初等数论中的几个重要定理 引理 和推论
四大数论定理
四大数论定理四大数论定理是指费马小定理、欧拉定理、中国剩余定理和欧几里得算法。
这四个定理在数论领域中具有重要的地位和应用。
下面将分别介绍这四个定理的概念、原理和应用。
一、费马小定理：费马小定理是由法国数学家费马在17世纪提出的，是数论中的基本定理之一。
它的主要内容是：如果p是一个质数，a是任意一个整数，那么a的p次方减去a一定能够被p整除。
即a^p ≡ a (mod p)。
这个定理在密码学中有广泛的应用。
费马小定理的原理是基于模运算的性质。
对于给定的整数a和质数p，我们可以将a的p次方表示为a^p = a * a * a * ... * a。
根据模运算的性质，我们可以对每个乘法因子a进行取模操作。
由于模运算满足乘法的结合律和交换律，我们可以得到 a * a ≡ a^2 (mod p)，再依次类推，最终得到a^p ≡ a (mod p)。
费马小定理在密码学中的应用是基于离散对数问题。
通过费马小定理，我们可以快速计算模p下的指数问题，从而实现快速的加密和解密操作。
例如，RSA加密算法就是基于费马小定理和大素数的选择来实现的。
二、欧拉定理：欧拉定理是由瑞士数学家欧拉在18世纪提出的，是费马小定理的推广。
它的主要内容是：如果a和n互质，那么a的欧拉函数值φ(n)次方减去1一定能够被n整除。
即a^φ(n) ≡ 1 (mod n)。
欧拉定理在数论和密码学中都有重要的应用。
欧拉定理的原理是基于欧拉函数的性质。
欧拉函数φ(n)表示小于等于n且与n互质的正整数的个数。
对于给定的整数a和正整数n，我们可以将a的φ(n)次方表示为a^φ(n) = a * a * a * ... * a。
根据模运算的性质，我们可以对每个乘法因子a进行取模操作。
由于a和n互质，根据欧拉定理，我们可以得到a^φ(n) ≡ 1 (mod n)。
欧拉定理在密码学中的应用是基于模反演问题。
通过欧拉定理，我们可以快速计算模n下的指数问题，从而实现快速的加密和解密操作。
第五节初等数论中的几个重要定理
第五节 初等数论中的几个重要定理基础知识定义（欧拉(Euler)函数）一组数s x x x ,,,21 称为是模m 的既约剩余系，如果对任意的s j ≤≤1，1),(=m x j 且对于任意的Z a ∈，若),(m a ＝1，则有且仅有一个j x 是a 对模m 的剩余，即)(mod m x a j ≡。
并定义},,2,1{)(m s m ==ϕ中和m 互质的数的个数，)(m ϕ称为欧拉（Euler ）函数。
这是数论中的非常重要的一个函数，显然1)1(=ϕ，而对于1>m ，)(m ϕ就是1,2，…，1-m 中与m 互素的数的个数，比如说p 是素数，则有1)(-=p p ϕ。
引理：∏⋅=为质数）－（P |P 11)(mP m m ϕ；可用容斥定理来证（证明略）。
定理1：（欧拉（Euler ）定理）设),(m a ＝1，则)(mod 1)(m a m ≡ϕ。
证明：取模m 的一个既约剩余系))((,,,,21m s b b b s ϕ= ，考虑s ab ab ab ,,,21 ，由于a 与m 互质，故)1(s j ab j ≤≤仍与m 互质，且有i ab )1(s j i ab j ≤<≤∀，于是对每个s j ≤≤1都能找到唯一的一个s j ≤≤)(1σ，使得)(mod )(m b ab j j σ≡，这种对应关系σ是一一的，从而)(mod )(mod )(11)(1m b m b ab s j j s j j s j j∏∏∏===≡≡σ，∴))(mod ()(11m b b a sj j s j j s ∏∏==≡。
1),(1=∏=sj j b m ，)(mod 1m a s ≡∴，故)(mod 1)(m a m ≡ϕ。
证毕。
分析与解答：要证)(mod 1)(m a m ≡ϕ，我们得设法找出)(m ϕ个n 相乘，由)(m ϕ个数我们想到m ,,2,1 中与m 互质的)(m ϕ的个数：)(21,,,m a a a ϕ ，由于),(m a ＝1，从而)(21,,,m aa aa aa ϕ 也是与m 互质的)(m ϕ个数，且两两余数不一样，故)(21m a a a ϕ⋅⋅⋅ ≡)(21,,,m aa aa aa ϕ ≡)(m a ϕ)(21m a a a ϕ⋅⋅⋅ （m mod ），而（)(21m a a a ϕ⋅⋅⋅ m ）＝1，故)(mod 1)(m am ≡ϕ。
数论中的基本概念与定理
数论中的基本概念与定理数论作为数学的一个分支，研究整数的性质和规律。
它是纯粹抽象的数学分支，却具有深刻的应用价值。
本文将介绍数论中的一些基本概念与定理，包括素数、同余、欧几里得算法、费马小定理等。
一、素数素数是指不能被其他整数整除的数，除了1和自身以外没有其他因数的数。
素数是数论中最基本的概念，也是许多数论定理的基础。
素数的性质十分丰富，例如：任意大于1的整数必定可以被表示为有限个素数的乘积。
二、同余同余是数论中的重要概念，它描述了两个数在除以一个整数后的余数相等的情况。
若两个整数a和b满足a-b能被正整数m整除，则称a 与b关于模m同余。
同余关系具有如下性质：（1）若a与b关于模m 同余，即a≡b (mod m)，则a的整数倍与b的整数倍关于模m也同余；（2）若a与b关于模m同余，且b与c关于模m同余，则a与c关于模m同余。
三、欧几里得算法欧几里得算法是求解两个整数最大公约数的一种高效算法。
它基于如下定理：对于任意两个非零整数a和b，它们的最大公约数等于b和a%b的最大公约数，其中%表示取余运算。
利用这个定理，可以递归地求解最大公约数，直至余数为0，此时上一步的除数即为最大公约数。
四、费马小定理费马小定理是数论中的一条重要定理，它为许多数论问题的解决提供了便利。
设p为一个素数，a为与p互质的整数，则a^(p-1) ≡ 1 (mod p)，其中^表示乘方运算。
费马小定理的应用十分广泛，例如在RSA加密算法中就有重要作用。
五、欧拉函数欧拉函数是数论中的一个重要概念，它表示小于或等于某个正整数n的数中与n互质的数的个数。
记为φ(n)，例如φ(8) = 4，因为1、3、5、7都与8互质。
欧拉函数有如下性质：（1）若p为素数，则φ(p) = p-1；（2）若a与b互质，则φ(ab) = φ(a)φ(b)。
六、扩展欧几里得算法扩展欧几里得算法是求解形如ax+by=gcd(a,b)的一元二次方程的一种方法。
初等数论基本思想方法总结
初等数论基本思想方法总结初等数论是研究整数性质及其关系的数学分支，它包括了数的整除性质、最大公因数、素数分解等基本概念和理论。
初等数论的基本思想方法总结如下：1. 数的分类：在初等数论中，数的分类是非常重要的一步。
我们把整数分为偶数和奇数、正整数和负整数、完全平方数和非完全平方数等等。
这样的分类有助于我们更好地理解和描述数的性质。
2. 递归思想：初等数论中经常使用递归思想。
例如，整数的定义是基于自然数的递归定义。
在证明一些性质的时候，我们也可以使用数的递归性质来进行推导。
递归思想在解决问题时，常常能够将复杂的问题简化为简单的子问题。
3. 数的整除性质：整除是初等数论最基本的概念之一。
在初等数论中，我们要研究一个数能否被另一个数整除、两个数的最大公因数等问题。
对于整除性质的研究，我们常常使用带余除法、最大公因数等概念和定理。
4. 素数和合数：素数和合数是初等数论中重要的概念。
我们称大于1且只能被1和它本身整除的数为素数，否则我们称之为合数。
素数的性质在初等数论中有着重要的地位，素数分解定理将任意一个正整数表示为若干个素数的乘积，具有重要的理论和应用价值。
5. 辗转相除法：辗转相除法是初等数论中常用的算法之一。
它用于求两个数的最大公因数，通过不断地进行除法运算，将两个整数的最大公因数转化为较小整数的最大公因数，直到其中一个数为0为止。
6. 数的因子分解：在初等数论中，我们常常需要将一个数分解为几个素数和幂的乘积。
这种分解是数的因子分解，可以通过素数分解定理和辗转相除法来实现。
7. 同余：同余是初等数论中重要的概念和方法之一。
两个整数除以一个正整数所得的余数（都是非负整数）相等，我们就说这两个数对于这个正整数是同余的。
同余关系可以用来刻画整数的性质和关系，也可以用来解决一些问题。
8. 数的循环节性：在初等数论中，很多整数序列会出现循环节。
例如，10进制小数中的循环节、数的幂的个位数循环节等等。
这样的循环节性质可以通过数的除法和模运算来进行研究和验证。
初等数论中的欧拉定理
定理内容在数论中，欧拉定理（也称费马-欧拉定理）是一个关于同余的性质。
欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互素，(a,n) = 1，则a^φ(n) ≡ 1 (mod n)证明首先证明下面这个命题：对于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)},其中xi(i=1,2,…φ(n))是不大于n 且与n互素的数，即n的一个化简剩余系，或称简系，或称缩系)，考虑集合S = {a*x1(mod n),a*x2(mod n),...,a*xφ(n)(mod n)} 则S = Zn1) 由于a,n互质，xi也与n互质，则a*xi也一定于n互质，因此任意xi，a*xi(mod n) 必然是Zn的一个元素2) 对于Zn中两个元素xi和xj，如果xi ≠ xj则a*xi(mod n) ≠ a*xj(mod n)，这个由a、n互质和消去律可以得出。
所以，很明显，S=Zn既然这样，那么（a*x1 × a*x2×...×a*xφ(n)）(mod n)= （a*x1(mod n) × a*x2(mod n) × ... × a*xφ(n)(mod n)）(mod n)= （x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n)考虑上面等式左边和右边左边等于(a*（x1 × x2 × ... × xφ(n)）) (mod n)右边等于x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n)而x1 × x2 × ... × xφ(n)(mod n)和n互质根据消去律，可以从等式两边约去，就得到：a^φ(n) ≡ 1 (mod n)推论：对于互质的数a、n，满足a^(φ(n)+1) ≡ a (mod n)费马定理:a是不能被质数p整除的正整数，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)证明这个定理非常简单，由于φ(p) = p-1，代入欧拉定理即可证明。
数论的四大定理详解（转载）
数论的四⼤定理详解（转载）转载于:前⾔可以发现RSA中的很多攻击⽅法都是从数论四⼤定理推导出的，所以找时间好好学习了⼀下数论四⼤定理的证明及其应⽤场景——Rabin算法。
欧拉定理若$n,a$为正整数，且$n,a$互素，即$gcd(a,n) = 1$，则$a^{φ(n)}\equiv1\pmod{n}$证明⾸先，我们需要知道欧拉定理是什么：数论上的欧拉定理，指的是$a^{φ(n)}\equiv1\pmod{n}$这个式⼦实在$a$和$n$互质的前提下成⽴的。
证明⾸先，我们知道在1到$n$的数中，与n互质的⼀共有$φ(n$)个，所以我们把这$φ(n)$个数拿出来，放到设出的集合X中，即为$x_1,x_2……x_{φ(n)}$那么接下来，我们可以再设出⼀个集合为M，设M中的数为：$m_1=a∗x_1,m_2=a∗x_2……m_φ(n)=a∗x_{φ(n)}$下⾯我们证明两个推理：⼀、M中任意两个数都不模n同余。
反证法。
证明：假设M中存在两个数设为$m_a,m_b$模$n$同余。
即$m_a\equiv m_b$移项得到：$m_a−m_b=n∗k$再将m⽤x来表⽰得到：$a∗x_a−a∗x_b=n∗k$提取公因式得到：$a∗(x_a−x_b)=n∗k$我们现在已知$a$与$n$互质，那么式⼦就可以转化为：$x_a−x_b\equiv 0 \pmod{n}$因为$a$中没有与$n$的公因⼦（1除外）所以$a !\equiv 0 \pmod{n}$ 所有只能是$ x_a−x_b\equiv 0\pmod{n}$。
⼜因为$x_a,x_b$都是⼩于$n$的并且不会相同，那么上述的式⼦⾃然全都不成⽴。
假设不成⽴。
证得：$M$中任意两个数都不模$4$同余。
⼆、M中的数除以n的余数全部与n互质。
证明：我们已知$m_i=a∗x_i$⼜因为$a$与$n$互质，$x_i$与$n$互质，所以可得$m_i$与$n$互质。
带⼊到欧⼏⾥得算法中推⼀步就好了。
初等数论的性质与定理总结
初等数论的性质与定理总结初等数论是数论中的一个基础分支，研究整数的性质和整数运算规律。
本文将总结初等数论中的一些重要性质与定理。
一、整数的整除性质1. 整数的除法基本性质：对于任意整数a、b和非零整数c，存在唯一的整数q使得a = bq + c。
2. 整除关系的传递性：如果a能整除b，且b能整除c，则a能整除c。
3. 整除关系的辗转相除法：对于任意整数a和非零整数b，存在唯一的整数q和r使得a = bq + r（其中0 ≤ r < |b|）。
二、质数与合数1. 质数的定义：质数是指大于1且只能被1和自身整除的整数。
例如，2、3、5、7等都是质数。
2. 质因数分解定理：每个大于1的整数都可以唯一地表示为若干个质数的乘积。
3. 最大公约数与最小公倍数的性质：对于任意整数a和b，记a和b 的最大公约数为gcd(a, b)，最小公倍数为lcm(a, b)，则有以下性质： - gcd(a, b) = gcd(b, a)- gcd(a, 0) = |a|- lcm(a, b) = |ab| / gcd(a, b)三、模运算与同余1. 模运算的基本性质：对于任意整数a、b和正整数n，有以下性质：- (a + b) mod n = (a mod n + b mod n) mod n- (a - b) mod n = (a mod n - b mod n) mod n- (a * b) mod n = (a mod n * b mod n) mod n2. 同余关系的性质：对于任意整数a、b和正整数n，如果a与b模n同余（记作a ≡ b (mod n)），则有以下性质：- a + c ≡ b + c (mod n)- ac ≡ bc (mod n)- 如果a ≡ b (mod n)，则a^k ≡ b^k (mod n)对于任意正整数k四、费马小定理与欧拉定理1. 费马小定理：如果p是质数，a是任意正整数且p不整除a，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
初中数学全部公式定理推论归纳总结
初中数学全部公式定理推论归纳总结数学是一门科学，它研究的是数量、结构、空间以及变化等一切与运算和度量有关的概念和规律。
在初中数学中，我们学习了许多重要的公式、定理、推论和归纳方法，在解决问题中起到重要的作用。
下面是对这些知识点的一个总结，希望能够帮助大家更好地理解初中数学。
一、代数公式：1. 二项式定理：(a + b)^n = Cn0 * a^n + Cn1 * a^(n-1) * b^1 + Cn2 * a^(n-2) * b^2 + ... + Cnk * a^(n-k) * b^k + ... + Cnn *b^n2.平方差公式：(a+b)*(a-b)=a^2-b^23.平方根公式：(a+b)*(a-b)=a^2-b^2二、几何公式：1.勾股定理：直角三角形中，a^2+b^2=c^2，其中a、b为直角边，c为斜边的长度。
2.相似三角形定理：(1)AAA相似定理：两个三角形对应的角分别相等，则这两个三角形相似。
(2)SAS相似定理：两个三角形对应的两条边成比例并且夹角相等，则这两个三角形相似。
(3)SSS相似定理：两个三角形对应的三条边成比例，则这两个三角形相似。
3. 正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b、c为三角形的边长，A、B、C为对应的角度。
4. 余弦定理：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC，其中a、b、c为三角形的边长，C为夹角的角度。
5.正弦定理：A=π*r^2，其中r为圆的半径。
6.弧长公式：L=rθ，其中L为弧长，r为半径，θ为圆心角的弧度数。
7.扇形面积公式：S=1/2*r^2*θ，其中S为扇形的面积，r为半径，θ为圆心角的弧度数。
三、推论与定理：1.同位角定理：当两条直线被一条截线所交叉时，同位角相等。
2.内切圆定理：一个三角形的内切圆的半径等于三角形的周长与面积之比的一半。
3.外接圆定理：一个三角形的外接圆的半径等于三角形三边长度的乘积与面积的比的一半。
初等数论四大定理
初等数论四大定理威尔逊定理、欧拉定理、剩余定理（孙子定理）、费马小定理威尔逊定理：当且仅当p为素数时，有：(p-1)!≡-1(mod p)欧拉定理：若n,a为正整数，且n,a互质，(a,n)=1，则：a^φ(n)≡1(mod n)剩余定理（孙子定理）：若有一些两两互质的整数m1,m2,…,m n，则对任意的整数a1,a2,…,a n，以下联立同余方程组对模m1,m2,…,m n有公解：x≡a1(mod m1),x≡a2(mod m2),……,x≡a n(mod m n)费马小定理：若p是质数，且(a,p)=1，则：a^(p-1)≡1(mod p)之前一直认为费马小定理的证明很复杂，但是懂了欧拉定理之后就迎刃而解了.首先，我们需要知道欧拉定理是什么：数论上的欧拉定理，指的是a x≡1(modn)这个式子实在a和n互质的前提下成立的.为什么成立呢？下面来证一下.首先，我们知道在1到n的数中，与n互质的一共有φ(n)φ(n)个，所以我们把这φ(n)φ(n)个数拿出来，放到设出的集合X中，即为x1,x2……xφ(n)x1,x2……xφ(n).那么接下来，我们可以再设出一个集合为M，设M中的数为：m1=a∗x1m2=a∗x2……mφ(n)=a∗xφ(n)m1=a∗x1m2=a∗x2……mφ(n)=a∗xφ(n)下面我们证明两个推理：一、M中任意两个数都不模n同余.反证法.证明：假设M中存在两个数设为m a,m b ma,mb模n同余.即m a≡m b ma≡mb移项得到：m a−m b=n∗k ma−mb=n∗k再将m用x来表示得到:a∗x a−a∗x b=n∗k a∗xa−a∗xb=n∗k提取公因式得到a∗(x a−x b)=n∗k a∗(xa−xb)=n∗k我们现在已知a与n互质，那么式子就可以转化为：x a−x b≡0（modn)xa−xb≡0（modn)，因为a中没有与n的公因子（1除外）所以a对模n同余0并没有什么贡献.又因为x a,x b xa,xb都是小于n的并且不会相同，所以x a−x b xa−xb一定是小于n的，那么上述的式子自然全都不成立.假设不成立.证得：M中任意两个数都不模n同余.二、M中的数除以n的余数全部与n互质.证明：我们已知m i=a∗x i mi=a∗xi.又因为a与n互质，x i xi与n互质，所以可得m i mi与n互质.带入到欧几里得算法中推一步就好了.即gcd(a∗x i,n)=gcd(m i,n)=gcd(n,m i modn)=1证毕.根据我们证得的两个性质，就可以开始推式子了.首先，根据第二个性质可以知道，M中的数分别对应X中的每个数模n同余.所以可以得到：m1∗m2∗……∗mφ(n)≡x1∗x2∗……∗xφ(n)(modn)m1∗m2∗……∗mφ(n)≡x1∗x2∗……∗xφ(n)(modn)现在我们把m i mi替换成x的形式，就可以得到：a∗x1∗a∗x2∗……∗a∗xφ(n)≡x1∗x2∗……∗xφ(n)(modn)a∗x1∗a∗x2∗……∗a∗xφ(n)≡x1∗x2∗……∗xφ(n)(modn)很显然，我们应该移项了，但是在移项之前，我们认为这么多的a很烦，那么就先乘起来：aφ(n)∗(x1∗x2……∗xφ(n))≡x1∗x2……∗xφ(n)(modn)aφ(n)∗(x1∗x2……∗xφ(n))≡x1∗x2……∗xφ(n)(modn)很开心，我们终于凑出了aφ(n)aφ(n),那么就开始移项吧：(aφ(n)−1)∗(x1∗x2……∗xφ(n))≡0(modn)(aφ(n)−1)∗(x1∗x2……∗xφ(n))≡0(modn)然后，就出来啦：aφ(n)≡1(modn)aφ(n)≡1(modn)证毕.用现代数学的语言来说明的话，中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：有解的判定条件，并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式.中国剩余定理说明：假设整数m1,m2, ... ,m n两两互质，则对任意的整数：a1,a2, ... ,a n，方程组有解，并且通解可以用如下方式构造得到：设是整数m1,m2, ... ,m n的乘积，并设是除了m i以外的n- 1个整数的乘积.设为模的数论倒数( 为模意义下的逆元)方程组的通解形式为在模的意义下，方程组只有一个解：证明：从假设可知，对任何，由于，所以这说明存在整数使得这样的叫做模的数论倒数.考察乘积可知：所以满足：这说明就是方程组的一个解.另外，假设和都是方程组的解，那么：而两两互质，这说明整除 . 所以方程组的任何两个解之间必然相差的整数倍.而另一方面，是一个解，同时所有形式为：的整数也是方程组的解.所以方程组所有的解的集合就是：。
初等数论中的几个重要定理
初等数论中的几个重要定理基础知识定义（欧拉(Euler)函数）一组数称为是模的既约剩余系，如果对任意的，且对于任意的，若＝1，则有且仅有一个是对模的剩余，即。
并定义中和互质的数的个数，称为欧拉（Euler）函数。
这是数论中的非常重要的一个函数，显然，而对于，就是1,2，…，中与互素的数的个数，比如说是素数，则有。
引理：；可用容斥定理来证（证明略）。
定理1：（欧拉（Euler）定理）设＝1，则。
分析与解答：要证，我们得设法找出个相乘，由个数我们想到中与互质的的个数：，由于＝1，从而也是与互质的个数，且两两余数不一样，故（），而（）＝1，故。
证明：取模的一个既约剩余系，考虑，由于与互质，故仍与互质，且有，于是对每个都能找到唯一的一个，使得，这种对应关系是一一的，从而，。
，，故。
证毕。
这是数论证明题中常用的一种方法，使用一组剩余系，然后乘一个数组组成另外一组剩余系来解决问题。
定理2：（费尔马（Fermat）小定理）对于质数及任意整数有。
设为质数，若是的倍数，则。
若不是的倍数，则由引理及欧拉定理得，，由此即得。
定理推论：设为质数，是与互质的任一整数，则。
定理3：（威尔逊（Wilson）定理）设为质数，则。
分析与解答：受欧拉定理的影响，我们也找个数，然后来对应乘法。
证明：对于，在中，必然有一个数除以余1，这是因为则好是的一个剩余系去0。
从而对，使得；若，，则，，故对于，有。
即对于不同的对应于不同的，即中数可两两配对，其积除以余1，然后有，使，即与它自己配对，这时，，或，或。
除外，别的数可两两配对，积除以余1。
故。
定义：设为整系数多项式（），我们把含有的一组同余式（）称为同余方组程。
特别地，，当均为的一次整系数多项式时，该同余方程组称为一次同余方程组.若整数同时满足：，则剩余类（其中）称为同余方程组的一个解，写作定理4：（中国剩余定理）设是两两互素的正整数，那么对于任意整数，一次同余方程组，必有解，且解可以写为：这里，，以及满足，（即为对模的逆）。
高中数学中的初等数论概览
高中数学中的初等数论概览初等数论是数学中的一个分支，主要研究自然数的性质和关系。
它是数学中最古老的领域之一，早在古希腊时期就有人开始研究数论。
数论的研究对象是整数，而初等数论则专注于整数的基本性质和关系，涉及到的内容包括素数、最大公约数、同余等。
本文将对高中数学中的初等数论进行概览。
一、素数与合数素数是指大于1且只能被1和自身整除的整数。
例如，2、3、5、7、11等都是素数。
而能够被其他数整除的整数则被称为合数。
素数与合数是数论中最基本的概念之一。
素数的性质非常有趣且重要。
首先，任何一个大于1的整数都可以唯一地表示为若干个素数的乘积。
这就是著名的素因数分解定理。
其次，素数的个数是无穷的，这是欧几里得在公元前300年左右证明的。
这个证明被称为欧几里得的无穷素数定理。
在初等数论中，还有一个与素数相关的重要概念是互质。
两个整数a和b称为互质，如果它们的最大公约数是1。
例如，4和9是互质的，而6和9不是互质的。
互质的性质在数论中有着广泛的应用，例如在同余方程中。
二、最大公约数与最小公倍数最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）是指两个或多个整数中最大的能够整除它们的数。
最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）则是指两个或多个整数中最小的能够被它们整除的数。
最大公约数和最小公倍数在初等数论中有着重要的地位。
它们的计算方法有多种，例如质因数分解法、辗转相除法等。
最大公约数和最小公倍数在解决整数的分数化简、求解同余方程等问题时经常会用到。
三、同余与模运算同余是数论中一个重要的概念，它描述了两个整数在除以同一个数后的余数相等的情况。
例如，对于任意整数a和正整数m，如果a除以m的余数与b除以m的余数相等，即a ≡ b (mod m)，则称a与b对模m同余。
同余关系在初等数论中有着广泛的应用，例如在计算两个整数的幂时，可以利用同余关系简化计算。
此外，同余关系还与模运算密切相关。
初等数论知识点汇总高中数学
第一节 整数的p 进位制及其应用正整数有无穷多个，为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数，人们发明了进位制，这是一种位值记数法。
进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系，近几年来，国内与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现，比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。
在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。
基础知识 给定一个m 位的正整数A ，其各位上的数字分别记为021,,,a a a m m --，则此数可以简记为：021a a a A m m --=（其中01≠-m a ）。
由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A 可以表示成10的1-m 次多项式，即012211101010a a a a A m m m m +⨯++⨯+⨯=---- ，其中1,,2,1},9,,2,1,0{-=∈m i a i 且01≠-m a ，像这种10的多项式表示的数常常简记为10021)(a a a A m m --=。
在我们的日常生活中，通常将下标10省略不写，并且连括号也不用，记作021aa a A m m --=，以后我们所讲述的数字，若没有指明记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。
但是随着计算机的普及，整数的表示除了用十进制外，还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。
特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣，究其原因，主要是二进制只使用0与1这两种数学符号，可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断，所以二进制除了是一种记数方法以外，它还是一种十分有效的数学工具，可以用来解决许多数学问题。
为了具备一般性，我们给出正整数A 的p 进制表示： 012211a p a p a p a A m m m m +⨯++⨯+⨯=---- ，其中1,,2,1},1,,2,1,0{-=-∈m i p a i 且01≠-m a 。
而m 仍然为十进制数字，简记为p m m a a a A )(021 --=。
初等数论若干定理及其应用
p 3 个数对 a, k a ， 2
a
a A
1mod p
p 1 ! p 1 a
a A
p 1 1mod p
定理 3 可进一步表述为 p 为质数的充分必要条件是 p 1 ! 1 mod p 。 定理 5 （中国剩余定理）设 m1 , m2 , , m k 是两两互素的正整数，那么对于任意整
p 1 2
反之，若 a 则 x
2
p 1 2
a
mod p，记 y
x 2 ,n
5
p 1 2
初等数论的若干定理及其应用
由y
n
a n y a y k a n 1 k ，
k 0
n 1
若 y a mod p ，则
n 1
k 0
y
k
a n 1 k 0mod p ，对于任意的 y 。
证明： p 4q 1 ，
p 1 p 1 2q ， 1 2 1 ，由定理 7 ，结论显然。 2
2
推论 3
设 p 为形如 4q 1 质数，则二次同余方程 x
i
所以
即 次数为 k-1 的多项式 g x ，至少存在 k 个解，矛盾。 故 命题得证。 定理 7 若 l 为 a 关于摸 m 的阶，s 为某一正整数，满足 a
s
1mod m ，则 s 必为 l
的倍数。
4
初等数论的若干定理及其应用 证明：不妨 l 1 ，因为 l 为 a 关于摸 m 的阶，则 a l 1 mod m ， 且对于 1 k l ， a
初等数论中的几个重要定理 引理 和推论
初等数论中的几个重要定理基础知识定义（欧拉(Euler)函数）一组数称为是模的既约剩余系，如果对任意的，且对于任意的，若＝1，则有且仅有一个是对模的剩余，即。
并定义中和互质的数的个数，称为欧拉（Euler）函数。
这是数论中的非常重要的一个函数，显然，而对于，就是1,2，…，中与互素的数的个数，比如说是素数，则有。
引理：；可用容斥定理来证（证明略）。
定理1：（欧拉（Euler）定理）设＝1，则。
分析与解答：要证，我们得设法找出个相乘，由个数我们想到中与互质的的个数：，由于＝1，从而也是与互质的个数，且两两余数不一样，故（），而（）＝1，故。
证明：取模的一个既约剩余系，考虑，由于与互质，故仍与互质，且有，于是对每个都能找到唯一的一个，使得，这种对应关系是一一的，从而，。
，，故。
证毕。
这是数论证明题中常用的一种方法，使用一组剩余系，然后乘一个数组组成另外一组剩余系来解决问题。
定理2：（费尔马（Fermat）小定理）对于质数及任意整数有。
设为质数，若是的倍数，则。
若不是的倍数，则由引理及欧拉定理得，，由此即得。
定理推论：设为质数，是与互质的任一整数，则。
定理3：（威尔逊（Wilson）定理）设为质数，则。
分析与解答：受欧拉定理的影响，我们也找个数，然后来对应乘法。
证明：对于，在中，必然有一个数除以余1，这是因为则好是的一个剩余系去0。
从而对，使得；若，，则，，故对于，有。
即对于不同的对应于不同的，即中数可两两配对，其积除以余1，然后有，使，即与它自己配对，这时，，或，或。
除外，别的数可两两配对，积除以余1。
故。
定义：设为整系数多项式（），我们把含有的一组同余式（）称为同余方组程。
特别地，，当均为的一次整系数多项式时，该同余方程组称为一次同余方程组.若整数同时满足：，则剩余类（其中）称为同余方程组的一个解，写作定理4：（中国剩余定理）设是两两互素的正整数，那么对于任意整数，一次同余方程组，必有解，且解可以写为：这里，，以及满足，（即为对模的逆）。
初等数论知识点总结
《初等数论》总结姓名 xxx学号 xxxxxxxx院系 xxxxxxxxxxxxxxx专业 xxxxxxxxxxxxxxx个人感想初等数论是一门古老的学科，它对于数的性质以及方程整数的解做了深入的研究，是对中等数学数的理论的继续和提高。
有时候上课听老师讲解一些例题，觉得比较简单，结果便是懂非懂地草草了之，但是过段时间做老师留下的一些相似的课后练习时，又毫无头绪，无从下手。
这就是上课的时候没做到全神贯注地去听，所以课下的时间尤为重要，一定做好复习巩固的工作。
老师讲课的方法也十分好，每次上课都会花二十分钟到半个小时来对上节课的知识帮助我们进行回顾，我想很多同学都喜欢并适合这种教学方式。
知识点总结第一章 整数的可除性1. 定义：设是给定的数，，若存在整数，使得则称整除，记作，并称是的一个约数，称是的一个倍数，如果不存在上述，则称不能整除 2性质：(1)若且，则(传递性质)；(2)若且，则即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。
若反复运用这一性质，易知及，则对于任意的整数有。
更一般，若都是的倍数，则。
或着，则其中；(3)若，则或者，或者，因此若且，则； (4)互质，若，则；b a ,0≠bc bc a =b a a b |b a a b c b a c b |a c |a b |a b |c b |)(|c a b ±a b |c b |v u ,)(|cv au b ±n a a a ,,,21 b )(|21n a a a b +++ i b a |∑=ni ii b c a 1|n i Z c i ,,2,1, =∈a b |0=a ||||b a ≥a b |b a |b a ±=b a ,c b c a |,|c ab |(5)是质数，若，则能整除中的某一个；特别地，若是质数，若，则；(6)(带余数除法)设为整数，，则存在整数和，使得，其中，并且和由上述条件唯一确定；整数被称为被除得的(不完全)商，数称为被除得的余数。
初等数论知识点总结
《初等数论》总结姓名 xxx学号 xxxxxxxx院系 xxxxxxxxxxxxxxx专业 xxxxxxxxxxxxxxx个人感想初等数论是一门古老的学科，它对于数的性质以及方程整数的解做了深入的研究，是对中等数学数的理论的继续和提高。
有时候上课听老师讲解一些例题，觉得比较简单，结果便是懂非懂地草草了之，但是过段时间做老师留下的一些相似的课后练习时，又毫无头绪，无从下手。
这就是上课的时候没做到全神贯注地去听，所以课下的时间尤为重要，一定做好复习巩固的工作。
老师讲课的方法也十分好，每次上课都会花二十分钟到半个小时来对上节课的知识帮助我们进行回顾，我想很多同学都喜欢并适合这种教学方式。
知识点总结第一章 整数的可除性1. 定义：设是给定的数，，若存在整数，使得则称整除，记作，并称是的一个约数，称是的一个倍数，如果不存在上述，则称不能整除 2性质：(1)若且，则(传递性质)；(2)若且，则即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。
若反复运用这一性质，易知及，则对于任意的整数有。
更一般，若都是的倍数，则。
或着，则其中；(3)若，则或者，或者，因此若且，则； (4)互质，若，则；(5)是质数，若，则能整除中的某一个；特别地，若b a ,0≠bc bc a =b a a b |b a a b c b a c b |a c |a b |a b |c b |)(|c a b ±a b |c b |v u ,)(|cv au b ±n a a a ,,,21 b )(|21n a a a b +++ i b a |∑=ni ii b c a 1|n i Z c i ,,2,1, =∈a b |0=a ||||b a ≥a b |b a |b a ±=b a ,c b c a |,|c ab |p n a a a p 21|p n a a a ,,,21是质数，若，则；(6)(带余数除法)设为整数，，则存在整数和，使得，其中，并且和由上述条件唯一确定；整数被称为被除得的(不完全)商，数称为被除得的余数。
数论的几个重要定理(精选、)
11 数论的几个重要定理欧拉定理、费马小定理、威尔逊定理及中国剩余定理是数论的四大定理，它们是解决数论问题的重要工具。
下面介绍这几个定理在竞赛数学中的应用方法。
1． 基本原理定理1（欧拉定理） 设m 为大于1的整数，(,)1a m =，()m ϕ为欧拉函数，则()1(mod )m a m ϕ≡.证 设{}12(),,,m r r r ϕ…为模m 的一个简化剩余系，因为(,)1a m =，所以 {}12(),,,m ar ar ar ϕ…也是模m 的一个简化剩余系，从而有 12()12()()()()(mod )m m ar ar ar r r r m ϕϕ≡……，即 ()12()12()()(mod )m m m a rr r rr r m ϕϕϕ≡ (1)因为12()(,)1m r r r m ϕ=… ，所以由（1）得 ()1(mod )m a m ϕ≡.定理2（费马小定理） 设p 是素数，(,)1a p =，则11(mod )p a p -≡.证 因为p 是素数，所以()1p p ϕ=-，由欧拉定理知()1(mod )p a p ϕ≡，∴ 11(mod )p a p -≡.推论 设p 为素数，a 为整数，则(mod )p a a p ≡ （2）证 当p a 时，（2）式显然成立.当p 不能整除a 时，因为p 为素数，所以(,)1a p =.由定理2得 11(mod )p ap -≡， ∴ (mod )p a a p ≡.定理3（威尔逊定理） 若p 为素数，则(1)!1(mod )p p -≡-.证 {}2,3,,2a p ∀∈-…，因为(,)1a p =，所以{},2,,(1)a a p a -…也是模p 的简化剩余系，故存在唯一的{}1,2,,1b p ∈-…，使得1(mod )ba p ≡ （1）∵ {}2,3,,2a p ∈-…，∴ 1b ≠，1b p ≠-.若b a =，则21(mod )a p ≡∴ (1)(1)0(mod )a a p -+≡.∴ 11(mod )a p ≡-或,这与{}2,3,,2a p ∈-…矛盾.综上即知{}2,3,,2b p ∈-…且b a ≠.将{}2,3,,2p -…中的数按（1）式两两配对，得234(2)1(mod )p p ⨯⨯⨯⨯-≡…，∴ (1)!1(mod )p p -≡-.定理4（中国剩余定理） 设12,,,k m m m …是k 个两两互质的正整数，12k m m m m =…，i im M m =，1,2,,i k =…，则同余式组 1122(mod )(mod )(mod )kk x a m x a m x a m ≡⎧⎪≡⎪⎨⎪⎪≡⎩…… (1)有唯一解 111222(mod )k k k x M M a M M a M M a m '''=+++ (2)其中1(mod )i i i M M m '≡，1,2,,i k =….证 容易验证（2）是（1）的解.又若x '，x ''均是（1）的解，则对于1,2,,i k =…，有(mod )i i x a m '≡(mod )i i x a m ''≡，从而有 0(mod )i x x m '''-≡，又因为12,,,k m m m …两两互质，从而有0(mod )x x m '''-≡，即 (mod )x x m '''≡，所以x '与x ''是同余式组（1）的相同解.设1m >，(,)1a m =，则由欧拉定理知()1(mod )m a m ϕ≡，我们把满足条件1(mod )r a m ≡的最小正整数r 称为a 对模m 的阶，或称为a 对模m 的指数.关于a 对模m 的阶，我们有如下结论.定理5 设1m >，(,)1a m =，a 对模m 的阶为0n ，n 为正整数.若1(mod )na m ≡，则0n n .证 由带余除法知，存在非负整数q 及r ，使得 0n qn r =+，00r n ≤<.所以 001()(mod )qn r n n q r r a a a a a m +===≡，由于0r n <，由0n 的最小性知0r =，所以0n n .2． 方法解读用上述定理解题，除应掌握数论解题的基本方法外，还应对这几个定理的用途有一定的 认识.一般说来，欧拉定理与费马小定理提供了降幂与归1的工具.威尔逊定理提供了处理连续整数的积的方法.中国剩余定理提供了某些存在性问题的构造方法.定理5提供了由方幂的指数导出整除关系的途径.例1 求使21n -为7的倍数的所有正整数n ..解 ∵ 122(mod 7)≡，224(mod 7)≡，321(mod 7)≡，所以2对模7的阶为3.又因为21(mod 7)n ≡，所以由定理5知 3n ，即3()n k k N +=∈.例2 设整数a ，b ，c 满足0a b c ++=，记201120112011d ab c =++，求证d 不是素 数.证 ∵ 2(mod 2)a a ≡，∴ 2011(mod 2)aa ≡ 同理知 2011(mod 2)b b ≡，2011(mod 2)c c ≡， ∴ 2011201120110(mod 2)a b c a b c ++≡++≡， ∴ 2d .又由费马小定理知，3(mod 3)a a ≡，word. ∴ 201120103670670669232232()a a a a a a a a a a a ⨯≡≡≡≡≡223222478262793(mod 3)a a a a a a a a a a a a ≡≡≡≡≡≡≡≡，同理可证 2011(mod 3)bb ≡，2011(mod 3)c c ≡， ∴ 2011201120110(mod3)a b c a b c ++≡++≡，∴ 3d . 又∵ (2,3)1=，∴ 6d ，所以d 不是素数.例3 证明：数列1,19,119,1119,11119，…中有无穷多个合数.证 因为19是素数，(10,19)1=，由费马小定理知 18101(mod19)≡，所以对于任 意的正整数n ，有 18101(mod19)n ≡，∴ 181010(mod19)n -≡，∴ 18191110(mod19)n ⨯≡个…，∵ (199)1=，， ∴ 18119111n 个…，∴ 1811911119n 个…，即 1811911119n 个….由于正整数n 有无穷多个，所以数列中有无穷多项被19整除，故数列中有无穷多项为合数.例4（第47界IMO 预选题） 已知(0,1)x ∈，令(0,1)y ∈，且y 的小数点后第n 位数字是x 的小数点后第2n 位数字.证明：若x 为有理数，则y 也为有理数.证 设120.n x x x x =……， 120.n y y y y =……，则对于1,2,n =…，有2n n y x =.因为x 为有理数，所以数列{}n x 从某项开始为周期数列，为了说话方便，不妨设{}n x 为周期数列，d 为它的一个周期，02nd v =，其中0n 为非负整数，v 为大于1的奇数（这是可以办到的，因为若T 为数列的周期，则3T 也为周期）.现令()v ωϕ=，由欧拉定理知，()221(mod )v v ωϕ=≡，从而有00022(mod(2))n n n v ω+≡⋅， 即 0022(mod )n n d ω+≡，所以对于任意的正整数0n n >，有 00002222(mod )n n n n n n d ω+--⋅≡， 即 22(mod )n n d ω+≡.∵ d 是{}n x 的周期，从而有 22n n x x ω+=， 即n n y y ω+=.综上知，对于任意的0n n >，都有n n y y ω+=，所以{}n y 从第01n +项开始为周期数列，因此y 为有理数.例5设1000(5x =+，求[]x 的末三位数.解 令1000(5y =-.∵ 10000(51<-<，∴ 01y <<.又因为 10001000(5(5x y +=++-100099839963224100010002(55(23)5(23)C C =+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ 23449350099810005(23)(23))C ++⋅⋅⋅+⋅…（1） 所以 []1x x y =+-.由（1）式知10003500252(23)(mod1000)x y +≡⨯+⋅⋅（2） ∵ 3100058=⨯，1000350(mod 5)≡ （3）10005005005(25)11(mod8)=≡= （4）由（3）得 1000355t =，代入（4）得351(mod8)t ≡，即 51(mod8)t ≡，∴ 5(mod8)t ≡.85t k ≡+，所以 100033555(85)625(mod1000)t k ==+≡，∴ 1000252625250(mod1000)⨯≡⨯≡.又∵ 15ϕ（125）=125(1-)=100，由欧拉定理知 3100(23)1(mod125)⋅≡，∴ 3500(23)1(mod125)⋅≡ （5）又 3500(23)0(mod8)⋅≡ （6）由（5）得 3500(23)1251t ⋅≡+，代入（6）得12510(mod8)t +≡，即 510(mod8)t +≡，∴ 3(mod8)t ≡.∴ 83t k =+，代入得 3500(23)125(83)1376(mod1000)k ⋅=++≡， ∴ 35002(23)2376752(mod1000)⋅⋅≡⨯=.综上知，10003500252(23)2507522(mod1000)x y +≡⋅+⋅⋅≡+≡，所以 11(mod1000)x y +-≡，故[]x 的末三位数为001.例6求具有如下性质的素数p 的最大值：存在1,2,,p …的两个排列（这两个排列可 以相同）1212,,,,,,p p a a a b b b …与…，使得1122,,,p p a b a b a b …被p 除所得的余数互不相同.解 不妨设 121,2,,p a a a p ===….若p b p ≠，则存在 {}1,2,,1i p ∈-…，使得 i b p =，从而有 0(mod )i i a b p ≡，0(mod )p p a b p ≡，从而有 (mod )i i p p a b a b p ≡，这与题设矛盾，因此有 p b p =.因为 0(mod )p p a b p ≡，又1122,,,p p a b a b a b …被p 除所得的余数互不相同，所以 112211,,,p p a b a b a b --…被p 除的余数构成的集合为{}1,2,,1p -…，由有威尔逊定理，得112211()()()123(1)(1)!1(mod )p p a b a b a b p p p --≡⋅⋅-=-≡-…….又 112211()()()p p a b a b a b --…121121()()p p a a a b b b --=……(1)!(1)!(1)(1)1(mod )p p p =--≡--=，∴ 11(mod )p -≡，∴ 20(mod )p ≡，∴ 2p .由于p 为素数，所以2p =.容易验证2p =满足要求.故所求的最大值为2.例7设整数n ，q 满足5n ≥，2q n ≤≤且q 不为某个质数的平方，试证：(1)!(1)n q q ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（1） 这里[]x 表示x 的这个数部分.证 若q 为合数，因为q 不为质数的平方，所以存在大于1的整数a ，b ，a b ≠，使得q ab =.因为q n ≤，所以1a n ≤-，1b n ≤-，从而有(1)!q n -，因此(1)!(1)!n n q q ⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦. ∵ (1)(1)!q n --，(1)!q n -，(1,)1q q -=，∴ (1)(1)!q q n --，∴ (1)!(1)!(1)n n q q q ⎡⎤---=⎢⎥⎣⎦，故结论成立. 若q 为质数，当q n <，易知(1)!q n -，从而有(1)!(1)!n n q q ⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦. 又因为 (1)(1)!q n --，(1,)1q q -=，所以 (1)(1)!q q n --,∴ (1)!(1)!(1)n n q q q ⎡⎤---=⎢⎥⎣⎦，结论成立. 当q n =时，因为q 为质数，由威尔逊定理知 (1)!(1)!1(mod )n q q -=-≡-，所以(1)!10(mod )n q -+≡，∴ (1)!1q n -+，所以 (1)!(1)!1(1)!(1)1n n n q q q q ⎡⎤--+---=-=⎢⎥⎣⎦. 又因为 (1)(1)!(1)q n q ----，(1,)1q q -=，所以 ()(1)(1)!(1)q q n q ----， ∴ (1)!(1)(1)!1n q n q q q ⎡⎤-----=⎢⎥⎣⎦（），故结论成立. 例8 若一个正整数的标准分解式中，每个素约数的幂次都大于1，则称这个数为幂数. 证明：对于任意的正整数n (2)n ≥，存在n 个连续的正整数，其中每一个数都不是幂数.证 选取n 个互不相同的素数12,,,n p p p ….由中国剩余定理知，同余式组2112222(mod )1(mod )(1)(mod )n n x p p x p p x n p p ⎧≡⎪≡-+⎪⎨⎪⎪≡--+⎩…………（1）有解.设222012(mod )n x x p p p ≡… 0(0)x >是（1）的唯一解，则对于0,1,2,,1i n =-…，有2i p 不整除0x i +且0i p x i +，故 0x i +不是幂数.因此，n 个连续正整数0000,1,2,,(1)x x x x n +++-…满足要求.例9 设1n >，21n n +，证明3n .证 设p 是n 的最小素因子，2对模p 的阶为r .∵ 21n n +， ∴ 21n p +，∴ 210(mod )n p +≡，∴ 21(mod )n p ≡-，221(mod )n p ≡ （1） 又因为p 为奇素数，所以 (2,)1p =.由费马小定理知121(mod )p p -= （2）由（1），（2）及定理5知，2r n ，1r p -，故1(2,1)2(,)2p r n p n --=.设1(,)2p d n -=，则 d n ，12p d -.因为n 为奇数，所以d 为奇数.又112p d p p -≤<-<，从而由p 的最小性知1d =，所以 (2,1)2n p -=，从而有 2r .又显然有1r >，所以2r =，即2对模p 的阶为2，从而知3p =，即3n .习 题111．已知 17x =，当1n >时，17n x n x -=，求n x 的末两位数.2．证明数列37,337,3337,33337，……中有无穷多个合数.3．证明有无穷多个正整数n ，使得2100(2)n n +.最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成word文本--------------------- 方便更改。
初中数学重点公式定理推论总结5
初中数学重点公式定理推论总结5初中数学重点公式定理推论总结5初中数学是中学数学的基础，学好初中数学对于学习高中数学和以后的数学学习都至关重要。
在初中数学中，有许多重点的公式、定理和推论，掌握这些重点内容是非常必要的。
以下是我总结的初中数学重点公式、定理和推论。
一、整式的运算1.整式的加法和减法：对于同类项，直接合并同类项的系数，对于不同类项，保持原样；2.整式的乘法：将每一项的系数相乘，把相同的指数合并成一个指数；3.括号的展开：使用分配律，将括号中的每一项与外面的项分别相乘，然后将结果相加；4. 完全平方公式：(a + b)² = a² + 2ab + b²；5. 完全立方公式：(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³。
二、一次函数1. 一次函数的表示形式：y = kx + b；2.直线的斜率：斜率k=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)；3.平行线和垂直线的斜率关系：平行线的斜率相等，垂直线的斜率互为相反数；4.直线的方程：已知一点和斜率，可以求得直线的方程；5.一次函数的图像表示：直线。
三、二次函数1. 二次函数的表示形式：y = ax² + bx + c；2.二次函数的顶点坐标：顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))；3. 判别式和二次函数的根：判别式D = b² - 4ac，当 D > 0 时，二次函数有两个不相等的实根，当 D = 0 时，二次函数有两个相等的实根，当 D < 0 时，二次函数没有实根；4.二次函数的对称轴：对称轴方程为x=-b/2a；5.二次函数的图像表示：抛物线。
四、平方根和勾股定理1. 平方根的性质：对于非负实数 a 和 b，有(√a)² = a，√(ab) = √a · √b；2.勾股定理：直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²；3.勾股定理的逆定理：若三条边满足a²+b²=c²，则为直角三角形。
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初等数论中的几个重要定理
基础知识
定义（欧拉(Euler)函数）一组数称为是模的既约剩余系，如果对任意的，且对于任意的，若＝1，则有且仅有一个是对模的剩余，即。
并定义中和互质的数的个数，
称为欧拉（Euler）函数。
这是数论中的非常重要的一个函数，显然，而对于，就是1,2，…，
中与互素的数的个数，比如说是素数，则有。
引理：；可用容斥定理来证（证明略）。
定理1：（欧拉（Euler）定理）设＝1，则。
分析与解答：要证，我们得设法找出个相乘，由个数我们想到中与互质的的个数：，由于＝1，从而
也是与互质的个数，且两两余数不一样，故
（），而（）＝1，故。
证明：取模的一个既约剩余系，考虑，由
于与互质，故仍与互质，且有，于是对每个都能找到唯一的一个，使得，这种对应关系
是一一的，从而，。
，，故。
证毕。
这是数论证明题中常用的一种方法，使用一组剩余系，然后乘一个数组组成另外一组剩余系来解决问题。
定理2：（费尔马（Fermat）小定理）对于质数及任意整数有。
设为质数，若是的倍数，则。
若不是的倍数，则
由引理及欧拉定理得，，由此即得。
定理推论：设为质数，是与互质的任一整数，则。
定理3：（威尔逊（Wilson）定理）设为质数，则。
分析与解答：受欧拉定理的影响，我们也找个数，然后来对应乘法。
证明：对于，在中，必然有一个数除以余1，这是因为
则好是的一个剩余系去0。
从而对，使得；
若，，则，，故
对于，有。
即对于不同的对应于不同的，即
中数可两两配对，其积除以余1，然后有，使，即与它自己配对，这时，，或，
或。
除外，别的数可两两配对，积除以余1。
故。
定义：设为整系数多项式（），我们把含有的一组同余式
（）称为同余方组程。
特别地，，当均为的一次整系数多项式时，该同余方程组称为一次同余方程组.若整数同时满足：
，则剩余类（其中）称为同余方程组的一个解，写作
定理4：（中国剩余定理）设是两两互素的正整数，那么对于任意整数
，一次同余方程组，必有解，且解可以写为：
这里，，以及满足，
（即为对模的逆）。
中国定理的作用在于它能断言所说的同余式组当模两两互素时一定有解，而对于解的形式并不重要。
（拉格郎日定理）设是质数，是非负整数，多项式
定理5：
是一个模为次的整系数多项式（即），则同余方程至多有个解（在模有意义的情况下）。
定理6：若为对模的阶，为某一正整数，满足，则必为的倍数。
以上介绍的只是一些系统的知识、方法，经常在解决数论问题中起着突破难点的作用。
另外还有一些小的技巧则是在解决、思考问题中起着排除情况、辅助分析等作用，有时也会起到
意想不到的作用，如：，。
这里我们只介绍几个较为直接的应用这些定理的例子。
典例分析
例1.设，求证：。
证明：因为，故由知，从而，但是
，故由欧拉定理得：，，从而；同理，。
于是，，即。
注明：现考虑整数的幂所成的数列：若有正整数使，则有，其中；
因而关于，数列的项依次同余于这个数列相继的项成一段，各段是完全相同的，因而是周期数列。
如下例：
例2．试求不大于100，且使成立的自然数的和。
解：通过逐次计算，可求出关于的最小非负剩余（即为被11除所得的余数）为：
因而通项为的数列的项的最小非负剩余构成周期为5的周期数列：
3，9，5，4，1，3，9，5，4，1，………
类似地，经过计算可得的数列的项的最小非负剩余构成周期为10的周期数列：
7，5，2，3，10，4，6，9，8，1，………
于是由上两式可知通项为的数列的项的最小非负剩余，构成周期为10（即上两式周期的最小公倍数）的周期数列：
3，7，0，0，4，0，8，7，5，6，………
这就表明，当时，当且仅当时，，即；又由于数列的周期性，故当时，满足要求的只有三个，即
从而当时，满足要求的的和为：
.
下面我们着重对Fetmat小定理及其应用来举例：
例3．求证：对于任意整数，是一个整数。
证明：令，则只需证是15的倍数即可。
由3，5是素数及Fetmat小定理得，，则
；
而（3，5）=1，故，即是15的倍数。
所以是整数。
例4．求证：（为任意整数）。
证明：令，则；
所以含有因式
由Fetmat小定理，知13|7|
又13，7，5，3，2两两互素，所以2730=能整除。
例5．设是直角三角形的三边长。
如果是整数，求证：可以被30整除。
证明：不妨设是直角三角形的斜边长，则。
若2 ，2 ，2 c，则，又因为
矛盾！
所以2|.
若3 ，3 ，3 c，因为，则
，又，矛盾！从而3|.
若 5 ，5 ，5 c，因为，，所以或0(mod5)与矛盾！
从而5|.
又(2,3,5)=1，所以30|.
下面讲述中国剩余定理的应用
例6．证明：对于任意给定的正整数，均有连续个正整数，其中每一个都有大于1的平方因子。
证明：由于素数有无穷多个，故我们可以取个互不相同的素数，而考虑同余组①
因为显然是两两互素的，故由中国剩余定理知，上述同余组有正整数解。
于是，连续个数分别被平方数整除。
注：（1）本题的解法体现了中国剩余定理的一个基本功效，它常常能将“找连续个正整数具有某种性质”的问题转化为“找个两两互素的数具有某种性质”，而后者往往是比较容易解决的。
（2）本题若不直接使用素数，也中以采用下面的变异方法：由费尔马数
两两互素，故将①中的转化为后，相应的同余式也有解，同样可以导出证明。
例7．证明：对于任意给定的正整数，均有连续个正整数，其中每一个都不是幂数。
分析：我们来证明，存在连续个正整数，其中每一个数都至少有一个素因子，在这个数的标准分解中仅出现一次，从而这个数不是幂数。
证明：取个互不相同的素数，考虑同余组
因为显然是两两互素的，故由中国剩余定理知，上述同余组有正整数解。
对于因为，故，但由①式可知，即
在的标准分解中恰好出现一次，故都不是幂数。
例8．设是给定的偶数，且是偶数。
证明：存在整数使得，且。
证明：我们先证明，当为素数幂时结论成立。
实际上，能够证明，存在使
且：
若，则条件表明为偶数，此时可取；
若，则与中有一对满足要求。
一般情形下，设是的一个标准分解，上面已经证明，对每
个存在整数使得且，而由中国剩余定理，
同余式①有解，
同余式②有解。
现不难验证解符合问题中的要求：因，故，
于是，又由①②知，
故。
注：此题的论证表现了中国剩余定理最为基本的作用：将一个关于任意正整数的问题，化为为素数幂的问题，而后者往往是比较好处理的。