几种特殊的滤波器

N
N=8时，零点为zk=ej2 πk/8，k=0,1,2, …,7； 极点为
pk ae
8
j
2 k 8
零极点分布和幅度特性曲线如下：
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a=0.2
a=0.9
梳状滤波器零极点分布和幅度特性曲线
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梳状滤波器的应用： 梳状滤波器可滤除输入信号中ω=2πk/N, k=0,1,
…N-1的频率分量。且幅度特性的过渡带比较窄，或
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逆系统定义：
H(z)=B(z)/A(z)的逆系统为
1 A( z ) H ( z ) B( z )
当且仅当H(z)为最小相位系统时，逆系统才因果稳定。
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例 确定下面FIR系统的零点，并指出系统是最小， 最大相位系统还是混合相位系统。
H1 z 6 z 1 z 2 , 5 1 3 2 H3 z 1 z z , 2 2 H 2 z 6 z 1 6 z 2 5 1 2 2 H4 z 1 z z 3 3
代替时，可得到与其幅频特性相同的最小相位系统。
H z Hmin z Hap z
H e j H min e j
2）在幅频特性相同的所有因果稳定系统中，最小相位
系统的相位延迟(负的相位值)最小。 全通系统Hap(z)的相位函数是非正的。
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3）最小相位系统保证它的逆系统因果稳定。
几种特殊类型的滤波器
1、 全通滤波器
2、 梳状滤波器 3、最小相位滤波器
1
1、 全通滤波器
定义：滤波器的幅度特性在整个频带[0～2π]上均等
于常数，或者等于1，即|H(ejω)| =1,0≤ ω ≤ 2π则该
滤波器称为全通滤波器 (或全通系统、全通网络) 全通滤波器的频率响应函数
H (e ) e
频率响应函数H(ejωN)
周期为2π/N
[0, 2π]上有N个相同频率特性的周期
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1 z 1 , 0 a 1 ，利用该系数函数 例 已知 H z 1 1 az
形成N=8的梳状滤波器。 解：用zN代替H(z)中的z，得到
1 z H z N 1 az
N
全通滤波器的应用： 全通滤波器是一种纯相位滤波器，常用于相位校正。 例如， IIR滤波器一般是非线性相位的，可采用全通 滤波器作为相位均衡器来校正得到线性相位，同时又 不改变系统的幅度特性。
1
8
2、 梳状滤波器
梳状滤波器的构成原理 系统函数H(z)
周期为2π
频率响应函数H(ejω)
zz
N
系统函数H(zN)
1 k

pk z
1 k
共轭倒易关系
即如果zk-1为全通滤波器的零点， 则zk*必然是全通滤 波器的极点。 全通滤波器系统函数另一种形式
z zk H ( z) 1 k 1 1 zk z

N
1
N称为阶数
7
举例：当N=1时，零极点均为实数，系统函数为
z a H (z) 1 1 az
N 2
aN , a0 1 N aN z
系数ai均为实数。可看出，全通滤波器系统函数分子、 分母多项式系数相同，但排列顺序相反。
3
全通滤波器的系统函数的幅度特性为1
H z=
ak z
k=0 N k=0
N
-N+k
ak z
1 z e
jw
z
-k
N
k a z k
N
a z
k 0 k
k 0 N
z
N
D z 1 D z
k
因为上式中系数是实数，因此
D( z )
所以
D (e
j
) D (e )
jw jw

j
H e
jw

D e

D e
1
4
全通滤波器的零、极点分布规律
零点
极点
zk
pk z
1 k
k
zk

1 k
解：将各系统函数因式分解，可得到它们的零点并进
而判定系统的性质。
H1 z : z1,2 1 2,1 3, 为最小相位系统。 H 2 z : z1,2 2,3, 为最大相位系统。 H 3 z : z1,2 1 2,3, 为混合相位系统。 H 2 z : z1,Hale Waihona Puke Baidu 2,1 3, 为混合相位系统。
p z

全通滤波器零点和极点互为倒数关系，又D(z),D(z-1)
系数为实数，极点、零点共轭成对出现，因此，形成
四个极零点一组的形式。
实数零极点，则两个一组出现，且零极点互为倒数
5
Im(z) zk
* pk
Re(z) pk
* zk
全通滤波器的零极点分布
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零点 极点
zk
zk

p z
k
N的大小决定于要滤除的点频的位置， a要尽量靠近1。 由采样频率算出50Hz及其谐波100Hz所对应的数字频 率分别为：
2 50 1 200 2 2 100 1 200 ，
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零点频率为
Imaginary Part
2 k N ,
0 -1
1
k =0， 1，， 2 3。
由
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最小相位滤波器的性质： 1）任何一个因果稳定的滤波器H(z)均可以用一个最
小相位滤波器和一个全通滤波器Hap(z)级联构成，即
H z Hmin z Hap z
令该零点为z=1/z0, | z0 |<1, 则H(z)可表示为
证明： 假设因果稳定系统H(z)仅有一个零点在单位圆外，
j
j ( )
特点：信号通过全通滤波器后，其输出的幅度特性保 持不变，仅相位发生变化。
2
全通滤波器的系统函数的一般形式为：
H z
N k a z k k 0 N
N
a z
k 0 k
k
a1 z a2 z 1 2 1 a1 z a2 z z
N
N 1
。 2 N -3 -2 2 -1 求出 0 1 N 2=43
Real Part 2
幅度
1 0
0
0.5
1 ω/π
1.5
2
a=0.9
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3、最小相位滤波器 定义： 对于因果稳定系统，
全部零点位于单位圆内，称为最小相位系统Hmin(z)；
全部零点都在单位圆外，称为最大相位系统Hmax(z) ；
单位圆内外都有零点，称为混合相位系统。
者说比较陡峭，有利于消除点频信号而又不损伤其
它信号。如电网谐波干扰。 梳状滤波器在电视技术中的应用很多，常用于亮色
分离和色度分离。
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例 设计一个梳状滤波器，用于滤出心电信号中的50Hz 及其谐波100Hz干扰，设采样频率为200Hz。 解：设系统函数为
1 zN H z N 1 az
1 1 z 1 1 0z H ( z ) H1 ( z ) ( z z0 ) H1 ( z )( z z0 ) 1 1 z0 z
1 z z0 1 H1 ( z )(1 z0 z ) 1 1 z0 z
最小相位
全通系统 16
结论：
将非最小相位系统位于单位圆外的零点zk用1/zk*