学习知识资料讲解复数(基础学习知识)
复数 高中知识点总结
复数高中知识点总结语文：高中语文课程包括古诗文赏析、现代文学作品阅读、现代汉语语言知识、修辞手法等内容。
学生需要通过阅读和理解文学作品来提高语言表达能力，学习古代汉语和现代汉语语法知识，以及汉字的构造和意义等。
数学：高中数学主要包括函数、三角函数、数列、立体几何、概率论、统计学、微积分等内容。
通过学习数学，学生能够提高逻辑思维能力，提高解决实际问题的能力。
物理：高中物理课程涉及力学、电磁学、光学、热学、原子物理等内容。
通过学习物理，学生能够理解自然界中物体的运动和性质，能够掌握一定的物理实验技能和探究问题的方法。
化学：高中化学课程包括化学元素和化合物、化学反应、化学平衡、化学动力学、化学结构、化学能量等内容。
通过学习化学，学生能够理解物质的组成与性质，掌握一定的化学实验技能和化学方程式计算。
生物：高中生物课程包括生物基础知识、生物分子与细胞、遗传与进化、生物个体与环境、人体健康等内容。
学生通过学习生物，能够理解生物的基本概念与规律，掌握一定的生物实验技能和生物技术的应用。
历史：高中历史课程包括古代史、近现代史、世界史、中国现代史等内容。
通过学习历史，学生能够了解历史事件和历史人物的背景和影响，提高对历史事件的分析和思考能力。
地理：高中地理课程包括自然地理和人文地理两大部分，分别涉及地球的自然环境和人类活动。
学生通过学习地理，能够了解地球地理环境和人文环境的相互影响和作用。
政治：高中政治课程包括马克思主义基本原理、中国特色社会主义理论、中外政治制度、中国政治经济、社会主义市场经济等内容。
通过学习政治，学生能够了解马克思主义和中国特色社会主义理论，掌握一定的政治观念和思维方法。
英语：高中英语课程包括英语语法、阅读理解、听力口语、写作、翻译等内容。
学生通过学习英语，能够提高英语听说读写能力，掌握一定的英语表达和交流能力。
音乐、美术、体育等课程注重学生的审美意识、动手实践和身体素质的培养提高。
以上是对高中各科学科的简要总结，希望对你有所帮助。
名词的复数形式规则
名词的复数形式规则名词的复数形式规则1. 引言名词是用来指代人、物、地点或概念的词汇，在汉语中，名词的复数形式在一定程度上可以反映出物体的数量或者表示多个个体的概念。
对于非英语为母语的学习者来说，掌握名词的复数形式规则是学习汉语的重要一步。
本文将详细介绍名词的复数形式规则，并讨论一些例外情况。
2. 单数变复数规则一般情况下，名词在汉语中变成复数形式有以下几个规则：1. 在名词单数形式末尾加上“们”：如“人”→“人们”，“学生”→“学生们”。
2. 在名词单数形式末尾加上“们”是用来表示人类中的复数或者集体概念的。
但是并非每个名词都能加上“们”，例如“家庭”、“父母”等名词就不能直接加上“们”。
3. 在名词单数形式末尾加上“子”：如“书”→“书子”，“杯”→“杯子”。
4. 在名词单数形式末尾加上“等”：如“级”→“级别”，“页”→“页面”。
5. 在名词单数形式末尾加上“分”：如“秒”→“秒分”，“钱”→“钱分”。
3. 其他变化形式上述规则适用于大多数名词的复数形式，但有一些例外情况需要特别注意：1. 名词以“辅音+y”结尾，将“y”替换为“i”，再加上“es”：如“baby”→“babies”，“party”→“parties”。
2. 名词以“s, sh, ch, x”结尾，加上“es”：如“bus”→“buses”，“dish”→“dishes”。
3. 名词以“f”或“fe”结尾，将“f”或“fe”替换为“ves”：如“wife”→“wives”，“leaf”→“leaves”。
4. 名词以“o”结尾，加上“es”：如“tomato”→“tomatoes”，“hero”→“heroes”。
5. 名词以“oo”的音节结尾，变成复数后可以将“oo”变为“ee”：如“foot”→“feet”，“tooth”→“teeth”。
4. 总结和回顾通过对名词复数形式的规则进行深入探讨，我们可以看到汉语中名词的复数形式变化较为简单且有一定的规律可循。
【中考复习资料】初中英语复习知识点汇总
②Knock sb∕sth into a cocked hat
远远胜过某人（或事物）；大大超过；是相形见绌
L
lead：引导；指引；领导；名词，铅
lead to导致；通向
leader：n领袖
leadership：n领导力
leave：vi离开
leave for去往，使某人或某物处于某种状态
date：vt约会；n日期
date sb，约会某人
depen：vi依靠，依赖
depend on依赖,取决于
①dependent：adj依靠的，依赖的②dependence：n依赖，依存，瘾，相关（性），依存（关系）③independent：adj独立的
describe：vt描述
①description：n描述
C
calendar：n日历
cancel：vt取消
capital：n首都，资本，大写字母；adj死刑的，大写的，极好的
comfortable：adj舒服的
be comfortable with自在的
①uncomfortable：adj不舒服的②comfort：n舒服；vt安慰
culture：n文化
cultural：adj文化的
⑤过去进行时
②一般现在时
④一般将来时
⑥现在完成时
常考被动语态
①一般现在时②一般过去时③一般将来时
非谓语动词（动词不定式做宾语.宾语补足语.目的状语）
中考高频词
高频词
常用搭配
衍生词汇
A
able：adj有能力的
be able to do sth
有能力做某事
enable：vt使......能，可以用来替换make
2021新小学英语名词单复数学习专业资料
wolf---wolves
life---lives
thief---thieves
名词复数的规那么变化(3)
以s, sh, ch,x 等结尾的词 加 -es
a policeman
some policemen
some potatoes
some heroes
foot -feet
tooth -teeth
读 /iz/ exercise-exercises
bridge- bridges
Englishman – Englishmen Frenchman -- Frenchmen
名词复数的规那么变化(5)
a policeman
以ce,se,ze,(d)ge等结尾的词 加 -s 读 /iz/ exercise-exercises
名词复数的规那么变化(2)
tooth -- teeth
leaf---leaves
wolf---wolves
life---lives
以f 或 fe 结尾变f, fe 为ves：
如：
half---halves
knife---knives
woman 名词复数的规那么变化(2) -- women
women teachers
谢谢观看
woman -- women
men doctors
thief---thieves
women teachers
a German
some Germans
American --Americans Australian--Australians Canadian--Canadians
a policeman
《复数的加法和减法运算及其几何意义》教案设计
《复数的加法和减法运算及其几何意义》教案设计一、教学目标1. 让学生理解复数的概念，掌握复数的加法和减法运算方法。
2. 让学生了解复数几何意义的内涵，能够将复数的加法和减法运算与几何图形相结合。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力，提高学生解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 复数的概念及表示方法。
2. 复数的加法运算：同号相加、异号相加。
3. 复数的减法运算：减去一个复数等于加上它的相反数。
4. 复数几何意义的介绍：复平面、复数轴、象限。
5. 复数加法和减法运算在几何意义上的应用。
三、教学方法1. 采用讲解法，讲解复数的概念、加法和减法运算方法及其几何意义。
2. 利用多媒体课件，展示复数的几何意义，增强学生的直观感受。
3. 运用例题，引导学生运用复数的加法和减法运算解决实际问题。
4. 组织小组讨论，让学生分享自己的理解和心得。
四、教学步骤1. 导入新课，复习复数的基本概念。
2. 讲解复数的加法运算，引导学生掌握加法法则。
3. 讲解复数的减法运算，引导学生掌握减法法则。
4. 介绍复数几何意义，引导学生理解复数与几何图形的关系。
5. 运用例题，让学生体会复数加法和减法运算在实际问题中的应用。
五、课后作业1. 复习本节课所学的复数加法和减法运算方法及其几何意义。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
3. 思考如何将复数的加法和减法运算应用到实际问题中。
4. 预习下一节课内容，为学习复数的乘法和除法运算做准备。
六、教学评估1. 课堂讲解过程中，关注学生的学习反应，及时调整教学节奏和难度。
2. 通过课后作业和练习题，检查学生对复数加法和减法运算及其几何意义的掌握程度。
3. 组织课堂讨论，鼓励学生提问和分享，评估学生对知识点的理解和运用能力。
七、教学资源1. 多媒体课件：用于展示复数的几何意义，增强学生的直观感受。
2. 练习题：用于巩固学生对复数加法和减法运算的理解和运用。
3. 参考资料：为学生提供更多的学习资源，拓展知识视野。
牛津译林版七年级上册第一单元知识点：单复数形式
牛津译林版七年级上册第一单元知识点：单复数形式本文档介绍了牛津译林版七年级上册第一单元中涉及的名词的单数和复数形式的知识点。
1. 名词变复数的规则名词变为复数的规则如下：1. 一般情况下，名词单数变复数，在词尾加-s。
例如：- book（书）→ books（书籍）- pen（钢笔）→ pens（钢笔）- table（桌子）→ tables（桌子）2. 以s、x、ch、sh结尾的名词，变复数时在词尾加-es。
例如：- bus（公共汽车）→ buses（公共汽车）- fox（狐狸）→ foxes（狐狸）- match（比赛）→ matches（比赛）- dish（盘子）→ dishes（盘子）3. 以辅音字母+y结尾的名词，变复数时先将y变为i，再加-es。
例如：- party（派对）→ parties（派对）- baby（宝宝）→ babies（宝宝）4. 不规则名词的复数形式需要直接记忆。
例如：- child（孩子）→ children（孩子们）- person（人）→ people（人们）2. 特殊情况以下是一些特殊情况，需要特别注意：1. 以f或fe结尾的名词，变复数时通常将f或fe变为v，再加-es。
例如：- knife（刀）→ knives（刀）- leaf（叶子）→ leaves（叶子）2. 一些名词的单复数形式相同。
例如：- deer（鹿）→ deer（鹿）- sheep（羊）→ sheep（羊）3. 注意事项在使用名词的单数或复数形式时，要根据具体情况进行判断。
同时，还需要注意以下几点：1. 名词作主语时，一般需要根据所指的事物是单个还是多个来选择单数或复数形式。
2. 表示数量、距离、时间等概念时，需要根据具体情况选择单数或复数形式。
3. 名词的单复数形式还会影响其他部分的语法，例如冠词、形容词等。
以上是牛津译林版七年级上册第一单元知识点中涉及的名词的单数和复数形式的内容。
希望对你有帮助！参考资料：- 牛津译林版七年级上册教材。
人教版高中数学【选修1-2】[知识点整理及重点题型梳理] 复数的概念与运算(文)
![人教版高中数学【选修1-2】[知识点整理及重点题型梳理] 复数的概念与运算(文)](https://img.taocdn.com/s3/m/a7638f276bd97f192279e9a2.png)
人教版高中数学选修1-2知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习复数的概念与运算【学习目标】1．理解复数的有关概念：虚数单位i 、虚数、纯虚数、复数、实部、虚部等。
2．理解复数相等的充要条件。
3. 理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数。
4. 会进行复数的加、减运算，理解复数加、减运算的几何意义。
5. 会进行复数乘法和除法运算。
【要点梳理】知识点一：复数的基本概念1.虚数单位i数i 叫做虚数单位，它的平方等于1-，即21i =-。
要点诠释：①i 是－1的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是i -；②i 可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立。
2. 复数的概念形如a bi +（,a b R ∈）的数叫复数，记作：z a bi =+（,a b R ∈）；其中：a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部，i 是虚数单位。
全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示。
要点诠释：复数定义中，,a b R ∈容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据.3.复数的分类对于复数z a bi =+（,a b R ∈）若b=0,则a+bi 为实数，若b≠0,则a+bi 为虚数，若a=0且b≠0，则a+bi 为纯虚数。
分类如下：用集合表示如下图：4.复数集与其它数集之间的关系 N Z Q R C （其中N 为自然数集，Z 为整数集，Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集。
） 知识点二：复数相等的充要条件两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.即：特别地：00a bi a b +=⇔==.要点诠释：① 一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.② 根据复数a+bi 与c+di 相等的定义，可知在a=c ，b=d 两式中，只要有一个不成立，那么就有a+bi≠c+di （a ，b ，c ，d ∈R ）．③ 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小. 如果两个复数都是实数，就可以比较大 小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小.④ 复数相等的充要条件提供了将复数问题化归为实数问题来解决的途径，这也是本章常用的方法， 简称为“复数问题实数化”．知识点三、复数的加减运算1.复数的加法、减法运算法则：设1z a bi =+，2z c di =+（,,,a b c d R ∈），我们规定： 12()()()()z z a bi c di a c b d i +=+++=+++21()()z z c a d b i -=-+-要点诠释：（1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样。
复数知识点总结
复数知识点总结复数是数学中的一个基本概念，它扩展了实数的概念，包括了实数和虚数。
复数的引入极大地丰富了数学理论，并在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
以下是复数的知识点总结：1. 复数的定义：复数是形如a+bi的数，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i^2=-1。
复数由实部a和虚部b组成。
2. 复数的表示：复数可以用直角坐标系中的点表示，实部a对应x轴，虚部b对应y轴，因此复数也可以表示为有序对(a, b)。
3. 复数的四则运算：复数的加法、减法、乘法和除法都有特定的运算规则。
加法和减法通过分别对实部和虚部进行运算实现；乘法和除法则需要使用分配律和共轭复数的概念。
4. 共轭复数：一个复数的共轭复数是其实部相同，虚部相反的复数。
例如，对于复数z=a+bi，其共轭复数为z*=a-bi。
5. 复数的模：复数的模是其实部和虚部平方和的平方根，表示为|z|=√(a^2+b^2)。
模可以用来度量复数在复平面上的大小。
6. 复数的指数形式：欧拉公式表明，复数可以表示为指数形式，即z=r(cosθ+isinθ)，其中r是复数的模，θ是复数的辐角。
7. 复数的极坐标形式：复数也可以表示为极坐标形式，即z=r(cosθ+isinθ)，其中r是复数的模，θ是复数的辐角。
8. 复数的辐角：复数的辐角是其在复平面上与正实轴的夹角，通常用θ表示。
辐角的取值范围是[0, 2π)。
9. 复数的代数形式：复数可以表示为代数形式，即z=a+bi，其中a是实部，b是虚部。
10. 复数的几何意义：在复平面上，复数对应一个向量，其长度是复数的模，方向是复数的辐角。
11. 复数的解析函数：在复分析中，复数的解析函数是复数域上的函数，满足柯西-黎曼方程，即函数的实部和虚部都是调和函数。
12. 复数的积分：复数的积分在复分析中有着重要的地位，包括柯西积分定理和留数定理等。
13. 复数的应用：复数在信号处理、控制系统、量子力学等领域有着广泛的应用，例如在信号处理中，复数可以用来表示振荡信号的幅度和相位。
复数知识点总结
复数知识点总结一、复数的定义复数是指形如＄a ＋ bi$ 的数，其中＄a$ 和＄b$ 均为实数，＄i$ 为虚数单位，满足＄i^2 ＝－1$ 。
＄a$ 被称为实部，记作＄Re(z)＄；＄b$ 被称为虚部，记作＄Im(z)＄。
例如：＄3 ＋ 2i$ ，其中 3 是实部，2 是虚部。
二、复数的表示形式1、代数形式就是我们常见的＄a ＋ bi$ 。
2、几何形式在平面直角坐标系中，以＄x$ 轴为实轴，＄y$ 轴为虚轴，复数＄a ＋ bi$ 可以用点＄（a, b)＄来表示。
3、三角形式复数＄z ＝ a ＋ bi$ 可以表示为＄z ＝ r(＼cos\theta ＋ i\sin\theta)＄，其中＄r ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＄称为复数的模，＄＼theta$ 称为复数的辐角。
4、指数形式根据欧拉公式＄e^｛i\theta} ＝＼cos\theta ＋ i\sin\theta$ ，复数可以表示为＄z ＝ re^｛i\theta}＄。
三、复数的运算1、加法＄（a ＋ bi) ＋（c ＋ di) ＝（a ＋ c) ＋（b ＋ d)i$例如：＄（3 ＋ 2i) ＋（1 4i) ＝ 4 2i$2、减法＄（a ＋ bi) （c ＋ di) ＝（a c) ＋（b d)i$例如：＄（5 ＋ 3i) （2 i) ＝ 3 ＋ 4i$3、乘法＄（a ＋ bi)（c ＋ di) ＝（ac bd) ＋（ad ＋ bc)i$例如：＄（2 ＋ 3i)（1 ＋ 2i) ＝－4 ＋ 7i$4、除法＄＼frac{a ＋ bi}｛c ＋ di} ＝＼frac{（a ＋ bi)（c di)｝｛（c ＋ di)（c di)｝＝＼frac{ac ＋ bd}｛c^2 ＋ d^2} ＋＼frac{bc ad}｛c^2 ＋d^2}i$例如：＄＼frac{1 ＋ 2i}｛1 i} ＝＼frac{3}｛2} ＋＼frac{1}｛2}i$四、复数的模复数＄z ＝ a ＋ bi$ 的模为＄｜z| ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＄。
复数知识点总结
复数知识点总结在数学的领域中，复数是一个非常重要的概念。
它不仅在理论上丰富了数学的体系，而且在实际应用中，如物理学、工程学等领域，都发挥着不可或缺的作用。
接下来，让我们一起深入了解复数的相关知识。
一、复数的定义复数是指形如\（a ＋ bi\）的数，其中\（a\）和\（b\）均为实数，＼（i\）是虚数单位，满足\（i^2 ＝－1\）。
＼（a\）被称为实部，记作\（Re(z)＼）；＼（b\）被称为虚部，记作\（Im(z)＼）。
例如，＼（3 ＋ 2i\）就是一个复数，其中\（3\）是实部，＼（2\）是虚部。
二、复数的表示形式1、代数形式就是我们刚刚提到的\（a ＋ bi\），这是最常见也是最基本的表示形式。
2、几何形式在平面直角坐标系中，以\（x\）轴为实轴，＼（y\）轴为虚轴，复数\（a ＋ bi\）可以用坐标\（（a, b)＼）来表示。
这样，复数就与平面上的点建立了一一对应的关系。
3、三角形式复数\（z ＝ a ＋ bi\）可以表示为\（z ＝r(cosθ ＋isinθ)＼），其中\（r ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼），＼（tanθ ＝＼frac{b}｛a}＼）。
4、指数形式根据欧拉公式\（e^｛iθ} ＝cosθ ＋isinθ\），复数还可以表示为\（z ＝ re^｛iθ}＼）。
三、复数的运算1、加法和减法两个复数\（z_1 ＝ a_1 ＋ b_1i\），＼（z_2 ＝ a_2 ＋ b_2i\）的和差为：＼（z_1 ± z_2 ＝（a_1 ± a_2) ＋（b_1 ± b_2)i\）2、乘法＼（z_1 ＼times z_2 ＝（a_1 ＋ b_1i) ＼times （a_2 ＋ b_2i)＼）＼＼begin{align}＆＝a_1a_2 ＋ a_1b_2i ＋ a_2b_1i ＋ b_1b_2i^2\＼＆＝（a_1a_2 b_1b_2) ＋（a_1b_2 ＋ a_2b_1)i＼end{align}＼3、除法＼＼frac{z_1}｛z_2}＝＼frac{a_1 ＋ b_1i}｛a_2 ＋ b_2i}＝＼frac{（a_1 ＋ b_1i)（a_2 b_2i)｝｛（a_2 ＋ b_2i)（a_2 b_2i)｝＼＼＼begin{align}＆＝＼frac{a_1a_2 ＋ b_1b_2 ＋（a_2b_1 a_1b_2)i}｛a_2^2 ＋b_2^2}＼＼＆＝＼frac{a_1a_2 ＋ b_1b_2}｛a_2^2 ＋ b_2^2} ＋＼frac{a_2b_1 a_1b_2}｛a_2^2 ＋ b_2^2}i＼end{align}＼四、共轭复数两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数。
名词变复数知识汇总
名词变复数知识汇总变形规则1、词尾直接加s（多数为这种）清辅音读/s/ 浊辅音读/z/ students→students apples→apples bags→bags tree→trees2、以s、x、sh、ch结尾的名词加es 发/I z/glass→glasses box→boxes brush→brushes match→matches 3、以辅音字母加y结尾的名词，变y为i加es 发/z/city→cities baby→babies★4、以f或fe结尾的名词，多数变f或fe为ves（例外情况是roof的复数形式为roofs）发/z/knife→knives thief→thievs life→lives half→halves★5、以o结尾的名词，一般直接加sradio→radios zoo→zoos piano→pianos photo→photos以下5个例外要记熟（黑人英雄爱吃土豆、西红柿和芒果）negro→negroes hero→heroes potato→potatoes tomato→tomatoes mango→mangoes6、不规则变化（用口诀记）：foot→feet goose→geese tooth→teethman→men woman→womenchild→children mouse→micesheep→sheep deer→deer Chinese→Chinese Japanese→Japanese动词第三人称单数变形规则1、词尾直接加s（多数为这种）Likes jumps runs2、以s、x、sh、ch结尾的名词加esmiss→misses fix→fixes finish→finishes teach→teaches 3、以辅音字母加y结尾的名词，变y为i加esfly→flies★4、以辅音字母加o结尾的单词，加esgo→goes do→doesgame_____ factory_____ story_____ family_____ child_____ wife_____ wolf _____ potato _____ zoo_____ 动词变第三人称单数like_____ study_____ go_____ take_____ wash_____ put_____ eat_____ come_____ look_____名词变复数练习game_____ factory_____ story_____ family_____ child_____ wife_____ wolf _____ potato _____ zoo_____ 动词变第三人称单数like_____ study_____ go_____ take_____ wash_____ put_____ eat_____ come_____ look_____game_____ factory_____ story_____ family_____ child_____ wife_____ wolf _____ potato _____ zoo_____ 动词变第三人称单数like_____ study_____ go_____ take_____ wash_____ put_____ eat_____ come_____ look_____名词变复数练习game_____ factory_____ story_____ family_____ child_____ wife_____ wolf _____ potato _____ zoo_____ 动词变第三人称单数like_____ study_____ go_____ take_____ wash_____ put_____ eat_____ come_____ look_____。
英语初二复习资料
英语初二复习资料英语初二复习资料英语是一门重要的语言，掌握好英语对于我们的学习和未来的发展都至关重要。
而初中英语的学习更是为我们打下了坚实的基础。
为了帮助同学们更好地复习英语知识，下面将为大家提供一些初二英语复习资料。
一、语法知识1. 时态：英语中的时态有很多种，如一般现在时、一般过去时、一般将来时等。
在复习时，我们需要掌握每种时态的基本用法和构成规则，并能够在句子中正确运用。
2. 名词：名词是英语中的一类词性，包括可数名词和不可数名词。
在复习时，我们需要了解名词的单复数形式、所有格的用法以及名词与其他词性的搭配等。
3. 代词：代词是用来代替名词的词语。
在复习时，我们需要了解人称代词、物主代词、反身代词等的用法，并能够在句子中正确使用。
4. 动词：动词是英语中最重要的词性之一，包括行为动词和非行为动词。
在复习时，我们需要了解动词的时态、语态、形式变化规则等，并能够正确运用。
二、阅读理解阅读理解是英语学习的重点之一，也是考试中的重要部分。
在复习时，我们需要通过大量的阅读练习，提高自己的阅读理解能力。
可以选择一些短文或文章进行阅读，并回答相关的问题。
同时，还可以通过阅读英语故事、新闻等来扩大自己的词汇量和阅读能力。
三、词汇积累词汇是语言的基础，也是英语学习的重要组成部分。
在复习时，我们需要通过背单词、记忆词汇表等方式来积累词汇量。
可以选择一些常用词汇进行背诵，并在实际运用中加以巩固。
四、口语表达英语口语是英语学习的重要方面，也是实际应用中最常用的形式之一。
在复习时，我们需要通过模仿、对话等方式来提高口语表达能力。
可以选择一些常用口语表达进行练习，并与同学们进行对话交流。
五、写作能力写作是英语学习的综合能力之一，也是考试中的重要环节。
在复习时，我们需要通过写作练习来提高自己的写作能力。
可以选择一些常见的写作题目，进行写作练习，并请老师或同学们进行修改和指导。
六、听力训练听力是英语学习的重要组成部分，也是考试中的重要环节。
上海市考研数学复习资料复变函数重点知识点梳理
上海市考研数学复习资料复变函数重点知识点梳理复变函数是数学中的重要概念，在上海市考研数学的复习中也占据着重要的地位。
为了帮助考生更好地复习复变函数，并掌握重点知识点，本文将对复变函数的相关内容进行梳理和总结。
一、复数的基本概念与运算规则复变函数的理论基础是复数。
复数由实部和虚部组成，可以用复平面表示。
复数的加减法，乘除法等运算规则是复变函数中的基础知识点。
此外，对于复数的幂运算、复数的共轭、复数的模和辐角等概念也是复变函数的基础知识点。
二、复变函数的连续性与可导性复变函数的连续性与可导性是复变函数理论中的重点内容。
在复平面上，连续性的概念需要结合实部和虚部进行判断，包括实部连续与虚部连续。
而对于可导性，则需要满足柯西-黎曼方程的条件。
在复变函数的连续性与可导性的学习中，需要理解并掌握连续函数与可导函数的定义和性质。
三、复变函数的积分与洛朗级数展开复变函数的积分与洛朗级数展开是复变函数中的重要知识点。
对于复平面上的曲线积分，需要掌握曲线的参数方程和曲线积分的计算方法。
而洛朗级数展开则是将函数展开为一系列的幂级数，对于计算复变函数的积分和求解解析函数的奇点等问题具有重要作用。
四、复变函数的调和函数与边值问题调和函数是复变函数中一个重要的理论概念，通过调和函数的性质可以解决一些边值问题。
对于分析调和函数的性质和求解边值问题，是复变函数复习的重点内容之一。
在学习调和函数与边值问题时，需要了解和掌握调和函数的定义、性质、解调和问题的方法等内容。
五、复变函数的应用复变函数在数学和物理等领域中都有广泛的应用。
在数学中，复变函数可以用来研究解析函数、调和函数等；在物理中，复变函数可以用来研究电磁场、流体力学等问题。
对于复变函数的应用，需要结合具体的问题进行分析和求解，掌握应用复变函数的方法和技巧。
综上所述，复变函数是上海市考研数学中的重点知识点之一。
通过对复变函数的基本概念与运算规则、连续性与可导性、积分与洛朗级数展开、调和函数与边值问题以及应用等内容的梳理和总结，考生可以更好地理解和掌握复变函数的相关知识点，为考试做好充分的准备。
复数的加减法_2022年学习资料
3.复数减法运算的几何意义？-复数21一z2对应的向量为0Z10Z,-y-Z a,b-Zc,d-X
应用举例-例1.计算-11+3+-4+2i-5-432-548车-01-2$45-X
2-2--3+4i-Y-个-5-42+-54$1-2845-X
思考-21Z2表示什么？表示复平面上两点乙，Z2的距离-Z a,b-Zc,d-X-0
3.3复数加减运算及其几何意义
知识回顾-1、复数z的模|z|=√a2+b2-z-a+bi o-Za,b-X-2、Iz=r复数z对应的点Z 轨迹是以原点-为圆心，以r为半径的圆。
讲解新课-1.复数加法的运算-法则：-实数运算法则：-交换律-已知两复数z1=M+bi,z2=C+di-a b=b+a-a,b,c,d是实数-ab ba-结合律-z1+忆2=a+c+b+di;-a+b+c=a+b+ -abc =abc-分配律-任何1322，∈C,有-ab+c=ab+ac-交换律3+忆2=乙2+1-结合律 +2+，=3+32+3
应用举例-例2、已知复数z对应点Z,说明下列各式所表示的-几何意义.-1z-（1+2i-点Z到点（1,2的 离-2z+1+2i-点Z到点（一1，一2）的距离-31z-1-点Z到点1,0的距离-4z+2i-点Z到点0 一2的距离
口答：由复数加减法的几何意义说明满足下-列条件的平行四边形是什么图形-Z1+Z2-1、z1=z2-B-平行 边形OABC是菱形-2、|z1+z2Fz1z2-平行四边形0ABC是矩形-3、z1=|z2l,z+2F|z z2-平行四边形0ABC是正方形
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高考总复习：复数【考纲要求】1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件；2.了解复数的代数表示形式及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对的复数用代数形式表示。
3.会进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体相加、相减的几何意义.【知识网络】【考点梳理】考点一、复数的有关概念1.虚数单位i :（1）它的平方等于1-，即21i =-；（2）i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是i -；（3）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立；（4）i 的周期性：41n i=，41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-（*n N ∈）.2. 概念形如a bi +（,a b R ∈）的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部。
说明：这里,a b R ∈容易忽视但却是列方程求复数的重要依据。
3.复数集全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示；复数集与其它数集之间的关系：NZ Q R C 4.复数与实数、虚数、纯虚、0的关系：对于复数z a bi =+（,a b R ∈），当且仅当0b =时，复数z a bi a =+=是实数；当且仅当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；当且仅当0a =且0b ≠时，复数z a bi bi =+=叫做纯虚数；当且仅当0a b ==时，复数0z a bi =+=就是实数0.所以复数的分类如下:z a bi =+（,a b R ∈）⇒(0)(0)00b b a b =⎧⎨≠⇒=≠⎩实数；虚数当且时为纯虚数5.复数相等的充要条件两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。
即： 如果,,,a b c d R ∈，那么a bi c di a c b d +=+⇔==且.特别地: 00a bi a b +=⇔==.应当理解:（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.（2）复数相等的充要条件是将复数转化为实数解决问题的基础.一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。
如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。
6.共轭复数：两个复数的实部相等，而且虚部相反，那么这两个复数叫做共轭复数。
即：复数z a bi =+和z a bi a bi =+=-（,a b R ∈）互为共轭复数。
考点二：复数的代数表示法及其四则运算1.复数的代数形式:复数通常用字母z 表示，即a bi +（,a b R ∈），把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式。
2.四则运算()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±；()()()()a bi c di ac bd bc ad i ++=-++； 复数除法通常上下同乘分母的共轭复数：2222()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad i c di c di c di c d c d ++-+-===+++-++。
考点三：复数的几何意义1. 复平面、实轴、虚轴：点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z a bi =+（,a b R ∈）可用点(,)Z a b 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。
实轴上的点都表示实数。
对于虚轴上的点原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是000z i =+=表示是实数。
故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b 这是因为，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。
2.复数的几何表示（1）坐标表示:在复平面内以点(,)Z a b 表示复数z a bi =+（,a b R ∈）；（2）向量表示:以原点O 为起点，点(,)Z a b 为终点的向量OZ 表示复数z a bi =+. 向量OZ 的长度叫做复数z a bi =+的模，记作||a bi +.即22||||0z OZ a b ==+≥u u u r .要点诠释:（1）向量OZ 与点(,)Z a b 以及复数z a bi =+有一一对应；（2）两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小。
3.复数加法的几何意义：如果复数1z 、2z 分别对应于向量1OP u u u r 、2OPu u u r ，那么以1OP 、2OP 为两边作平行四边形12OPSP ，对角线OS 表示的向量OS u u u r 就是12z z +的和所对应的向量。
4.复数减法的几何意义：两个复数的差12z z -与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应。
要点诠释:1.复数的加、减、乘、除运算一般用代数形式进行；2.求解计算时，要充分利用i 的性质计算问题；3.在复数的求解过程中，要注意复数整体思想的把握和应用；4.复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，其依据是复数的有关概念和两个复数相等的充要条件。
【典型例题】类型一：复数的有关概念【例1】设复数22lg(22)(32)z m m m m i =--+++，试求实数m 取何值时，复数z 分别满足：(1)z 是纯虚数； (2)z 对应的点位于复平面的第二象限。
【思路点拨】利用复数的有关概念易求得。
【答案】(1)当22lg(22)0320m m m m ⎧--=⎪⎨++≠⎪⎩即3m =时，复数z 是纯虚数；(2)当22lg(22)0320m m m m ⎧--<⎪⎨++>⎪⎩即11m -<<-13m <<时，复数z 对应的点位于复平面的第二象限.【总结升华】复习中，概念一定要结合意义落实到位，对复数的分类条件要注意其充要性，对复数相等、共轭复数的概念的运用也是这样；对一些概念的等价表达式要熟知。
比如：z a bi R =+∈⇔0b =⇔z z =⇔ 20z ≥(,a b R ∈)；z a bi =+是纯虚数⇔00a b =≠且⇔0z z +=（0z ≠）⇔20z <； 举一反三：【变式1】复数12ai i+-为纯虚数，则实数a 为( )． A ．2 B ．－2 C ．－12 D. 12 【答案】A 【解析】1(1)(2)2212(2)(2)55ai ai i a a i i i i +++-+==+--+， 由纯虚数的概念知：25a -＝0，∴a ＝2. 【变式2】求当实数m 取何值时，复数22(2)(32)z m m m m i =--+-+分别是：（1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数。
【解析】 （1）当2320m m -+=即1m =或2m =时，复数z 为实数；（2）当2320m m -+≠即1m ≠且2m ≠时，复数z 为虚数；（3）当⎪⎩⎪⎨⎧≠+-=--0230222m m m m 即1m =-时，复数z 为纯虚数. 【变式2】已知复数z 满足||1z =且21z ≠-,则复数12+z z （ ） A.必为纯虚数 B.是虚数但不一定是纯虚数C.必为实数D.可能是实数也可能是虚数【答案】[法1] 设z a bi =+（,a b R ∈），有221a b +=,0a ≠.则22221121222z a bi a bi R z a abi b a abi a++===∈++-++，故应选C 。
[法2] ∵2||1z z z ⋅==,∴2211()z z z R z z z z z z z z z ===∈++⋅++. [法3] ∵2||1z z z ⋅==，∴ 2211(1)z z z R z z z z z⋅==∈++⋅+. 类型二：复数相等【例2】已知集合M=｛（a+3）+（b 2-1）i,8｝,集合N=｛3，（a 2-1）+(b+2)｝同时满足M ∩N≠⊂M ，M ∩N ≠Φ，求整数a,b 【思路点拨】先判断两集合元素的关系，再列方程组，进而解方程组，最后检验结果是否符合条件。
【解答】2(3)(1)3a b i i ++-=依题意得…………………………①或28(1)(2)a b i =-+…………………………………………②或223(1)1(2)a b i a b i ++-=-++…………………………③由①得a=-3,b=±2,经检验，a=-3,b=-2不合题意，舍去。
∴a=-3，b=2由②得a=±3, b=-2.又a=-3,b =-2不合题意，∴a=3,b=-2;由③得222231401230a a a ab b b b ⎧⎧+=---=⎪⎪⎨⎨-=+--=⎪⎪⎩⎩即,此方程组无整数解。
综合①②③得a=-3，b=2或a=3,b=-2。
【总结升华】1、a+bi=c+di ⇔(,,,)a c a b c d R b d =⎧∈⎨=⎩. 2、利用复数相等可实现复数问题实数问题的转化。
解题时要把等号两边的复数化为标准的代数形式。
注：对于复数z ，如果没有给出代数形式，可设z= a+bi(a,b ∈R)。
举一反三： 【变式】已知复数z 1满足(z 1-2)(1+i)=1-i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.【解析】设z 2=a+2i(a ∈R)，由已知复数z 1满足(z 1-2)(1+i)=1-i,得z 1=2-i ，又已知z 1·z 2=(2-i)·(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i 是实数，则虚部4-a=0，即a=4，则复数z 2=4+2i.类型三：复数的代数形式的四则运算【例3】计算：(12)(34)i i +÷-【思路点拨】复数除法通常上下同乘分母的共轭复数。
【解析】 2212(12)(34)386451012(12)(34)34(34)(34)342555i i i i i i i i i i i i +++-++-++÷-=====-+--++ 【总结升华】复数除法关键是把分母实数化，通常上下同乘分母的共轭复数，利用21i =-进行运算。
举一反三：【变式1】8)3122(i i-+【答案】：原式=8)23211(i i +-+ii i i i i i i i i 3884341388)2321)(2321()2321(162321)2()2321(])2321[(])1[(422342+-=++-=+---+-⋅=--=+-⋅+-+= 【变式2】复数512i i=-( ) .2i - B.12i - C.2i -+ D.12i -+【解析】选C 解法一： 55(12)1052.12(12)(1+2)5i i i i i i i i +-+===-+-- 解法二：验证法 验证每个选项与1-2i 的积，正好等于5i 的便是答案.【例4】已知z 1，z 2为复数，(3＋i)z 1为实数，12z z 2i+＝,且|z 2|＝52z 2. 【思路点拨】可不设代数形式利用整体代换的思想求解.z 1＝z 2(2＋i)，(3＋i)z 1＝z 2(2＋i)(3＋i)＝z 2(5＋5i)∈R ，∵|z 2|＝52∴|z 2(5＋5i)|＝50，∴z 2(5＋5i)＝±50，()25010z 55i .55i 1i∴±±±-++＝＝＝ 【总结升华】1、(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式.(2)记住以下结论，可提高运算速度：①(1±i)2=±2i ；1i 1i a bi i i b ai 1i 1i i+-+==-=--+②;③;④; ⑤i 4n =1，i 4n+1=i ，i 4n+2=-1，i 4n+3=-i(n ∈N).2、复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i 的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟透i 的特点及熟练应用运算技巧。