2020高考：高中数学线性规划各类习题精选

线性规划

基础知识：

一、知识梳理

1. 目标函数: Ｐ ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变 量 ｘ 和ｙ 的 函数，称为目标函数．

2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域.

3. 整点:坐标为整数的点叫做整点．

4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．

5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划． 二：积储知识：

一． 1.点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上，则点P 坐标适合方程，即Ax 0+By 0+C=0

2. 点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B>0时，Ax 0+By 0+C>0;当B<0时，Ax 0+By 0+C<0

3. 点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0下方（左下或右下），当B>0时，Ax 0+By 0+C<0;当B<0时，Ax 0+By 0+C>0 注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同,

（2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反, 即：1.点P(x 1,y 1)和点Q(x 2,y 2)在直线 Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax 1+By 1+C ）( Ax 2+By 2+C)>0

2.点P(x 1,y 1)和点Q(x 2,y 2)在直线 Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax 1+By 1+C ）( Ax 2+By 2+C)<0 二.二元一次不等式表示平面区域:

①二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域. 不．

包括边界; ②二元一次不等式Ax+By+C ≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;

注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线. 三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法:

取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域

原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入

Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x 0,y 0),从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地,

当C ≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。

例题：

1. 如图1所示，已知ABC ∆中的三顶点(2,4),(1,2),(1,0)A B C -，点(,)P x y 在ABC

∆内部及边界运动，请你探究并讨论以下问题：若目标函数是1y z x -=或z =你知道其几何意义吗？你能否借助其几何意义求得min z 和max z ？

2. 如图1所示，已知ABC ∆中的三顶点(2,4),(1,2),(1,0)A B C -，

点(,)P x y 在ABC ∆内部及边界运动，请你探究并讨论以下问题： ①z x y =+在 处有最大值 ，在 处有最小值 ； ②z x y =-在 处有最大值 ，在 处有最小值

3. 若x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥+-≤-+.0104010230122y x y x y x ，

，

求y x z 2+=的最大值和最小值 4. 设实数x y ，满足20240230x y x y y --⎧⎪+-⎨⎪-⎩

≤，≥，≤，

，则y

z x =的最大值是__________． 5. 已知05≥-+y x ，010≤-+y x ．求2

2

y x +的最大、最小值

6. 已知2040250x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩

，，，≥≥≤求22

1025z x y y =+-+的最小值

7. 给出平面区域如右图所示，若使目标函数z=ax+y (a > 0 )取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为（ ） A.

41 B.53 C.4 D.3

5 8.已知变量,x y 满足约束条件241y x y x y ≤⎧⎪

+≥⎨⎪-≤⎩

，则3z x y =+的最大值为

( )

()A 12 ()B 11 ()C 3

()D -1

9.设变量,x y 满足-100+20015x y x y y ≤⎧⎪

≤≤⎨⎪≤≤⎩

，则2+3x y 的最大值为

A ．20

B ．35

C ．45

D ．55

10.若,x y 满足约束条件1030330x y x y x y -+≥⎧⎪⎪

+-≤⎨⎪

+-≥⎪⎩，则3z x y =-的最小值为 。

11.设函数

ln ,0

()21,0x x f x x x >⎧=⎨

--≤⎩，D 是由x 轴和曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)

处的切线所围成的封闭区域，则2z x y =-在D 上的最大值为 ． 12.某公司生产甲、乙两种桶装产品. 已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克. 每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元. 公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克. 通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）

A 、1800元

B 、2400元

C 、2800元

D 、3100元

13.若,x y 满足约束条件：02323

x x y x y ≥⎧⎪

+≥⎨⎪+≤⎩；则x y -的取值范围为_____.

14．设,x y 满足约束条件：,0

13x y x y x y ≥⎧⎪

-≥-⎨⎪+≤⎩

；则2z x y =-的取值范围为 .

15.设不等式组x 1x-2y+30y x ≥⎧⎪

≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域是1Ω,平面区域是2Ω与1Ω

关于直线3490x y --=对称,对于1Ω中的任意一点A 与2Ω中的任意一点B, ||AB 的最小值

等于( )

A.285

B.4

C. 12

5 D.2

16. 设不等式组⎩⎨

⎧≤≤≤≤20,20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是

A 4π

B 22π-

C 6π

D 44π-

17.若实数x 、y 满足10

,0x y x -+≤⎧⎨

>⎩则y x 的取值范围是 （ ） A.(0,1) B.(

]

0,1

C.(1,+∞)

D.[)1,+∞

18.已知正数a b c ，

，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则b

a 的取值范围