伍德里奇《计量经济学导论》(第5版)笔记和课后习题详解-第14章 高级的面板数据方法【圣才出品】

第14章高级的面板数据方法
14.1复习笔记
一、固定效应估计法
1．固定效应变换
固定效应变换又称组内变换，考虑仅有一个解释变量的模型：对每个i，有
1 1
2 it it i it y x a u t T
β=++=，，，…，对每个i 求方程在时间上的平均，便得到
1i i i i
y x a u β=++其中，11T it t y T y
-==∑（关于时间的均值）。

因为a i 在不同时间固定不变，故它会在原模型和均值模型中都出现，如果对于每个t，两式相减，便得到()1 1 2 it i it i it i y y x x u u t T
β-=-+-=，，，…，或
1 1
2 it it it y x u t T
β=+= ，，，…，其中，it it i y y y =- 是y 的除时间均值数据；对it x
和it u 的解释也类似。

方程的要点在于，非观测效应a i 已随之消失，从而可以使用混合OLS 去估计式1 1 2 it it it y x u t T β=+= ，，，…，。

上式的混合OLS 估计量被称为固定效应估计量或组内估计量。

组间估计量可以从1i i i i y x a u β=++的OLS 估计量而得到，即同时使用y 和x 的时间平均值做一个横截面回归。

如果a i 与i x 相关，估计量是有偏误的。

而如果认为a i 与x it 无关，则使用随机效应估计量要更好。

组间估计量忽视了变量如何随着时间而变化。

2．原始的非观测效应模型
1122 1 2 it it it k itk i it y x x x a u t T
βββ=++⋅⋅⋅+++=，，，…，只需对每个解释变量（包括诸如时期虚拟变量）都除去其时间均值，然后利用全部除时间均值后的变量做混合OLS 回归即可。

在解释变量的严格外生性假定下，固定效用估计量是无偏的：粗略地说，特异误差u it 应与所有时期的每个解释变量都无关。

固定效应估计量如一阶差分估计量一样，容许a i 与任何时期的解释变量任意相关，因为在时间上恒定的解释变量都必定随固定效应变换而消失。

3．固定效应估计量自由度的决定
用混合OLS 估计除时间均值的方程时，总共有NT 个观测值和k 个自变量（截距被固定效应变换消去了），而对于每一个横截面，在时间上取均值都会损失一个自由度，故N 个个体要损失N 个自由度，正确的自由度是
()1df NT N k N T k
=--=--4．衡量拟合优度
根据组内变换计算的R 2，应把它解释为y it 的时间变异被解释变量的时间变异所解释的部分。

5．虚拟变量回归
对每个i 估计一个截距，连同解释变量一起给每一个横截面观测（单位）安排一个虚拟
变量（也许还给每个时期安排有虚拟变量）。

这一方法常被称为虚拟变量回归。

虚拟变量法的特点：
①即使N 还不是很大时，使用此法都会导致产生许多解释变量，以致在大多数情况下，解释变量多到无法进行回归的程度。

因此，虚拟变量法对含有许多横截面观测（单位）的面板数据集来说不是很现实。

②它所给出的j β估计值与用除均值数据所做回归得到的估计值恰好一样，而且标准误和其他主要统计量也一样。

因此，固定效应估计量可以由虚拟变量回归得到。

③可以直接算出恰当的自由度。

④从虚拟变量回归算出的R 2通常都比较高。

这是因为对每一横截面都包含一个虚拟变量，以至于能解释数据中的大部分变异。

⑤从虚拟变量回归得到的R 2，可按通常方法用于计算F 检验。

ˆi a 的计算：11ˆˆˆ....12i ik i k
i a y x x i N ββ=---= ，，，，6．是固定效应（FE）还是一阶差分（FD）
估计非观测效应模型的两种方法：一种是取数据的差分，一种是除时间均值。

两种方法的选择：
（1）当T＝2时，FE 和FD 的估计值及其全部检验统计量完全一样，故可随便选用一种。

这种等价是建立在估计相同的模型，因此为了使FE 估计与包含截距的FD 估计完全相同，必须在FE 估计中包含表示第二个时期的虚拟变量。

在T＝2时，取一阶差分有一个好处：几乎无论用什么计量经济学软件包，一阶差分法都直截了当地实施，而且在FD 估计之后，还很容易计算异方差—稳健的统计量。

（2）当T≥3时，FE和FD估计量便不相同。

在混合OLS假定成立的条件下，二者都是无偏与一致的，对于较大的N和较小的T，FE和FD之间的选择关键在其估计量的相对效率，而这将由特异误差u it中的序列相关性决定。

①当u it无序列相关时，固定效应法比一阶差分更有效，并且得自固定效应的标准误是确当的。

因为固定效应模型的特异误差是序列无关的。

②如果u it遵循一个随机游走（就是说有一个很强的正的序列相关），那么差分
u 便序
it
列无关，这时一阶差分法便更好。

但在许多情形中，u it表现出某种正的序列相关，却未必达到一个随机游走的程度，这时要比较FE和FD估计量的效率就不那么容易。

一个重要的理论事实是，FD估计量中的偏误不取决于T，而FE估计量中的偏误则以速度1/T趋于零。

当FE和FD给出明显不同的结果时，通常在两者之间作出取舍就很困难。

应同时报告两组结果并试图判断差异的原因所在。

7．非平衡面板数据的固定效应法
在一些面板数据集中，样本缺少了某些横截面单位的某些年份数据，称数据集为非平衡面板数据。

设T i为横截面单位i的时期数，只需用T i个观测去做除时间均值的运算。

观测总数将是T1＋T2＋…＋T N。

与平衡面板数据的情形一样，对每一个观测横截面，都因除时间均值运算而失去一个自由度。

任何一个做固定效应的回归软件包都会做出适当的自由度损失调整。

虚拟变量回归也和平衡面板数据情形完全一样，但要适当地调整自由度。

二、随机效应模型
1．随机效应模型
对于一个非观测效应模型：
01122it it it k itk i it
y x x x a u ββββ=+++⋅⋅⋅+++（1）
引入一个截距项，假定非观测效应a i 有零均值，且与每一个解释变量都无关：()Cov 0 1 2 1 2 itj i x a t T j k
===，，，，…，；，，…，则方程（1）就成为一个随机效应模型。

理想的随机效应假定包括全部固定效应假定，再加上a i 独立于所有时期中每一个解释变量的假定。

如果非观测效应a i 会与任何一个解释变量相关，那么就是固定效应模型，应该对固定效应做一阶差分或者求组内均值。

2．参数的估计
a i 与解释变量无关，可以用单个横截面一致的估计j β，但是只用单个横截面去估计就忽视了其他时期的许多有用信息。

此外，利用混合OLS 将y it 对解释变量也许还加上时间虚拟变量做OLS 回归，在随机效应假定下，也能得到j β的一致估计量，但误差项存在序列相关，如果定义复合误差项为
it i it
v a u =+则式（1）可写为：
01122it it it k itk it
y x x x v ββββ=+++⋅⋅⋅++由于a i 在每个时期都是复合误差的一部分，所以不同时期的v it 应该序列相关。

在随机效应假定下：
()()222Corr / it is a a u v v t s
σσσ=+≠，，其中，()()22Var Var a i u it a u σσ==，。

误差项中这种（必然是）正的序列相关可
能很大：由于通常的混合OLS 标准误忽视了这种相关，所以不正确，从而通常用的检验统计量也不正确。

（1）用GLS 解决序列相关性问题
假定有足够大的N 和相对较小的T，面板为平衡面板。

定义()1/22221/u u a λσσσ⎡⎤=-+⎣⎦它介于0与1之间。

（由GLS 求得的，参见Wooldridge（2002，Chapter10））。

于是，变换后的方程是：()()()()
01111it i it i k itk ik it i y y x x x x v v λβλβλβλλ-=-+-+⋅⋅⋅+-+-它使用每个变量的准除均值数据。

固定效应估计量从相应变量中减去其时间均值，而随机效应变换只减去其时间均值的一个比例，这个比例取决于2u σ、2a σ和时期数T。

GLS 估计量就是变换后的方程的混合OLS 估计量，变换方程容许考虑不随时间而变化的解释变量，与固定效应或一阶差分模型相比，这是随机效应（RE）模型的一个优点。

（2）随机效应估计量
要得到随机效应估计量，必须先知道λ，实际上，参数λ是未知的，但又总是可以估计的，有很多种估计的方法。

利用混合OLS 或固定效应做出估计：
(){}1/2
22ˆˆˆ11/1/a u T λσσ⎡⎤=-+⎣⎦其中2ˆa σ是2a σ的一个一致估计量，而2ˆu σ是2u σ的一个一致估计量。

这些估计量是根据混合OLS 残差或固定效应残差计算的，一种可能性是：
()()112121ˆˆˆ1/21N T T a it is
i t S t NT T k v
v σ--===+=--+⎡⎤⎣⎦∑∑∑其中ˆit v
是用混合OLS 估计式01122it it it k itk it
y x x x v ββββ=+++⋅⋅⋅++的残差。