第十章 排队论

1、收费处空闲的概率； 2、收费处忙的概率； 3、系统中分别有1，2，3辆车的概率。
21
根据题意, =100辆 /小时 ,1/=15秒 =1/240（小时 / 辆）,即＝240（辆/小时）。 因此，=/=100/240=5/12。 系统空闲的概率为：P0=1-=1-(5/12)=7/12=0.583 系统忙的概率为：1-P0=1-(1-)==5/12=0.417 系统中有1辆车的概率为：P1=(1-)==0.243 系统中有2辆车的概率为： P2=2(1-)=0.417 2×0.583=0.101 系统中有3辆车的概率为： P3=3(1-)=0.417 3×0.583=0.0421
Pk(1)
Poisson流
0
.4
.3 .2 .1 0 x
13
=1
=3
=7
Poisson与负指数分布的关系
定理 在排队系统中，如果单位时间内顾客到 达数服从以为参数的Poisson分布，则顾客相
继到达的时间间隔服从以为参数的负指数分
布。
e t f (t ) 0
––平均到达率，即单位时间内平均到达的顾客数
–– 平均服务率，即单位时间内服务完毕的顾客数 ––时刻t系统中有n个顾客 –– 时刻t系统状态Sn(t) 的概率 –– 服务台的个数
M
D Ek
–– 顾客相继到达的时间间隔服从负指数分布
–– 顾客相继到达的时间间隔服从定长分布 –– 顾客相继到达的时间间隔服从k阶Erlang分布
E(t ) 1 /
t> 0 t0
=0.4
Var(t ) 1/ 2
1/为平均到达间隔时间
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k阶Erlang分布
定理 设 v1 ， v2 ， … ， vk 是 k 个互相独立的，具有相 同参数的负指数分布随机变量，则随机变量
S=v1+v2+…+vk服从k阶Erlang分布，S的密度函数为
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[M/M/1]：[//FCFS]
表示：
顾客到达的时间间隔是负指数分布
服务时间是负指数分布
一个服务台
排队系统和顾客源的容量都是无限
实行先到先服务的一个服务系统
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Poisson流（Poisson过程）
1 、平稳性：在时间区间 [t, t+t) 内到达 k 个顾客的概率与 t 无 关，只与t有关。记为pk(t）。 2、无后效性：不相交的时间区间内到达的顾客数互相独立。 3 、 普 通 性 ： 设 在 [t, t+t ） 内 到 达 多 于 一 个 顾 客 的 概 率 为 q(t），则 q(t)=o(t) 即
q ( t ) lim 0 t 0 t
4、有限性：任意有限个区间内到达有限个顾客的概率等于1。即
p
k 0

k ( t )
1
12
定理 对于一个参数为的Poisson流，在[0，t] 内到达k个顾客的概率为
( t ) k t p k (t) e k 0,1,2 k! 即服从以为参数的Poisson分布。
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M/M/S等待制排队模型
1． 2． 单服务台模型 多服务台模型
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[M/M/1]:[//FCFS]
顾客到达的时间间隔是负指数分布
服务时间是负指数分布
一个服务台
排队系统和顾客源的容量都是无限
实行先到先服务的一个服务系统
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系统的过渡状态与稳定状态
dPn (t ) 0 dt dPn (t ) 0 dt
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排队系统的符号表示
一个排队系统的特征可以用六个参数表示， 形式为：
[A／B／C]：[d／e／f]
其中 A–– 顾客到达的概率分布，可取M、Ek等； B–– 服务时间的概率分布，可取M、Ek等； C –– 服务台个数，取正整数； d–– 排队系统的最大容量，可取正整数或； e –– 顾客源的最大容量，可取正整数或； f –– 排队规则，可取FCFS、LCFS等。
你的时间够用么？
6个月 停在红灯前 8个月 打开邮寄广告 1年 寻找放置不当的物品 2年 回电话不成功 4年 做家务 5年 排队等待 6年 吃
第十章 排队论
1 基本概念 2 几个分布 3 基本排队模型
3.1 3.2 M/M/S等待制排队模型 M/M/S混合制排队模型
2
商业服务系统
等待起飞的飞机 飞机
Hale Waihona Puke Baidu
出租车服务
电梯服务 急救车服务
人
人 人
出租车
电梯 急救车
4
到达过程的内容
顾客总体数或顾客源数
有限或无限
顾客的到达类型
单个或成批
顾客的到达间隔时间
间隔时间分布
5
排队结构
多队多服务台
单队多服务台
入口
领号
...
服务台
3 8 5
4 6 10 12
2
需要服务
队列 服务完毕 顾客源
系统类型 顾客 服务台
理发店
银行出纳服务
人
人
理发师
出纳
ATM机服务
商店收银台
人
人
ATM机
收银员
电影院售票窗口 人
机场检票处 人
售票员
航空公司代理人
经纪人服务
人
股票经纪人
3
运输服务系统
系统类型 顾客 服务台
公路收费站
卡车装货地 港口卸货区 航班服务
汽车
卡车 轮船 人
收费员
装货工人 卸货工人 跑道 飞机
过渡
稳定
生 灭 过 程
19
稳定状态下的状态概率
稳定状态下： “流出=流入”
1p1 0 p0
注意到
2 p 2 1p1
n
n
n
系统服务率
/
生 灭 过 程
p n p0
p n (1- )
n
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高速公路入口收费处设有一个收费通道，汽车 到达服从 Poisson 分布，平均到达速率为 100 辆／小 时，收费时间服从负指数分布，平均收费时间为 15 秒／辆。
(t ) t f (t) e ( k 1)!
k 1
t0
k= 8 k= 4 k= 2
= 1
k 1
k 30
f (t ) ue
ut
t 0
k= 1
近似正态分布
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系统绩效度量

系统总的平均顾客数L 平均等待顾客个数Lq 包括服务的平均等待时间W 平均顾客等待时间Wq 系统利用率r
7
11
9
排队规则的内容
损失制系统
服务台被占用时新到的顾客将离开
等待制系统
FCFS LCFS PS
混合制系统
损失制与等待制的混合
7
服务过程的内容
服务台数量
单个或多个
每次服务顾客的数量
单个或成批
服务顾客的时间分布
时间分布
8
常用的记号
n –– 系统中的顾客数

Sn(t) Pn(t) C