭代法求解方程:.105.101)(5-03===--=ε附近的根,取精度在x x x x f 解:MATBLE 编程:function [x_star,it]=iterate(phi, x, ep, it_max) %% phi ()为迭代函数, %%x 为起始点, %%ep 为精度要求, %%it_max 为最大迭代次数。

二分法求根算法说明及Matlab代码实现

二分法求根算法说明及Matlab代码实现

二分法求根算法说明及Matlab 代码实现定义:二分法(Bisection method ) 即一分为二的方法. 设[a ,b]为R 的闭区间. 逐次二分法就是造出如下的区间序列([an ,bn]):a0=a ,b0=b ,且对任一自然数n ,[an+1,bn+1]或者等于[an ,cn],或者等于[cn ,bn],其中cn 表示[an ,bn]的中点.(这个百度百科的定义,对于非专业人士来说,这个定义有点模糊,不好理解,下面我通过图形的方法来更好的理解二分法求解的过程。

)下面先看一下基本的定理定理:如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不间断的一条曲线,并且有()(b)0f a f ⋅<,那么函数()y f x =在区间(),a b 内有零点,即存在(),c a b ∈使得()0f c =,这个c 也就是方程()=0f x 的实数根。

下面我们通过图形的方式进行说明以二次函数为例,通过下图可以清晰的看出,()f x 在区间(),a b 是单调的,并且()0f a <,(b)0f >,因此,存在一个c 点使得()0f c =,既存在一个实根c 。

图1 函数单根说明图2 二分法求解过程二分法求解过程如图2所示,()f x 在区间(),a b 是单调的,并且()0f a <,(b)0f >,因此存在一个实根c 。

下面分析一下求解过程:1、假设一个根,02a b x += 2、判断0()f x 的正负号,如果0()0f x <,012x b x += 如果0()0f x >,012a x x +=3、判断1()f x 的正负号,如果1()0f x <,122x b x += 如果1()0f x >,122a x x +=4、这样一直迭代下去,直至找到找(c)=0f 的那个c 点, 在数值计算是,得到精确的解往往是不现实的,通常设置一个误差范围,即(c)=0f δ>,当δ足够小的时候,也就认为c 是()f x 在区间(),a b 上的根了。

MATLAB计算方法迭代法牛顿法二分法实验报告

MATLAB计算方法迭代法牛顿法二分法实验报告

MATLAB计算方法迭代法牛顿法二分法实验报告实验报告一、引言计算方法是数学的一门重要应用学科,它研究如何用计算机来解决数学问题。

其中,迭代法、牛顿法和二分法是计算方法中常用的数值计算方法。

本实验通过使用MATLAB软件,对这三种方法进行实验研究,比较它们的收敛速度、计算精度等指标,以及它们在不同类型的问题中的适用性。

二、实验方法1.迭代法迭代法是通过不断逼近解的过程来求得方程的根。

在本实验中,我们选择一个一元方程f(x)=0来测试迭代法的效果。

首先,我们对给定的初始近似解x0进行计算,得到新的近似解x1,然后再以x1为初始近似解进行计算,得到新的近似解x2,以此类推。

直到两次计算得到的近似解之间的差值小于规定的误差阈值为止。

本实验将通过对复杂方程的迭代计算来评估迭代法的性能。

2.牛顿法牛顿法通过使用函数的一阶导数来逼近方程的根。

具体而言,对于给定的初始近似解x0,通过将f(x)在x0处展开成泰勒级数,并保留其中一阶导数的项,得到一个近似线性方程。

然后,通过求解这个近似线性方程的解x1,再以x1为初始近似解进行计算,得到新的近似解x2,以此类推,直到两次计算得到的近似解之间的差值小于规定的误差阈值为止。

本实验将通过对不同类型的方程进行牛顿法的求解,评估它的性能。

3.二分法二分法是通过将给定区间不断二分并判断根是否在区间内来求方程的根。

具体而言,对于给定的初始区间[a,b],首先计算区间[a,b]的中点c,并判断f(c)与0的大小关系。

如果f(c)大于0,说明解在区间[a,c]内,将新的区间定义为[a,c],再进行下一轮的计算。

如果f(c)小于0,说明解在区间[c,b]内,将新的区间定义为[c,b],再进行下一轮的计算。

直到新的区间的长度小于规定的误差阈值为止。

本实验将通过对复杂方程的二分计算来评估二分法的性能。

三、实验结果通过对一系列测试函数的计算,我们得到了迭代法、牛顿法和二分法的计算结果,并进行了比较。

二分法,牛顿迭代法,matlab

二分法,牛顿迭代法,matlab

二分法、牛頓迭代法求方程近似解在一些科學計算中常需要較為精確的數值解,本實驗基於matlab 給出常用的兩種解法。

本實驗是以解決一個方程解的問題說明兩種方法的精髓的。

具體之求解方程e^(-x)+x^2-2*x=0,精度e<10^-5;;程序文本文檔如下%%%%%%二分法求近似解cleardisp('二分法求方程的近似解')format longsyms xf=inline('exp(-x)+x^2-2*x');%原函數%通過[x,y]=fminbnd(f,x1,x2)求出極小值點和極小值,進而確定%區間端點,從而確定解區間矩陣CX=[];C=[0 1.16;1.16 2] ; %C(:,1)為解區間的左端點,C(:,2)為解區間右端點ss=length(C); %統計矩陣C的行數,即為方程解的個數for i=1:ssa=C(i,1);b=C(i,2);%f(a)>=0,f(b)<=0e1=b-a;%解一的精度e0=10^-5;%精度ya=f(a);while e1>=e0x0=1/2*(a+b);y0=f(x0);if y0*ya<=0b=x0;elsea=x0;ya=y0;ende1=b-a;endA=[a,b,e1];%解的區間和精度X=[X;A];%解與精度構成的矩陣endX%%%%%%%牛頓迭代法disp('牛頓迭代法解方程的近似解')clear %清空先前變量syms x %定義變量y=exp(-x)+x^2-2*x;%原函數f=inline(y);f1=diff(y); %一階導函數g=inline(f1);format long %由於數值的默認精度為小數點后四位,故需要定義長形X=[];C=[0 1.16;1.16 2] ; %C(:,1)為解區間的左端點,C(:,2)為解區間右端點ss=length(C); %統計矩陣C的行數,即為方程解的個數for i=1:ssa=C(i,1);b=C(i,2);%f(a)>=0,f(b)<=0e0=10^-5; %要求精度i=1; %迭代次數x0=(a+b)/2;A=[i,x0]; %迭代次數,根值的初始方程t=x0-f(x0)/g(x0); %%%%迭代函數while abs(t-x0)>=e0 %%迭代循環i=i+1;x0=t;A=[A;i,x0];t=x0-f(x0)/g(x0);endA ;B=A(i,:);%迭代次數及根值矩陣X=[X;B];endX運行結果如下如若使用matal內置函數fzero,得到如下結果由兩者求得的結果知,使用函數fzero求得的結果精度不夠。

二分法求解单变量非线性方程及其应用与实现(精)

二分法求解单变量非线性方程及其应用与实现(精)

二分法求解单变量非线性方程及其应用与实现论文作者:任珊 2010-10-2720:32:00论文关键词:二分法单变量非线性方程收敛性误差论文摘要:本文主要通过一个实例来研究单变量非线性方程f(x)=0的二分法求解及此方法的收敛性,根据误差估计确定二分次数并进行求解。

同时实现matlab和C语言程序编写。

从而掌握过程的基本形式和二分法的基本思想,在以后的学习过程中得以应用。

1. 引言在科学研究与工程技术中常会遇到求解非线性方程f(x)=0的问题。

而方程f(x)是多项式或超越函数又分为代数方程或超越方程。

对于不高于四次的代数方程已有求根公式,而高于四次的代数方程则无精确的求根公式,至于超越方程就更无法求其精确解了。

因此,如何求得满足一定精度要求的方程的近似根也就成为了我们迫切需要解决的问题。

近年来,随着数学科学研究的不断进展,又更新了许多方程求解的方法。

我们知道,对于单变量非线性方程f(x)=0,一般都可采用迭代法求根,由此产生了二分法。

2. 二分法一般地,对于函数f(x),如果存在实数c,当x=c时f(c)=0,那么把x=c叫做函数f(x)的零点。

解方程即要求f(x)的所有零点。

先找到a、b,使f(a),f(b)异号,说明在区间(a,b)内一定有零点,然后求f[(a+b)/2], 现在假设f(a)<0,f(b)>0,a<b①如果f[(a+b)/2]=0,该点就是零点,如果f[(a+b)/2]<0,则在区间((a+b)/2,b)内有零点,(a+b)/2=>a,从①开始继续使用中点函数值判断。

如果f[(a+b)/2]>0,则在区间(a,(a+b)/2)内有零点,(a+b)/2=>b,从①开始继续使用中点函数值判断。

这样就可以不断接近零点。

通过每次把f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法,使区间的两个端点逐步迫近函数的零点,以求得零点的近似值,这种方法叫做二分法。

二分法matlab

二分法matlab

二分法matlab二分法是一种常用的数值计算方法,也被称为二分查找或折半查找。

它通过将搜索范围逐渐缩小一半来快速定位目标值。

在MATLAB中,我们可以利用二分法来解决一些数值计算问题,下面将介绍二分法的原理和应用。

二分法的基本思想是将搜索范围一分为二,然后确定目标值位于左半部分还是右半部分,然后继续将该部分一分为二。

重复这个过程直到找到目标值或者确定目标值不存在。

二分法的核心就是不断将搜索范围缩小一半。

首先,我们需要确定搜索范围的初始值。

通常情况下,我们会选择数组或者有序列表的首尾元素作为搜索范围的边界。

然后,我们计算出搜索范围的中间位置,并将中间位置的值与目标值进行比较。

如果中间位置的值等于目标值,那么我们就找到了目标值;如果中间位置的值大于目标值,那么目标值可能在左半部分;如果中间位置的值小于目标值,那么目标值可能在右半部分。

根据比较结果,我们可以缩小搜索范围,重复上述步骤直到找到目标值或者确定目标值不存在。

二分法在MATLAB中的应用非常广泛。

下面以两个例子来说明二分法在MATLAB中的使用。

第一个例子是求解方程的根。

假设我们需要求解方程f(x)=0的根,其中f(x)是一个连续函数。

我们可以利用二分法来逼近方程的根。

首先,我们需要确定一个初始搜索范围[a, b],使得f(a)和f(b)的符号不同。

然后,我们可以使用二分法来逐步缩小搜索范围,直到找到一个近似的根。

第二个例子是查找有序列表中的某个元素。

假设我们有一个有序列表A,我们需要查找其中的某个元素x。

我们可以利用二分法来快速确定x是否在列表中,并返回其索引位置。

首先,我们需要确定初始搜索范围的左右边界。

然后,我们可以使用二分法来逐步缩小搜索范围,直到找到x或者确定x不存在于列表中。

二分法是一种常用的数值计算方法,在MATLAB中也有广泛的应用。

通过将搜索范围一分为二,二分法可以快速定位目标值,解决方程的根或者查找有序列表中的元素。

熟练掌握二分法的原理和应用,对于解决一些数值计算问题非常有帮助。

二分法及其matlab程序-经典

二分法及其matlab程序-经典
在MATLAB中,根据计算需求选择合适的数据类型,如双 精度(double)、单精度(single)或整数类型(int), 以避免不必要的精度损失。
避免数值不稳定性
对于涉及大量计算或迭代的过程,要注意数值稳定性问题, 采取适当的算法或技巧,如使用稳定的算法、增加迭代次 数等。
利用MATLAB内置函数
二分法及其matlab程序-经典
目录
• 二分法基本原理 • MATLAB编程实现二分法 • 二分法在数值计算中应用举例 • MATLAB程序优化与改进策略 • 总结与展望
01
二分法基本原理
二分法定义与思想
定义
二分法是一种求解非线性方程近似根的有效算法,其基本思想是通过不断将区间一分为二,逐步缩小求解范围, 直到满足精度要求为止。
end
root = (a + b) / 2;
VS
关键代码片段展示
end
```
运行结果分析与讨论
• 假设我们要求解非线性方程f(x)=x^3-2x-5=0在 区间[2, 3]内的根,可以调用上述bisection函数进 行求解
运行结果分析与讨论
```matlab f = @(x) x^3 - 2*x - 5;
精度控制
当区间长度|b - a|小于给定 精度时,可取中点或任一端 点作为近似最优解。
求解矩阵特征值问题
• 特征多项式构建:对于n阶矩阵A,构建特征多项式f(λ) = |A - λI|。 • 初始区间选择:确定包含特征值的初始区间[a, b]。 • 二分迭代:取中点c = (a + b) / 2,计算f(c)。若f(c) == 0,则c为特征值;否则根据f(a)、f(b)、f(c)的大小关
缺点
二分法收敛速度较慢,需要多次迭代才能得 到精确解,且对于多峰函数或者复杂函数可 能无法找到全局最优解。

二分法matlab程序

二分法matlab程序

二分法二分法基本思路一般地,对于函数f(x),如果存在实数c,当x=c 时,若f(c)=0,那么把x=c 叫做函数f(x)的零点。

解方程即要求f(x)的所有零点。

假定f(x)在区间(x ,y )上连续先找到a 、b 属于区间(x ,y ),使f(a),f(b)异号,说明在区间(a,b)内一定有零点,然后求f[(a+b)/2], 现在假设f(a)<0,f(b)>0,a<b如果f[(a+b)/2]=0,该点就是零点,如果f[(a+b)/2]<0,则在区间((a+b)/2,b)内有零点,(a+b)/2>=a ,从①开始继续使用中点函数值判断。

如果f[(a+b)/2]>0,则在区间(a,(a+b)/2)内有零点,(a+b)/2<=b ,从①开始继续使用 中点函数值判断。

这样就可以不断接近零点。

通过每次把f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法,使区间的两个端点逐步迫近函数的零点,以求得零点的近似值,这种方法叫做二分法。

从以上可以看出,每次运算后,区间长度减少一半,是线形收敛。

另外,二分法不能计算复根和重根。

二分法步骤用二分法求方程()0f x =的根*x 的近似值k x 的步骤若对于a b <有()()0f a f b <,则在(,)a b 内()0f x =至少有一个根。

取,a b 的中点12a b x +=计算1()f x 若1()0f x =则1x 是()0f x =的根,停止计算,运行后输出结果*1x x =若1()()0f a f x <则在1(,)a x 内()0f x =至少有一个根。

取111,a a b x ==;若1()()0f a f x >,则取111,a x b b ==;④ 若12k k b a ε-≤(ε为预先给定的要求精度)退出计算,运行后输出结果*2k k a b x +≈,反之,返回步骤1,重复步骤1,2,3二分法Mtalab 程序syms x;fun=input('(输入函数形式)fx=');a=input('(输入二分法下限)a=');b=input('(输入二分法上限)b=');d=input('输入误差限 d=')%二分法求根%f=inline(x^2-4*x+4);%修改需要求解的inline 函数的函数体f=inline(fun);%修改需要求解的inline 函数的函数体e=b-a; k=0 ;while e>dc=(a+b)/2;if f(a)*f(c)<0b=c; elseif f(a)*f(c)>0a=c;elsea=c;b=cende=e/2; k=k+1;endx=(a+b)/2;x%x 为答案k%k 为次数例题:用二分法计算方程4324100x x x -++=在(-2,2)内的实根的近似值,要求精度为 解:(输入函数形式)fx=x^4-2*x^3+4*x+10(输入二分法下限)a=-2(输入二分法上限)b=2输入误差限 d=得到结果d =x =k =16>>。

二分法及其matlab程序-经典精编版

二分法及其matlab程序-经典精编版

函数值 函数值f(xk) f(bk)
4.000 0
2.125 0
2.125 0
6
0.390 6 -0.716 8
0.390 6 -0.141 8
0.390 6
0.129 6
0.129 6 -0.004 8
0.129 6
0.062 7
0.062 7
0.029 0
0.029 0
0.012 1
4
-1.812 5 -1.750 0
5
-1.812 5 -1.781 3
6
-1.796 9 -1.781 3
7
-1.796 9 -1.789 1
8
-1.796 9 -1.793 0
9
-1.796 9 -1.794 9
中点xk
-1.500 0 -1.750 0 -1.875 0 -1.812 5 -1.781 3 -1.796 9 -1.789 1 -1.793 0 -1.794 9 -1.795 9
运行后输出结果x*=x1.
若f a f x1 0,则在(a, x1 )内f(x)=0至少有一个根. 取a1=a, b1=x1; 若f a f x1 0, 则取a1=x1, b1=b;
1. 用二分法求方程 f(x)=0的根 x*的近似值 xk 的步骤
步骤1.若对于a<b, 有f(a)f(b)<0, 则在(a, b)内f(x)=0至少有一个根.
其中输入的量: 区间端点的值a, b和精度是abtol都是具体 给定的数值, 然后按运行键. 运行后输出计算次数k、使用 k次二分法所得到的小区间[ak, bk]的中点的值x和它的函 数值y(x)及wuca=|bk-ak|/2.

二分法的matlab运用

二分法的matlab运用

数值方法实验班级:2011级数师一班学生姓名:雷宗玲学生学号:4011指导老师:李梦实验时间: 2014年5月30日中文摘要 (II)1引言 (1)2二分法的基本原理 (1)2.1 概述 (1)2.2 二分法的matlab基本程序 (2)2.2.1 实验步骤 (2)2.2.2 matlab的原程序 (3)3二分法的运用 (4)3.1 在实际生活中的运用 (4)3.2 在中学教学中的运用 (4)3.2.1 利用“二分法”思想巧证不等式 (4)3.2.2 利用“二分法”思想巧证一元二次方程根的分布 (5)3.2.3 利用“二分法”思想巧求最值 (6)3.3 在求解方程中的运用 (6)总结 (7)参考文献 (8)摘要:二分法无论在实际生活中,还是在科学上,都占有十分重要的地位。

在实际生活中,通常用来检查电路、水管等等,这是二分法最简单、最本质的一个应用。

在中学教学中,可以用二分法来巧证不等式、一元二次方程根的分布、求最值等等。

在求解n次多项式方程的根时,我们也可以利用二分法讨论一般方程式()0=f的实数根。

本文主要概述二分法的基本思想,并从以上几个方面,x对二分法在实际生活或科学上的应用论述,以便在以后的学习过程中得以广泛的应用。

关键词:查电路;证不等式;根的分布;求最值;求解1 引言在实际问题中,我们经常会遇到求非线性方程(代数方程或超越方程)根的问题。

对n 次多项式方程,由代数学基本定理知它有n 个根(含复数根,重根按重数计)。

而方程f(x)是多项式或超越函数(又分为代数方程或超越方程)。

对于不高于四次的代数方程已有求根公式,而高于四次的代数方程则无精确的求根公式,至于超越方程就更无法求其精确解了。

因此,如何求得满足一定精度要求的方程的近似根,也就成为了我们迫切需要解决的问题。

近年来,随着数学科学研究的不断进展,又更新了许多方程求解的方法。

我们知道,对于单变量非线性方程f (x )=0,一般都可采用迭代法求根,由此产生了二分法。

二分法matlab程序例题

二分法matlab程序例题

二分法matlab程序例题二分法是一种用于寻找函数零点或最小值的数值计算方法。

该方法基于函数连续性和介值定理,通过不断缩小区间范围来逼近函数的零点或最小值。

二分法是一种简单而有效的数值计算方法,常用于解决数学问题和工程计算问题。

在本文中,我们将介绍如何使用Matlab 编写二分法程序,并给出一些例题进行演示。

一、二分法的基本原理二分法的基本原理是将一个区间不断缩小,直到找到函数的零点或最小值。

具体来说,二分法需要满足以下条件:1.函数f(x)在区间[a,b]内连续。

2.函数f(x)在区间[a,b]内有且仅有一个零点或最小值。

3.区间[a,b]的中点c=(a+b)/2。

4.计算函数f(x)在区间[a,c]和区间[c,b]的取值,判断零点或最小值在哪个区间内。

5.重复步骤4,直到找到零点或最小值的精度满足要求。

二、二分法的Matlab程序下面是使用Matlab编写的二分法程序:function [x,fx,k]=bisection(f,a,b,tol,nmax)% f: 要求解的函数% a, b: 区间的左右端点% tol: 精度要求% nmax: 最大迭代次数% x: 求解得到的零点或最小值% fx: 函数f(x)在零点或最小值处的函数值% k: 实际迭代次数% 初始化迭代次数k=0;% 初始化区间长度len=b-a;% 如果区间长度小于精度要求,则直接返回区间中点if len<tolx=(a+b)/2;fx=f(x);return;end% 如果迭代次数超过最大迭代次数,则输出错误信息if k>nmaxerror('Maximum number of iterations exceeded.'); end% 计算区间中点c=(a+b)/2;% 计算函数f(x)在区间[a,c]和区间[c,b]的取值fa=f(a);fc=f(c);% 判断零点或最小值在哪个区间内if fa*fc<0b=c;elseif fc*fb<0a=c;elseerror('Cannot find a zero or minimum.');end% 递归调用bisection函数[x,fx,k]=bisection(f,a,b,tol,nmax);% 迭代次数加1k=k+1;end三、二分法的例题下面我们给出二分法的几个例题进行演示。

数学实验二(matlab中二分法求解方程)

数学实验二(matlab中二分法求解方程)

云南大学数学与统计学实验教学中心实验报告
数学实验(二)
一、实验目的:练习用数值迭代逼近法解非线性方程。

1.区间迭代法:对分法和黄金分割法
2.点的迭代法:简单迭代法
二、实验内容:用二分法(即对分法)编程求解方程。

0123=---x x x
三、实验环境:MATLAB.
四.实验方法:
程序代码:
function X=fan(a,b)
e=1e-2;
ep=1;
x0=a;
xn=b;
x=0;
k=0;
N=100;
while (ep>e)
x=(x0+xn)/2;
f1=x^3-x^2-x-1;
f2=x0^3-x0^2-x0-1;
f3=xn^3-xn^2-xn-1;
if f1*f2<0
x0=a;
xn=x;
elseif f1*f3<0
x0=x;
xn=b;
end
ep=abs(f1);
k=k+1;
if k>N
break;
end
x
ep
实验结果:
fan(a,b)
x =
1.8572
ep =
0.0993
五、实验过程
1实验步骤
2 关键代码及其解释
3 调试过程
六、实验总结
1.遇到的问题及解决过程
2.产生的错误及原因分析
3.体会和收获。

二分法matlab

二分法matlab

二分法matlab二分法是一种常见的数值计算方法,也称为折半查找法。

它的主要思想是将一个区间分成两个部分,判断目标值在哪个部分,然后继续对该部分进行二分处理,直到最后找到目标值为止。

在Matlab中,可以用以下代码实现二分法:function [x] = binary_search(f, a, b, tol)% f: 待求解函数% a,b: 初始区间% tol: 精度要求while abs(b-a) > tolx = (a + b) / 2;if f(x) == 0return;elseif f(x) * f(a) < 0b = x;elsea = x;endendx = (a + b) / 2;其中,f表示待求解的函数,a和b表示初始的区间,tol表示精度要求。

在每次循环中,先计算出当前区间的中点x,并判断f(x)与0的大小关系。

如果f(x)=0,则直接返回x;如果f(x)*f(a)<0,则说明目标值在左半部分区间内,则将右端点b更新为x;否则说明目标值在右半部分区间内,则将左端点a更新为x。

循环直到满足精度要求为止。

下面是一个简单的例子:假设我们要求解方程sin(x)=0.5在[0, pi/2]内的一个近似解。

可以定义函数f(x)=sin(x)-0.5,然后调用binary_search函数求解。

function [x] = f(x)x = sin(x) - 0.5;endx = binary_search(@f, 0, pi/2, 1e-6);最终得到的近似解为x=0.523599。

二分法是一种简单而有效的数值计算方法,在Matlab中也很容易实现。

它可以用于求解方程、寻找极值等问题,是数值计算中常用的基本工具之一。

二分法matlab程序 (2)

二分法matlab程序 (2)

二分法matlab程序简介二分法(Bisection Method)是一种用来寻找函数方程的根(即零点)的方法。

它通常用于连续且单调的函数,并且在初始区间内存在一个根。

二分法通过将初始区间一分为二,并根据函数值的符号确定新的区间,反复迭代直到满足预设的精度要求。

在本文档中,我们将使用Matlab编程语言实现二分法算法,并提供一个完整的程序示例。

算法步骤1.确定初始区间[a, b],其中函数在区间两端点a和b的函数值异号,即f(a) * f(b) < 0。

2.计算初始区间的中点c,即c = (a + b) / 2。

3.计算函数在中点处的函数值f(c)。

4.如果f(c)接近零,则中点c就是函数的根,终止算法。

5.如果f(c)与f(a)异号,则根位于[a, c]区间内,令b = c,并返回步骤2。

6.如果f(c)与f(b)异号,则根位于[c, b]区间内,令a = c,并返回步骤2。

7.重复步骤2~6,直到达到预设的迭代次数或满足预设的精度要求。

Matlab程序示例下面是一个使用Matlab语言实现二分法算法的程序示例:function root = bisectionMethod(f, a, b, maxIterations, precision)for i = 1:maxIterationsc = (a + b) / 2;fa = f(a);fc = f(c);if abs(fc) < precisionroot = c;return;endif fa * fc < 0b = c;elsea = c;endenderror('Failed to converge within the maximum number of iterations'); end% 示例:求解函数 f(x) = x^3 - x - 2 的根f = @(x) x^3 - x - 2;a = 1;b = 2;maxIterations = 1000;precision = 1e-6;root = bisectionMethod(f, a, b, maxIterations, precision);disp(root);在上述示例中,我们定义了一个名为bisectionMethod的函数,用于实现二分法算法。

二分法、简单迭代法的matlab代码实现

二分法、简单迭代法的matlab代码实现

b、g(x)=cos(sin(x))
二分法求方程: (1)、 在 matlab 的命令窗口中输入命令: >> fplot('[cos(sin(x))]',[-4,4]);grid 得下图:
由上图可得知:方程在[-4,4]区间无根。
(2)、二分法输出结果
>>f='cos(sin(x))'
f=
cos(sin(x))
二分法求方程: (1)、 在 matlab 的命令窗口中输入命令: >> fplot('[x^5-3*x^3-2*x^2+2]',[-3,3]);grid 得下图:
由上图可得知:方程在[-3,3]区间有根。
(2)、二分法输出结果 >> f='x^5-3*x^3-2*x^2+2'
f=
x^5-3*x^3-2*x^2+2
胚谷糕识妹顾互浦幻沸承彦笼柯化回喧冠扔四曾楔懂曝论袍参剩研侄季掷齿煽宣骤隧钳随墙漓愚绒目淮溪扑藏资孜姆窝书展有僵锗行良淌稻壁否贩汀范围喜泵嘴坦岭俞遏烧夺卧砍腐届氢聂吉今盂莽简万曳拖私遣严麓素煮辈虎驼玛骄阿畅旷行近溜春纯鳖森痘少爆倾稻晰的恢寸醋坎骸链病匀妮档典就补极竣吠随钟富苔锡拜额沧秀犀续怪奋蓑汉蟹悬目泵范诈炉隋挤稿歼恭淑闷截丘衔逢巡煎派恼蜂猫油际视之板奸衍壁嫂键昨迎胀敷哆御呵尿函犯膜为矣吁旷元佬贷潜牟僵桌涯萌幢轿豫蛮蛾呵羌酶完拈贾华漱陨睬何蓖隙剖纺舶须冤去孺颧忆丛臃痒耽渔抨精母思钱汰挝氛狂芯胁染痉娇群工沪实验一 非线性方程的数值解法(一) 信息与计算科学金融 崔振威 201002034031 实验目的: 熟悉二分法和简单迭代法的算法实现。 实验内容: 教材 P40 2.1.5 实验要求

matlab二分法

matlab二分法

matlab二分法Matlab二分法是一种迭代算法,它可以用来求解一元函数f(x)在给定区间[a,b]上的根。

Matlab二分法的原理是,先确定一个初始的搜索范围[a,b],然后以其中点作为分割点,对上下区间的函数值的符号进行判断,根据函数值的符号加以分割,直到确定出最终的搜索范围,即根的范围。

Matlab二分法主要包含以下几步操作:(1)确定搜索范围首先,确定搜索范围[a,b],并将它写成f(a) · f(b) < 0的形式。

若f(a) · f(b) > 0,说明在这个区间上函数没有根,可以把它划分到新的区间上,直到把它分割成两个满足f(a) · f(b)< 0的区间。

这样搜索范围就确定下来。

(2)取中点接下来,利用确定的搜索范围[a,b],取中点c,并依次求出f(a),f(b),f(c)的值,进行比较判断。

(3)判断函数值的符号若f(c) = 0,则c即为函数f(x)在区间[a,b]上的根;若f(c) ≠ 0,则继续按照该方法进行迭代计算,根据f(a) · f(c)与f(b) · f(c)的符号之间的关系,可以确定新的搜索范围,如果f(a) · f(c)>0,那么下一个采样点就是[c,b],如果f(a) · f(c)< 0,就采取[a,c]作为下一个搜索范围。

(4)计算误差如果根的近似值已经确定,则可以计算它的误差,它表示根的准确值c1和近似值c2之间的距离。

其计算公式为E=|f(c1)-f(c2)|,如果误差足够小,即可认为计算结果已经可以接受。

Matlab二分法是一种比较常用的求解一元函数根的方法,它简单易行、收敛速度快,能够得到准确的结果。

它将完整的一元函数f(x)划分为等份子区间,而函数的根可以属于其中的任何一段,从而使得搜索范围大大缩小,使根的搜索更为准确。

但Matlab二分法也有一定的局限性,比如,它是基于直接二分法,可能会出现单调性变化的情况,结果误差较大。

MATLAB计算方法迭代法牛顿法二分法实验报告

MATLAB计算方法迭代法牛顿法二分法实验报告

完美WORD格式姓名实验报告成绩评语:指导教师(签名)年月日说明:指导教师评分后,实验报告交院(系)办公室保存。

实验一 方程求根一、 实验目的用各种方法求任意实函数方程0)(=x f 在自变量区间[a ,b]上,或某一点附近的实根。

并比较方法的优劣。

二、 实验原理 (1)、二分法对方程0)(=x f 在[a ,b]内求根。

将所给区间二分,在分点2a b x -=判断是否0)(=x f ;若是,则有根2a b x -=。

否则,继续判断是否0)()(<∙x f a f ,若是,则令x b =,否则令x a =。

否则令x a =。

重复此过程直至求出方程0)(=x f 在[a,b]中的近似根为止。

(2)、迭代法将方程0)(=x f 等价变换为x =ψ(x )形式,并建立相应的迭代公式=+1k x ψ(x )。

(3)、牛顿法若已知方程 的一个近似根0x ,则函数在点0x 附近可用一阶泰勒多项式))((')()(0001x x x f x f x p -+=来近似,因此方程0)(=x f 可近似表示为+)(0x f 0))(('0=-x x x f 设0)('0≠x f ,则=x -0x )(')(00x f x f 。

取x 作为原方程新的近似根1x ,然后将1x 作为0x 代入上式。

迭代公式为:=+1k x -0x )(')(k k x f x f 。

三、 实验设备:MATLAB 7.0软件四、 结果预测(1)11x =0.09033 (2)5x =0.09052 (3)2x =0,09052 五、 实验内容(1)、在区间[0,1]上用二分法求方程0210=-+x e x 的近似根,要求误差不超过3105.0-⨯。

(2)、取初值00=x ,用迭代公式=+1k x -0x )(')(k k x f x f ,求方程0210=-+x e x的近似根。

要求误差不超过3105.0-⨯。

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二分法求解单变量方程matlab
1、问题:用二分法求解单变量连续函数f(x)在连续区间[a, b]间的零点。

2、Matlab程序2.1、Matlab脚本文件% 调用二分法函数求解[x, iteration] = Erfen(@myfun, -1, 3)2.2、Matlab函数文件function y = myfun(x)%目标求解函数y =
x^2-5; %测试二分法2.3、Matlab函数文件function [x, iteration] = Erfen(f, a, b, tol)% 二分法求解单变量连续函数f(x)在连续区间[a, b]间的零点% 要求f(a)f(b)% iteration = [n x fx a fa b fb]if nargin tol = 1e-4; %设置精度要求endfa = feval_r(f,
a); %f(a)的值fb = feval_r(f, b); %f(b)的值iteration = []; %迭代过程记录n = 0; %迭代步数if abs(fa) x = a;return;elseif abs(fb) x = b;return;elseif sign(fa) == sign(fb)error('fa has the same sign with fb'); %a,b同号endwhile abs(b-a) > toln = n + 1; %迭代步数x = a/2 + b/2; %二等分fx = feval_r(f, x);iteration = [iteration; n x fx a fa b fb];if abs(fx) return;elseif sign(fx) == sign(fa)a = x;elseif sign(fx) == sign(fb)b = x;endendend3、运行结果x
=2.2361iteration =1.0000 1.0000 -4.0000 -1.0000 -4.0000
3.0000
4.00002.0000 2.0000 -1.0000 1.0000 -4.0000 3.0000
4.00003.0000 2.5000 1.2500 2.0000 -4.0000 3.0000
4.00004.0000 2.2500 0.0625 2.0000 -4.0000 2.5000
4.0000
5.0000 2.1250 -0.4844 2.0000 -4.0000 2.2500
4.00006.0000 2.1875 -0.2148 2.1250 -4.0000 2.2500
4.00007.0000 2.2188 -0.0771 2.1875 -4.0000 2.2500
4.00008.0000 2.2344 -0.0076 2.2188 -4.0000 2.2500
4.00009.0000 2.2422 0.0274 2.2344 -4.0000 2.2500
4.000010.0000 2.2383 0.0099 2.2344 -4.0000 2.2422
4.000011.0000 2.2363 0.0012 2.2344 -4.0000 2.2383
4.000012.0000 2.2354 -0.0032 2.2344 -4.0000 2.2363
4.000013.0000 2.2358 -0.0010 2.2354 -4.0000 2.2363
4.000014.0000 2.2361 0.0001 2.2358 -4.0000 2.2363 4.0000。

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