有限差分方法基础
有限差分法的原理与计算步骤
有限差分法的原理与计算步骤有限差分法（Finite Difference Method）是一种常用的数值计算方法，用于求解偏微分方程的数值解。
其基本原理是将连续的偏微分方程转化为差分方程，通过逼近导数，使用离散的点代替连续的点，从而将问题转化为代数问题。
下面将详细介绍有限差分法的原理和计算步骤：一、基本原理：有限差分法基于Taylor级数展开，通过利用函数在其中一点附近的导数信息来逼近函数在该点处的值。
该方法将连续的偏微分方程转化为差分方程，使用离散的点代替连续的点，从而将问题转化为代数问题。
在有限差分法中，常用的差分逼近方式有前向差分、后向差分和中心差分。
二、计算步骤：1.网格划分：将求解区域划分为有限个离散点，并定义网格上的节点和网格尺寸。
通常使用等距离网格，即每个网格点之间的间距相等。
2.离散化：将偏微分方程中的各个导数项进行逼近，利用差分近似来替代和求解。
一般采用中心差分逼近方式，即通过函数值在两侧点的差来逼近导数。
3.代数方程系统：利用离散化的差分方程，将偏微分方程转化为代数方程系统。
根据问题的边界条件和初值条件，构建代数方程系统的系数矩阵和常数向量。
4. 求解代数方程：利用求解线性方程组的方法求解代数方程系统，常用的方法有直接法（如高斯消元法、LU分解法）和迭代法（如Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法）。
求解得到各个离散点的解。
5.后处理：根据求解结果进行后处理，包括结果的插值和可视化。
将离散点的解通过插值方法进行平滑处理，并进行可视化展示，以得到连续的函数解。
三、优缺点：1.直观：有限差分法基于网格划分，易于理解和实现。
2.精度可控：可通过调整网格大小和差分逼近方式来控制计算的精度。
3.广泛适用性：可用于求解各种偏微分方程，适用于不同的边界条件和初值条件。
然而，有限差分法也存在一些缺点：1.精度依赖网格：计算结果的精度受到网格划分的影响，因此需要谨慎选择网格大小。
2.限制条件：有限差分法适用于边界对应点处导数有定义的问题，不适用于奇异点和非线性问题。
3第二章有限差分方法基础解读
3第二章有限差分方法基础解读有限差分方法是数值计算中常用的一种方法，用于求解偏微分方程的数值解。
它的基本思想是将连续的空间或时间域离散化为有限的点，然后用差分近似代替导数，将偏微分方程转化为差分方程，从而得到问题的数值解。
有限差分方法的基础概念有三个：差分节点、差分近似和差分方程。
差分节点是指将连续的自变量区域划分为离散的点，这些点被称为节点。
差分近似是指用函数在差分节点上的函数值来近似代替它们的导数值。
差分方程是指在差分节点上建立的方程，用来表示问题的数值解。
在有限差分方法中，常用的几种差分格式有：向前差分、向后差分和中心差分。
其中，向前差分是将函数在节点$x_i$处的导数近似为$f'(x_i)≈\frac{f(x_i+h)-f(x_i)}{h}$，向后差分是将函数在节点$x_i$处的导数近似为$f'(x_i)≈\frac{f(x_i)-f(x_i-h)}{h}$，中心差分是将函数在节点$x_i$处的导数近似为$f'(x_i)≈\frac{f(x_i+h)-f(x_i-h)}{2h}$。
这些差分格式的选择要根据问题的具体情况和求解的精度要求来确定。
有限差分方法中，差分方程的建立是非常重要的一步。
一般来说，差分方程的建立需要利用边界条件和初始条件。
对于初始条件，通常是指给定问题在初始时刻或初始位置上的条件；而边界条件是指给定问题在边界上的条件。
缺乏良好的边界条件和初始条件会导致差分方程无法建立或无法得到合理的数值解。
因此，在使用有限差分方法求解偏微分方程时，需要仔细考虑问题的边界条件和初始条件，并将其合理地纳入差分方程中。
有限差分方法还包括时间步长和空间步长的选择。
时间步长是指时间域上的离散间隔，空间步长是指空间域上的离散间隔。
时间步长和空间步长的选取要兼顾问题的稳定性和精度要求。
一般来说，时间步长和空间步长越小，计算的精度越高，但计算量也会增加。
因此，在具体应用中，需要根据问题的特点和计算资源的限制来选择合适的步长。
廖敦明《有限差分法基础》第2章 数值模拟方法概述
第二节 数值分析方法（4/6）- 有限元法/FEM
有限元法又可分为位移法、利用余位进行变化的方法和用混合积分的混 合法三种。 有限元法的位移法，其实质就是将求解区域划分为有限个单元，通过 构造插值函数，把问题化为一个变分问题（即求泛函数值的问题），经过 离散化得到计算格式，利用计算格式来求解相应问题。变分法证明求解某 些微分方程的问题等效于将泛函数的相关量进行最小化。如果相关于因变 量的节点值使泛函数最小，那么所得到的条件表达式就是所需要的离散化 方程。也就是说，求解一个微分方程边值问题就可以通过寻找某一变分问 题的极值函数来解决。有限元解题的基本过程: 对一个具体的工程应用分析， 在确定了分析计算的基本方案后，就可以按建模（即建立几何模型）、分 网（即建立有限元模型）、加载（即给定边界条件）、求解（有限元求解） 和后处理（即计算结果的可视化）等几个步骤实施分析计算。
新进展-热应力模拟及热裂纹预测
(华铸课题组成果) -热应力模拟及热裂纹预测
FEM热应力模拟
行星架铸件
裂纹
热裂倾 向较大
FEM热应力模拟 (华铸课题组成果)
数控机床横梁铸件长约11米，重约 30吨，最薄壁厚只有30毫米。
铸造成形模拟仿ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ技术
FEM热应力模拟 (华铸课题组成果)
横梁铸件等效应变分布及变形情况（变形放大 10倍）
《有限差分法基础》讲义
第2章 数值模拟方法概述
廖敦明 华中科技大学
18071121688, 87558134 liaodunming@
华中科技大学材料学院华铸软件中心 材料成形与模具技术国家重点实验室
第一节 研究目的与研究内容（1/13） 1．研究目的 数值模拟(CAE)技术是通过建立能够准确描述研究 对象某一过程的数学模型，采用合适可行的求解方法， 使得在计算机上模拟仿真出研究对象的特定过程，分析 有关影响因素，预测这一特定过程的可能趋势与结果。 材料成形数值模拟CAE技术最终的研究目的是在计 算机虚拟的环境下，通过交互方式，能够制定合理的工 艺，而不需要或少做现场试生产。从而可以大幅度缩短 新产品开发周期，降低废品率，提高经济效益。
有限差分法的基本原理
f (x) ≈
2h
中心二阶差商
′′
f (x+h)−2f (x)+f (x−h)
f (x) ≈
h2
O(h) O(h)
2
O(h )
2
O(h )
其中，h表示网格间距，O(hn)表示截断误差与hn成正比。可以看出，中心差商比前向或后向差商具有更高的精度。
误差分析
有限差分法求得的数值解与真实解之间存在误差，这些误差主要来源于以下几个方面：
常用差分格式
有限差分法中最重要的步骤是构造合适的差分格式来近似微分项。根据泰勒展开式，可以得到以下常用的一阶和二阶差分格式：
差分格式
表达式
截断误差
前向一阶差商
′
f (x+h)−f (x)
f (x) ≈
h
后向一阶差商
′
f (x)−f (x−h)
f (x) ≈
h
中心一阶差商
′
f (x+h)−f (x−h)
截断误差：由于使用有限项级数来近似无穷级数而产生的误差； 舍入误差：由于计算机对小数进行四舍五入而产生的误差；
离散误差：由于对连续区域进行离散化而产生的误差； 稳定性误差：由于数值格式的稳定性不足而导致误差的累积或放大。
为了减小误差，一般可以采取以下措施：
选择更高阶或更精确的差分格式； 减小网格间距或时间步长； 选择合适的初始条件和边界条件； 选择稳定且收敛的数值格式。
+
。 2
h)
为了验证上述方法的正确性，我们取M = 10, N = 100，则原问题可以写为如下形式：
则该问题对应的递推关系式为：
⎧ut (x, t) − uxx (x, t) = 0,
matlab有限差分法
matlab有限差分法一、前言Matlab是一种广泛应用于科学计算和工程领域的计算机软件，它具有简单易学、功能强大、易于编程等优点。
有限差分法（Finite Difference Method）是一种常用的数值解法，它将微分方程转化为差分方程，通过对差分方程进行离散化求解，得到微分方程的数值解。
本文将介绍如何使用Matlab实现有限差分法。
二、有限差分法基础1. 有限差分法原理有限差分法是一种通过将微分方程转化为离散形式来求解微分方程的数值方法。
其基本思想是将求解区域进行网格划分，然后在每个网格点上进行逼近。
假设要求解一个二阶常微分方程：$$y''(x)=f(x,y(x),y'(x))$$则可以将其转化为离散形式：$$\frac{y_{i+1}-2y_i+y_{i-1}}{h^2}=f(x_i,y_i,y'_i)$$其中$h$为网格步长，$y_i$表示在$x_i$处的函数值。
2. 一维情况下的有限差分法对于一维情况下的常微分方程：$$\frac{d^2 y}{dx^2}=f(x,y,y')$$可以使用中心差分法进行离散化：$$\frac{y_{i+1}-2y_i+y_{i-1}}{h^2}=f(x_i,y_i,y'_i)$$这个方程可以写成矩阵形式：$$A\vec{y}=\vec{b}$$其中$A$为系数矩阵，$\vec{y}$为函数值向量，$\vec{b}$为右端项向量。
三、Matlab实现有限差分法1. 一维情况下的有限差分法假设要求解的方程为：$$\frac{d^2 y}{dx^2}=-\sin(x)$$首先需要确定求解区域和网格步长。
在本例中，我们将求解区域设为$[0,2\pi]$，网格步长$h=0.01$。
则可以通过以下代码生成网格：```matlabx = 0:0.01:2*pi;```接下来需要构造系数矩阵和右端项向量。
根据上面的公式，系数矩阵应该是一个三对角矩阵，可以通过以下代码生成：```matlabn = length(x)-2;A = spdiags([-ones(n,1), 2*ones(n,1), -ones(n,1)], [-1 0 1], n, n); ```其中`spdiags`函数用于生成一个稀疏矩阵。
第二章有限差分基础
第⼆章有限差分基础第2章有限差分基础（finite difference method ，FDM ）1.1 偏微分⽅程的⼀般形式()()φφφρρφq x x x u t j j j j +Γ=+ （ 2-1 ） 2.1 ⽹格划分⼀般有限差分采⽤结构化⽹格划分。
即节点对应于当地坐标系统的原点。
它的轴同⽹格线⼀致。
即两个同⼀族的⽹格线不相交，且没对⽹格线对应不同的族。
每⼀个节点可⽤唯⼀的⼀个坐标表⽰，如（ξ1, ξ2）。
⽹格线能⽤ξ1＝const, ξ2＝const 表⽰。
1D 2D有限差分法就是要将节点上的偏微分⽅程⽤相邻点上的值表⽰，变成线性代数⽅程式。
i-1ii+1N1 N jj+1 j-1j 11i-1 i i+1为流体⼒学的微分⽅程的数值求解⽅法之代表。
必要条件：连续领域内的分配有限的⽹格领域内的函数分布可⽤⽹格点上的值代表1. 计算分⼦（computational molecule ）5点计算分⼦ 15点计算分⼦ 7点计算分⼦这些节点⼜称为计算分⼦。
⽅程的个数应与未知数相同，即每个节点有⼀个⽅程式。
EWNET N2. T aylor 展开例如：⼀维时间变量φ的理论解为φ(t,x)，它在离散点上的值为投影（projection ）的近似值为：()x i t n ?Λ,φ,n: 时间的step 数i:空间的step 数为了求得此近似解，需对微分⽅程进⾏差分近似。
利⽤T aylor 展开可得到⼏个差分表⽰形式，仅考虑空间依存问题：在?x 很⼩时，位置j ?x 内的物理量φ⽤φj 来表⽰，则位置(j+1)?x 上的值φj+1表⽰为：()+++=+ii i i x x x x 222121φφφφ（ 2-2 ）(j-1)?x 上的值φj+1表⽰为：()++-=-ii i i x x x x 222121φφφφ（ 2-3 ） 2.2 基本差分格式1. ⼀阶导数（first derivative ）的近似()xu orxφρφ（ 2-4 ） i. 向前差分(forward difference ，FDS)利⽤( 1 ) 式，可得到1阶微分的向前差分形式:)(1x O xx j j j ?+?-=??+φφφ（ 2-5 ） ii. 向后差分(backward difference ，BDS)利⽤( 1 ) 式，可得到1阶微分的向后差分形式)(1x O xx j j j ?+?-=??-φφφ（ 2-6 ） iii. 中⼼差分（central difference ，CDS ）(1)-(2) 得1阶微分的2 次精度中⼼差分法：)(2211x O xx j j j ?+?-=??-+φφφ（ 2-7 ） iv. 上风法、迎风法（upwind difference, UDS ）与速度有关的微分()<-->--≈??++--;0if,;0if ,1111u x x u u x x u x u ii i i i i i i φφρφφρφρ（ 2-8 ）2. ⼆阶导数的近似i. 中⼼差分（central difference ，CDS ）利⽤（j ±1/2）?x 的T ayor 展开，可得过且1阶微分的2次精度的向前向后差分形式：11112121---+++--=??--=??i i i i i ii ii i x x x x x x φφφφφφ（ 2-9 ）将上⼆式相减，得2阶微分的差分⽅程式中⼼差分：(?x 相当))(2221122x O xx i i i i ?+?+-=??-+φφφφ（ 2-10 ）其它还有各种形式。
有限差分法基本原理
有限差分法的应用领域
流体力学
用于模拟流体在固定或变形网格 上的流动，如计算流体动力学 （CFD）中的数值模拟。
热传导
用于求解热传导方程，模拟热 量在物体中的传播和分布。
波动传播
用于求解波动方程，如地震波 、声波和电磁波的传播。
有限差分法基本原理
CONTENTS 目录
• 引言 • 有限差分法的基本原理 • 有限差分法的实现 • 有限差分法的优缺点 • 有限差分法的改进方向
CHAPTER 01
引言
有限差分法的定义
有限差分法是一种数值计算方法，通 过将连续的物理量离散化为有限个离 散点上的数值，并建立代数方程来近 似描述物理量随时间和空间的变化规 律。
缺点
精度问题
由于有限差分法采用的是离散化的方法， 因此其精度受到网格大小的影响，网格越
小精度越高，但同时也会增加计算量。
数值耗散误差
在模拟非线性问题时，有限差分法可能会 产生数值耗散误差，导致能量的损失或者
非物理振荡。
数值色散误差
在模拟波动性问题时，有限差分法可能会 产生数值色散误差，导致波的传播速度发 生变化。
常用的离散化方法包括均匀网格、非均匀网格、有限元法等，
应根据实际问题选择合适的离散化方法。
差分近似
Hale Waihona Puke 01差分近似公式根据微分方程的性质，构造差分 近似公式，将微分方程转化为差 分方程。
精度分析
02
03
稳定性分析
分析差分近似公式的精度，确定 其与微分方程的误差大小和分布。
分析差分近似公式的数值稳定性， 确保计算过程中误差不会累积放 大。
有限差分法基本原理
流体力学
模拟流体在各种情况下的运动和传输现象， 如空气动力学、水力学等。
热传导
用于研究材料中的热传导现象，如传热设 备的设计和材料的热特性分析。
结构力学
分析结构中的应力、应变等力学性质，用 于优化结构设计和评估结构的稳定性。
电磁场
分析电磁场的分布和变化规律，用于电磁 波传播、电路设计等领域。
有限差分法的优缺点
有限差分法在实际工程中的应用
流体动力学
模拟流体在航空、航天等领 域的流动性能，评估气动设 计和分 析材料的热传导特性、预测 温度场的分布。
结构分析
评估结构的稳定性和强度， 优化结构设计，分析材料的 力学性能。
3 差分法程式
利用节点上的差分近 似替代连续的偏微分 方程，从而得到离散 的差分方程。
有限差分法的基本步骤
网格划分
将求解域划分为离散的节 点，构建求解网格。
边界条件
明确边界上的条件，用于 确定差分方程的边界值。
离散方程
利用节点上的差分近似， 将偏微分方程转化为离散 的差分方程。
有限差分法的应用领域
有限差分法基本原理
有限差分法是一种数值计算方法，用于求解偏微分方程的数值逼近解。它通 过将连续的偏微分方程转化为差分方程，从而实现数值求解。
有限差分法的概述
1 定义
有限差分法是一种将 连续的偏微分方程离 散化为差分方程的数 值方法。
2 离散化
通过在网格上对偏微 分方程进行离散化， 将求解域划分为有限 个离散的节点。
隐式-显式格式
结合了显式和隐式格式的 优点，兼顾计算速度和稳 定性。
有限差分法的误差分析
1
稳定误差
2
主要由数值格式和边界条件的选择 引起，不会随网格精度改变而改变。
有限差分基础白
实际问题往往是上述三类边界条件的组合。
7.4 稳态传热问题的有限差分方程
对于多变量函数T=T( x, y)，涉及到求一阶和二阶偏导 数的近似值。 若把y看作常数，则函数T对于x的偏导数就是T对x的普 通导数。 同样，若把x看作常数，则函数T对于y的偏导数就是T 对y的普通导数。 因此，可以直接应用前面介绍的所有导数的概念和公 式。当然，在应用前面的公式对x求偏导时，必须保持 y = y0。
1. 内节点差分方程
首先只考察内部节点。
图7-4所示是直角坐标系下一个三 维导热区域中的网格点P及其六 个相邻点，它们分别记为N，S， E，W，I，O。令网格间距Δx= Δy=Δz =Δ。
稳态基本方程为
2T 2T 2T H 0
x 2 y 2 z 2
图7-4 在均匀网格的 三维直角坐标中典型 点P及其六个相邻点
1. 二维非稳态热传导方程
2T 2T H 1 T
x2 y2 t
(1) 离散化
• 几何区域离散化。假定区域离散化后，距离步长Δx=xi+1-xi, Δy=yj+1-yj，且Δx=Δy。显然，xi=iΔx；yj=jΔy，i,j=0,1,2,…。
• 时间域离散化。用n（n=0,1,2,…）将时间区域t≥0离散化，两 个时刻的间隔（时间步长）Δt=tn+1-tn，tn=nΔt。
0
其中：a 称为导温系数或扩散系数
c
（7-1）
存在初值的一维热传导问题，可以用下式表示
u t
a
2u x2
0
u(x,0) f (x)
x , t 0
x
（7-2）
在给定条件下，上述偏微分方程有唯一确定的解。
(1) 定解区域的离散化 用网格线将定解区域离散化为节点集，是将微分方程 定解问题离散化为差分方程的基础。
有限差分法初步
• 引言 • 有限差分法的原理 • 有限差分法的应用 • 有限差分法的实现 • 有限差分法的优缺点 • 结论与展望
01
引言
有限差分法的定义
有限差分法是一种数值计算方法，通 过将偏微分方程离散化为差分方程， 从而求解偏微分方程的近似解。
近似表示微 分，从而将微分方程转化为差分方程。
有限差分法。
COMSOL Multiphysics实现
COMSOL Multiphysics是一款基于有限元法的多物理场仿真软件，也支持有限差分法。 COMSOL提供了友好的用户界面和丰富的物理模型库，使得有限差分法的实现更加便
捷。
有限差分法的并行计算实现
MPI实现
MPI（Message Passing Interface）是一种并行计算的标准，支持多个处理 器之间的通信。通过MPI，可以实现有限差分法的并行计算，提高计算效率。
自适应网格技术
根据解的特性自适应地调整离散点间距，以 提高计算精度和效率。
并行化与优化
通过并行计算和算法优化等技术提高有限差 分法的计算效率。
与其他方法的结合
将有限差分法与其他数值方法或物理模型相 结合，以处理更复杂的问题。
06
结论与展望
结论
01
有限差分法是一种数值计算方 法，通过离散化连续问题为差 分方程，进而求解数值近似解 。
有限差分法原理简单，易于理解和实现，不需要复杂的数学工 具。
有限差分法可以方便地进行并行计算，提高计算效率。
有限差分法可以应用于各种不同类型的偏微分方程，具有广泛 的适用性。
有限差分法的缺点
精度问题
由于有限差分法是一种离散化方法，其精度受到离散点间距的限制， 可能导致计算结果不够精确。
3第二章-有限差分方法基础
2.1.1 基本方程和定解问题
u t
2u x2
( 0)
求解域： (x, t) [0,1][0, ]
(2.1.1)
初始条件： u(x, 0) f (x)
边界条件： u(0, t) a(t), u(1, t) b(t)
(2.1.2)
方程(2.1.1)和初边条件(2.1.2)构成了一个适定的定解问题。
根据数学分析中的知识，我们知道
2u (x,t) lim u(x x,t) 2u(x,t) u(x x,t)
x2
x0
x2
所以，二阶导数可以近似为
2u
x
2
n
k
un k 1
2ukn x2
ukn
un k 1
2ukn
un k 1
称为二阶中心差分。
容易证明：
un k 1
2ukn
un k 1
t
)
ut
(
x,
t
)
lim
t 0
u(
x,
t
t
)u 2t
(
x,
t
t
)
其中，lim 后面的项称为差商(difference quotient)。 t 0
当t足够小时，可以用差商来近似导数。
即：
u(x,t t) u(x,t)
ut (x,t)
t
u(x,t) u(x,t t)
ut (x,t)
t
u(x,t t) u(x,t t)
The Elements of Computational Fluid Dynamics
第二章 有限差分方法基础
§2.1 有限差分方法概述 §2.2 导数的数值逼近方法 §2.3 差分格式的性质 §2.4 发展方程的稳定性分析
有限差分法基本原理
有限差分法基本原理有限差分法（Finite Difference Method）是一种常用的数值计算方法，用于求解偏微分方程的近似解。
其基本原理是将连续的偏微分方程转化为网格上的差分方程，通过对差分方程进行数值求解，得到问题的数值解。
首先，有限差分法将求解区域划分为一个个小网格。
通常使用矩形网格（二维）或立方体网格（三维），这些小网格称为离散点。
每个离散点上的函数值表示在该点处的近似解。
然后，将偏微分方程中的导数用差商来代替。
对于一阶导数，可以使用中心差商、前向差商或后向差商等。
中心差商是最常用的一种，它使用左右两个离散点的函数值来逼近导数的值。
例如，对于一维情况下的导数，中心差商定义为：f'(x)≈(f(x+h)-f(x-h))/(2h)其中，h表示网格的步长。
通过调整步长h的大小，可以控制逼近的精度。
对于高阶导数，可以使用更复杂的差分公式。
例如，对于二阶导数，可以使用中心差商的差商来逼近。
具体公式为：f''(x)≈(f(x+h)-2f(x)+f(x-h))/h^2通过将导数用差商代替，将偏微分方程转化为差分方程。
例如，对于二维泊松方程：∇²u(x,y)=f(x,y)其中，∇²表示拉普拉斯算子。
u(i,j)=1/4[u(i+1,j)+u(i-1,j)+u(i,j+1)+u(i,j-1)]-h²/4*f(i,j)其中，u(i,j)表示离散点(i,j)处的近似解，f(i,j)表示离散点(i,j)处的右端项。
最后，通过求解差分方程，得到问题的数值解。
可以使用迭代方法，例如Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法或SOR迭代法等，来求解差分方程。
迭代过程通过更新离散点上的函数值，直到满足收敛条件或达到指定的迭代次数。
总结来说，有限差分法通过将连续的偏微分方程转化为网格上的差分方程，然后通过数值求解差分方程，得到问题的近似解。
它是一种简单且高效的数值计算方法，广泛应用于科学计算、工程计算和物理仿真等领域。
第二章有限差分法初步-1
2!
(x)3 T (x) O(x)4 3!
（2.8）
由式（2.7）可得
T (x x) T (x) T (x) x T (x)
x
2!
O(x)
（2.9）
由式（2.8）可得
T (x) T (x x) T(x) x T(x)
x
2!
O(x)
（2.10）
（2.9）+（2.10），得到
第二章：有限差分法初步
§1 有限差分法基本概念 一、差商与微商
（i）、有限差分的数学基础是用差商代替微商。 有如下两种数学形式：
（i）微商（导数）的定义
若T (x) 是连续函数，则它的导数为：
dT lim T (x x) T (x) lim T （2.1）
dx x0
x
x0 x
T 式（2.1）右边 x
T (x x) T (x)
x
T
(x)
T(x x
x)
T (x x) T (x x) 2x
偏差分析：
（2.6）
将Taylor级数写成：
T (x x) T (x) x
x)
2
O(x)4
（2.7）
3!
Taylor级数还可写成：
T (x x) T (x) xT (x) (x)2 T (x)
长表示为x ，y方向的步长表示为y 。
节点编号：为便于计算，需对节点逐个编号。 常用（i，j） 表示节点位置，其中，i、j是 与网线相对应的正整数。
i，j 的排列：可有不同的方式。 习惯上，与x、y 轴相一致，i 由左而右逐个增长， j 由下而上逐个增长。
但也有，考虑到与矩阵的格式相一致， i 表示行数，
是有限的差商。
有限差分法基础
• 我们放弃了微分方程中独立变量可以取连续值的特征，而关注独立变 量离散取值后对应的函数值。
• 有限差分法的具体操作分为两个部分：
• (1)用差分代替微分方程中的微分，将连续变化的变量离散化，从而得 到差分方程组的数学形式；
d2 dx2
f (x)=
f (x x) 2 f (x) (x)2
f (x-x) +O(x2 )
(11)
d 2 f (x) f (x x) 2 f (x) f (x-x)
(12)
dx2
(x)2
（12）式称为二阶导数的二阶精度中心差分形式。忽略Δx的四次方及更高阶项
整理课件
12
总结： 对一阶导数 1、向前差分形式： 2、向后差分形式： 3、中心差分形式：
f (x x) f (x) x d f (x) (x)2 d 2 f (x) (x)3 d 3 f (x) (x)4 d 4 f (x)
dx
2! dx2
3! dx3
4! dx4
（1） （2）
（1）式减去（2）式，得到：
d f (x)= f (x x) f (x-x) +O(x2 )
（1）第一类边界条件
狄利克莱问题
G g(s)
（a） 直接转移法
在图中网格是按正方形分割， 步长为h。0点为靠近边界G的一个网格节点， 1和2为边界节点。我们取最靠近0点的 边界节点1上的函数值作为0点的函数值。 即取φ0≈φ1。
这种方法称为直接转移法，又称为零次插值法。
整理课件
20
（b） 线性插值法 先判断x方向的边界节点1和y方向的边界节点 2哪一个更靠近0点。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 !
3 !
4 !
（1-14）
f(x x ) f(x ) f(x ) f(x ) x f(x )( x ) 2 fI( V x )( x ) 3 O ( x ( ) 4 )
x
2 !
3 !
4 !
f(x ) O ( x )
（1-15）
6
第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（5/8）
函数的差分与自变量的差分之比，即为函数对自变量的差商。
一阶向前差商为 一阶向后差商为
yf(xx)f(x)
x
x
yf(x)f(xx)
x
x
（1-7） （1-8）
7
第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（6/8）
一阶中心差商为
yf(x12x)f(x12x)
x
x
或
yf(xx)f(xx)
x
2x
（1-9） （1-10）
8
第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（7/8）
二阶差商多取中心式，即
2y f(xx)2f(x)f(xx)
x2
(x)2
当然，在某些情况下也可取向前或向后的二阶差商。
（1-11）
9
第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（8/8）
13
第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（4/9）
将 f(xx) 与 f(xx)的Taylor展开式相加可得
f( x x ) 2 f( x ) f( x x ) f( x ) O ( x ( ) 2 ) x 2
（1-18）
这说明二阶中心差商的精度也为二阶
14
当J1=0时，称为向前差分； 当J2=0时，称为向后差分；
当J1=J2且| cj || cj |时，称为中心差分。
（1-19） （1-20）
15
第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（6/9）
函数的n阶差分与自变量的n阶差分之比为n阶差商，可用Taylor展开分析其逼近误差 O(xm) 。显然， m0的差商及其对应的差分是不恰当的。当且aj为表2-1至表2-6中所 列的数值时，可得m>0。
第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（5/9）
设有函数f(x)，自变量x的增量为 x，若取
x x i j x , j 0 , 1 , 2 ,
对应的函数值为 f(xi jx) ，则f(x)在xi处的n阶差分可表达为 J2
nf(xi) cj f(xi jx) jJ1 式中cj为给定系数，J1和J2是两个正整数。
dx x 0 x x 0
x
（1-1）
dy dx 是函数对自变量的导数，又称微商；
y 、x
分别称为函数及自变量的差分， y 为函数对自变量的差商。 x
பைடு நூலகம்
3
第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（2/8）
向前差分 yf(x x )f(x )
向后差分 yf(x )f(x x )
以上是一元函数的差分与差商。多元函数f(x,y,…)的差分与差商也可以类推。
如一阶向前差商为
ff(x x,y, )f(x,y, ),
x
x
（1-12）
f f(x,yy, )f(x,y, ),
y
y
（1-13）
10
第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（1/9）
中心差分
yf(x1 x)f(x1 x)
2
2
x 〉0
（1-2） （1-3） （1-4）
4
第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（3/8）
上面谈的是一阶导数，对应的称为一阶差分。对一阶差分再作一 阶差分，所得到的称为二阶差分，记为 2 y 。 以向前差分为例，有
2y(y) [f (xx) f (x)] f (xx)f (x) [f (x2x) f (xx)][f (xx) f (x)] f(x2x)2f(xx) f(x)
（1-5）
5
第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（4/8）
依此类推，任何阶差分都可由其低一阶的差分再作一阶差分得到。
例如n 阶前差分为
n y (n1y) [(n2 y)] {[(y)]} {[( f (x x) f (x)]}
（1-6）
（1-16）
一阶向后差商也具有一阶精度。
12
第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（3/9）
将 f(xx) 与 f(xx) 的Taylor展开式相减可得
f(x x ) f(x x )f(x ) O ( ( x )2 ) 2 x
可见一阶中心差商具有二阶精度。
（1-17）
cj
n!a j
J2
aj jn
j J1
（1-21）
16
第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（7/9）
表1 n0 1 -1
材料计算机数值模拟讲义
有限差分法
1
主要内容 1、差分原理及逼近误差 2、差分方程，截断误差和相容性 3、收敛性与稳定性 4、Lax等价定理
2
第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（1/8）
1．差分原理
设有x的解析函数y=f(x)，从微分学知道函数y对x的导数为
d yli m ylim f(x x )f(x )
11
第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（2/9）
f(x x )f(x ) xf(x ) ( x )2f(x ) ( x )3f(x ) ( x )4fIV (x ) O ( (x )5),
2 !
3 !
4 !
f(x )f(x x )f(x ) O ( x ) x
2．逼近误差
差商与导数之间的误差表明差商逼近导数的程度，称为逼近误差。 由函数的Taylor展开，可以得到逼近误差相对于自变量差分（增量） 的量级，称为用差商代替导数的精度，简称为差商的精度。
f ( x x ) f ( x ) x f ( x ) ( x ) 2 f ( x ) ( x ) 3 f ( x ) ( x ) 4 f I( x V ) O ( x ) ( 5 )