角

角

知识点一：角的概念

定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边,如图1中角的顶点是点O，边是射线OA、OB.

定义2：角也可以看作是一条射线绕着它的端点从起始位置旋转到终止位置所组成的图形。如图2中，射线起始位置OA称为角的始边，终止位置OB称为角的终边。

要点诠释：

（1）射线旋转时经过的平面部分(不包括射线本身)称为角的内部，平面其余部分称为角的外部。

（2）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线张开的幅度有关，角可以度量，可以比较大

小，可以参与运算。

（3）角的大小一旦确定，它的大小就不因图形的位置，图形的放大或缩小而改变。

知识点二：角的表示方法

角的表示方法共有四种。

方法1：角可以用三个大写英文字母表示，如图4－(1)所示，可以表示为∠AOB或∠BOA。

注意：角的顶点对应的字母要写在三个字母的中间。

方法2：角可以用一个大写英文字母表示，如图4－(2)所示，可以表示为∠O。

方法3：角可以用一个阿拉伯数字表示，如图4－(3)所示，可以表示为∠1。

方法4：角可以用一个小写的希腊字母表示，如图4－(4)所示，可以表示为∠α，常用的希腊字母有

α，β，γ等。

要点诠释：

对方法1，表示角的顶点的字母必须写在中间，角的边上的两个字母写在两边，位置可以颠倒。

对方法2，仅限于在一个顶点处只有一个角时，或者说从某一点引出的只有两条射线时，可以用此法表

示。如图5所示，顶点处有三个角，以点O为端点的有三条射线，就不能用一个大写英文字

母来表示，这时一般用三个大写字母表示。

对方法3，用阿拉伯数字表示角时，一定要在图中该角的位置上标出数字，并画上弧线后才可使用此种

表示方法。

对方法4，用小写的希腊字母表示时，表示的方法与用阿拉伯数字表示的方法相同，也必须在图中该角

的位置上标上字母，并画出弧线，方可使用。

知识点三：角的画法

角的画法通常有三种：

1、用量角器画出任何给定度数的角。

2、用直尺和圆规画一个角等于已知角。

3、用三角板画30°，45°，60°，90°等特殊角。

这三种画法各有所长。

要点诠释：

(1)若画的是某些特殊角，如画30°，45°，60°，90°角等，则直接用三角板即可；若画75°角，则

可将三角板30°和45°组合使用。类似地，特殊角还有120°，105°，135°，150°，15°，

165°等。

(2)若画一个角等于已知角，用直尺和圆规比较适合。

(3)若画一个给定度数的角，则用量角器比较适合。

(4)用直尺和圆规画一个角等于已知角属于尺规作图。五种基本的尺规作图是：

①画一个角等于已知角；

②画一条线段等于已知线段；

③画角的平分线；

④画已知直线的垂线；

⑤画已知线段的垂直平分线。

知识点四：平角和周角的概念

如图3，射线OA绕点O旋转，当终边位置OC和起始位置OA成一直线时，所成的角叫做平角；继续旋转，回到起始位置OA时所成的角叫做周角。

1平角＝180°，1周角＝360°，所以1周角＝2平角＝4直角。

要点诠释：

（1）平角与直线、周角与射线是有区别的，不能说“一条直线就是平角”，也不能说“一条射线就是

周角”。

（2）在今后所说的角，除非特别注明，都是指没有旋转到成为平角时所成的角，即小于平角的角。

知识点五：角的分类

大于零度且小于平角的角按照大小分为三类：锐角、直角和钝角，分别为：

①直角：平角的一半，叫做直角，1直角＝90°。

②锐角：大于0°而小于直角的角，叫做锐角，即0°＜锐角＜90°。

③钝角：大于直角且小于平角的角，叫做钝角，即90°＜钝角＜180°。

知识点六：角的度量与换算

1、角的度量单位是度、分、秒，把1周角等分成360份，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角等分

成60份，每一份就是1分的角，记作1′；把1分的角等分成60份，每一份就是1秒的角，记作1″。

2、1周角=360°，1平角=180°，1°＝60′，1′＝60″。

3、以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制。

要点诠释：

(1)度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时、分钟、秒的换算相同。

(2)角的度数的换算有两种方法：

①由度化成度、分、秒的形式(即从高位向低位化)，1°＝60′，1′＝60″；

例如，把18.18°化成度、分、秒表示的形式，首先有0.18°＝0.18×60′＝10.8′，再有0.8′＝0.8×60″＝48″，最后得18.18°＝18°10′48″。

②由度、分、秒的形式化成度(即从低位向高位化)，。

例如，把59°31′30″化成度的形式,首先有30″＝0.5′，再有31.5′＝31.5′÷60＝0.525°，

所以59°31′30″= 59.525°。

知识点七：角的比较方法

1、度量法

如图6，用量角器量得∠1＝40°，∠2＝30°，所以∠1＞∠2。

2、叠合法

如果比较∠ABC和∠DEF的大小，先让顶点B、E重合，再让BA边和ED边重合，使另一边EF和BC落在BA的同旁，如果EF和BC重合(如图7－(1))，那么∠DEF等于∠ABC，记作∠DEF＝∠ABC；如果EF落到∠ABC的外部(如图7－(2))，那么∠DEF大于∠ABC，记作∠DEF＞∠ABC；如果EF落到∠ABC的内部(如图7－(3))，那么∠DEF小于∠ABC，记作∠DEF＜∠ABC。

要点诠释：

(1)在比较角的大小时，除了度量法和叠合法以外，常用的还有中间值法，即让这两个角都与中间值作

比较，从而得出大小关系，但要注意中间值的选取一定要恰当。

(2)在度量法中，要注意量角器的正确使用。

(3)在叠合法中，要注意顶点重合，一边重合，另一边落在重合这边的同一侧。

知识点八：角平分线

从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，类似地，还有角的三等分线等。

要点诠释：

（1）如图8，射线OC把∠AOB分成∠1＝∠2，则射线OC是∠AOB的角平分线。