2_非饱和水流运动基本方程

——非饱和土壤水运动基本方程，可简写为： k ( )H t
假定土壤各向同性，则有： k x k y ( ) k z ( ) k ( )
H H H k ( ) k ( ) k ( ) t x x y y z z
y )
vz (v z z ) z
设六面体土壤含水量为，则t内六面体内土壤水质量变 化量为：
m xyzt t
根据质量守恒原理有
p
xyzt
m in - m out
v x v y v z x y z xyzt t
以基质势h为变量的基本方程，最突出的优点是适用于饱和-
非饱和问题的求解，也可用于分层土壤的水分运动的计算，但 非饱和土壤的导水率和容水度受滞后影响较大，计算中参数选 取不当会造成较大误差。
基本方程的不同形式
用含水量θ为变量的基本方程
h h h K k ( ) k ( ) k ( ) t x x y y z z z
( z B2 ; (t ) 0) ( z B2 ; (t ) 0)
三类边界条件：相当于水流通量随边界上的变量 (含水率或压力)值而变化的情况
三类边界的一般形式为
f 1 2 f 3 z

f为变量
在土壤蒸发强度为表土含水率或表土负压的函数的情 况下，三类边界条件表达式为：
饱和流 水势组成： 流动准则： ψg : ψp: ψm : K: ψ =ψg +ψp 高 总水头 低
非饱和流 ψ =ψg +ψm
高 土水势 低
相对参考平面之高度 至地下水面的高度 ψm = 0 ks，渗透系数=const. ks ≥k(θ) ψp= 0 ψm 取决于土壤的干湿程度 k(θ ) 为土壤含水率的函数 θ ↗⇒k(θ ) ↗
q k ( )H

q k ( h) H q k ( ) H
在非饱和土壤中，导水率是负压或含水率的函数，随着含 水率降低而减小。
K(θ) \K(h)多种近似
K(h) K(θ)
c h
k ( h) k s e
k ( ) k s e
c s
k ( h) a h a k ( h) n h b
以含水量θ为变量的基本方程常用于求解均质土层或非饱和流
问题，但不适宜层状土壤或求解饱和-非饱和问题。
这里达西定律其实就是流体的动量定理的转变，当不考 虑温度变化时与连续方程耦合。若要考虑能量方程，就 得给出温度条件，再和温度耦合。
4.土壤水分运动方程的定解条件
初始条件（t＝０）
以垂向一维流动为例：
h
用基质势h为变量的基本方程
h h h k (h) 剖面二维： ch k (h) k (h) t x x z z z
垂向一维：
ch h h k (h) k ( h) t z z z
( z,0) i ( z );
h( z,0) hi ( z )
边界条件
一类边界（变量已知边界）：
( z 0 , t ) 0 (t );
h( z 0 , t ) h0 (t )
在一维垂向土壤水分运动中，一类边界的情况发生在： 地表形成积水时； h( z0 , t ) h0 (t ) 地表含水率达到饱和含水率； ( z0 , t ) s (t ) 当强烈蒸发时，表土达到风干土含水率。 ( z0 , t ) r (t )
van Genuchten-Mualem :
n
k ( ) k s m r k ( ) k s s r

n
Brooks and Corey (BC) :
非饱和水力传导度的测定
非饱和达西实验

△x 多孔板

非饱和土壤水力传导度可由达西 定律求得。
令
h D k
则有
k ( ) D( ) D( ) D( ) t x x y y z z z
D（θ）为土壤水的扩散率，
D k k h c
2
1
H2
H1
平水 装置
k ( h)

q q qX H H H X
在不同的平均负压(吸力)值下，通量与负压梯度成正比，两者
呈直线关系，但其斜率(即水力传导度)随平均负压而变。Biblioteka 通量qk ( h)
h=0 ,k =ks
-1 0c h=
m
h
0c 3 =-
m
0c 5 h=
m
h
负压梯度△h/△x
2.土壤水分运动参数及其测定方法
非饱和/饱和水力传导度
容水度
土壤水分扩散度
非饱和水力传导度及其测定
非饱和水力传导度的概念及特征

是反映土壤水分在水势梯度作用下流动的性能。一般在饱 和土壤中导水率称为渗透系数，为常量。 定义：在水势梯度作用下，单位断面面积上流过的水流通 量。
q k (h)H
令
h h c ( h) t h t t
则有
h h h h k (h) ch k (h) k (h) k (h) t x x y y z z z c h c（h）表示比水容量（也称容水度）
非饱和土壤水流的基本方程
§1 非饱和土壤水流的达西定律
§2 土壤水分运动参数及其测定方法
§3 非饱和土壤水运动的基本方程 §4土壤水分运动基本方程的定解条件
1.非饱和土壤水流的达西定律
非饱和土壤水分运动和饱和土壤水分运动一样，水分从水势高 处向水势低处运动。一般认为，适用于饱和水流动的达西定律 在很多情况下也同样适用于非饱和土壤水分流动。 1931年，Richards最早将达西定律引入非饱和土壤水流动。非 饱和土壤水分流动的达西定律:
上式中
h h x x
h h y y
h h z z
代入上式有
h h h k ( ) k ( ) k ( ) k ( ) t x x y y z z z
容水度(或比水容量)
单位基膜势(负压值)变化所引起土壤含水率的变化，一 般称为容水度或比水容量（C)，可以下式表示：
d Ch dh
表示在单位压力水头降低时自单位体积土壤中所释放
出来的水的体积，它与饱和土壤的给水度相似。
用测水分特征曲线的方法来测定
土壤水分扩散度D
土壤水分扩散度为单位含水率梯度下，通过单位面积的 土壤水流量，其值为土壤含水率的函数，即
直角坐标非饱和水分基本方程
基本方程推导
取微分单元体，体积： xyz 设沿x、y和z方向流速分别为： vx，vy，vz， 则 (x+x)面流速为
z vy vx vz x Δx y Δz
v x (v x x)； x
同理(y+y) 、(z+z) 面流速为： (v y
v y y
即
v x v y v z t x y z
根据达西定律有:
H H H v y k y ( ) v x k x ( ) v z k z ( ) y x z v y v z v x 将上式代入 t x y z H H H k x ( ) k y ( ) k z ( ) t x x y y z z
h k h k h z
在一维垂向土壤水分运动中，这种情况常发生在降雨、灌水入 渗或蒸发强度已知的边界上。 在降雨或灌水入渗时，(t)为负值，在蒸发时(t) 为正值。 在不透水边界和无蒸发入渗的边界， (t) =0，则

D( ) k ( ) z h k ( h) k ( h) z
土壤水分扩散度与土壤的关 系可用以下经验公式表示
D ae
b
扩散率D
土壤体积含水量θ
h k D k C
3.非饱和土壤水运动的基本方程

理论基础： q k (h)H 达西定律 质量守恒定律（水流连续原理）
直角坐标非饱和水分基本方程
H h z
H h H h H h 1 对上式求偏导,则有 z z y y x x h h h K h k ( h ) k ( h ) k ( h ) 故 t x x y y z z z
基本方程的不同形式
H H H k ( ) k ( ) k ( ) t x x y z y z
用基质势h为变量的基本方程
对于非饱和土壤水，总水头H由负压水头h和重力水头z组成：
D( ) k ( ) a b z h k (h) k (h) a (h) b z
Comsol上的算例
Richard’s模型方程及van Genuchten型土壤
Richard’s模型方程及van Genuchten型土壤
用含水量θ为变量的基本方程
剖面二维： 垂向一维：
k ( ) D( ) D( ) t x x z z z
k ( ) D( ) t z z z
q q qX k ( h) H H H X
计算的k是平均的k 试样中各点的是不相同的