2015年高考山东理科数学试题及答案解析

2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）

数学（理科）

第Ⅰ卷（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2015年山东，理1】已知集合2{|430}x x x -+<，{|24}B x x =<<，则A B =（ ）

（A ）()1,3 （B ）()1,4 （C ）()2,3 （D ）()2,4 （2）【2015年山东，理2】若复数z 满足

i 1i

z

=-，其中i 是虚数单位，则z =（ ） （A ）1i - （B ）1i + （C ）1i -- （D ）1i -+

（3）【2015年山东，理3】要得到函数sin(4)3

y x π

=-的图象，只需将函数sin 4y x =的图像（ ）

（A ）向左平移

12π

个单位（B ）向右平移

12

π

个单位（C ）向左平移

3π个单位（D ）向右平移3

π

个单位 （4）【2015年山东，理4】已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=，则BD

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） （A ）232a - （B ）234a - （C ）234a （D ）23

2

a

（5）【2015年山东，理5】不等式|1||5|2x x ---<的解集是（ ）

（A ）(,4)-∞ （B ）(,1)-∞ （C ）(1,4) （D ）(1,5)

（6）【2015年山东，理6】已知,x y 满足约束条件0

20x y x y y -≥⎧⎪

+≤⎨⎪≥⎩

若z ax y =+的最大值为4，则a =（ ）

（A ）3 （B ）2 （C ）-2 （D ）-3 （7）【2015年山东，理7】在梯形ABCD 中，2

ABC π

∠=

，//AD BC ，222BC AD AB ===．将梯形ABCD

绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）

（A ）23π （B ）43π （C ）53

π （D ）2π

（8）【2015年山东，理8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布2(0,3)N ，从中随机取一件，

其长度误差落在区间()3,6内的概率为（ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则

()68.26%P μσξμσ-<<+=，(22)95.44%P μσξμσ-<<+=）

（A ）4.56% （B ）13.59% （C ）27.18% （D ）31.74% （9）【2015年山东，理9】一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线

所在的直线的斜率为（ ）

（A ）53-或35

- （B ）32-或23- （C ）54-或45- （D ）43-或3

4-

（10）【2015年山东，理10】设函数31,1,

()2,

1.x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩则满足()(())2f a f f a =的取值范围是（ ）

（A ）2[,1]3 （B ）[0,1] （C ）2

[,)3

+∞ （D ）[1,)+∞

第II 卷（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分 （11）【2015年山东，理11】观察下列各式：

0010113301225550123

377774;4;4;4;C C C C C C C C C C =+=++=+++=照此规律，当*n ∈N 时，012

1

21212121n n n n n C C C C -----++++= ．

（12）【2015年山东，理12】若“[0,],tan 4

x x m π

∀∈≤”是真命题，则实数m 的最小值为 ．

（13）【2015年山东，理13】执行右边的程序框图，输出的T 的值为 ．

（14）【2015年山东，理14】已知函数()x f x a b =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[1,0]-，则a b += ．

（15）【2015年山东，理15】平面直角坐标系xOy 中，双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的渐近线与抛物线

2

2:2(0)C x py p =>交于点,,O A B ，若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为 ．

三、解答题：本大题共6题，共75分．

（16）【2015年山东，理16】（本小题满分12分）设2()sin cos cos ()4

f x x x x π

=-+．

（Ⅰ）求()f x 的单调区间；

（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()0,12

A

f a ==，求ABC ∆面积．

（17）【2015年山东，理17】（本小题满分12分）如图，在三棱台DEF ABC -中，

2,,AB DE G H =分别为,AC BC 的中点． （Ⅰ）求证：//BD 平面FGH ；

（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ，,,45AB BC CF DE BAC ⊥=∠=，求平面FGH 与平面

ACFD 所成角（锐角）的大小．

（18）【2015年山东，理18】（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知233n

n S =+．

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．

（19）【2015年山东，理19】（本小题满分12分）若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位

数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整除，得1分．

（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；

（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX ．