理论力学(第二版)参考答案上部

理论力学（第二版）参考答案上部

（一~三章）

第一章

1.2

写出约束在铅直平面内的光滑摆线

上运动的质点的微

分方程，并证明该质点在平衡位置附近作振动时，振动周期与振幅无关. 解：

设s为质点沿摆线运动时的路程，取

=0时，s=0

S== 4 a (1)

设为质点所在摆线位置处切线方向与x轴的夹角，取逆时针为正，即切线斜率

=

受力分析得：

则，此即为质点的运动微分方程。

该质点在平衡位置附近作振动时，振动周期与振幅无关，为.

1.3

证明：设一质量为m的小球做任一角度

θ的单摆运动

运动微分方程为θ

θ

θF

r

r

m=

+)

2

(

θ

θsin

mg

mr= ①

给①式两边同时乘以dθθ

θ

θ

θd

g

d

r s i n

=

对上式两边关于θ 积分得c

g

r+

=θ

θc o s

2

1

2

②

利用初始条件

θ

θ=时0

=

θ 故

cosθ

g

c-

=③

由②③可解得

c o s

c o s

2

-θ

θ

θ-

∙

=

l

g

上式可化为dt

d

l

g

=

⨯

-

∙θ

θ

θ

cos

cos

2

-

两边同时积分可得θθθθθθθθd g l d g l t ⎰⎰---

=

--=0

2

02

2

200

2

sin 12

sin 1001

2cos cos 12

进一步化简可得θθθθd g l t ⎰-=

0002

222sin sin 1

2

1

由于上面算的过程只占整个周期的1/4故

⎰-==0

20

22

sin

2

sin

12

4T θθθ

θd g l t

由ϕθθsin 2sin /2sin 0=

两边分别对θϕ微分可得ϕϕθθθ

d d cos 2

sin

2

cos

=

ϕθθ

20

2

sin 2

sin 12

cos

-=

故ϕϕ

θϕ

θθd d 20

2

sin 2

sin 1cos 2

sin

2

-= 由于00θθ≤≤故对应的2

0πϕ≤≤

故ϕϕ

θ

ϕ

θϕθθ

θθπ

θd g l d g l T ⎰⎰-=-=20

20

2

2

cos 2

sin

sin 2

sin 1/cos 2

sin

4

2

sin

2

sin 2

故⎰-=2

022sin 14πϕϕK d g l T 其中2

sin 022θ=K

通过进一步计算可得

g l

π

2T =])2642)12(531()4231()21(1[224222 +⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯++⨯⨯++n K n

n K K

1.5

解：

如图，在半径是R的时候，由万有引力公式，

对表面的一点的万有引力为

, ①

M为地球的质量；

可知，地球表面的重力加速度g , x为取地心到无限远的广义坐标，

，②

联立①，②可得：

,M为地球的质量；③

当半径增加

,R2=R+,此时总质量不变，仍为M,

此时表面的重力加速度

可求：

④

由④得：

⑤

则，半径变化后的g 的变化为

⑥

对⑥式进行通分、整理后得：

⑦

对⑦式整理，略去二阶量，同时远小于R ，得

⑧

则当半径改变 时，表面的重力加速度的变化为：

。

1.6

则由牛顿第二定律可知， 质点的运动方程为

⎪⎩

⎪⎨⎧=+-=-θθθθθsin )2(cos )(2mg r r m mg F r r m

其中，

Vt L r L r V r

-==-=,,0

1.8

设质点在平面内运动的加速度的切向分量和法向分量都是常数，证明质点的轨道为对数螺线。

解：设，质点的加速度的切向分量大小为，法向分量大小为。(其中、为常数)则有

其中为曲率半径。 由

式得

其中是

初始位置，

是初始速度大小。

把式代入式得